现代控制理论

自动控制理论（经典部分）研究对象:单输入、单输出线性定常系统主要内容:1、建模2、分析3、校正现代控制理论基础一：矢量空间的定义[补]矢量空间（线性空间）中的运算，属于线性运算法则范畴。例如：属于二维矢量空间，属于n维矢量空间。当x属于某一矢量集V时，称x是V的元素，即x∈V。如果V是非空的集合，P为数域，设V具有如下性质：1：V中的元素定义有加法，使任何x,y∈V有z=x+y∈V，并且加法运算具有下列性质：

1)x+y=y+x2)x+y+z=（x+y）+z2：V中有这样的元素，称为零向量，记作0，它具有如下性质：

1)对任何x∈V，有x+0=0+x=x2)对任何x∈V，存在-x∈V，使x+（-x）=0，则-x为x的逆元素。线性空间的定义：3：在V中定义了数乘，使任何α∈P，x∈V，有αx∈V，且

1）α，β∈P，x∈V有（αβ）x=α（βx）

2)（α+β）x=αx+βx3)α（x+y）=αx+αy4)1·x=x在上述条件下，称V为数域P上的线性空间，若P为复数域C（或实数域R）则V为C（或R）上的线性空间。线性空间中的元素称为矢量，因此线性空间也叫矢量空间。1：空间矢量的线性相关性和线性无关性设V是线性空间，x1,x2,…xm∈V,如果能找到一个数组(k1,k2,…km)≠(0,0,…0)，使k1x1+k2x2+…+kmxm=0成立，则称x1,x2,…xm线性相关。反之，如果仅当(k1,k2,…km)=(0,0,…0)，才有k1x1+k2x2+…+kmxm=0成立，则称x1,x2,…xm线性无关。二：空间的维数[补]例1：求矢量x=（1，1），y=（2，2）的线性相关性。

解：令k1x+k2y=0，得：

有非零解，故x，y线性相关。解：令k1x+k2y+k3z=0，得：故x，y，z线性无关。

例2：求矢量x=（1，4，1），y=（1，2，3），z=（1，3，6）的线性相关性。定理一：设有n个矢量：a1=（a11，a12，…a1n）a2=（a21，a22，…a2n）…an=（an1，an2，…ann）如果行列式：

则a1，a2…an必线性无关。定理二：当m≥2时，矢量a1，a2…am线性相关的充要条件是其中至少有一个矢量可表示成其它m-1个矢量的线性组合。定义：在线性空间V中，若存在n个元素a1，a2…an满足：1）：a1，a2…an线性无关；2）：V中的任一元素a总可由a1，a2…an线性表示，则称a1，a2…an为线性空间V的一个基，n称为V的维数，记为dimV=n。维数为n的线性空间称为n维向量空间Vn，实n维列向量空间记为Rn，复n维列向量空间记为Cn。2：矩阵的秩与矢量相关性的关系（1）秩的定义：矩阵中所含不等于零的子行列式的最高阶数，称为矩阵的秩。矩阵A的秩记为rankA。若A为n阶方阵：rankA<n，称A为降秩矩阵（奇异矩阵）rankA=n，称A为满秩矩阵（非奇异矩阵），此时detA≠0。（2）矩阵的秩与矢量相关性的关系定理三：若rankA=r，则A中有r个行（列）矢量线性无关，而其余的行（列）矢量是这r个行（列）矢量的线性组合。定理四：n阶行列式的行（列）矢量线性无关的充要条件是其行列式不等于零。定理五：设A∈Rn×m，B∈Rm×s，则rank（AB）≤min（rankA，rankB）。（3）线性方程式的解与秩的关系设线性方程组：a11x1+a12x2+…a1nxn=b1a21x1+a22x2+…a2nxn=b2…am1x1+am2x2+…amn

xn=bm

可写成矩阵形式AX=b其中：增广矩阵：定理六：线性方程组有解的充要条件是：

定理七：线性方程组有唯一解的充要条件是：

有无穷多个解的充要条件是：定理八：对于齐次方程组AX=0，当m<n时，必有非零解，当m=n时，有非零解的充要条件是系数行列式为零。三：逆矩阵和矩阵的微分和积分[补]1：逆矩阵对于非奇异矩阵A，存在着一个逆矩阵A-1，使AA-1=A-1A=I。逆矩阵具有如下性质：(A-1)K=(AK)-1、(A-1)T=(AT)-1、(A-1)*=(A*)-1

其中AT、A*分别为A的转置矩阵和共轭转置矩阵。若A、B均为非奇异矩阵，有(AB)-1=B-1A-1。

例：设

求A-1。

解：|A|=17

2：矩阵的微分设：

矩阵的微分法则：3：矩阵的积分

设四：格兰姆矩阵和格兰姆行列式[补]设x1,x2,…xn为m维向量空间V中的一组向量，下列n×n矩阵称为x1,x2,…xn的格兰姆矩阵G，其行列式detG称为格兰姆行列式。

其中：定理：F(t)的列向量f1,f2,…fn线性独立的充要条件是它们的格兰姆矩阵非奇异。证明：充分性：设格兰姆矩阵非奇异，求证f1,f2,…fn线性无关。即：只有零解。上式左乘fjT(j=1,2,…n)，对t积分：

由于f1,f2,…fn的格兰姆矩阵非奇异，故上式只有零解，即：

说明f1,f2,…fn线性无关。必要性：若f1,f2,…fn线性无关，求证f1,f2,…fn的格兰姆矩阵非奇异。或f1,f2,…fn的格兰姆矩阵奇异，求证f1,f2,…fn线性相关。显然，由于f1,f2,…fn的格兰姆矩阵奇异，有使第一章控制系统的数学模型1-1状态空间表达式

一：基本概念

系统的状态状态变量是确定系统状态的最小一组变量，其选择不是唯一的，但维数相同

例如对于R-L-C网络，构成系统的一组状态变量或构成系统的一组状态变量状态变量的最小性

只要给定初始时刻t0的任意初始状态变量和t≥t0各时刻的任意输入变量组任何一个内部变量在t≥t0各时刻的运动行为也就随之而完全确定状态变量对系统行为的完全表征性

那么系统的可以选择定义为信息的集合

由n个状态变量组成的正交空间称为状态空间。状态向量和状态空间由n个状态变量组成的一个列向量称为状态向量，状态向量的各个分量即为状态变量。控制系统的状态既可以用状态变量表示，也可以用状态向量表示，或用状态空间中的一个点来表示。二：状态空间表达式描述系统输入、输出和状态变量之间关系的方程组称为系统的状态空间表达式（动态方程或运动方程），包括状态方程（描述输入和状态变量之间的关系）和输出方程（描述输出和输入、状态变量之间的关系）。一般地，以u表示输入向量，以y表示输出向量，

以x表示状态向量，A-系数矩阵(n×n)，B-输入矩阵(n×r)，C-输出矩阵(m×n)，D-直接传输矩阵(m×r)则系统的动态方程可表示为BCAD对于线性定常系统，A、B、C、D为实常数矩阵。而对于单输入、单输出线性定常系统，系统的动态方程常写为：对于线性时变系统，矩阵A、B、C、D为时间的函数，系统的动态方程表示为：B(t)C(t)A(t)D(t)u（t）为输入，uc(t)为输出，若选择i

L(t),uc(t)为一组状态变量，则：写成矩阵形式例如对于R-L-C网络，三：状态变量的选取

状态变量选择的非唯一性选择不同的状态变量，系统的动态方程是不一样的。例如对于R-L-C网络，考虑到选取状态变量时的考虑…对于一般的电路图，常选择储能元件的参数（如电容电压、电感电流）作为状态变量。应注意状态变量的独立性。状态变量的数目是唯一性，它等于系统微分方程的阶数四：动态方程的建立

例1选取：例2选取例3例4M1-2系统的微分方程和动态方程之间的变换

通常一个单输入-单输出系统的微分方程为：这是一个n阶系统，可用动态方程描述为1：由动态方程求微分方程例：设试求系统的微分方程式解2：由微分方程求动态方程由于状态变量选择的非唯一性，系统的微分方程可改写成不同形式的动态方程1）系统的微分方程中不含输入量的导数项选取n个状态变量则有写成矩阵形式：2：由微分方程求动态方程由于状态变量选择的非唯一性，系统的微分方程可改写成不同形式的动态方程1）系统的微分方程中不含输入量的导数项写成矩阵形式：可画出系统的动态结构图

例：试写出系统的动态方程解2）系统的微分方程中含有输入量的导数项为避免在动态方程中出现u的导数项，可用下列方法方法一选取方法一选取待定系数的选择应使状态方程的表达式中不含u的导数项写成矩阵形式其动态结构图如下例

n=3方法二：改写为令整理，得方法三设可见令有1-3系统的传递函数矩阵一：传递函数矩阵的定义若线性定常系统有r个输入，m个输出，在初始条件为零时，系统的输入、输出间的关系由下列矩阵方程表示：或称为系统的传递函数矩阵

二：由动态方程求传递函数矩阵设系统动态方程为在初始条件为零的情况下，对动态方程进行拉氏变换对于单输入单输出系统，上式变为状态变量对输入量的传递函数矩阵例求系统的传递函数矩阵解三:传递函数(矩阵)与状态空间描述的比较(1).传递函数(矩阵)是系统的外部描述状态空间描述是系统的内部描述内部描述则是系统的一种完全的描述,能够完全反映系统的所有动力学特性.外部描述一般的说只是对系统的一种不完全描述(2).使用对象、初始条件不同。(3).对于复杂系统,可以用实验方法获得频率特性,进而求得传递函数(矩阵)；通过系统辨识,可以求得传递函数(矩阵),或状态空间描述1-4离散系统的数学模型一：状态空间表达式对于线性离散系统，动态方程的一般形式为对于单输入单输出系统对于线性时变系统例假设某个国家,城市人口为107,乡村人口为9x107,每年4%的城市人口迁移去乡村,2%的乡村人口迁移去城市,整个国家的人口的自然增长率为1%设k为离散时间变量,x1(k)、x2(k)为第k年的城市人口和乡村人口,u(k)为第k年所采取的激励性政策控制手段,设一个单位正控制措施可激励5x104城市人口迁移乡村,而一个单位负控制措施会导致5x104乡村人口去城市,y(k)为第k年全国人口数写成矩阵形式1:差分方程中不含有输入量的差分项令二：由差分方程求动态方程2：差分方程中含有输入量的差分项选取写成矩阵形式其中例

已知线性定常离散系统的差分方程为试求其状态空间表达式解

画出其动态结构图三：脉冲传递（函数）矩阵脉冲传递矩阵为例：1．线性时变系统（1）作线性变换：（2）其中方程（2）称为方程（1）的等价系统方程1-5线性变换一．等价系统方程2．线性定常系统

作线性变换代入动态方程(1)(2)方程（2）称为方程（1）的等价系统方程二：线性变换的不变性

1．线性变换不改变系统特征值2．线性变换不改变系统传递函数矩阵系统（A、B、C、D）经非奇异变换后，传递函数矩阵保持不变。1化矩阵A为对角形

对于矩阵A，称为其特征方程式。特征方程式的根λ1、λ2、…λn即为A的特征值若：（λiI-A）qi=0或：λiqi=Aqi

，称qi为与λi相对应的A的特征向量

下列几种情况，可将A化为对角阵三:化A为规范形为矩阵A的特征多项式1)如果A有n个特征值λ1、λ2、…λn互不相同，取Q=（q1，q2

，…qn

），其中qi为与λi相对应的A的特征向量，令P=Q-1

例

设对应于λ1的特征向量为对应于λ2的特征向量为试将Ａ化为对角形解：2)如果矩阵A具有如下标准形式且A的n个特征值λ1、λ2、…λn互不相同，则利用范德蒙特矩阵，可使为对角阵3)如果矩阵A虽有相重之特征值，但由λiqi=Aqi

可解出n个独立的特征向量，则Q=（q1

，q2

，…qn

），P=Q-1可使为对角阵例

设对应与λ1、λ2的特征向量为对应与λ3的特征向量为2化矩阵A为约当标准形下列情况下，可将矩阵A化为约当标准形1)在A的n个特征值λ1、λ2、…λn中，有n-m个互不相同，有m个为重特征值，此时，可A化为约当阵。对于互不相同之特征值，特征向量qi由Aqi=λi

qi确定相应的矩阵Q部分为对于m重特征值λj，特征向量qj由Aqj=λj

qj确定；广义特征向量qj+1、qj+2、…qj+m-1、由下式确定：

λjqj+1+qj=Aqj+1

λjqj+2+qj+1=Aqj+2…

λjqj+m-1+qj+m-2=Aqj+m-1

相应的约当块为例

设特征值λ1=2、λ2=λ3=1，试化A为约当阵解

由λ1q1=Aq1得：q1=[2，-1，-2]T

由λ2q2=Aq2得：q2=[1，-3/7，-5/7]T

由λ2q3+q2=Aq3得：q3=[1，-22/49，-46/49]T

2）如果矩阵A具有如下标准形式且A的特征值λj为k重根，此时与λj相对应的约当块为范德蒙特矩阵Q中对应部分变为其中例如其特征值为λ1、λ1、λ1、λ2、λ2，此时3模式矩阵当矩阵A出现共轭复数根λ1、2=σ±jω时，可将A化为模式矩阵。如A为2×2矩阵，λ1、2=σ±jω，由λ1q1=Aq1求出与λ1相对应A的特征向量q1=α1+jβ1。则P=[α1，β1]-1可使M=PAP-1成为模式矩阵，即例如特征值为λ1、2=-1±j，特征向量为一般情况，如A有m个互不相同的特征值λ1、λ2…λm和k组复数特征值λi=σi±jωi，（m+2k=n），利用P=[p1，p2，…pm，α1，β1…αk，βk]-1，可将A化为假定第j个复数特征值是r重根，且与其对应的独立特征向量为一个，则模式矩阵中相应的部分为而P中相应的部分由特征向量及广义特征向量的实部和虚部组成例如A为4×4矩阵，λ1、2=σ±jω为重根，与λ1相对应的特征向量q1=α1+jβ1，广义特征向量q2=α2+jβ2。则：P=[α1、β1、α2、β2]-11-6组合系统的数学描述1：并联（A1、B1、C1、D1

）（A2、B2、C2、D2

）uy2y1y系统1动态方程为系统2动态方程为并联后写成矩阵形式并联后的输出为并联后的传递矩阵为并联条件….2：串联写成矩阵形式串联后的输出为串联后的传递矩阵为串联条件….系统1动态方程为系统2动态方程为（A1、B1、C1、D1

）（A2、B2、C2、D2

）uy2y1y3：反馈（A1、B1、C1）（A2、B2、C2）y1y2yu-e写成矩阵形式反馈联接后的输出为系统1动态方程为系统2动态方程为反馈联接的条件….反馈联接后的误差为

反馈联接后的传递矩阵为：反馈联接后的输出为（A1、B1、C1）（A2、B2、C2）y1y2yu-e第二章线性控制系统的运动分析

2-1线性定常系统齐次状态方程的解设齐次向量微分方程为其中A为n×n常系数矩阵写成矩阵形式由待定系数法，得考虑到初始条件最后得定义状态转移矩阵由待定系数法，得写成矩阵形式则齐次状态方程的解可写为

若初始条件为可以令可以求出

关于线性定常齐次状态方程的求解，也可以应用拉氏变换，即：两边拉氏变换可见状态转移矩阵

求证例

设系统状态方程为试求状态方程的解解

2-2状态转移矩阵一：状态转移矩阵是矩阵微分方程的唯一解证

1）状态转移矩阵满足上述方程，为方程的解,把代入后，容易得证2）若φ(t)满足则φ(t)一定是状态转移矩阵，即一定满足说明φ(t)是矩阵微分方程的唯一解

二：φ(t)的性质证所以证考虑到X(t0)的任意性，分别取令t1=0，得进一步写为说明φ(t1)、φ(t2)为可交换矩阵(f)对于n×n阵A、B，当且仅当AB=BA时，有三：状态转移矩阵的求法123：待定系数法

1)凯莱-哈密尔顿（Caylay-Camilton）定理对于一个n×n矩阵A，若A的特征多项式为则矩阵A满足自己的特征方程，即证考虑到B(λ)也为n×n矩阵,各元素的最高次数不大于n-1，故式中B0、B1、…Bn-1为n×n常系数矩阵，由于比较系数

相加后，得：2)凯莱-哈密尔顿定理的应用设A∈Rn×n，计算（m≥n）若则说明关于A的一个任意次幂的多项式总可以用另一个A的多项式来表示,其最高次幂不大于n-1.

例如设λ1、λ2、…λn为A的特征值，根据可以求出α1、α2、…αn

则例

已知

求A1010解

|λI-A|=0，得A的特征值λ1=5，λ2=-2设A1010=α0I+α1A即3）用待定系数法求φ(t)设λ1、λ2、…λn为A的n个互异特征值则若λi为l重特征值，则相应的l个方程为3）用待定系数法求φ(t)则设λ1、λ2、…λn为A的n个互异特征值例

求φ(t)解

令则4：利用线性变换计算φ(t)若则1.若则例

2.若其中则其中例

3.模式矩阵当2×2矩阵A出现共轭复数根λ1、2=σ±jω时例如特征值为λ1、2=-1±j，特征向量为一般情况，如A有m个互不相同的特征值λ1、λ2…λm和k组复数特征值λi=σi±jωi，（m+2k=n）可将A化为假定第j个复数特征值是r重根，且与其对应的独立特征向量为一个，则模式矩阵中相应的部分为例如A为4×4矩阵，λ1、2=σ±jω为重根中相应部分变为假定第j个复数特征值是r重根，且与其对应的独立特征向量为一个，则模式矩阵中相应的部分为2-3线性定常系统非齐次状态方程的解由于故即当输入向量为阶跃形式例

试求x(t)解

如初始时刻为t0即当输入向量为阶跃形式2-4线性时变系统的运动分析如果线性系统含有随时间而变的系数，称为线性时变系统，动态方程一：线性时变系统齐次状态方程的解设其解为为状态转移矩阵根据初始条件，易得

得：两边积分两边积分当矩阵A(t)的所有元素在积分区间内有界时,该级数是收敛的,但得不到闭合形式的解,该级数称为皮诺-拜克尔级数例：求下列时变系统的状态转移矩阵在一定的条件下，状态转移矩阵有如下闭合形式根据上式而状态转移矩阵应满足得结论：对于任意的t1、t2，若A(t1)A(t2)=A(t2)A(t1)成立，则例

由于A(t1)A(t2)=A(t2)A(t1)，且故线性时变系统的状态转移矩阵具有如下性质由于两边求导二：线性时变系统非齐次状态方程的解设线性时变系统非齐次状态方程为其解为显然且有三：控制系统的输出对于线性定常系统对于线性时变系统2-5线性系统的脉冲响应矩阵一：线性时变系统的脉冲响应矩阵线性时变系统的输出为初始条件为零，输入信号中，ui(t)为单位脉冲信号,其余的输入信号为零。即则输出为定义即为线性时变系统的脉冲响应矩阵定义即为线性时变系统的脉冲响应矩阵二：线性定常系统的脉冲响应矩阵线性定常系统的脉冲响应矩阵定义为当τ=0时，有三：传递矩阵与脉冲响应矩阵的关系对H(t)进行拉氏变换，得上式说明在拉氏变换中，脉冲响应矩阵和传递矩阵分别为原函数和象函数。脉冲响应矩阵既可以由定义求得，也可以对传递矩阵进行拉氏反变换求得二：线性定常系统的脉冲响应矩阵线性定常系统的脉冲响应矩阵定义为当τ=0时，有例

求脉冲响应矩阵解

也可以利用传递函数矩阵的拉氏反变换求得四：利用脉冲响应矩阵计算控制系统的输出设则若初始状态为０，2-6连续系统动态方程的离散化一：线性定常系统动态方程的离散化设线性定常系统的动态方程为在kT≤t<(k+1)T时，u(t)=u(kT)初始状态为则在kT≤t<(k+1)T令则线性定常系统的离散化动态方程为例线性定常系统的状态方程为设采样周期T=1秒，试求其离散化状态方程解

令则线性定常系统的离散化动态方程为二：线性时变系统动态方程的离散化设线性时变系统动态方程为假定采样时刻为t0、t1、…tk、tk+1、…，在tk-tk+1之间u(t)=u(tk),初始状态为x(tk),则令则对于周期为Ｔ的采样当采样周期T足够小时（通常比系统中最小时间常数小一个数量级），线性时变系统状态方程的离散化可近似处理如下在状态方程中，令t=kT，则2-7线性离散系统的运动分析一：线性定常离散系统动态方程的解设其解可用递推法来求，分别令k=0、1、2、…，得对于连续系统的离散化动态方程，有二：状态转移矩阵对于离散系统，定义状态转移矩阵为二：状态转移矩阵对于离散系统，定义状态转移矩阵为1：状态转移矩阵的性质

2：状态转移矩阵的计算例

求x(k)解

三：线性时变离散系统动态方程的解设初始时刻为k0，初始状态为x(k0),其解存在且唯一,则其中称为状态转移矩阵,它满足第三章控制系统的能控性和能观测性3-1引言小车摆杆系统3-2能控性及其判据一：能控性概念线性定常系统(A,B,C)，对任意给定的一个初始状态x(t0)，如果在t1>t0的有限时间区间[t0,t1]内，存在一个无约束的容许控制u(t)，使x(t1)=0，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。可见系统的能控性反映了控制矢量u(t)对系统状态的控制性质,与系统的内部结构和参数有关。定义：例如定义：设线性时变系统状态方程为对任意给定的一个初始状态x(t0)，如果在t1>t0的有限时间区间[t0,t1]内，存在一个无约束的容许控制u(t0，t1)，使x(t1)=0，则称系统在t0时刻是状态完全能控的，简称系统是能控的。3-2能控性及其判据一：能控性概念线性定常系统(A,B,C)，对任意给定的一个初始状态x(t0)，如果在t1>t0的有限时间区间[t0,t1]内，存在一个无约束的容许控制u(t)，使x(t1)=0，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。定义：证明充分性为非奇异时，系统能控说明系统是能控的二：能控性判据定理一：线性时变系统在t0时刻是状态完全能控的充分必要条件是下列格兰姆矩阵为非奇异矩阵，式中为状态转移矩阵1线性时变系统必要性反证法，若是奇异的，且系统能控，看能否导出矛盾结果。由于是奇异的，故必存在非零的行向量α，使二：能控性判据定理一：线性时变系统在t0时刻是状态完全能控的充分必要条件是下列格兰姆矩阵为非奇异矩阵，式中为状态转移矩阵1线性时变系统二：能控性判据定理一：线性时变系统在t0时刻是状态完全能控的充分必要条件是下列格兰姆矩阵为非奇异矩阵，式中为状态转移矩阵必要性由于系统能控

取系统初始状态

1线性时变系统定理二：线性时变系统在t0时刻是状态完全能控的充分必要条件是的行向量在[t0,t1]上线性无关证明:充分性的行向量在[t0,t1]上线性无关→系统能控

或系统不能控

→的行向量在[t0,t1]上线性相关由于系统不能控

是奇异的，故必存在非零的行向量α，使定理二：线性时变系统在t0时刻是状态完全能控的充分必要条件是的行向量在[t0,t1]上线性无关证明:必要性的行向量在[t0,t1]上线性相关→系统不能控

系统能控

→的行向量在[t0,t1]上线性无关由于的行向量线性相关，故必存在非零的行向量α，使或是奇异的，故系统不能控定理三：如果线性时变系统的A(t)和B(t)是n-1阶连续可微的，若存在一个有限的t1>t0，使得则系统在t0是能控的。其中本定理是充分条件证明:由于

故

下面求证

→系统能控或系统不能控→由于系统不能控,存在非零的行向量α，使由于

故

下面求证

→系统能控或系统不能控→由于系统不能控,存在非零的行向量α，使2线性定常系统定理一:线性定常系统(A、B、C)，状态能控的充分必要条件是格兰姆矩阵：

或为非奇异矩阵定理二:线性定常系统(A、B、C)，状态完全能控的充分必要条件是的行向量在[０,t1]上线性无关定理三：线性定常系统状态完全能控的充分必要条件是：能控性矩阵满秩定理三：线性定常系统状态完全能控的充分必要条件是：能控性矩阵满秩证明:充分性满秩→系统能控,或系统不能控→不满秩由于系统不能控,存在非零的行向量α，使上式对t求导，并令t=0必要性不满秩→系统不能控由于不满秩,存在非零的行向量α，使对于单输入系统，QC=[b，Ab，A2b，…An-1b]如果系统是完全能控的，称（A、B）或（A、b）为能控对推论：对于线性定常系统，若B的秩为r，则系统完全能控的充要条件是：rank[B，AB，A2B，…An-rB]=n例

设试判断系统的能控性解

系统是不完全能控的。若考虑到rankB=2，只需计算rank[B，AB]=2，说明系统不能控。例

图示电路，判断系统能控性条件解：选取状态变量x1=iL，x2=uC，得系统的状态方程为当（R1R4=R2R3）时，系统不能控。否则系统能控。定理四：PBH判别法线性定常系统完全能控的充分必要条件是n×（n+r）矩阵[λI-A，B]对A的所有特征值λi之秩为n。即：rank[λiI-A，B]=n，（i=1、2、…n）证明见[5]P144-145定理五：对线性定常系统作非奇异变换，其能控性不变定理六：线性定常系统（A、B、C），若A的特征值λ1、λ2、…λn互不相同，则一定可以通过非奇异变换P把A变换成对角阵，即此时系统能控的条件为中任一行的元素不全为零。如果某一行的元素全为零，说明对应的状态变量不能控。例

判断系统的能控性解

系统不能控定理七：一般情况下，当A有重特征值时，可利用变换阵P将A化为约当阵，如果对应A的各重特征值只能找到一个独立的特征向量，其状态完全能控的条件是：与每个约当块最后一行对应的B阵中，这一行的元素不全为零。定理八：设n维线性定常系统状态方程当A有重特征值时，可利用变换阵P将A化为约当阵，若λ1、λ2、…λm为其m个互异特征值，对应与某个特征值λi可以找到r(i)个独立的特征向量，则与λi相对应的约当块Ai中有r(i)个约当块，即相应地，设系统能控的充分必要条件是：对每一个i=1、2、…m，矩阵Bil的各行在复数域上线性无关，其中：例

系统能控的充分必要条件是向量组{bl11、bl12、bl13}线性无关以及{bl21}线性无关（即不为零）三：线性定常系统的输出能控性设线性定常系统动态方程为如果存在一个无约束的容许控制u(t)，在有限时间tf-t0内，使得由任一初始输出y(t0)，能够转移到输出y(tf)=0，则称这一系统为输出完全能控，简称输出能控。控制系统的状态能控性与输出能控性之间没有必然联系系统输出完全能控的充分必要条件是下列m×(n+1)r矩阵满秩，即：例

由于该系统状态不能控而输出能控

对于本例，若设系统输出不能控3-3能观测性及其判据一：能观测性的概念定义：设n维线性定常系统的动态方程为如果在有限的时间间隔内，根据给定的输入值u(t)和输出值y(t)，能够确定系统的初始状态x(t0)的每一个分量,则称此系统是状态完全能观测的，简称能观测的。若系统中至少由一个状态变量不能观测，则称此系统是不完全能观测的，简称不能观测。该系统是不能观测的由于可见系统的状态x(t)的能观测性与x(t0)的能观测性是等价的定义：设n维系统的动态方程为若对状态空间中的任一状态x(t0)，存在一有限时间t1-t0，使得由控制输入u(t0,t1)和输出y(t0,t1)的信息足以确定x(t0)，则称系统在t0时刻是完全能观测的。二：能观测性判据1线性时变系统定理一：系统在t0时刻能观测的充要条件是下列格兰姆矩阵：为非奇异矩阵证明:充分性设二：能观测性判据1线性时变系统定理一：系统在t0时刻能观测的充要条件是下列格兰姆矩阵：为非奇异矩阵证明:必要性设系统能观测,但是奇异的,即存在非零初态,使二：能观测性判据1线性时变系统定理一：系统在t0时刻能观测的充要条件是下列格兰姆矩阵：为非奇异矩阵定理二：系统在t0时刻能观测的充要条件是存在一个有限时刻t1>t0，使得m×n型矩阵C(t)φ(t,t0)的n个列在[t0，t1]上线性无关。定理三：如果线性时变系统的A(t)和C(t)是(n-1)阶连续可微的，若存在一个有限的t1>t0，使得则系统在t0时刻能观测的，其中（充分条件）2：线性定常系统定理一:对于线性定常系统，其能观测的充要条件是满秩,或定理二：线性定常连续系统能观测的充分必要条件是能观测性矩阵QO满秩，即的列线性无关.定理三：线性定常连续系统能观测的充分必要条件是(n+m)×n型矩阵对A的每一个特征值λi之秩为n。（PBH判别法）定理三：线性定常连续系统，若A的特征值互异，经非奇异变换后为系统能观测的充分必要条件是阵中不包含全为零的列定理四：线性定常连续系统，若A阵具有重特征值，且对应每一个重特征值只存在一个独立的特征向量，经非奇异变换后为：系统能观测的充分必要条件是阵中与每一个约当块Ji第一列对应的列不全为零。非奇异变换不改变系统的能观测性3-4离散系统的能控性和能观测性线性定常离散系统方程为一：能控性定义对于任意给定的一个初始状态x(0)，存在k>0，在有限时间区间[0，k]内，存在容许控制序列u(k)，使得x(k)=0，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的二：能控性判据线性定常离散系统能控的充分必要条件是n×nr型矩阵Qc满秩，即rankQc=rank[H，GH，G2H，…Gn-1H]=n证明令对于任意的x(0),上述方程有解的充要条件是：kr≥n且系数矩阵满秩若系统能控，对于任意的初始状态，在第k步可以使x(k)=0，（k≥n/r）例

设单输入线性离散系统的状态方程为试判断系统的能控性，若初始状态x(0)=[2,1,0]T，确定使x(3)=0的控制序列u(0),u(1),u(2)；研究x(2)=0的可能性解

系统是能控的系统是能控的令若令

无解。即不存在控制序列u（0），u（1）能够使系统从初始状态x(0)=[2,1,0]T转移到x(2)=0。例

双输入线性定常离散系统的状态方程为：试判断其能控性，并研究使x(1)=0的可能性解

系统是能控的令x(1)=0若若则可以求出u(0)，使x(1)=0则不存在u(0)，使x(1)=0三：能观测性定义对于离散系统，其定义为：已知输入向量序列u(0)、u(1)、…u(n-1)及有限采样周期内测量到的输出向量序列y(0)、y(1)、…y(n-1),能唯一确定任意初始状态向量x(0),则称系统是完全能观测的，简称系统是能观测的四：能观测性判据设n维离散系统的动态方程为其解为在讨论能观测性时，假定u(k)=0,(k=0、1、…n-1)定义为离散系统的能观测性矩阵。上述方程要唯一确定x(0)的充要条件是rankQo=n因此线性定常离散系统能观测的充要条件为rankQo=n五：连续系统离散化后的能控性与能观测性定理一：如果连续系统（A、B、C）不能控（不能观测），则对任意采样周期T离散化后的系统（G、H、C）也是不能控（不能观测）的证明：用反证法设连续系统不能控，而对于某采样T离散化后的系统却是能控的。则rank[H、GH、G2H、…Gn-1H]=n故容易验证为可交换阵，故由于eAiT可用I、A、A2、…An-1线性表示，故连续系统是能控的，矛盾本定理也可叙述为：如果离散化后的系统是能控（能观测）的，则离散化前的连续系统一定是能控（能观测）的定理二：设连续系统（A、B、C）能控（能观测），则离散化后的系统也能控（能观测）的必要条件是不是A的特征值。其中k为非零整数证明设A的特征值为λ1、λ2、…λn则的特征值为：如果λi=0，则如果λi≠0，则可见当（k为非零整数）为A的特征值时的特征值中出现0不可逆,由于定理三：设系统（A、B、C）能控，采样周期T满足如下条件：对A的任意两个特征值λ1、λ2，不存在非零整数k，使成立，则以T为采样周期的离散化系统也是能控的。本定理为充分条件，对于单输入单输出系统，本定理是充分必要的。3-5对偶原理若系统S1描述为系统S2描述为则称S1（S2）为S2（S1）的对偶系统。显然，原系统S1（S2）的能控性（能观测性）矩阵等于对偶系统S2（S1）的能观测性（能控性）矩阵转置，或者说，原系统的能控性（能观测性）等价与其对偶系统的能观测性（能控性）对偶系统有两个基本特征:1)传递函数阵互为转置2)系统特征值相同3-6能控标准形和能观测标准形一：能控标准形一个单输入系统，如果其A、b阵具有如下形式：则系统一定能控。这种形式的A、b阵称为能控标准形定理：若n维单输入线性定常系统能控，则一定能找到一个线性变换，将其变换成能控标准形具体做法是：设A的特征多项式为引入非奇异线性变换则为能控标准形例

已知能控的线性定常系统动态方程试将其变换成能控标准形解

系统是能控的解

系统是能控的二：能观测标准形一个单输出系统，如果其A、c阵具有如下形式则系统一定能观测，此时的A、c阵称为能观测标准形定理：若n维单输出线性定常系统能观测，则一定能找到一个线性变换，将其变换成能观测标准形具体做法是：设A的特征多项式为引入非奇异线性变换则为能观测标准形可利用对偶原理来证明3-7能控性、能观测性与传递函数的关系定理一：如果A的特征值互不相同，则系统（A、B、C）为能控且能观测的充分必要条件是：传递矩阵G（s）的分母|sI-A|与分子之间不发生因子相消。定理二：单输入、单输出系统（A、b、c）是能控且能观测的充分必要条件是：传递函数G（s）的分母|sI-A|与分子之间不发生因子相消定理三：单输入、单输出系统（A、b、c），如果A的特征值互不相同，若传递函数存在零、极点对消，则系统或是状态不能控或是状态不能观测的；若传递函数不存在零、极点对消，则系统是状态完全能控且完全能观测的。证明单输入、单输出系统动态方程为如果A的特征值互不相同，则可利用非奇异线性变换，使A成为对角阵。即此式即为传递函数的部分分式若传递函数存在零、极点对消，传递函数的部分分式中应缺少相应项。如传递函数中相消的零、极点为s-λk，则说明fkγk=0，γk=0，fk≠0系统是不能控的；fk=0，γk≠0，系统是不能观测的；γk=0，fk=0，系统是既不能控也不能观测的。若传递函数不存在零、极点对消，传递函数的部分分式中，应有fkγk≠0（k=1、2、…n）系统是既能控又能观测的例设单输入、单输出系统的传递函数由于存在零、极点对消，系统不可能是既能控又能观测的例已知系统的动态方程如下，试求传递函数，判断其能控性、能观测性三个系统的传递函数均为系统（1）是能控不能观测的；系统（2）是能观测不能控的；系统（3）是既不能控又不能观测的定理二、定理三只适用于单输入、单输出系统，对于有相重特征值的多输入、多输出系统，即使有零、极点对消，系统仍可能是既能控又能观测的定理四：如果多输入、多输出系统的状态向量与输入向量之间的传递矩阵的各行在复数域上线性无关，则系统是能控的。（充分必要条件）定理五：如果多输入、多输出系统的输出向量与初始状态向量X（0）之间的传递矩阵的各列在复数域上线性无关，则系统是能观测的。（充分必要条件）例

试用传递矩阵判断下列系统的能控性、能观测性

解：（1）令说明的三个行向量线性无关，系统是能控的。说明的三个列向量线性无关，系统是能观测的例

试用传递矩阵判断下列系统的能控性、能观测性

解：（1）令

（2）由于的三个行向量线性相关，系统不能控令存在非零解系统是不能观测的。3-8控制系统的结构分解

一：系统按能控性分解

设不能控系统的动态方程为

其能控性矩阵的秩为r<n，即rankQc=r令则

其中选出其中r个线性无关列，再加任意n-r个列，构成非奇异矩阵T,令ＰＣ＝T-1

经非奇异变换后，系统的动态方程写为于是可得能控子系统动态方程为不能控子系统动态方程为系统传递函数矩阵为例已知试按能控性进行规范分解解系统不完全能控，取则能控子系统动态方程为不能控子系统动态方程为二：系统按能观测性分解设不能观测系统的动态方程为其能观测性矩阵的秩为r<n，选出其中r个线性无关行，再加任意n-r个行，构成非奇异变换Po

令则经非奇异变换后,动态方程写为可得能观测子系统动态方程为不能观测子系统动态方程为系统传递函数矩阵为例已知试按能观测性进行规范分解解系统不完全能观测，取能观测子系统动态方程为不能观测子系统动态方程为三：系统按能控性和能观测性的标准分解设系统（A、B、C）不能控、不能观测，可先对系统按能控性分解，即令再分别对能控子系统、不能控子系统按能观测性分解，即最后得到经变换后，系统的动态方程为经变换后，系统的动态方程为能控、能观测子系统动态方程为能控、不能观测子系统动态方程为不能控、能观测子系统动态方程为不能控、不能观测子系统动态方程为3-9线性定常系统的实现由系统的传递函数矩阵G(s)，建立与输入输出等价的系统方程,称为实现问题.真分式传递函数：分子的次数等于或小于分母的次数，称传递函数是正则的。严格真分式传递函数：分子次数小于分母的次数，称传递函数是严格正则的。当传递函数分子多项式和分母多项式无公因式时，该传递函数称为不可约的。若可以求出系统的动态方程（A、B、C、D），使则称系统是可实现的

所有可能的实现，不仅实现形式不同,且实现的阶数也不同,其中阶数最小的实现称为最小实现，又称不可约实现.对于不可约传递函数,其所有实现的阶数不会小于传递函数的次数，而最小实现的阶数等于传递函数的次数,此时系统必是能控能观测的。1：单输入、单输出系统的实现如果{A、b、c、d}为G（s）的一个实现，则取：d=d′，应有：故只需要考虑严格有理真分式的实现问题。即讨论如何用（A、b、c）来实现下式：能控标准形实现

取取写成矩阵形式写成矩阵形式能观测标准形实现根据上式，画出系统的信号流图上式即为能观测标准形实现，能观测标准形实现要求A、c具有上式标准形式。显然,能观测性实现中,状态变量选择如下例：

设试确定能控性、能观测性动态方程，并确定状态变量与输入、输出量的关系解

1:能控标准形解得2:能观测标准形解得并联形实现(约当形实现)先熟悉一个基本关系式设写成矩阵形式也可以画出结构图为例设试写出其约当形实现的动态方程解1:

2:串联形实现

设画出结构图动态方程为2：向量真分式有理传递函数的实现SIMO系统它的一个实现为MISO系统它的一个实现为第四章控制系统的稳定性

4-1引言一：范数设定义x的范数为m×n矩阵A的范数定义为二：标量函数的正定性、负定性1：正定性设有标量函数V（x），对域S中的所有非零状态x，总有V（x）>0，且当x=0时，有V（x）=0，则称标量函数V（x）在域S内是正定的2：负定性设有标量函数V（x），对域S中的所有非零状态x，总有V（x）<0，且当x=0时，有V（x）=0，则称标量函数V（x）在域S内是负定的。此时-V（x）是正定的3：正半定性和负半定性设有标量函数V（x），对域S中的某些非零状态x及x=0，有V（x）=0，而对于S中的其余状态有V（x）>0，则称标量函数V（x）在域S内是正半定的。如果-V（x）是正半定的，则V（x）是负半定的例设则三：二次型函数的正定性设标量函数V（x）为二次型函数，即V（x）=xTQx，并设Q为对称阵：3：正半定性和负半定性设有标量函数V（x），对域S中的某些非零状态x及x=0，有V（x）=0，而对于S中的其余状态有V（x）>0，则称标量函数V（x）在域S内是正半定的。如果-V（x）是正半定的，则V（x）是负半定的赛尔维斯特准则：对于二次型函数V（x）=xTQx，若Q的所有主子式大于零，则Q是正定的，V（x）也是正定的；或者Q的特征值均为正值，则Q是正定的，V（x）也是正定的。4-2李雅普诺夫意义下的稳定性概念赛尔维斯特准则：对于二次型函数V（x）=xTQx，若Q的所有主子式大于零，则Q是正定的，V（x）也是正定的；或者Q的特征值均为正值，则Q是正定的，V（x）也是正定的。1：系统设所研究的系统为式中x为n维状态向量，在给定的初始条件下，方程有唯一解2：平衡状态满足的状态即对于线性定常系统当A可逆时，有唯一平衡状态3：稳定性以S（k）表示平衡状态周围半径为k的球域设对应于每一个球域S（ε），都存在球域S（δ），使得当t≥t0时，从初始条件S（δ）出发的轨迹都超出不了S（ε），则称这一系统的平衡状态在李雅普诺夫意义下是稳定的。如果δ与t0无关，则称平衡状态为一致稳定的平衡状态线性定常系统，如果是稳定的，则必是一致稳定的4：渐近稳定性如果平衡状态在李雅普诺夫意义下是稳定的，且从球域S（δ）出发的任意一个解，当t→∞时，收敛于平衡状态，则称此类平衡状态为渐近稳定的，如果δ与t0无关，则平衡状态为一致渐近稳定的线性定常系统，如果是渐近稳定的，则必是一致渐近稳定的5：大范围稳定性不管初始偏差有多大，系统总是稳定的，则称系统是大范围稳定的。不管初始偏差有多大，系统总是渐近稳定的，则称系统是大范围渐近稳定的。大范围渐近稳定的系统只能有一个平衡状态。为了满足稳定条件，初始偏差有一定限制，则称系统是小范围稳定的。对于线性系统，若在小范围稳定，则必大范围稳定；若在小范围渐近稳定，则必大范围渐近稳定6：不稳定性如果对于某个实数ε>0和任一实数δ>0，在球域S（δ）中，总存在一个初始状态x0，使得从这一初始状态出发的轨迹最终会超出球域S（ε），这时的平衡状态是不稳定的4-3李雅普诺夫直接法（第二法）主要理论1：对于一个系统，若能构造出一个正定的标量函数V（x），并且它对时间的一阶导数是负定的，则系统在状态空间的原点处是渐近稳定的2：对于一个系统，若V（x）在原点附近的邻域内是正定的，并且它对时间的一阶导数也是正定的，那么系统在原点处是不稳定的李雅普诺夫第一法----间接法李雅普诺夫第二法----直接法例在讨论稳定性时,设系统渐近稳定并取则定理一：设系统的动态方程为原点为一个平衡状态，即：如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数V（x），满足如下条件（1）是正定的（2）是负定的则系统在原点处的平衡状态是一致渐近稳定的如果当时则系统是一致大范围渐近稳定的。如果除原点外，在系统的轨迹上再没有任何一点，其恒为零，则条件（2）可改为是负半定的定理二：设系统的动态方程为：原点为一个平衡状态，即：如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数V（x），满足如下条件（1）是正定的（2）是负半定的则系统在原点处的平衡状态是一致稳定的如果当时则系统是一致大范围稳定的。例设系统状态方程为坐标原点是系统的一个平衡状态，试确定该系统的稳定性解：取为一正定的标量函数为一负定的标量函数，且系统是一致大范围渐近稳定的。例系统动态方程为坐标原点是系统的一个平衡状态，试确定该系统的稳定性解：取为一正定的标量函数为负半定的，系统是稳定的定理三：设系统的动态方程为原点为一个平衡状态，即：如果在平衡状态的某个邻域内，存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数V（x），满足如下条件：（1）是正定的（2）是正定的则系统在原点处的平衡状态是不稳定的类似地，若除原点外，不恒为零，条件（2）可改为正半定。例设有如下系统试判断系统的稳定性解：x=0为系统的平衡状态，取为一正定的标量函数为正半定的，但除了坐标原点外，在状态轨迹上不恒为零，系统是不稳定的4-4线性连续系统的稳定性分析一：线性定常系统李雅普诺夫函数的求法设线性定常系统若A为n阶非奇异矩阵，则系统有唯一的平衡状态x=0取一个可能的李氏函数P为正定实对称矩阵系统是渐近稳定的定理：线性定常系统渐近稳定的充要条件是：给定一个正定实对称矩阵Q，存在正定实对称矩阵P，使ATP+PA=-Q成立。充分性4-4线性连续系统的稳定性分析一：线性定常系统李雅普诺夫函数的求法定理：线性定常系统渐近稳定的充要条件是：给定一个正定实对称矩阵Q，存在正定实对称矩阵P，使ATP+PA=-Q成立。必要性在系统渐近稳定,Q正定时,求证P正定考虑方阵是矩阵方程的解系统渐近稳定两边积分表明是方程的解显然P是对称的对于非零状态P正定例

试确定系统平衡状态的稳定性解：x=0为系统的平衡状态，取Q=I，由：ATP+PA=-Q设P为正定矩阵系统是一致大范围渐近稳定的推论：如果沿任意一条轨迹不恒为零，上述定理中的Q可取为正半定矩阵例设系统状态方程为：求系统稳定时K的取值范围解令u=0，detA≠0，故原点是系统的平衡状态。取由于只有在原点处才有故Q可取为正半定矩阵。由ATP+PA=-Q，得二：线性时变系统李雅普诺夫函数的求法设线性时变系统系统的平衡状态x=0取一个可能的李氏函数P（t）为正定实对称矩阵，令若Q（t）是正定对称矩阵，则系统是渐近稳定的定理：线性时变系统渐近稳定的充要条件是：给定一个正定实对称矩阵Q（t），存在正定实对称矩阵P（t），使黎卡提矩阵微分方程成立三：线性系统稳定性的几个结论设线性系统系统的平衡状态x=0状态方程的解为四：线性定常系统稳定性的特征值判据定理：线性定常系统渐近稳定的充分必要条件是状态矩阵A的所有特征值都位于左半复数平面。即Reλi<0（i=1、2、…n）λi为A的特征值4-5线性定常离散系统的稳定性取V[x(k)]=xT(k)Px(k)，P为正定实对称矩阵。令定理：线性定常离散系统渐近稳定的充分必要条件是：给定一个正定实对称矩阵Q，存在一个正定实对称矩阵P使GTPG-P=-Q成立，此时V（X）=xTPx。

若△V（x）=-xTQx沿任一解序列不恒为零，那么Q可取为正半定矩阵。设x(k+1)=Gx(k)，x=0为平衡状态。例设试确定系统在平衡点处大范围渐近稳定的条件解：取Q=I，由GTPG-P=-Q得根据P为正定实对称矩阵的要求，得4-6外部稳定性和内部稳定性定义：称一个系统外部稳定（BIBO）是指对任何一个有界输入u(t),即：‖u(t)‖≤K1<∞的任意输入u(t)，对应的输出y(t)均为有界，即定理：对零初始条件的连续时间线性时变系统，t∈[t0,+∞）则t0时刻系统BIBO稳定的充分必要条件为，存在一个有限正常数K3

，使对一切t∈[t0,+∞)脉冲响应矩阵H(t,τ)所有元均满足关系式证明考虑SISO情形充分性1.有界输入、有界输出稳定(BIBO)―外部稳定必要性采用反证法，即系统BIBO稳定，却存在某个t1使可以取有矛盾推论：对零初始条件r维输入和m维输出连续时间线性时不变系统，令t0=0,则系统BIBO稳定的充分必要条件为：存在一个有限正常数K3，使脉冲响应矩阵H(t)所有元均满足关系式定理：对零初始条件的连续时间线性时不变系统，系统BIBO稳定的充分必要条件为：真或严真传递函数矩阵G(s)的所有极点均具有负实部。例线性定常系统分析系统是否BIBO稳定解传递函数脉冲响应系统BIBO稳定的充要条件是等价于传递函数的极点位于左半复平面定义：称连续时间线性时不变系统在t0为内部稳定，是指由时刻t0任意非零初始状态引起的零输入响应Xou(t)对t∈[t0,+∞)有界，并满足渐近属性，即：定理：对n维连续时间线性时不变自治系统内部稳定的充分必要条件为或矩阵A所有特征值均具有负实部，即：Re{λi(A)}<0。2.外部稳定与内部稳定性之间的关系定理：对连续时间线性时不变系统，内部稳定→BIBO稳定，反之不成立。若系统能控且能观测，则内部稳定←→BIBO稳定。例系统方程为分析系统的内部稳定性与外部稳定性解系统位于原点的平衡状态不是渐近稳定的传递函数系统是BIBO稳定的容易判断,系统是能观测、不能控的4-7非线性系统的稳定性分析1：克拉索夫斯基法设非线性控制系统其中x为n维列向量，f（0）=0，即x=0为系统的平衡状态，且设f（x）对x在整个状态空间是可以求导的，系统的雅可比矩阵为克拉索夫斯基指出：如果存在一个对称正定矩阵W,使S（x）=WJ（x）+[WJ（x）]T是负定的，那么平衡状态x=0是一致渐近稳定的，系统的李雅普诺夫函数为：则平衡状态x=0是一致大范围渐近稳定的。如果这是因为例确定平衡状态x=0的稳定性解取W=I为对称负定阵，且这是因为x=0是一致大范围渐近稳定的。若取W=I则S（x）=J（x）+[J（x）]T负定时,系统一致渐近稳定克拉索夫斯基法指出由负定矩阵的性质知,J（x）对角线上的元素必为负值,因此向量函数f（x）的第i个分量fi（x）必须包含xi，否则不能用克拉索夫斯基法判别系统的渐近稳定性将克拉索夫斯基法应用到线性定常系统中，若Ａ＋ＡＴ为负定矩阵，则系统的原点是一致大范围渐近稳定的2变量梯度法设连续时间非线性时不变系统Xe=0为系统孤立平衡状态，为V(x)的梯度(1)设V(x)的梯度为(2)设▽

V(x)为有势场，则旋度rot▽V(x)=0，充要条件为(3)(4)由(2),(3)定出▽V(x)(5)(6)判断V(x)计算结果的正定性则例设非线性系统分析原点的稳定性解根据负定性要求正定x=0是一致大范围渐近稳定的。根据负定性要求3：阿塞尔曼法其中f（xi）为非线性单值函数，f（0）=0，故x=0为系统的平衡状态。阿塞尔曼指出：若以线性函数取代非线性函数，即令f（xi）=kxi，可对线性化后的系统建立李雅普诺夫函数V（x），若dV（x）/dt在k1≤k≤k2区间内是负定的，则当非线性函数不超过上述区间时，非线性系统的平衡状态x=0是大范围渐近稳定的。设系统的动态方程为：例设f(x1)如图所示，判断x=0的稳定性解：令f(x1)=2x1

线性化后的系统方程为令得P为正定对称阵认为非线性系统的李雅普诺夫函数就是V（x），则P为正定对称阵根据负定的要求，稳定时要求只要非线性特性在此范围内，系统是大范围渐近稳定的李雅普诺夫第二法的几点说明第二法给出的是稳定性的充分条件，因此，一个系统满足稳定条件时，它一定稳定；如果不满足稳定条件，则不能作出不稳定的结论V（x）不是唯一的，因此满足稳定性条件的各种方案有相应的稳定范围，它们不一定相同。第二法的应用中，没有一种方案是通用的以上讨论，均假设x=0为平衡点，如果平衡点不在原点，通过适当的坐标变换，将它移到原点李雅普诺夫函数除了提供稳定性判据外，还可用于线性和非线性系统的瞬态性能分析和参数选择3：实际系统按线性化模型判定稳定性—李雅普诺夫第一法实际系统如果非线性不严重，或者偏差不大，在分析稳定性时，可按线性化模型应用线性系统的稳定条件进行分析，那么分析结果是否符合实际系统的真实情况呢？李雅普诺夫小偏差理论：若线性化系统特征方程式的所有根均为负实数或具有负的实部，则实际系统是渐近稳定的，线性化过程中被忽略的高于一次的微量项对稳定性结论没有影响若线性化系统特征方程式的所有根中，即使有一根为正实数或具有正的实部，则实际系统是不稳定的，线性化过程中被忽略的高于一次的微量项不会使系统变成稳定若线性化系统特征方程式的所有根中，有至少一个为零或实部为零，而其余均为负实数或具有负的实部，则实际系统的稳定性不能按线性化模型来判断，实际系统的稳定性与线性化过程中被忽略的高于一次的微量项有关第五章线性定常系统的综合5-1引言性能指标极值型非极值型综合的目的极点配置镇定问题渐近跟踪与干扰抑制解耦控制系统综合是指:在给定被控对象和外部输入信号的情况下,通过设计控制器的结构和参数,使系统满足预先规定的性能指标