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文档简介
陕西省汉滨区2025届高三下学期联合考试数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知的共轭复数是,且(为虚数单位),则复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知抛物线的焦点为,对称轴与准线的交点为,为上任意一点,若,则()A.30° B.45° C.60° D.75°3.设,集合,则()A. B. C. D.4.已知集合,,,则的子集共有()A.个 B.个 C.个 D.个5.已知集合,,则()A. B.C. D.6.在平面直角坐标系中,已知角的顶点与原点重合,始边与轴的非负半轴重合,终边落在直线上,则()A. B. C. D.7.已知函数,方程有四个不同的根,记最大的根的所有取值为集合,则“函数有两个零点”是“”的().A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.△ABC中,AB=3,,AC=4,则△ABC的面积是()A. B. C.3 D.9.一物体作变速直线运动,其曲线如图所示,则该物体在间的运动路程为()m.A.1 B. C. D.210.已知数列满足,则()A. B. C. D.11.设全集,集合,,则()A. B. C. D.12.用数学归纳法证明1+2+3+⋯+n2=n4A.k2+1C.k2+1二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知实数满约束条件,则的最大值为___________.14.函数的值域为_____.15.函数的值域为_________.16.一个村子里一共有个人,其中一个人是谣言制造者,他编造了一条谣言并告诉了另一个人,这个人又把谣言告诉了第三个人,如此等等.在每一次谣言传播时,谣言的接受者都是在其余个村民中随机挑选的,当谣言传播次之后,还没有回到最初的造谣者的概率是_______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,(Ⅰ)求的大小;(Ⅱ)若,求面积的最大值.18.(12分)在中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,并且.(1)已知_______________,计算的面积;请①,②,③这三个条件中任选两个,将问题(1)补充完整,并作答.注意,只需选择其中的一种情况作答即可,如果选择多种情况作答,以第一种情况的解答计分.(2)求的最大值.19.(12分)有甲、乙两家外卖公司,其送餐员的日工资方案如下:甲公司底薪元,送餐员每单制成元;乙公司无底薪,单以内(含单)的部分送餐员每单抽成元,超过单的部分送餐员每单抽成元.现从这两家公司各随机选取一名送餐员,分别记录其天的送餐单数,得到如下频数分布表:送餐单数3839404142甲公司天数101015105乙公司天数101510105(1)从记录甲公司的天送餐单数中随机抽取天,求这天的送餐单数都不小于单的概率;(2)假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同,将频率视为概率,回答下列两个问题:①求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望;②小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员,如果仅从日工资的角度考虑,小张应选择哪家公司应聘?说明你的理由.20.(12分)在平面直角坐标系中,已知直线l的参数方程为(t为参数),在以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲线C的极坐标方程是.(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C相交于两点A,B,求线段的长.21.(12分)已知数列满足,等差数列满足,(1)分别求出,的通项公式;(2)设数列的前n项和为,数列的前n项和为证明:.22.(10分)已知,,分别是三个内角,,的对边,.(1)求;(2)若,,求,.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
设,整理得到方程组,解方程组即可解决问题.【详解】设,因为,所以,所以,解得:,所以复数在复平面内对应的点为,此点位于第四象限.故选D【点睛】本题主要考查了复数相等、复数表示的点知识,考查了方程思想,属于基础题.2、C【解析】
如图所示:作垂直于准线交准线于,则,故,得到答案.【详解】如图所示:作垂直于准线交准线于,则,在中,,故,即.故选:.【点睛】本题考查了抛物线中角度的计算,意在考查学生的计算能力和转化能力.3、B【解析】
先化简集合A,再求.【详解】由得:,所以,因此,故答案为B【点睛】本题主要考查集合的化简和运算,意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.4、B【解析】
根据集合中的元素,可得集合,然后根据交集的概念,可得,最后根据子集的概念,利用计算,可得结果.【详解】由题可知:,当时,当时,当时,当时,所以集合则所以的子集共有故选:B【点睛】本题考查集合的运算以及集合子集个数的计算,当集合中有元素时,集合子集的个数为,真子集个数为,非空子集为,非空真子集为,属基础题.5、C【解析】
求出集合,计算出和,即可得出结论.【详解】,,,.故选:C.【点睛】本题考查交集和并集的计算,考查计算能力,属于基础题.6、C【解析】
利用诱导公式以及二倍角公式,将化简为关于的形式,结合终边所在的直线可知的值,从而可求的值.【详解】因为,且,所以.故选:C.【点睛】本题考查三角函数中的诱导公式以及三角恒等变换中的二倍角公式,属于给角求值类型的问题,难度一般.求解值的两种方法:(1)分别求解出的值,再求出结果;(2)将变形为,利用的值求出结果.7、A【解析】
作出函数的图象,得到,把函数有零点转化为与在(2,4]上有交点,利用导数求出切线斜率,即可求得的取值范围,再根据充分、必要条件的定义即可判断.【详解】作出函数的图象如图,由图可知,,函数有2个零点,即有两个不同的根,也就是与在上有2个交点,则的最小值为;设过原点的直线与的切点为,斜率为,则切线方程为,把代入,可得,即,∴切线斜率为,∴k的取值范围是,∴函数有两个零点”是“”的充分不必要条件,故选A.【点睛】本题主要考查了函数零点的判定,考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法,训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,试题有一定的综合性,属于中档题.8、A【解析】
由余弦定理求出角,再由三角形面积公式计算即可.【详解】由余弦定理得:,又,所以得,故△ABC的面积.故选:A【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用,三角形的面积公式,考查了学生的运算求解能力.9、C【解析】
由图像用分段函数表示,该物体在间的运动路程可用定积分表示,计算即得解【详解】由题中图像可得,由变速直线运动的路程公式,可得.所以物体在间的运动路程是.故选:C【点睛】本题考查了定积分的实际应用,考查了学生转化划归,数形结合,数学运算的能力,属于中档题.10、C【解析】
利用的前项和求出数列的通项公式,可计算出,然后利用裂项法可求出的值.【详解】.当时,;当时,由,可得,两式相减,可得,故,因为也适合上式,所以.依题意,,故.故选:C.【点睛】本题考查利用求,同时也考查了裂项求和法,考查计算能力,属于中等题.11、D【解析】
求解不等式,得到集合A,B,利用交集、补集运算即得解【详解】由于故集合或故集合故选:D【点睛】本题考查了集合的交集和补集混合运算,考查了学生概念理解,数学运算的能力,属于中档题.12、C【解析】
首先分析题目求用数学归纳法证明1+1+3+…+n1=n4【详解】当n=k时,等式左端=1+1+…+k1,当n=k+1时,等式左端=1+1+…+k1+k1+1+k1+1+…+(k+1)1,增加了项(k1+1)+(k1+1)+(k1+3)+…+(k+1)1.故选:C.【点睛】本题主要考查数学归纳法,属于中档题./二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、8【解析】
画出可行域和目标函数,根据平移计算得到答案.【详解】根据约束条件,画出可行域,图中阴影部分为可行域.又目标函数表示直线在轴上的截距,由图可知当经过点时截距最大,故的最大值为8.故答案为:.【点睛】本题考查了线性规划问题,画出图像是解题的关键.14、【解析】
利用配方法化简式子,可得,然后根据观察法,可得结果.【详解】函数的定义域为所以函数的值域为故答案为:【点睛】本题考查的是用配方法求函数的值域问题,属基础题。15、【解析】
利用换元法,得到,利用导数求得函数的单调性和最值,即可得到函数的值域,得到答案.【详解】由题意,可得,令,,即,则,当时,,当时,,即在为增函数,在为减函数,又,,,故函数的值域为:.【点睛】本题主要考查了三角函数的最值,以及利用导数研究函数的单调性与最值,其中解答中合理利用换元法得到函数,再利用导数求解函数的单调性与最值是解答的关键,着重考查了推理与预算能力,属于基础题.16、【解析】
利用相互独立事件概率的乘法公式即可求解.【详解】第1次传播,谣言一定不会回到最初的人;从第2次传播开始,每1次谣言传播,第一个制造谣言的人被选中的概率都是,没有被选中的概率是.次传播是相互独立的,故为故答案为:【点睛】本题考查了相互独立事件概率的乘法公式,考查了考生的分析能力,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】
分析:(1)利用正弦定理以及诱导公式与和角公式,结合特殊角的三角函数值,求得角C;(2)运用向量的平方就是向量模的平方,以及向量数量积的定义,结合基本不等式,求得的最大值,再由三角形的面积公式计算即可得到所求的值.详解:(1)∵,,(Ⅱ)取中点,则,在中,,(注:也可将两边平方)即,,所以,当且仅当时取等号.此时,其最大值为.点睛:该题考查的是有关三角形的问题,涉及到的知识点有正弦定理,诱导公式,和角公式,向量的平方即为向量模的平方,基本不等式,三角形的面积公式,在解题的过程中,需要正确使用相关的公式进行运算即可求得结果.18、(1)见解析(2)1【解析】
(1)选②,③.可得,结合,求得.即可;若选①,②.由可得由,求得.即可;若选①,③,可得,又,可得,即可;(2)化简,根据角的范围求最值即可.【详解】(1)若选②,③.,,,,又,.的面积.若选①,②.由可得,,,又,.的面积.若选①,③,,又,,可得,的面积.(2),当时,有最大值1.【点睛】本题考查了正余弦定理,三角三角恒等变形,考查了计算能力,属于中档题.19、(1);(2)①分布列见解析,;②小张应选择甲公司应聘.【解析】
(1)记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件,可得(A)的值.(2)①设乙公司送餐员送餐单数为,可得当时,,以此类推可得:当时,当时,的值.当时,的值,同理可得:当时,.的所有可能取值.可得的分布列及其数学期望.②依题意,甲公司送餐员日平均送餐单数.可得甲公司送餐员日平均工资,与乙数学期望比较即可得出.【详解】解:(1)由表知,50天送餐单数中有30天的送餐单数不小于40单,记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件,则.(2)①设乙公司送餐员的送餐单数为,日工资为元,则当时,;当时,;当时,;当时,;当时,.所以的分布列为228234240247254.②依题意,甲公司送餐员的日平均送餐单数为,所以甲公司送餐员的日平均工资为元,因为,所以小张应选择甲公司应聘.【点睛】本题考查了随机变量的分布列与数学期望、古典概率计算公式、组合计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.20、(1)l:,C:;(2)【解析】
(1)直接利用转换关系,把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换;
(2)由(1)可得曲线是圆,求出圆心坐标及半径,再求得圆心到直线的距离,即可求得的长.【详解】(1)由题意可得直线:,由,得,即,所以曲线C:.(2)由(1)知,圆,半径.∴圆心到直线的距离为:.∴【点睛】本题考查直线的普通坐标方程、曲线的直角坐标方程的求法,考查弦长的求法、运算求解能力,是中档题.21、(1)(2)证明见解析【解析】
(1)因为,所以,所以,即,又
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