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文档简介
2025届山西省河津二中高三第一次调研测试数学试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设复数,则=()A.1 B. C. D.2.向量,,且,则()A. B. C. D.3.若函数在时取得极值,则()A. B. C. D.4.已知函数,,当时,不等式恒成立,则实数a的取值范围为()A. B. C. D.5.集合,,则()A. B. C. D.6.已知向量,,若,则()A. B. C.-8 D.87.甲乙丙丁四人中,甲说:我年纪最大,乙说:我年纪最大,丙说:乙年纪最大,丁说:我不是年纪最大的,若这四人中只有一个人说的是真话,则年纪最大的是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁8.在等差数列中,若,则()A.8 B.12 C.14 D.109.函数的图象大致为()A. B.C. D.10.抛物线的焦点为,准线为,,是抛物线上的两个动点,且满足,设线段的中点在上的投影为,则的最大值是()A. B. C. D.11.某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的外接球表面积为()A. B.C. D.12.己知集合,,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.给出下列四个命题,其中正确命题的序号是_____.(写出所有正确命题的序号)因为所以不是函数的周期;对于定义在上的函数若则函数不是偶函数;“”是“”成立的充分必要条件;若实数满足则.14.若的展开式中所有项的系数之和为,则______,含项的系数是______(用数字作答).15.已知,,则与的夹角为.16.某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品,制作过程必须先后经过两次烧制,当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制,再次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平,经过第一次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4,经过第二次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75;则第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为________;经过前后两次烧制后,合格工艺品的件数为,则随机变量的期望为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在四棱锥中,四边形是直角梯形,底面,是的中点.(1).求证:平面平面;(2).若二面角的余弦值为,求直线与平面所成角的正弦值.18.(12分)已知数列,,数列满足,n.(1)若,,求数列的前2n项和;(2)若数列为等差数列,且对任意n,恒成立.①当数列为等差数列时,求证:数列,的公差相等;②数列能否为等比数列?若能,请写出所有满足条件的数列;若不能,请说明理由.19.(12分)某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系,对该校名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查,如表:(平均每天锻炼的时间单位:分钟)将学生日均体育锻炼时间在的学生评价为“锻炼达标”.(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表:并通过计算判断,是否能在犯错误的概率不超过的前提下认为“锻炼达标”与性别有关?(2)在“锻炼达标”的学生中,按男女用分层抽样方法抽出人,进行体育锻炼体会交流.(i)求这人中,男生、女生各有多少人?(ii)从参加体会交流的人中,随机选出人发言,记这人中女生的人数为,求的分布列和数学期望.参考公式:,其中.临界值表:0.100.050.0250.01002.7063.8415.0246.63520.(12分)如图所示,四棱柱中,底面为梯形,,,,,,.(1)求证:;(2)若平面平面,求二面角的余弦值.21.(12分)已知为坐标原点,点,,,动点满足,点为线段的中点,抛物线:上点的纵坐标为,.(1)求动点的轨迹曲线的标准方程及抛物线的标准方程;(2)若抛物线的准线上一点满足,试判断是否为定值,若是,求这个定值;若不是,请说明理由.22.(10分)已知函数.(Ⅰ)求函数的极值;(Ⅱ)若,且,求证:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
根据复数的除法运算,代入化简即可求解.【详解】复数,则故选:A.【点睛】本题考查了复数的除法运算与化简求值,属于基础题.2、D【解析】
根据向量平行的坐标运算以及诱导公式,即可得出答案.【详解】故选:D【点睛】本题主要考查了由向量平行求参数以及诱导公式的应用,属于中档题.3、D【解析】
对函数求导,根据函数在时取得极值,得到,即可求出结果.【详解】因为,所以,又函数在时取得极值,所以,解得.故选D【点睛】本题主要考查导数的应用,根据函数的极值求参数的问题,属于常考题型.4、D【解析】
由变形可得,可知函数在为增函数,由恒成立,求解参数即可求得取值范围.【详解】,即函数在时是单调增函数.则恒成立..令,则时,单调递减,时单调递增.故选:D.【点睛】本题考查构造函数,借助单调性定义判断新函数的单调性问题,考查恒成立时求解参数问题,考查学生的分析问题的能力和计算求解的能力,难度较难.5、A【解析】
解一元二次不等式化简集合A,再根据对数的真数大于零化简集合B,求交集运算即可.【详解】由可得,所以,由可得,所以,所以,故选A.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算,涉及一元二次不等式解法及对数的概念,属于中档题.6、B【解析】
先求出向量,的坐标,然后由可求出参数的值.【详解】由向量,,则,,又,则,解得.故选:B【点睛】本题考查向量的坐标运算和模长的运算,属于基础题.7、C【解析】
分别假设甲乙丙丁说的是真话,结合其他人的说法,看是否只有一个说的是真话,即可求得年纪最大者,即可求得答案.【详解】①假设甲说的是真话,则年纪最大的是甲,那么乙说谎,丙也说谎,而丁说的是真话,而已知只有一个人说的是真话,故甲说的不是真话,年纪最大的不是甲;②假设乙说的是真话,则年纪最大的是乙,那么甲说谎,丙说真话,丁也说真话,而已知只有一个人说的是真话,故乙说谎,年纪最大的也不是乙;③假设丙说的是真话,则年纪最大的是乙,所以乙说真话,甲说谎,丁说的是真话,而已知只有一个人说的是真话,故丙在说谎,年纪最大的也不是乙;④假设丁说的是真话,则年纪最大的不是丁,而已知只有一个人说的是真话,那么甲也说谎,说明甲也不是年纪最大的,同时乙也说谎,说明乙也不是年纪最大的,年纪最大的只有一人,所以只有丙才是年纪最大的,故假设成立,年纪最大的是丙.综上所述,年纪最大的是丙故选:C.【点睛】本题考查合情推理,解题时可从一种情形出发,推理出矛盾的结论,说明这种情形不会发生,考查了分析能力和推理能力,属于中档题.8、C【解析】
将,分别用和的形式表示,然后求解出和的值即可表示.【详解】设等差数列的首项为,公差为,则由,,得解得,,所以.故选C.【点睛】本题考查等差数列的基本量的求解,难度较易.已知等差数列的任意两项的值,可通过构建和的方程组求通项公式.9、A【解析】
用偶函数的图象关于轴对称排除,用排除,用排除.故只能选.【详解】因为,所以函数为偶函数,图象关于轴对称,故可以排除;因为,故排除,因为由图象知,排除.故选:A【点睛】本题考查了根据函数的性质,辨析函数的图像,排除法,属于中档题.10、B【解析】
试题分析:设在直线上的投影分别是,则,,又是中点,所以,则,在中,所以,即,所以,故选B.考点:抛物线的性质.【名师点晴】在直线与抛物线的位置关系问题中,涉及到抛物线上的点到焦点的距离,焦点弦长,抛物线上的点到准线(或与准线平行的直线)的距离时,常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化.象本题弦的中点到准线的距离首先等于两点到准线距离之和的一半,然后转化为两点到焦点的距离,从而与弦长之间可通过余弦定理建立关系.11、A【解析】
由三视图知:几何体为三棱锥,且三棱锥的一条侧棱垂直于底面,结合直观图判断外接球球心的位置,求出半径,代入求得表面积公式计算.【详解】由三视图知:几何体为三棱锥,且三棱锥的一条侧棱垂直于底面,高为2,底面为等腰直角三角形,斜边长为,如图:的外接圆的圆心为斜边的中点,,且平面,,的中点为外接球的球心,半径,外接球表面积.故选:A【点睛】本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积,根据三视图判断几何体的结构特征,利用几何体的结构特征与数据求得外接球的半径是解答本题的关键.12、C【解析】
先化简,再求.【详解】因为,又因为,所以,故选:C.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法、集合的运算,还考查了运算求解能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
对①,根据周期的定义判定即可.对②,根据偶函数满足的性质判定即可.对③,举出反例判定即可.对④,求解不等式再判定即可.【详解】解:因为当时,所以由周期函数的定义知不是函数的周期,故正确;对于定义在上的函数,若,由偶函数的定义知函数不是偶函数,故正确;当时不满足则“”不是“”成立的充分不必要条件,故错误;若实数满足则所以成立,故正确.正确命题的序号是.故答案为:.【点睛】本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题.14、【解析】的展开式中所有项的系数之和为,,,项的系数是,故答案为(1),(2).15、【解析】
根据已知条件,去括号得:,16、0.380.9【解析】
考虑恰有一件的三种情况直接计算得到概率,随机变量的可能取值为,计算得到概率,再计算数学期望得到答案.【详解】第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为:.甲、乙、丙三件产品合格的概率分别为:,,.故随机变量的可能取值为,故;;;.故.故答案为:0.38;0.9.【点睛】本题考查了概率的计算,数学期望,意在考查学生的计算能力和应用能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析;(2).【解析】试题分析:(1)根据平面有,利用勾股定理可证明,故平面,再由面面垂直的判定定理可证得结论;(2)在点建立空间直角坐标系,利用二面角的余弦值为建立方程求得,在利用法向量求得和平面所成角的正弦值.试题解析:(Ⅰ)平面平面因为,所以,所以,所以,又,所以平面.因为平面,所以平面平面.(Ⅱ)如图,以点为原点,分别为轴、轴、轴正方向,建立空间直角坐标系,则.设,则取,则为面法向量.设为面的法向量,则,即,取,则依题意,则.于是.设直线与平面所成角为,则即直线与平面所成角的正弦值为.18、(1)(2)①见解析②数列不能为等比数列,见解析【解析】
(1)根据数列通项公式的特点,奇数项为等差数列,偶数项为等比数列,选用分组求和的方法进行求解;(2)①设数列的公差为,数列的公差为,当n为奇数时,得出;当n为偶数时,得出,从而可证数列,的公差相等;②利用反证法,先假设可以为等比数列,结合题意得出矛盾,进而得出数列不能为等比数列.【详解】(1)因为,,所以,且,由题意可知,数列是以1为首项,2为公差的等差数列,数列是首项和公比均为4的等比数列,所以;(2)①证明:设数列的公差为,数列的公差为,当n为奇数时,,若,则当时,,即,与题意不符,所以,当n为偶数时,,,若,则当时,,即,与题意不符,所以,综上,,原命题得证;②假设可以为等比数列,设公比为q,因为,所以,所以,,因为当时,,所以当n为偶数,且时,,即当n为偶数,且时,不成立,与题意矛盾,所以数列不能为等比数列.【点睛】本题主要考查数列的求和及数列的综合,数列求和时一般是结合通项公式的特征选取合适的求和方法,数列综合题要回归基本量,充分挖掘题目已知信息,细思细算,本题综合性较强,难度较大,侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.19、(1)能;(2)(i)男生有人,女生有人;(ii),分布列见解析.【解析】
(1)根据所给数据可完成列联表.由总人数及女生人数得男生人数,由表格得达标人数,从而得男生中达标人数,这样不达标人数随之而得,然后计算可得结论;(2)由达标人数中男女生人数比为可得抽取的人数,总共选2人,女生有4人,的可能值为0,1,2,分别计算概率得分布列,再由期望公式可计算出期望.【详解】(1)列出列联表,,所以在犯错误的概率不超过的前提下能判断“课外体育达标”与性别有关.(2)(i)在“锻炼达标”的学生中,男女生人数比为,用分层抽样方法抽出人,男生有人,女生有人.(ii)从参加体会交流的人中,随机选出人发言,人中女生的人数为,则的可能值为,,,则,,,可得的分布列为:可得数学期望.【点睛】本题考查列联表与独立性检验,考查分层抽样,随机变量的概率分布列和期望.主要考查学生的数据处理能力,运算求解能力,属于中档题.20、(1)证明见解析(2)【解析】
(1)取中点为,连接,,,,根据线段关系可证明为等边三角形,即可得;由为等边三角形,可得,从而由线面垂直判断定理可证明平面,即可证明.(2)以为原点,,,为,,轴建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标,并求得平面和平面的法向量,即可由法向量法求得二面角的余弦值.【详解】(1)证明:取中点为,连接,,,如下图所示:因为,,,所以,故为等边三角形,则.连接,因为,,所以为等边三角形,则.又,所以平面.因为平面,所以.(2)由(1)知,因为平面平面,平面,所以平面,以为原点,,,为,,轴建立如图所示的空间直角坐标系,易求,则,,,,则,,.设平面的法向量,则即令,则,,故.设平面的法向量,则则令,则,,故,所以.由图可知,二面角为钝二面角角,所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的判定,由线面垂直判定线线垂直,由空间向量法求平面与平面形成二面角的大小,属于中档题.21、(1)曲线的标准方程为.抛物线的标准方程为
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