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文档简介
吉林省长春市重点名校2025届高考冲刺数学模拟试题注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设a=log73,,c=30.7,则a,b,c的大小关系是()A. B. C. D.2.设一个正三棱柱,每条棱长都相等,一只蚂蚁从上底面的某顶点出发,每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点,算一次爬行,若它选择三个方向爬行的概率相等,若蚂蚁爬行10次,仍然在上底面的概率为,则为()A. B.C. D.3.函数()的图像可以是()A. B.C. D.4.一个四面体所有棱长都是4,四个顶点在同一个球上,则球的表面积为()A. B. C. D.5.已知集合M={y|y=2x,x>0},N={x|y=lg(2x-xA.(1,+∞) B.(1,2) C.[2,+∞) D.[1,+∞)6.三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文,弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形,其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形,分别涂成红(朱)色及黄色,其面积称为朱实、黄实,利用,化简,得.设勾股形中勾股比为,若向弦图内随机抛掷颗图钉(大小忽略不计),则落在黄色图形内的图钉数大约为()A. B. C. D.7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体中的最长棱长为()A. B. C. D.8.某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队,平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊,其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士,则不同的分配方案有A.72种 B.36种 C.24种 D.18种9.马林●梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士,也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物,梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p﹣1作了大量的计算、验证工作,人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献,将形如2P﹣1(其中p是素数)的素数,称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图,则输出的梅森素数的个数是()A.3 B.4 C.5 D.610.已知圆与抛物线的准线相切,则的值为()A.1 B.2 C. D.411.已知函数的图象如图所示,则可以为()A. B. C. D.12.()A. B. C.1 D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若x,y均为正数,且,则的最小值为________.14.若函数(a>0且a≠1)在定义域[m,n]上的值域是[m2,n2](1<m<n),则a的取值范围是_______.15.(5分)有一道描述有关等差与等比数列的问题:有四个和尚在做法事之前按身高从低到高站成一列,已知前三个和尚的身高依次成等差数列,后三个和尚的身高依次成等比数列,且前三个和尚的身高之和为cm,中间两个和尚的身高之和为cm,则最高的和尚的身高是____________cm.16.若函数的图像上存在点,满足约束条件,则实数的最大值为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)己知点,分别是椭圆的上顶点和左焦点,若与圆相切于点,且点是线段靠近点的三等分点.求椭圆的标准方程;直线与椭圆只有一个公共点,且点在第二象限,过坐标原点且与垂直的直线与圆相交于,两点,求面积的取值范围.18.(12分)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为.(1)求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程;(2)直线l与圆C交于A,B两点,点P(2,1),求|PA|⋅|PB|的值.19.(12分)已知椭圆:的长半轴长为,点(为椭圆的离心率)在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程;(2)如图,为直线上任一点,过点椭圆上点处的切线为,,切点分别,,直线与直线,分别交于,两点,点,的纵坐标分别为,,求的值.20.(12分)已知a>0,b>0,a+b=2.(Ⅰ)求的最小值;(Ⅱ)证明:21.(12分)已知函数.(1)求函数的最小正周期以及单调递增区间;(2)已知,若,,,求的面积.22.(10分)已知函数,(Ⅰ)当时,证明;(Ⅱ)已知点,点,设函数,当时,试判断的零点个数.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
,,得解.【详解】,,,所以,故选D【点睛】比较不同数的大小,找中间量作比较是一种常见的方法.2、D【解析】
由题意,设第次爬行后仍然在上底面的概率为.①若上一步在上面,再走一步要想不掉下去,只有两条路,其概率为;②若上一步在下面,则第步不在上面的概率是.如果爬上来,其概率是,两种事件又是互斥的,可得,根据求数列的通项知识可得选项.【详解】由题意,设第次爬行后仍然在上底面的概率为.①若上一步在上面,再走一步要想不掉下去,只有两条路,其概率为;②若上一步在下面,则第步不在上面的概率是.如果爬上来,其概率是,两种事件又是互斥的,∴,即,∴,∴数列是以为公比的等比数列,而,所以,∴当时,,故选:D.【点睛】本题考查几何体中的概率问题,关键在于运用递推的知识,得出相邻的项的关系,这是常用的方法,属于难度题.3、B【解析】
根据,可排除,然后采用导数,判断原函数的单调性,可得结果.【详解】由题可知:,所以当时,,又,令,则令,则所以函数在单调递减在单调递增,故选:B【点睛】本题考查函数的图像,可从以下指标进行观察:(1)定义域;(2)奇偶性;(3)特殊值;(4)单调性;(5)值域,属基础题.4、A【解析】
将正四面体补成正方体,通过正方体的对角线与球的半径关系,求解即可.【详解】解:如图,将正四面体补形成一个正方体,正四面体的外接球与正方体的外接球相同,∵四面体所有棱长都是4,∴正方体的棱长为,设球的半径为,则,解得,所以,故选:A.【点睛】本题主要考查多面体外接球问题,解决本题的关键在于,巧妙构造正方体,利用正方体的外接球的直径为正方体的对角线,从而将问题巧妙转化,属于中档题.5、B【解析】M=y|y=N==x|∴M∩N=(1,2).故选B.6、A【解析】分析:设三角形的直角边分别为1,,利用几何概型得出图钉落在小正方形内的概率即可得出结论.解析:设三角形的直角边分别为1,,则弦为2,故而大正方形的面积为4,小正方形的面积为.图钉落在黄色图形内的概率为.落在黄色图形内的图钉数大约为.故选:A.点睛:应用几何概型求概率的方法建立相应的几何概型,将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形,并加以度量.(1)一般地,一个连续变量可建立与长度有关的几何概型,只需把这个变量放在数轴上即可;(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述,则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件,然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型;(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述,则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件,利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型.7、C【解析】
根据三视图,可得该几何体是一个三棱锥,并且平面SAC平面ABC,,过S作,连接BD,,再求得其它的棱长比较下结论.【详解】如图所示:由三视图得:该几何体是一个三棱锥,且平面SAC平面ABC,,过S作,连接BD,则,所以,,,,该几何体中的最长棱长为.故选:C【点睛】本题主要考查三视图还原几何体,还考查了空间想象和运算求解的能力,属于中档题.8、B【解析】
根据条件2名内科医生,每个村一名,3名外科医生和3名护士,平均分成两组,则分1名外科,2名护士和2名外科医生和1名护士,根据排列组合进行计算即可.【详解】2名内科医生,每个村一名,有2种方法,3名外科医生和3名护士,平均分成两组,要求外科医生和护士都有,则分1名外科,2名护士和2名外科医生和1名护士,若甲村有1外科,2名护士,则有C3若甲村有2外科,1名护士,则有C3则总共的分配方案为2×(9+9)=2×18=36种,故选:B.【点睛】本题主要考查了分组分配问题,解决这类问题的关键是先分组再分配,属于常考题型.9、C【解析】
模拟程序的运行即可求出答案.【详解】解:模拟程序的运行,可得:p=1,S=1,输出S的值为1,满足条件p≤7,执行循环体,p=3,S=7,输出S的值为7,满足条件p≤7,执行循环体,p=5,S=31,输出S的值为31,满足条件p≤7,执行循环体,p=7,S=127,输出S的值为127,满足条件p≤7,执行循环体,p=9,S=511,输出S的值为511,此时,不满足条件p≤7,退出循环,结束,故若执行如图所示的程序框图,则输出的梅森素数的个数是5,故选:C.【点睛】本题主要考查程序框图,属于基础题.10、B【解析】
因为圆与抛物线的准线相切,则圆心为(3,0),半径为4,根据相切可知,圆心到直线的距离等于半径,可知的值为2,选B.【详解】请在此输入详解!11、A【解析】
根据图象可知,函数为奇函数,以及函数在上单调递增,且有一个零点,即可对选项逐个验证即可得出.【详解】首先对4个选项进行奇偶性判断,可知,为偶函数,不符合题意,排除B;其次,在剩下的3个选项,对其在上的零点个数进行判断,在上无零点,不符合题意,排除D;然后,对剩下的2个选项,进行单调性判断,在上单调递减,不符合题意,排除C.故选:A.【点睛】本题主要考查图象的识别和函数性质的判断,意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力,属于容易题.12、A【解析】
利用复数的乘方和除法法则将复数化为一般形式,结合复数的模长公式可求得结果.【详解】,,因此,.故选:A.【点睛】本题考查复数模长的计算,同时也考查了复数的乘方和除法法则的应用,考查计算能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、4【解析】
由基本不等式可得,则,即可解得.【详解】方法一:,当且仅当时取等.方法二:因为,所以,所以,当且仅当时取等.故答案为:.【点睛】本题考查基本不等式在求最小值中的应用,考查学生对基本不等式的灵活使用,难度较易.14、(1,)【解析】
在定义域[m,n]上的值域是[m2,n2],等价转化为与的图像在(1,)上恰有两个交点,考虑相切状态可求a的取值范围.【详解】由题意知:与的图像在(1,)上恰有两个交点考查临界情形:与切于,.故答案为:.【点睛】本题主要考查导数的几何意义,把已知条件进行等价转化是求解的关键,侧重考查数学抽象的核心素养.15、【解析】
依题意设前三个和尚的身高依次为,第四个(最高)和尚的身高为,则,解得,又,解得,又因为成等比数列,则公比,故.16、1【解析】由题知x>0,且满足约束条件的图象为由图可知当与交于点B(2,1),当直线过B点时,m取得最大值为1.点睛:线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是:一、准确无误地作出可行域;二、画标准函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三、一般情况下,目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、;.【解析】
连接,由三角形相似得,,进而得出,,写出椭圆的标准方程;由得,,因为直线与椭圆相切于点,,解得,,因为点在第二象限,所以,,所以,设直线与垂直交于点,则是点到直线的距离,设直线的方程为,则,求出面积的取值范围.【详解】解:连接,由可得,,,椭圆的标准方程;由得,,因为直线与椭圆相切于点,所以,即,解得,,即点的坐标为,因为点在第二象限,所以,,所以,所以点的坐标为,设直线与垂直交于点,则是点到直线的距离,设直线的方程为,则,当且仅当,即时,有最大值,所以,即面积的取值范围为.【点睛】本题考查直线和椭圆位置关系的应用,利用基本不等式,属于难题.18、(1)直线的普通方程,圆的直角坐标方程:.(2)【解析】
(1)直接利用转换关系的应用,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.(2)将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程,利用一元二次方程根和系数关系式即可求解.【详解】(1)直线l的参数方程为(t为参数),转换为直角坐标方程为x+y﹣3=0.圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ=3,转换为直角坐标方程为x2+y2﹣4x﹣3=0.(2)把直线l的参数方程为(t为参数),代入圆的直角坐标方程x2+y2﹣4x﹣3=0,得到,所以|PA||PB|=|t1t2|=6.【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,一元二次方程根和系数关系式的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.19、(1);(2).【解析】
(1)因为点在椭圆上,所以,然后,利用,,得出,进而求解即可(2)设点的坐标为,直线的方程为,直线的方程为,分别联立方程:和,利用韦达定理,再利用,,即可求出的值【详解】(1)由椭圆的长半轴长为,得.因为点在椭圆上,所以.又因为,,所以,所以(舍)或.故椭圆的标准方程为.(2)设点的坐标为,直线的方程为,直线的方程为.据得.据题意,得,得,同理,得,所以.又可求,得,,所以.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解以及联立方程求定值的问题,联立方程求定值的关键在于利用韦达定理进行消参,属于中档题20、(Ⅰ)最小值为;(Ⅱ)见解析【解析】
(1)根据题意构造平均值不等式,结合均值不等式可得结果;(2)利用分析法证明,结合常用不等式和均值不等式即可证明.【详解】(Ⅰ)则当且仅当,即,时,所以的最小值为.(Ⅱ)要证明:,只需证:
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