2024届江西省宁都中学高三二诊模拟考试数学试卷含解析

2024届江西省宁都中学高三二诊模拟考试数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：木题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）

B.4

3

C.旦

D.5

3

2.甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A、B、。三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区

至少一人,其中甲必须去A社区，乙不去8社区，则不同的安排方法种数为（）

A.8B.7C.6D.5

X+]

3.函数=（0<«<1）的图象的大致形状是（）

4.若集合A={xwN|x=面},a=2亚,则下列结论正确的是（）

A.{a}cAB.a^AC.{a\eAD.aeA

5.已知随机变量X服从正态分布N（l,4）,P（X>2）=0.3,P（X<0）=（）

A.0.2B,0.3C.0.7D.0.8

6.在精准扶贫工作中，有6名男干部、5名女干部，从中选出2名男干部、1名女干部组成一个扶贫小组分到某村工

作，则不同的选法共有（）

A.60种B.70种C.75种D.150种

7.已知f（x）=Acos（5+0）（A>Qo>O，Mkg,x£A的部分图象如图所示，则/（%）的表达式是（）

\乙）

B.2cosL+-

l4J

3

D.2cos

—2x---4-J

8.已知函数/（x）=1o?+x2（a>。）.若存在实数/£（—1,0）,且小工―；，使得“X。）=/（—；）,则实数。的取

值范围为（）

221c1Q

A.（一,5）B.（一,3）D（3,5）C.（—,6）D.（一,4）D（4,6）

3377

9.已知i为虚数单位，若复数4=2+i,z-z,=5,则|z|二

A.1B.x/5

C.5D.575

10.已知随机变量M的分布列如下表:

X-101

pabc

其中。，瓦c＞0.若X的方差0(X)41对所有4«(),1-〃)都成立，则()

1212

A.b£—B.b—C.bN—D.b2一

3333

11.一个超级斐波那契数列是一列具有以下性质的正整数:从第三项起，每一项都等于前面所有项之和(例如3,4,

8,16…).则首项为2,某一项为2020的超级斐波那契数列的个数为()

A.3B.4C.5D.6

12.在AA3C中，。为AC的中点，E为A8上靠近点4的三等分点，且BD,CE相交于点尸，则AP=()

2-11.1

A.—ABH—ACB.—AB4—AC

3224

C.—ABT—ACD.—AB—AC

2333

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在平面直角坐标系工。》中，圆C:(x—机)2+)，2=，(帆＞o).已知过原点。且相互垂直的两条直线4和/?,其中4

与圆C相交于A,8两点，，2与圆。相切于点。•若A3=OD,则直线4的斜率为.

14.记S”为数列｛(｝的前〃项和，若〃〃二才一1,贝IJS,=.

15.已知四棱锥尸-A3a＞的底面是边长为2的正方形，且4力3=9()。.若四棱锥尸的五个顶点在以4

为半径的同一球面上，当以最长时，则/PQ4=:四棱锥A4BCO的体积为.

16.己知函数/*)=/(x+l)2,令/(x)=7'(x),九］*)=/：(x)(〃wN‘)，若＜(x)=，(a/2+ax+q3M

表示不超过实数〃7的最大整数，记数列＜的前〃项和为S〃'则［3S2OOO］=

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)在二棱柱八〃C—44G中，AB=2»BC=BB「4,AC-AB、-25且N6CG=60。.

(1)求证：平面ABG_L平面BCC/；

(2)设二面角C-4G-3的大小为e,求sine的值.

18.(12分)已知函数/(力=泥'+/+以+仇曲线)，=”“在点(OJ(O))处的切线方程为4/-2y-3=0

(1)求。，力的值；

(2)证明：/(x)>lnx.

19.(12分)如图，在四棱锥尸—A3CD中，侧棱PA_L底面A3CQ,ADUBC,ABC=90,AD=\,

PA=AB=BC=2,M是棱依中点.

(1)己知点E在棱BC上,且平面AME//平面PC。，试确定点E的位置并说明理由；

(2)设点N是线段C。上的动点，当点N在何处时，直线MN与平面A48所成角最大？并求最大角的正弦值.

20.(12分)已知,且ab》cd.

(1)请给出出的一组值，使得。+2(c+d)成立；

(2)证明不等式+d恒成立.

21.(12分)设函数/(x)=l+ln('+l)(x>0).

X

(1)若f(x)>—J恒成立，求整数k的最大值；

X+1

(2)求证：(1+1X2)-(1+2X3)[l+/7x(/7+l)]>e2n-3.

22.(10分)设函数/(x)=(l+"2)/+乙一1(其中XE(O,+8)),且函数/(幻在x=2处的切线与直线

(e2+2)x—)，=O平行.

(1)求上的值;

(2)若函数g(x)=-xlnx,求证：/(x)>g(x)恒成立.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

还原几何体的直观图，可将此三棱锥放入长方体中，利用体积分割求解即可.

【详解】

如图，三棱锥的直观图为4-CRE,体积

匕-CQE=%方侬%~^BBiE-AAlF~^E-ABC~^E-CCxr\一%-/肛尸一%-ADC

=2x4x2—x2x2x2—x—x4x2x2—x—x2x2x2=4.

23232

故选:B.

【点睛】

本题主要考查了锥体的体积的求解，利用的体积分割的方法，考查了空间想象力及计算能力,属于中档题.

2、B

【解析】

根据题意满足条件的安排为：A（甲，乙）B（丙）C（T）;A（甲，乙）B（T）C（丙）；A（甲，丙）B（T）C（乙）；

A（甲，丁）B（丙）C（乙）；A（甲）B（丙，丁）C（乙）；A（甲）B（T）C（乙，丙）；A（甲）B（丙）C（丁,

乙）；共7种，选B.

3、C

【解析】

对X分类讨论，去掉绝对值，即可作出图象.

【详解】

Tog’D，v<-l,

X+1

log”犬，x>0.

故选C.

【点睛】

识图常用的方法

（1）定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征分析解决问题;

⑵定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；

⑶函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题.

4、D

【解析】

由题意）={X£N|,E=J2020}=0,分析即得解

【详解】

由题意4={XEN|X=12020}=0,故。gA,A^{a}

故选：D

【点睛】

本题考杳了元素和集合，集合和集合之间的关系，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题.

5、B

【解析】

利用正态分布密度曲线的对称性可得出P（X<0）=P（X>2）,进而可得出结果.

【详解】

・・・x7V（1,4）,所以，P（X<0）=P（X>2）=03.

故选：B.

【点睛】

本题考查利用正态分布密度曲线的对称性求概率，属于基础题.

6、C

【解析】

根据题意，分别计算“从6名男干部中选出2名男干部”和“从5名女干部中选出1名女干部”的取法数，由分步计数原

理计算可得答案.

【详解】

解：根据题意，从6名男干部中选出2名男干部，有C；=15种取法，

从5名女干部中选出1名女干部，有C；=5种取法，

则有15x5=75种不同的选法；

故选：C.

【点睛】

本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理问题，属于基础题.

7、D

【解析】

/\

由图象求出A以及函数），=/（x）的最小正周期丁的值，利用周期公式可求得切的值，然后将点2的坐标代入函

数）'=/"）的解析式，结合。的取值范围求出夕的值，由此可得出函数），=/（x）的解析式.

【详解】

由图象可得4=2,函数的最小正周期为7=2x］：?-?=?，.•.口=字='.

将点自2）代入函数，=/（"的解析式得，?）=2COS（；X?+Q）=2,得COS8+?,=1'

7T7T71兀371a71c71

---<69<一,/.<0+—<,贝!=0,：.①=---,

2244444

因此，/（^）=2cos-.

I247

故选：D.

【点睛】

本题考查利用图象求三角函数解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

8、D

【解析】

首先对函数求导，利用导数的符号分析函数的单调性和函数的极值，根据题意，列出参数所满足的不等关系，求得结

果.

【详解】

22

f\x）=ax+2xf令f\x）=0,得$=09%2-—■

a

其单调性及极值情况如下：

(2)2

X一8,——0（0,+8）

ka)a

/'3+0一0+

极小

“X)z极大值、/

值

4-；，0;使得/(见)=/|

若彳?在X。£9

<-2>

”_2<-1

2

_2-312

则，>-1（如图1）或—<—<—(如皆32).

a2a

/H)<:建)

于是可得亍,4ju（4,6）,

故选：D.

【点睛】

该题考查的是有关根据函数值的关系求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性与极值,

画出图象数形结合，属于较难题目.

9、B

【解析】

由ZR=5可得z=9,所以|z|=R="三=2=石，故选B.

4|zj|2+i|J5

10、D

【解析】

根据X的分布列列式求出期望，方差，再利用〃+/升。=1将方差变形为O(X)=-4(〃-宁)+1-仇从而可以利用二

次函数的性质求出其最大值为1-/?</进而得出结论.

【详解】

由X的分布列可得X的期望为E(X)=-a+c,

又4+/?+C=1,

所以X的方差£>(X)=(-1+4-Q+(4-C)2Z?+(1+^-C)2C

=(£7-C|2(«4-Z?+C)-2(67-C)2+4+C

=-(6Z-C)-+〃+C

=-(2a-\+h)2+l-b

(—Y.,

=-4Aa-------+\-b

I2J9

因为所以当且仅当〃时,。(X)取最大值”仇

又o(x)w：对所有。«0,1-与成立，

所以1一人工!,解得力之名，

33

故选:D.

【点睛】

本题综合考查了随机变量的期望、方差的求法，结合了概率、二次函数等相关知识，需要学生具备一定的计算能力,属于中

档题.

11>A

【解析】

根据定义，表示出数列的通项并等于2020.结合〃的正整数性质即可确定解的个数.

【详解】

由题意可知首项为2,设第二项为则第三项为2+Z,第四项为2（2+1）,第五项为22（2+7）…第n项为

2"-3（2+f）,〃、feN*,且〃之3,

贝lj2〃-3（2+f）=2020,

因为2020=22x5x101，

当〃—3的值可以为0』,2；

即有3个这种超级斐波那契数列，

故选：A.

【点睛】

本题考杳了数列新定义的应用，注意自变量的取值范围，对题意理解要准确，属于中档题.

12、B

【解析】

3x

设AP=.xA8+），AC,则AP=xA8+2），AO,AP=—AE+yACt

3x

由8,Pt。三点共线，C,尸，E三点共线,可知为+2y=l,万+y=l,解得乂）即可得出结果.

【详解】

________—•3%

设AP=xA8+yAC,则AP=+2）乂。，AP=AE+yAC,

因为5,P,。三点共线，C,P,£三点共线，

3xII

所以x+2），=l,=+y=i,所以X=/,y=-.

故选:B.

【点睛】

本题考查了平面向量基本定理和向量共线定理的简单应用,属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、土述

5

【解析】

设4：kJ.-y=Ofl2：x+抬，=0,利用点到直线的距离，列出式子

,求出女的值即可.

【详解】

解：由原C:(x—w『+y2一/可知圆心C(J小0),半径为尸.

设直线4：米-y=0,则6：x+ky=0f

圆心。(皿,0)到直线4的距离为

OD=d病一产，AB=OD

「•AB=\j府一产•

圆心。(皿,0)到直线〃的距离为半径，即衣寸

解得女=±2叵.

5

故答案为：士撞.

5

【点睛】

本题主要考查点到直线的距离公式的运用，并结合圆的方程，垂径定理的基本知识，属于中档题.

14、-254

【解析】

利用%=s〃—S“T(〃>2)代入即可得到S”-2=2(5^-2)(,7>2),即｛S.一2｝是等比数列，再利用等比数列的通项

公式计算即可.

【详解】

由己知外=；1,得%=；1,即S.S,I=：’1,所以S”—2=2(S,i—2)5'2)

匕乙乙

又4二2一1,即鸟二一2,W—2=Y,所以｛，-2｝是以.4为首项，2为公比的等比数

列，所以所_2=-4X2"T,即Sn=2-2叫所以$7=2-28=-254。

故答案为：-254

【点睛】

本题考查已知S“与巴的关系求S”，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.

15、90°

3

【解析】

易得A8_L平面力。，尸点在与BA垂直的圆面。।内运动，显然，PA是圆。1的直径时，PA最长；将四棱锥P-ABCD

补形为长方体易得心为球的直径即可得到尸"从而求得四棱锥的体积.

【详解】

如图，由NB48=90"及/WJ_AP,得AB_L平面出。，

即P点在与BA垂直的圆面01内运动，

易知，当尸、。］、A三点共线时，以达到最长，

此时，以是圆。1的直径，贝!)NPD4=90;

又ABSD,所以PD_L平面A8c。，

此时可将四棱锥P-ABCD补形为长方体4B«P_ABCD,

其体对角线为"=2足=8,底面边长为2的正方形，

易求出，高PD=2屈,

故四棱锥体积丫=3、4、2E=半.

故答案为：(1)90°；(2)二一,

3

【点睛】

本题四棱锥外接球有关的问题，考查学生空间想象与逻辑推理能力，是一道有难度的压轴填空题.

16、4

【解析】

根据导数的运算，结合数列的通项公式的求法，求得4〃=1,a=2〃+l,g="+〃+l,进而得到==,

再利用放缩法和取整函数的定义，即可求解.

【详解】

由题意，函数/(x)=/(x+l)2,且工(%)=/'(%),fn+iM=f'(x)(neN*),

可得/。)=f\x)=e'，+4x+3),f2(x)=f\x)=e'(F+6x+7)

x2x2

f3(x)=f；(x)=e(x+8x+13),f4(x)=f；｛x)=e(x+10x+21),

又由/；(.T)="(a〃x2+〃d+c“)，可得｛4｝为常数列，且4=1,

数列也J表示首项为%公差为2的等差数列，所以2=2〃+2,

其中数列卜〃｝满足瞑一6二4,「3-。2=6,q-R=&=2〃，

.、,、...(n—1)(4+2/!)7.

所以=q+G-q)+G_Q)++6—c\_1)=4H------------=〃“+〃+1,

、2__________2xj_________J_

以2g-b“2(/?2+7?+1)-(2/?+2)n2

11I1111*2),

又由~>-------=--------，-7<-------=----

n~/?(/?+1)nn+\n~n[n-1)n-\

可得数列｛丁二｝的前〃项和为1一:+!-:+

摘+1)223n〃+1〃+1

数列b—『｝的前〃项和为1+!一!+!一!+1_31

(n-l)n2334nn+\2n+\

24-L<s<2-L

所以数列J的前〃项和为S“，满足1n

2%-2,〃+1〃2〃+1

1q14QQ

所以3(1-----)<38网<3(------),即3-一—<35,(刈<------

20012加220012001a022001

又由上〃］表示不超过实数〃?的最大整数，所以［3S2aM=4.

故答案为：4.

【点睛】

本题主要考查了函数的导数的计算，以及等差数列的通项公式，累加法求解数列的通项公式，以及裂项法求数列的和

的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)证明见解析；(2)巫.

4

【解析】

(1)要证明平面A8G，平面8。。产，只需证明ABJL平面8。。出即可；

(2)取CG的中点连接〃氏以方为原点，以BD，BB184的方向分别为X，y，z轴的正方向，建立空间直

角坐标系，分别计算平面ACC.A的法向量为〃与平面ABC1的法向量为B】C,利用夹角公式cosG^Q=百能计

算即可.

【详解】

(1)在eA5c中，AB2+BC2=20=AC2»

所以N43C=90,即A3_L3c.

因为BC=BB[,AC=AB},AB=ABf

所以ABCWABB].

所以NABq=NA3C=90,即

又所以平面BCG4.

又Abi平面A6C1,所以平面A6a_L平面ACG修.

y

（2）由题意知，四边形BCG片为菱形，且NBCG=60,

则BCQ为正三角形,

取CG的中点。，连接80,则BO_LCG，

以笈为原点，以BD，BB-BA的方向分别为X，Wz轴的正方向，

建立空间直角坐标系3-与立，则

5（0,0,0）,B,（0,4,0）,4（002）,C（2在-2,0）,C,（2>/3,2,0）.

设平面ACC^的法向量为〃=（戈,乂z）,

且AC=（2G,—2,—2）,CC,=（0,4,0）.

由产得磨—=0,取〃加的.

CC,/2=0,[4y=0,\，

由四边形3CG4为菱形，得BG工B。；

又AB_L平面BCC",所以A8J.8C；

又ABcBC】=B,所以BC，平面ABC一

所以平面ABC,的法向量为8c=（26,-6,0）.

/-'D7^\小3c261

所以cos（4B]C）=-~，=—/=-=-.

历|»||B,C|473X24,

故sin。=

4

【点睛】

本题考杳面面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角正弦值的问题，在利用向量法时，关键是点的坐标要写准确,

本题是一道中档题.

18、(1)a=1,b=—；(2)见解析

2

【解析】

分析：第一问结合导数的几何意义以及切点在切线上也在函数图像上，从而建立关于。力的等量关系式，从而求得结

果；第二问可以有两种方法，一是将不等式转化，构造新函数，利用导数研究函数的最值，从而求得结果，二是利用

中间量来完成，这样利用不等式的传递性来完成，再者这种方法可以简化运算.

/(。)=1+咤2

详解：(1)解：/'(x)=(x+l)/+2尢+4,由题意有,、3，解得4=1/=一大

/(0)=/?=--2

3

(2)证明：(方法一)由(1)知，/(工)=工。'+工2+工一5.设/2(%)=注'+冗2+/-1nx

3

则只需证明

/?/(x)=(x+l)ev+2x+l--=(x+l)[e'+2--,设g(x)=e'+2-，

X\A/X

则g，(力="+二>0,：.g(x)在(o,-w)上单调递增

(I\1/|\1

43

•/g—=e+2-4<0fv-=e+2-3>0

zii\i

・••士()£—,使得*(.0)*«*"♦—*0

、43)x9

且当xw(O,x0)时，g(x)<0,当xw(%+oo)时,g(x)>0

.,.当xw(O,/)时，/f(x)<0,〃(x)单调递减

当XE(M，+8)时，//(x)>0,/?(工)单调递增

.•.〃(x)dn=〃(/)=依"+片+/_山0，由e'°+2---=0,得d=-5--2,

/7(xo)=x0-----2+x：+/-lnx)=^-x04-1-1ILV0,

\xo7

设0(x)=7+1-lar,xe—(x)=2x-l——=--------八----乙

143Jxx

.,.当时，"(无)<0,。(可在(gg)单调递减，

・・.〃(与)=以％)>©之=--+\-\n-=-+ln3>-,因此〃(x)>8

\3JJDz，

(方法二)先证当xNO时，f(x)=xex-vx2+x-->2x--即证W+V-KNO

22t

设g(.v)=工e'—x,xNO贝!jg'(R)=(x+l)e'+21-1,且g'(O)=O

gM)=(x+2)e'+2>0,.•.9")在［0,”)单调递增，g'(x)Ng'(O)=O

「.g'(x)在［0,收)单调递增，则当x20时，^(x)=^v+x2-x>g(0)=0

33

(也可直接分析工/+%2+X一二22工一二<=>xex+x2-x>0<=>/+x—120显然成立)

22

3

再证2x—>lav

2

设〃(%)=2%一'|一1111,则/(力=2-L=2--,令〃(x)=0,得x=g

且当％{0,；)时，/7(%)<0,人(可单调递减;

当时，h\x)>Ot〃(x)单调递增.

,、3(I3

/./?(x)=2x---\nx>h—j=--+ln2>0,即2x-/>liu:

33

又/(x)=xex+x2+x-->2x-^,：.f(x)>\nx

点睛：该题考查的是有关利用导数研窕函数的综合问题，在求解的过程中，涉及到的知识点有导数的几何意义，有关

切线的问题，还有就是应用导数证明不等式，可以构造新函数，转化为最值问题来解决，也可以借用不等式的传递性,

借助中间量来完成.

19、(1)E为8c中点，理由见解析；(2)当点N在线段QC靠近C的三等分点时，直线/WN与平面243所成角最

大’最大角的正弦值乎

【解析】

(1)E为BC中点，可利用中位线与平行四边形性质证明ME7/PC,AE//DC,从而证明平面AME//平面PC。；

(2)以A为原点，分别以4。，AB,AP所在直线为X、)'、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出当点N在

线段。C靠近。的三等分点时，直线/WN与平面八旬所成角最大，并可求出最大角的正弦值.

【详解】

(1)E为5C中点,证明如卜：

M、E分别为中点,

..ME//PC

又MEz平面尸0cpeu平面PDC

.•.M£7/平面PDC

又,•EC11AD,且EC=A。..・四边形EAOC为平行四边形，

AE//DC

同理，AE7/平面POC,又、.AEcME=E

平面AMEII平面PDC

(2)以4为原点，分别以A。，AB,AP所在直线为工、》、z轴建立空间直角坐标系

则A(0,0.0),3(020),C(2,2,0),D(l,0,0),P(0,0,2),M(0,l,l)

设直线MN与平面PA3所成角为。，DN=4OC(0S/lWl)则

MN=MA+AO+=(4+1,2%-1,-1)

取平面P43的法向量为〃=(1,0,0)则

/l+lG+l)2

sin<9=cos<MN,n>

+1尸+(24-I"]5储―24+3

(♦+1)2_-_]<5

令"+1=/41,4则5万一24+3=5'—2'+3'O(1)2721十5一】

所以sin。W'石

7

59

当「二2=4=一时，等号成立

33

即当点N在线段0c靠近。的三等分点时，直线MN与平面以A所成角最大，最大角的正弦值空.

7

【点睛】

本题主要考查了平面与平面的平行，直线与平面所成角的求解，考查了学生的直观想象与运算求解能力.

20、(1)«=2,Z?=l,c=U=-l(答案不唯一)(2)证明见解析

【解析】

(1)找到一组符合条件的值即可；

cd

(2)由a'c'd可得(a—c)(a—")20,整理可得/+〃，两边同除。可得a+—2c+”,再由

a

abRcd可得〃，且，两边同时加。可得〃+人2a+色，即可得证.

aa

【详解】

解析：(1)a=2,b=\,c=\,d=-1(答案不唯一)

(2)证明:由题意可知,awO,因为a'c'd,所以(cLc)(a—/)20.

所以a?~{c+d)a+cd20,即/+cd2(c+d)a.

因为，所以。+支2c+d,

a

因为ab2cd,所以b2画,

a

cd

所以a+62a+—2c+d.

a

【点睛】

考查不等式的证明,考查不等式的性质的应用.

21、(1)整数女的最大值为3；(2)见解析.

【解析】

/、//\k，(x+l)+(x+l)ln(x+l)=3,/、(x+l)+(x+l)ln(x+l)

(1)将不等式〃x)〉qy变形为4——二——』——L,构造函数/?(力=^——口——」——I,利用

导数研究函数)，=〃(刈的单调性并确定其最值，从而得到正整数k的最大值;

（2）根