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文档简介
2025届新疆维吾尔自治区喀什二中高三考前热身数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知数列满足,则()A. B. C. D.2.若x,y满足约束条件则z=的取值范围为()A.[] B.[,3] C.[,2] D.[,2]3.如图,矩形ABCD中,,,E是AD的中点,将沿BE折起至,记二面角的平面角为,直线与平面BCDE所成的角为,与BC所成的角为,有如下两个命题:①对满足题意的任意的的位置,;②对满足题意的任意的的位置,,则()A.命题①和命题②都成立 B.命题①和命题②都不成立C.命题①成立,命题②不成立 D.命题①不成立,命题②成立4.函数的图象大致是()A. B.C. D.5.著名的斐波那契数列:1,1,2,3,5,8,…,满足,,,若,则()A.2020 B.4038 C.4039 D.40406.已知等边△ABC内接于圆:x2+y2=1,且P是圆τ上一点,则的最大值是()A. B.1 C. D.27.给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作,每项工作至少一人,每人做且仅做一项工作,甲不能安排木工工作,则不同的安排方法共有()A.12种 B.18种 C.24种 D.64种8.若P是的充分不必要条件,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.执行如图所示的程序框图,则输出的结果为()A. B. C. D.10.已知复数满足(其中为的共轭复数),则的值为()A.1 B.2 C. D.11.已知三棱锥P﹣ABC的顶点都在球O的球面上,PA,PB,AB=4,CA=CB,面PAB⊥面ABC,则球O的表面积为()A. B. C. D.12.已知函数是定义域为的偶函数,且满足,当时,,则函数在区间上零点的个数为()A.9 B.10 C.18 D.20二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在的展开式中,各项系数之和为,则展开式中的常数项为__________________.14.展开式中的系数为_______________.15.已知,为正实数,且,则的最小值为________________.16.的展开式中项的系数为_______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)若在处取得极值,求的值;(2)求在区间上的最小值;(3)在(1)的条件下,若,求证:当时,恒有成立.18.(12分)设都是正数,且,.求证:.19.(12分)已知函数,.(Ⅰ)判断函数在区间上零点的个数,并证明;(Ⅱ)函数在区间上的极值点从小到大分别为,,证明:20.(12分)已知函数().(1)讨论的单调性;(2)若对,恒成立,求的取值范围.21.(12分)某商场以分期付款方式销售某种商品,根据以往资料统计,顾客购买该商品选择分期付款的期数的分布列为:2340.4其中,(Ⅰ)求购买该商品的3位顾客中,恰有2位选择分2期付款的概率;(Ⅱ)商场销售一件该商品,若顾客选择分2期付款,则商场获得利润l00元,若顾客选择分3期付款,则商场获得利润150元,若顾客选择分4期付款,则商场获得利润200元.商场销售两件该商品所获的利润记为(单位:元)(ⅰ)求的分布列;(ⅱ)若,求的数学期望的最大值.22.(10分)古人云:“腹有诗书气自华.”为响应全民阅读,建设书香中国,校园读书活动的热潮正在兴起.某校为统计学生一周课外读书的时间,从全校学生中随机抽取名学生进行问卷调査,统计了他们一周课外读书时间(单位:)的数据如下:一周课外读书时间/合计频数46101214244634频率0.020.030.050.060.070.120.250.171(1)根据表格中提供的数据,求,,的值并估算一周课外读书时间的中位数.(2)如果读书时间按,,分组,用分层抽样的方法从名学生中抽取20人.①求每层应抽取的人数;②若从,中抽出的学生中再随机选取2人,求这2人不在同一层的概率.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
利用的前项和求出数列的通项公式,可计算出,然后利用裂项法可求出的值.【详解】.当时,;当时,由,可得,两式相减,可得,故,因为也适合上式,所以.依题意,,故.故选:C.【点睛】本题考查利用求,同时也考查了裂项求和法,考查计算能力,属于中等题.2、D【解析】
由题意作出可行域,转化目标函数为连接点和可行域内的点的直线斜率的倒数,数形结合即可得解.【详解】由题意作出可行域,如图,目标函数可表示连接点和可行域内的点的直线斜率的倒数,由图可知,直线的斜率最小,直线的斜率最大,由可得,由可得,所以,,所以.故选:D.【点睛】本题考查了非线性规划的应用,属于基础题.3、A【解析】
作出二面角的补角、线面角、线线角的补角,由此判断出两个命题的正确性.【详解】①如图所示,过作平面,垂足为,连接,作,连接.由图可知,,所以,所以①正确.②由于,所以与所成角,所以,所以②正确.综上所述,①②都正确.故选:A【点睛】本题考查了折叠问题、空间角、数形结合方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.4、C【解析】
根据函数奇偶性可排除AB选项;结合特殊值,即可排除D选项.【详解】∵,,∴函数为奇函数,∴排除选项A,B;又∵当时,,故选:C.【点睛】本题考查了依据函数解析式选择函数图象,注意奇偶性及特殊值的用法,属于基础题.5、D【解析】
计算,代入等式,根据化简得到答案.【详解】,,,故,,故.故选:.【点睛】本题考查了斐波那契数列,意在考查学生的计算能力和应用能力.6、D【解析】
如图所示建立直角坐标系,设,则,计算得到答案.【详解】如图所示建立直角坐标系,则,,,设,则.当,即时等号成立.故选:.【点睛】本题考查了向量的计算,建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.7、C【解析】
根据题意,分2步进行分析:①,将4人分成3组,②,甲不能安排木工工作,甲所在的一组只能安排给泥工或油漆,将剩下的2组全排列,安排其他的2项工作,由分步计数原理计算可得答案.【详解】解:根据题意,分2步进行分析:①,将4人分成3组,有种分法;②,甲不能安排木工工作,甲所在的一组只能安排给泥工或油漆,有2种情况,将剩下的2组全排列,安排其他的2项工作,有种情况,此时有种情况,则有种不同的安排方法;故选:C.【点睛】本题考查排列、组合的应用,涉及分步计数原理的应用,属于基础题.8、B【解析】
试题分析:通过逆否命题的同真同假,结合充要条件的判断方法判定即可.由p是的充分不必要条件知“若p则”为真,“若则p”为假,根据互为逆否命题的等价性知,“若q则”为真,“若则q”为假,故选B.考点:逻辑命题9、D【解析】循环依次为直至结束循环,输出,选D.点睛:算法与流程图的考查,侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念,包括选择结构、循环结构、伪代码,其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件,更要通过循环规律,明确流程图研究的数学问题,是求和还是求项.10、D【解析】
按照复数的运算法则先求出,再写出,进而求出.【详解】,,.故选:D【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模,考查基本运算能力,属于基础题.11、D【解析】
由题意画出图形,找出△PAB外接圆的圆心及三棱锥P﹣BCD的外接球心O,通过求解三角形求出三棱锥P﹣BCD的外接球的半径,则答案可求.【详解】如图;设AB的中点为D;∵PA,PB,AB=4,∴△PAB为直角三角形,且斜边为AB,故其外接圆半径为:rAB=AD=2;设外接球球心为O;∵CA=CB,面PAB⊥面ABC,∴CD⊥AB可得CD⊥面PAB;且DC.∴O在CD上;故有:AO2=OD2+AD2⇒R2=(R)2+r2⇒R;∴球O的表面积为:4πR2=4π.故选:D.【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法,考查数形结合的解题思想方法,考查思维能力与计算能力,属于中档题.12、B【解析】
由已知可得函数f(x)的周期与对称轴,函数F(x)=f(x)在区间上零点的个数等价于函数f(x)与g(x)图象在上交点的个数,作出函数f(x)与g(x)的图象如图,数形结合即可得到答案.【详解】函数F(x)=f(x)在区间上零点的个数等价于函数f(x)与g(x)图象在上交点的个数,由f(x)=f(2﹣x),得函数f(x)图象关于x=1对称,∵f(x)为偶函数,取x=x+2,可得f(x+2)=f(﹣x)=f(x),得函数周期为2.又∵当x∈[0,1]时,f(x)=x,且f(x)为偶函数,∴当x∈[﹣1,0]时,f(x)=﹣x,g(x),作出函数f(x)与g(x)的图象如图:由图可知,两函数图象共10个交点,即函数F(x)=f(x)在区间上零点的个数为10.故选:B.【点睛】本题考查函数的零点与方程根的关系,考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
利用展开式各项系数之和求得的值,由此写出展开式的通项,令指数为零求得参数的值,代入通项计算即可得解.【详解】的展开式各项系数和为,得,所以,的展开式通项为,令,得,因此,展开式中的常数项为.故答案为:.【点睛】本题考查二项展开式中常数项的计算,涉及二项展开式中各项系数和的计算,考查计算能力,属于基础题.14、【解析】
把按照二项式定理展开,可得的展开式中的系数.【详解】解:,故它的展开式中的系数为,故答案为:.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题.15、【解析】
由,为正实数,且,可知,于是,可得,再利用基本不等式即可得出结果.【详解】解:,为正实数,且,可知,,.当且仅当时取等号.的最小值为.故答案为:.【点睛】本题考查了基本不等式的性质应用,恰当变形是解题的关键,属于中档题.16、40【解析】
根据二项定理展开式,求得r的值,进而求得系数.【详解】根据二项定理展开式的通项式得所以,解得所以系数【点睛】本题考查了二项式定理的简单应用,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)2;(2);(3)证明见解析【解析】
(1)先求出函数的定义域和导数,由已知函数在处取得极值,得到,即可求解的值;(2)由(1)得,定义域为,分,和三种情况讨论,分别求得函数的最小值,即可得到结论;(3)由,得到,把,只需证,构造新函数,利用导数求得函数的单调性与最值,即可求解.【详解】(1)由,定义域为,则,因为函数在处取得极值,所以,即,解得,经检验,满足题意,所以.(2)由(1)得,定义域为,当时,有,在区间上单调递增,最小值为,当时,由得,且,当时,,单调递减;当时,,单调递增;所以在区间上单调递增,最小值为,当时,则,当时,,单调递减;当时,,单调递增;所以在处取得最小值,综上可得:当时,在区间上的最小值为1,当时,在区间上的最小值为.(3)由得,当时,,则,欲证,只需证,即证,即,设,则,当时,,在区间上单调递增,当时,,即,故,即当时,恒有成立.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用,以及不等式的证明,着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力,对于此类问题,通常要构造新函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题.18、证明见解析【解析】
利用比较法进行证明:把代数式展开、作差、化简可得,,可证得成立,同理可证明,由此不等式得证.【详解】证明:因为,,所以,∴成立,又都是正数,∴,①同理,∴.【点睛】本题考查利用比较法证明不等式;考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力;把差变形为因式乘积的形式是证明本题的关键;属于中档题。19、(Ⅰ)函数在区间上有两个零点.见解析(Ⅱ)见解析【解析】
(Ⅰ)根据题意,,利用导函数研究函数的单调性,分类讨论在区间的单调区间和极值,进而研究零点个数问题;(Ⅱ)求导,,由于在区间上的极值点从小到大分别为,,求出,利用导数结合单调性和极值点,即可证明出.【详解】解:(Ⅰ),,当时,,,在区间上单调递减,,在区间上无零点;当时,,在区间上单调递增,,在区间上唯一零点;当时,,,在区间上单调递减,,;在区间上唯一零点;综上可知,函数在区间上有两个零点.(Ⅱ),,由(Ⅰ)知在无极值点;在有极小值点,即为;在有极大值点,即为,由,即,,2…,,,,,,以及的单调性,,,,,由函数在单调递增,得,,由在单调递减,得,即,故.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值,通过导数解决函数零点个数问题和证明不等式,考查转化思想和计算能力.20、(1)①当时,在上单调递减,在上单调递增;②当时,在上单调递增;(2).【解析】
(1)求出函数的定义域和导函数,,对讨论,得导函数的正负,得原函数的单调性;(2)法一:由得,分别运用导函数得出函数(),的单调性,和其函数的最值,可得,可得的范围;法二:由得,化为令(),研究函数的单调性,可得的取值范围.【详解】(1)的定义域为,,①当时,由得,得,在上单调递减,在上单调递增;②当时,恒成立,在上单调递增;(2)法一:由得,令(),则,在上单调递减,,,即,令,则,在上单调递增,,在上单调递减,所以,即,(*)当时,,(*)式恒成立,即恒成立,满足题意法二:由得,,令(),则,在上单调递减,,,即,当时,由(Ⅰ)知在上单调递增,恒成立,满足题意当时,令,则,所以在上单调递减,又,当时,,,使得,当时,,即,又,,,不满足题意,综上所述,的取值范围是【点睛】本题考查对于含参数的函数的单调性的讨论,不等式恒成立时,求解参数的范围,属于难度题.21、(Ⅰ)0.288(Ⅱ)(ⅰ)见解析(ⅱ)数学期望的最大值为280【解析】
(Ⅰ)根据题意,设购买该商品的3位顾客中,选择分2期付款的人数为,由独立重复事件的特点得出,利用二项分布的概率公式,即可求出结果;(Ⅱ)(ⅰ)依题意,的取值为200,250,300,350,400,根据离散型分布求出概率和的分布列;(ⅱ)由题意知,,解得,根据的分布列,得出的数学期望,结合,即可算出的最大值.【详解】解:(Ⅰ)设购买该商品的3位顾客中,选择分2期付款的人数为,则,则,故购买该商品的3位顾客中,恰有2位选择分2期付款的概率为0.288.(Ⅱ)(ⅰ)
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