吉林省白山市2023-2034学年高一上学期期末考试+数学 含解析

绝密★启用前2023-2024学年度（上）白山市高一教学质量监测数学本卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题：“，”的否定是（）A.， B.，C， D.，2.已知集合，，则（）A. B.C. D.3.已知角终边上一点的坐标为，则（）A. B. C. D.4.已知幂函数在上是减函数，则的解集为（）A. B.C. D.5.函数的图像大致为（）A. B.C. D.6.将函数的图象向左平移m个单位（），若所得函数的图象关于直线对称，则m的最小值为（）A B. C. D.7.已知，则下列各式中最小值是2的是（）A. B.C. D.8.“函数在上有且只有一个零点”的一个必要不充分条件可以是（）A. B.C. D.或二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若，，，则下列不等式中正确的是（）A. B. C. D.10.下列函数中，最小正周期是的是（）A. B.C. D.11.下列说法错误的有（）A.的最小值点是B.若，则的解析式为C.在定义域内是增函数D.若满足：定义在，则关于中心对称12.若在上仅有一个最值，且为最大值，则的值可能为（）A. B.1 C. D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若一扇形周长为18，面积为14，则它的半径为______．14.若函数的一段图象如图所示，则______．15.设m，n是方程的两个实根，则______．16.设，，若在上是增函数且在R上至少有3个零点，则a的取值范围是______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.解关于x的不等式：（1）；（2）．18.某地2023年7月30日、31日的温度y（单位：摄氏度）随时间x（单位：小时）的变化近似满足如下函数关系：，其中．从气象台得知：该地在30日的最高气温出现在下午14时，最高气温为32摄氏度，最低气温出现在凌晨2时，最低气温为16摄氏度．（1）求函数解析式，并判断是否为周期函数；（2）该地某商场规定：在环境温度大于或等于28摄氏度时，需要开启空调降温，否则关闭空调，问2023年7月30日、31日这两天需开启空调共多少小时？19.设，，且，．（1）求的值；（2）试比较与的大小．20.设，．（1）判断的奇偶性，并证明；（2）写出的单调区间（直接写出结果）；（3）若当时，函数的图象恒在函数的上方，求a的取值范围．21.设．（1）若，求的值；（2）求的单调增区间；（3）设，求在上的最小值．22.设函数，，．（1）求函数在上的单调区间；（2）若，，使成立，求实数a的取值范围；（3）求证：函数在上有且只有一个零点，并求（表示不超过x最大整数，如，）．参考数据：，．绝密★启用前2023-2024学年度（上）白山市高一教学质量监测数学本卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题：“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可得答案.【详解】由题意知命题：“，”为全称量词命题，其否定为：，，故选：C2.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】解方程，结合常用数集的定义化简集合，再利用集合的并集运算即可得解.【详解】解，得，所以，又，所以.故选：B.3.已知角终边上一点的坐标为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的定义求出，再由诱导公式进行化简求值即可.【详解】由三角函数的定义得，，又由诱导公式得，.故选：A.4.已知幂函数在上是减函数，则的解集为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据是幂函数且在上是减函数求出的值，再将所求不等式两边同时平方求出的范围.【详解】是幂函数，，解得或，当时，不满足在上是减函数，当时，满足在上是减函数，，将不等式的两边同时平方得，，解得，的解集为.故选：A.5.函数的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当时，，排除D，即可得解.【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称，又，所以函数为偶函数，排除AC；当时，，所以，排除D.故选：B.6.将函数的图象向左平移m个单位（），若所得函数的图象关于直线对称，则m的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】辅助角公式化简解析式，可得平移后的解析式，由图象的对称性，求m的取值，再求最小值.【详解】，则，函数的图象关于直线对称，则，解得，由，则当时，m有最小值.故选：B7.已知，则下列各式中最小值是2的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，结合基本不等式分析判断ABD；举例说明判断C.【详解】当时，，此时，A不是；，当且仅当，即时取“=”，但，B不是；当时，，C不是；令，则，当且仅当，即时取“=”，D是.故选：D8.“函数在上有且只有一个零点”的一个必要不充分条件可以是（）A. B.C. D.或【答案】A【解析】【分析】分和，结合零点存在性定理求得充要条件，然后即可判断答案.【详解】当时，由得；当，即时，由解得，函数在上有且只有一个零点；当，即时，若函数在上有且只有一个零点，则，即，解得.当时，的零点为；当时，得，此时由解得或.综上，函数在上有且只有一个零点，或.故是“函数在上有且只有一个零点”的一个必要不充分条件.故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若，，，则下列不等式中正确的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根据不等式的性质和作差法可逐项分析判断.【详解】对于A，，，，当时，，则，即，当时，，则，即，故A错误；对于B，由，则，又，所以，故B正确；对于C，，，，即，故C正确；对于D，由题，当时，，则，故D错误.故选：BC.10.下列函数中，最小正周期是的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据三角函数的图象及周期公式或周期函数的定义,即可判断各项中函数的周期的存在性及其大小.【详解】对于选项A:的周期为，故A正确；对于选项B:利用图象的翻折变换画出，结合图象可知该函数不具备周期性，故B错误；对于选项C:，故的最小正周期是，故C正确；对于选项D:因为,，，故的最小正周期是，故D正确.故选：ACD11.下列说法错误的有（）A.的最小值点是B.若，则的解析式为C.在定义域内是增函数D.若满足：定义在，则关于中心对称【答案】ABC【解析】【分析】根据函数的定义域、单调性、最值点、对称性逐项判断即可.【详解】的最小值点是实数0，而不是点，A选项错误；因为，所以的定义域是，B选项错误；的增区间是，而其定义域是，它在整个定义域上不单调，C选项错误；若满足：定义在，则关于中心对称，D选项正确.故选：ABC．12.若在上仅有一个最值，且为最大值，则的值可能为（）A. B.1 C. D.【答案】BD【解析】【分析】根据正弦函数的性质，可得关于参数的不等式，求得的范围，从而得出结论.【详解】因为，所以，所以由题意得，Z，解得，Z,为负整数时，的范围时小于零的，与已知不符.时，；时，.因为，故A不正确；由题可知BD正确，C不正确.故选：BD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若一扇形的周长为18，面积为14，则它的半径为______．【答案】7【解析】【分析】设出扇形的圆心角和半径列式计算得解.【详解】设扇形的圆心角为，半径为，由题意，解得或，又扇形中，，所以．故答案为：7.14.若函数的一段图象如图所示，则______．【答案】【解析】【分析】根据函数图象先确定A的值，继而确定周期，求出，由代入函数解析式求出，即可得答案.【详解】由函数的图象可知；函数的最小正周期,故；将代入中，即，由于，故，故，故答案为：15.设m，n是方程的两个实根，则______．【答案】【解析】【分析】利用整体换元，得为方程的两根，由韦达定理可解.【详解】由方程得，，令，得方程，因为m，n是方程两个实根，所以是关于的方程的两根，则有，解得,故答案为：.16.设，，若在上是增函数且在R上至少有3个零点，则a的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据给定单调区间及单调性，可得，再探讨函数的最小值，并由所在范围求出的根即可推理得解.【详解】由在上是增函数，得，解得，显然，，且当时，，令，由，得，解得或，而，由于在R上至少有3个零点，只需，又，解得；当时，，符合题意，因此．所以a的取值范围是.故答案为：【点睛】方法点睛：对于分段函数单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.解关于x的不等式：（1）；（2）．【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用分式不等式的解法求解即可得解；（2）将不等式化为，分类讨论的取值范围，从而得解.【小问1详解】由题意，可得，解得或，所以不等式的解集为.【小问2详解】不等式可化为，当时，，不等式的解集为；当时，不等式化为，其解集为；当时，不等式化为，（ⅰ）当，即时，不等式的解集为；（ⅱ）当，即时，不等式的解集为；（ⅲ）当，即时，不等式的解集为.18.某地2023年7月30日、31日的温度y（单位：摄氏度）随时间x（单位：小时）的变化近似满足如下函数关系：，其中．从气象台得知：该地在30日的最高气温出现在下午14时，最高气温为32摄氏度，最低气温出现在凌晨2时，最低气温为16摄氏度．（1）求函数的解析式，并判断是否为周期函数；（2）该地某商场规定：在环境温度大于或等于28摄氏度时，需要开启空调降温，否则关闭空调，问2023年7月30日、31日这两天需开启空调共多少小时？【答案】（1），；不是周期函数（2）16小时【解析】【分析】（1）先求A，再求b，再由周期公式求，最后代入点的坐标求即可得解析式，根据定义域也能判断是否为周期函数；（2）利用正弦型函数的性质解不等式即可.【小问1详解】由题意，，，得，，得，将代入得，即，所以，得，，又，得，所以，；因为定义域是，所以不是周期函数．【小问2详解】由题意，，得，，解得，，又，所以，所以两天共需开启空调16小时．19.设，，且，．（1）求的值；（2）试比较与的大小．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用特殊三角函数值确定角所属范围，及同角三角函数的平方关系，三角恒等变换计算即可；（2）结合（1）的结论及余弦二倍角公式、余弦函数的单调性判定两角大小即可.【小问1详解】由，得，又，所以，从而，有，所以；【小问2详解】由（1）知，得，而，，所以，易知，又上单调递减，所以．20.设，．（1）判断的奇偶性，并证明；（2）写出的单调区间（直接写出结果）；（3）若当时，函数的图象恒在函数的上方，求a的取值范围．【答案】20.奇函数，证明见解析21.增区间是，减区间是22.【解析】【分析】（1）利用函数奇偶性的定义判断；（2）利用复合函数的单调性求解；（3）令，转化为在上恒成立求解.【小问1详解】解：时，显然恒成立；时，，所以的定义域是R，又，即，所以是奇函数．【小问2详解】增区间是，减区间是．证明如下：任取，且，则，易知在R上递增，且，则，所以，即，所以在R上单调递减，，当，即时，单调递增，由复合函数的单调性知：递增；当，即时，单调递减，由复合函数的单调性知：递减，所以增区间是，减区间是.【小问3详解】令，则，即在上恒成立，令，设，对称轴为，所以在上单调递减，从而，所以的取值范围是．21.设．（1）若，求的值；（2）求的单调增区间；（3）设，求在上的最小值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由，齐次式法求的值；（2）利用倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，整体代入法求函数单调递增区间；（3）时，，由，令，则，利用二次函数的性质，分类讨论最小值.【小问1详解】，解得．【小问2详解】=，令，，解得，，所以的单调增区间是．【小问3详解】，因为，从而，，，令