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文档简介

云南省文山市2025届高三3月份模拟考试数学试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知,,分别为内角,,的对边,,,的面积为,则()A. B.4 C.5 D.2.一个频率分布表(样本容量为)不小心被损坏了一部分,只记得样本中数据在上的频率为,则估计样本在、内的数据个数共有()A. B. C. D.3.如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.(注:同比是指本期与同期作对比;环比是指本期与上期作对比.如:2019年2月与2018年2月相比较称同比,2019年2月与2019年1月相比较称环比)根据该折线图,下列结论错误的是()A.2019年12月份,全国居民消费价格环比持平B.2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨C.2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨D.2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格4.如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积是()A. B. C. D.85.下列函数中,在区间上单调递减的是()A. B. C. D.6.为比较甲、乙两名高中学生的数学素养,对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验(指标值满分为100分,分值高者为优),根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图,则下面叙述不正确的是()A.甲的数据分析素养优于乙 B.乙的数据分析素养优于数学建模素养C.甲的六大素养整体水平优于乙 D.甲的六大素养中数学运算最强7.各项都是正数的等比数列的公比,且成等差数列,则的值为()A. B.C. D.或8.2020年是脱贫攻坚决战决胜之年,某市为早日实现目标,现将甲、乙、丙、丁4名干部派遺到、、三个贫困县扶贫,要求每个贫困县至少分到一人,则甲被派遣到县的分法有()A.6种 B.12种 C.24种 D.36种9.若,则下列关系式正确的个数是()①②③④A.1 B.2 C.3 D.410.设全集U=R,集合,则()A. B. C. D.11.已知是定义是上的奇函数,满足,当时,,则函数在区间上的零点个数是()A.3 B.5 C.7 D.912.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一,它历史悠久,风格独特,神兽人们喜爱.下图即是一副窗花,是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分,然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为1的一些小正方形.若在这个窗花内部随机取一个点,则该点不落在任何一个小正方形内的概率是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知,满足约束条件,则的最小值为__________.14.已知点是椭圆上一点,过点的一条直线与圆相交于两点,若存在点,使得,则椭圆的离心率取值范围为_________.15.在如图所示的三角形数阵中,用表示第行第个数,已知,且当时,每行中的其他各数均等于其“肩膀”上的两个数之和,即,若,则正整数的最小值为______.16.袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在正四棱锥中,,点、分别在线段、上,.(1)若,求证:⊥;(2)若二面角的大小为,求线段的长.18.(12分)已知不等式的解集为.(1)求实数的值;(2)已知存在实数使得恒成立,求实数的最大值.19.(12分)如图,点是以为直径的圆上异于、的一点,直角梯形所在平面与圆所在平面垂直,且,.(1)证明:平面;(2)求点到平面的距离.20.(12分)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.(Ⅰ)求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程;(Ⅱ)已知点设直线与曲线相交于两点,求的值.21.(12分)椭圆:()的离心率为,它的四个顶点构成的四边形面积为.(1)求椭圆的方程;(2)设是直线上任意一点,过点作圆的两条切线,切点分别为,,求证:直线恒过一个定点.22.(10分)已知函数,.(1)判断函数在区间上的零点的个数;(2)记函数在区间上的两个极值点分别为、,求证:.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

由正弦定理可知,从而可求出.通过可求出,结合余弦定理即可求出的值.【详解】解:,即,即.,则.,解得.,故选:D.【点睛】本题考查了正弦定理,考查了余弦定理,考查了三角形的面积公式,考查同角三角函数的基本关系.本题的关键是通过正弦定理结合已知条件,得到角的正弦值余弦值.2、B【解析】

计算出样本在的数据个数,再减去样本在的数据个数即可得出结果.【详解】由题意可知,样本在的数据个数为,样本在的数据个数为,因此,样本在、内的数据个数为.故选:B.【点睛】本题考查利用频数分布表计算频数,要理解频数、样本容量与频率三者之间的关系,考查计算能力,属于基础题.3、D【解析】

先对图表数据的分析处理,再结简单的合情推理一一检验即可【详解】由折线图易知A、C正确;2019年3月份及6月份的全国居民消费价格环比是负的,所以B错误;设2018年12月份,2018年11月份,2017年12月份的全国居民消费价格分别为,由题意可知,,,则有,所以D正确.故选:D【点睛】此题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理,属于中档题.4、A【解析】

由三视图还原出原几何体,得出几何体的结构特征,然后计算体积.【详解】由三视图知原几何体是一个四棱锥,四棱锥底面是边长为2的正方形,高为2,直观图如图所示,.故选:A.【点睛】本题考查三视图,考查棱锥的体积公式,掌握基本几何体的三视图是解题关键.5、C【解析】

由每个函数的单调区间,即可得到本题答案.【详解】因为函数和在递增,而在递减.故选:C【点睛】本题主要考查常见简单函数的单调区间,属基础题.6、D【解析】

根据所给的雷达图逐个选项分析即可.【详解】对于A,甲的数据分析素养为100分,乙的数据分析素养为80分,故甲的数据分析素养优于乙,故A正确;对于B,乙的数据分析素养为80分,数学建模素养为60分,故乙的数据分析素养优于数学建模素养,故B正确;对于C,甲的六大素养整体水平平均得分为,乙的六大素养整体水平均得分为,故C正确;对于D,甲的六大素养中数学运算为80分,不是最强的,故D错误;故选:D【点睛】本题考查了样本数据的特征、平均数的计算,考查了学生的数据处理能力,属于基础题.7、C【解析】分析:解决该题的关键是求得等比数列的公比,利用题中所给的条件,建立项之间的关系,从而得到公比所满足的等量关系式,解方程即可得结果.详解:根据题意有,即,因为数列各项都是正数,所以,而,故选C.点睛:该题应用题的条件可以求得等比数列的公比,而待求量就是,代入即可得结果.8、B【解析】

分成甲单独到县和甲与另一人一同到县两种情况进行分类讨论,由此求得甲被派遣到县的分法数.【详解】如果甲单独到县,则方法数有种.如果甲与另一人一同到县,则方法数有种.故总的方法数有种.故选:B【点睛】本小题主要考查简答排列组合的计算,属于基础题.9、D【解析】

a,b可看成是与和交点的横坐标,画出图象,数形结合处理.【详解】令,,作出图象如图,由,的图象可知,,,②正确;,,有,①正确;,,有,③正确;,,有,④正确.故选:D.【点睛】本题考查利用函数图象比较大小,考查学生数形结合的思想,是一道中档题.10、A【解析】

求出集合M和集合N,,利用集合交集补集的定义进行计算即可.【详解】,,则,故选:A.【点睛】本题考查集合的交集和补集的运算,考查指数不等式和二次不等式的解法,属于基础题.11、D【解析】

根据是定义是上的奇函数,满足,可得函数的周期为3,再由奇函数的性质结合已知可得,利用周期性可得函数在区间上的零点个数.【详解】∵是定义是上的奇函数,满足,,可得,

函数的周期为3,

∵当时,,

令,则,解得或1,

又∵函数是定义域为的奇函数,

∴在区间上,有.

由,取,得,得,

∴.

又∵函数是周期为3的周期函数,

∴方程=0在区间上的解有共9个,

故选D.【点睛】本题考查根的存在性及根的个数判断,考查抽象函数周期性的应用,考查逻辑思维能力与推理论证能力,属于中档题.12、D【解析】

由几何概型可知,概率应为非小正方形面积与窗花面积的比,即可求解.【详解】由题,窗花的面积为,其中小正方形的面积为,所以所求概率,故选:D【点睛】本题考查几何概型的面积公式的应用,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

作出约束条件所表示的可行域,利用直线截距的几何意义,即可得答案.【详解】画出可行域易知在点处取最小值为.故答案为:【点睛】本题考查简单线性规划的最值,考查数形结合思想,考查运算求解能力,属于基础题.14、【解析】

设,设出直线AB的参数方程,利用参数的几何意义可得,由题意得到,据此求得离心率的取值范围.【详解】设,直线AB的参数方程为,(为参数)代入圆,化简得:,,,,存在点,使得,,即,,,,故答案为:【点睛】本题主要考查了椭圆离心率取值范围的求解,考查直线、圆与椭圆的综合运用,考查直线参数方程的运用,属于中档题.15、2022【解析】

根据条件先求出数列的通项,利用累加法进行求解即可.【详解】,,,下面求数列的通项,由题意知,,,,,,数列是递增数列,且,的最小值为.故答案为:.【点睛】本题主要考查归纳推理的应用,结合数列的性质求出数列的通项是解决本题的关键.综合性较强,属于难题.16、【解析】试题分析:根据题意,记白球为A,红球为B,黄球为,则一次取出2只球,基本事件为、、、、、共6种,其中2只球的颜色不同的是、、、、共5种;所以所求的概率是.考点:古典概型概率三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析;(2).【解析】试题分析:由于图形是正四棱锥,因此设AC、BD交点为O,则以OA为x轴正方向,以OB为y轴正方向,OP为z轴正方向建立空间直角坐标系,可用空间向量法解决问题.(1)只要证明=0即可证明垂直;(2)设=λ,得M(λ,0,1-λ),然后求出平面MBD的法向量,而平面ABD的法向量为,利用法向量夹角与二面角相等或互补可求得.试题解析:(1)连结AC、BD交于点O,以OA为x轴正方向,以OB为y轴正方向,OP为z轴正方向建立空间直角坐标系.因为PA=AB=,则A(1,0,0),B(0,1,0),D(0,-1,0),P(0,0,1).由=,得N,由=,得M,所以,=(-1,-1,0).因为=0,所以MN⊥AD(2)解:因为M在PA上,可设=λ,得M(λ,0,1-λ).所以=(λ,-1,1-λ),=(0,-2,0).设平面MBD的法向量=(x,y,z),由,得其中一组解为x=λ-1,y=0,z=λ,所以可取=(λ-1,0,λ).因为平面ABD的法向量为=(0,0,1),所以cos=,即=,解得λ=,从而M,N,所以MN==.考点:用空间向量法证垂直、求二面角.18、(1);(2)4【解析】

(1)分类讨论,求解x的范围,取并集,得到绝对值不等式的解集,即得解;(2)转化原不等式为:,利用均值不等式即得解.【详解】(1)当时不等式可化为当时,不等式可化为;当时,不等式可化为;综上不等式的解集为.(2)由(1)有,,,,即而当且仅当:,即,即时等号成立∴,综上实数最大值为4.【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解与不等式的恒成立问题,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.19、(1)见解析;(2)【解析】

(1)取的中点,证明,则平面平面,则可证平面.(2)利用,是平面的高,容易求.,再求,则点到平面的距离可求.【详解】解:(1)如图:取的中点,连接、.在中,是的中点,是的中点,平面平面,故平面在直角梯形中,,且,∴四边形是平行四边形,,同理平面又,故平面平面,又平面平面.(2)是圆的直径,点是圆上异于、的一点,又∵平面平面,平面平面平面,可得是三棱锥的高线.在直角梯形中,.设到平面的距离为,则,即由已知得,由余弦定理易知:,则解得,即点到平面的距离为故答案为:.【点睛】考查线面平行的判定和利用等体积法求距离的方法,是中档题.20、(Ⅰ)直线的直角坐标方程为;曲线的普通方程为;(Ⅱ).【解析】

(I)利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可;(II)将直线参数方程代入抛物线的普通方程,可得,而根据直线参数方程的几何意义,知,代入即可解决.【详解】由可得直线的直角坐标方程为由曲线的参数方程,消去参数可得曲线的普通方程为.易知点在直线上,直线的参数方程为(为参数).将直线的参数方程代入曲线的普通方程,并整理得.设

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