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文档简介
北师大长春附属学校2025届高考冲刺模拟数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图,设为内一点,且,则与的面积之比为A. B.C. D.2.已知的部分图象如图所示,则的表达式是()A. B.C. D.3.函数的定义域为()A. B. C. D.4.已知函数,若,,,则a,b,c的大小关系是()A. B. C. D.5.设(是虚数单位),则()A. B.1 C.2 D.6.复数的实部与虚部相等,其中为虚部单位,则实数()A.3 B. C. D.7.已知椭圆+=1(a>b>0)与直线交于A,B两点,焦点F(0,-c),其中c为半焦距,若△ABF是直角三角形,则该椭圆的离心率为()A. B. C. D.8.已知函数的图像与一条平行于轴的直线有两个交点,其横坐标分别为,则()A. B. C. D.9.已知定义在上的奇函数和偶函数满足(且),若,则函数的单调递增区间为()A. B. C. D.10.下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递增的是()A. B. C. D.11.已知是虚数单位,则()A. B. C. D.12.已知复数满足,则=()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.圆关于直线的对称圆的方程为_____.14.设的内角的对边分别为,,.若,,,则_____________15.已知不等式组所表示的平面区域为,则区域的外接圆的面积为______.16.在中,点在边上,且,设,,则________(用,表示)三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知曲线:和:(为参数).以原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,且两种坐标系中取相同的长度单位.(1)求曲线的直角坐标方程和的方程化为极坐标方程;(2)设与,轴交于,两点,且线段的中点为.若射线与,交于,两点,求,两点间的距离.18.(12分)已知椭圆的左、右焦点分别为,离心率为,为椭圆上一动点(异于左右顶点),面积的最大值为.(1)求椭圆的方程;(2)若直线与椭圆相交于点两点,问轴上是否存在点,使得是以为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求点的坐标;若不存在,请说明理由.19.(12分)已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程;(2)若对任意的,当时,都有恒成立,求最大的整数.(参考数据:)20.(12分)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程;(2)求曲线上的点到直线的距离的最大值与最小值.21.(12分)等差数列中,.(1)求的通项公式;(2)设,记为数列前项的和,若,求.22.(10分)在极坐标系中,直线的极坐标方程为,以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,曲线的参数方程为(为参数),求直线与曲线的交点的直角坐标.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
作交于点,根据向量比例,利用三角形面积公式,得出与的比例,再由与的比例,可得到结果.【详解】如图,作交于点,则,由题意,,,且,所以又,所以,,即,所以本题答案为A.【点睛】本题考查三角函数与向量的结合,三角形面积公式,属基础题,作出合适的辅助线是本题的关键.2、D【解析】
由图象求出以及函数的最小正周期的值,利用周期公式可求得的值,然后将点的坐标代入函数的解析式,结合的取值范围求出的值,由此可得出函数的解析式.【详解】由图象可得,函数的最小正周期为,.将点代入函数的解析式得,得,,,则,,因此,.故选:D.【点睛】本题考查利用图象求三角函数解析式,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.3、C【解析】
函数的定义域应满足故选C.4、D【解析】
根据题意,求出函数的导数,由函数的导数与函数单调性的关系分析可得在上为增函数,又由,分析可得答案.【详解】解:根据题意,函数,其导数函数,则有在上恒成立,则在上为增函数;又由,则;故选:.【点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系,涉及函数单调性的性质,属于基础题.5、A【解析】
先利用复数代数形式的四则运算法则求出,即可根据复数的模计算公式求出.【详解】∵,∴.故选:A.【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用,以及复数的模计算公式的应用,属于容易题.6、B【解析】
利用乘法运算化简复数即可得到答案.【详解】由已知,,所以,解得.故选:B【点睛】本题考查复数的概念及复数的乘法运算,考查学生的基本计算能力,是一道容易题.7、A【解析】
联立直线与椭圆方程求出交点A,B两点,利用平面向量垂直的坐标表示得到关于的关系式,解方程求解即可.【详解】联立方程,解方程可得或,不妨设A(0,a),B(-b,0),由题意可知,·=0,因为,,由平面向量垂直的坐标表示可得,,因为,所以a2-c2=ac,两边同时除以可得,,解得e=或(舍去),所以该椭圆的离心率为.故选:A【点睛】本题考查椭圆方程及其性质、离心率的求解、平面向量垂直的坐标表示;考查运算求解能力和知识迁移能力;利用平面向量垂直的坐标表示得到关于的关系式是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.8、A【解析】
画出函数的图像,函数对称轴方程为,由图可得与关于对称,即得解.【详解】函数的图像如图,对称轴方程为,,又,由图可得与关于对称,故选:A【点睛】本题考查了正弦型函数的对称性,考查了学生综合分析,数形结合,数学运算的能力,属于中档题.9、D【解析】
根据函数的奇偶性用方程法求出的解析式,进而求出,再根据复合函数的单调性,即可求出结论.【详解】依题意有,①,②①②得,又因为,所以,在上单调递增,所以函数的单调递增区间为.故选:D.【点睛】本题考查求函数的解析式、函数的性质,要熟记复合函数单调性判断方法,属于中档题.10、C【解析】
结合基本初等函数的奇偶性及单调性,结合各选项进行判断即可.【详解】A:为非奇非偶函数,不符合题意;B:在上不单调,不符合题意;C:为偶函数,且在上单调递增,符合题意;D:为非奇非偶函数,不符合题意.故选:C.【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性,属于基础题.11、B【解析】
根据复数的乘法运算法则,直接计算,即可得出结果.【详解】.故选B【点睛】本题主要考查复数的乘法,熟记运算法则即可,属于基础题型.12、B【解析】
利用复数的代数运算法则化简即可得到结论.【详解】由,得,所以,.故选:B.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
求出圆心关于直线的对称点,即可得解.【详解】的圆心为,关于对称点设为,则有:,解得,所以对称后的圆心为,故所求圆的方程为.故答案为:【点睛】此题考查求圆关于直线的对称圆方程,关键在于准确求出圆心关于直线的对称点坐标.14、或【解析】试题分析:由,则可运用同角三角函数的平方关系:,已知两边及其对角,求角.用正弦定理;,则;可得.考点:运用正弦定理解三角形.(注意多解的情况判断)15、【解析】
先作可行域,根据解三角形得外接圆半径,最后根据圆面积公式得结果.【详解】由题意作出区域,如图中阴影部分所示,易知,故,又,设的外接圆的半径为,则由正弦定理得,即,故所求外接圆的面积为.【点睛】线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离、可行域面积、可行域外接圆等等,最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.16、【解析】
结合图形及向量的线性运算将转化为用向量表示,即可得到结果.【详解】在中,因为,所以,又因为,所以.故答案为:【点睛】本题主要考查三角形中向量的线性运算,关键是利用已知向量为基底,将未知向量通过几何条件向基底转化.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1),;(2)1.【解析】
(1)利用正弦的和角公式,结合极坐标化为直角坐标的公式,即可求得曲线的直角坐标方程;先写出曲线的普通方程,再利用公式化简为极坐标即可;(2)先求出的直角坐标,据此求得中点的直角坐标,将其转化为极坐标,联立曲线的极坐标方程,即可求得两点的极坐标,则距离可解.【详解】(1):可整理为,利用公式可得其直角坐标方程为:,:的普通方程为,利用公式可得其极坐标方程为(2)由(1)可得的直角坐标方程为,故容易得,,∴,∴的极坐标方程为,把代入得,.把代入得,.∴,即,两点间的距离为1.【点睛】本题考查极坐标方程和直角坐标方程之间的转化,涉及参数方程转化为普通方程,以及在极坐标系中求两点之间的距离,属综合基础题.18、(1);(2)见解析【解析】
(1)由面积最大值可得,又,以及,解得,即可得到椭圆的方程,(2)假设轴上存在点,是以为直角顶点的等腰直角三角形,设,,线段的中点为,根据韦达定理求出点的坐标,再根据,,即可求出的值,可得点的坐标.【详解】(1)面积的最大值为,则:又,,解得:,椭圆的方程为:(2)假设轴上存在点,是以为直角顶点的等腰直角三角形设,,线段的中点为由,消去可得:,解得:∴,,依题意有,由可得:,可得:由可得:,代入上式化简可得:则:,解得:当时,点满足题意;当时,点满足题意故轴上存在点,使得是以为直角顶点的等腰直角三角形【点睛】本题考查了椭圆的方程,直线和椭圆的位置关系,斜率公式,考查了运算能力和转化能力,属于中档题.19、(1)(2)2【解析】
(1)先求得切点坐标,利用导数求得切线的斜率,由此求得切线方程.(2)对分成,两种情况进行分类讨论.当时,将不等式转化为,构造函数,利用导数求得的最小值(设为)的取值范围,由的得在上恒成立,结合一元二次不等式恒成立,判别式小于零列不等式,解不等式求得的取值范围.【详解】(1)已知函数,则处即为,又,,可知函数过点的切线为,即.(2)注意到,不等式中,当时,显然成立;当时,不等式可化为令,则,,所以存在,使.由于在上递增,在上递减,所以是的唯一零点.且在区间上,递减,在区间上,递增,即的最小值为,令,则,将的最小值设为,则,因此原式需满足,即在上恒成立,又,可知判别式即可,即,且可以取到的最大整数为2.【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程,考查利用导数研究不等式恒成立问题,考查化归与转化的数学思想方法,属于难题.20、(1),(2)最大值,最小值【解析】
(1)由曲线的参数方程,得两式平方相加求解,根据直线的极坐标方程,展开有,再根据求解.(2)因为曲线C是一个半圆,利用数形结合,圆心到直线的距离减半径即为最小值,最大值点由图可知.【详解】(1)因为曲线的参数方程为所以两式平方相加得:因为直线的极坐标方程为.所以所以即(2)如图所示:圆心C到直线的距离为:所以圆上的点到直线的最小值为:则点M(2,0)到直线的距离为最大值:【点睛】本题主要考查参数方程,普通方程及极坐标方程的转化和直线与圆的位置关系,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题.21、(1)(2)【解析】
(1)由基本量法求出公差后可得通项公式;(2)由等差数列前项和公式求得,可求得.【详解】解:(1)设的公差为,由题设得因为,所以解得,故.(2)由(1)得.所以数列是以2为首项,2为公比的等比数列,所以,由得,解得.【点睛】本题考查求等差数列的通
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