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文档简介

2025届福建省百所重点校高三第三次测评数学试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设集合,,则()A. B.C. D.2.设等差数列的前项和为,若,则()A.23 B.25 C.28 D.293.已知复数满足,则()A. B. C. D.4.以,为直径的圆的方程是A. B.C. D.5.“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中.“阶幻方”是由前个正整数组成的—个阶方阵,其各行各列及两条对角线所含的个数之和(简称幻和)相等,例如“3阶幻方”的幻和为15(如图所示).则“5阶幻方”的幻和为()A.75 B.65 C.55 D.456.某歌手大赛进行电视直播,比赛现场有名特约嘉宾给每位参赛选手评分,场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后,现场嘉宾的评分情况如下表,场内外共有数万名观众参与了评分,组织方将观众评分按照,,分组,绘成频率分布直方图如下:嘉宾评分嘉宾评分的平均数为,场内外的观众评分的平均数为,所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为,则下列选项正确的是()A. B. C. D.7.若复数(为虚数单位)的实部与虚部相等,则的值为()A. B. C. D.8.已知集合,,若,则()A. B. C. D.9.设,随机变量的分布列是01则当在内增大时,()A.减小,减小 B.减小,增大C.增大,减小 D.增大,增大10.将一块边长为的正方形薄铁皮按如图(1)所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,将该容器按如图(2)放置,若其正视图为等腰直角三角形,且该容器的容积为,则的值为()A.6 B.8 C.10 D.1211.阅读如图的程序框图,若输出的值为25,那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是()A. B. C. D.12.若关于的不等式有正整数解,则实数的最小值为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图,在△ABC中,AB=4,D是AB的中点,E在边AC上,AE=2EC,CD与BE交于点O,若OB=OC,则△ABC面积的最大值为_______.14.已知抛物线的焦点为,斜率为的直线过且与抛物线交于两点,为坐标原点,若在第一象限,那么_______________.15.复数(其中i为虚数单位)的共轭复数为________.16.如图,棱长为2的正方体中,点分别为棱的中点,以为圆心,1为半径,分别在面和面内作弧和,并将两弧各五等分,分点依次为、、、、、以及、、、、、.一只蚂蚁欲从点出发,沿正方体的表面爬行至,则其爬行的最短距离为________.参考数据:;;)三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)近年空气质量逐步恶化,雾霾天气现象出现增多,大气污染危害加重.大气污染可引起心悸.呼吸困难等心肺疾病.为了解某市心肺疾病是否与性别有关,在某医院随机的对入院人进行了问卷调查得到了如下的列联表:患心肺疾病不患心肺疾病合计男女合计已知在全部人中随机抽取人,抽到患心肺疾病的人的概率为.(1)请将上面的列联表补充完整,并判断是否有的把握认为患心肺疾病与性别有关?请说明你的理由;(2)已知在不患心肺疾病的位男性中,有位从事的是户外作业的工作.为了指导市民尽可能地减少因雾霾天气对身体的伤害,现从不患心肺疾病的位男性中,选出人进行问卷调查,求所选的人中至少有一位从事的是户外作业的概率.下面的临界值表供参考:(参考公式,其中)18.(12分)已知函数()在定义域内有两个不同的极值点.(1)求实数的取值范围;(2)若有两个不同的极值点,,且,若不等式恒成立.求正实数的取值范围.19.(12分)已知,其中.(1)当时,设函数,求函数的极值.(2)若函数在区间上递增,求的取值范围;(3)证明:.20.(12分)如图,四棱锥E﹣ABCD的侧棱DE与四棱锥F﹣ABCD的侧棱BF都与底面ABCD垂直,,//,.(1)证明://平面BCE.(2)设平面ABF与平面CDF所成的二面角为θ,求.21.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b(a2+c2﹣b2)=a2ccosC+ac2cosA.(1)求角B的大小;(2)若△ABC外接圆的半径为,求△ABC面积的最大值.22.(10分)已知函数.(1)解不等式;(2)使得,求实数的取值范围.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

利用一元二次不等式的解法和集合的交运算求解即可.【详解】由题意知,集合,,由集合的交运算可得,.故选:D【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和集合的交运算;考查运算求解能力;属于基础题.2、D【解析】

由可求,再求公差,再求解即可.【详解】解:是等差数列,又,公差为,,故选:D【点睛】考查等差数列的有关性质、运算求解能力和推理论证能力,是基础题.3、A【解析】

根据复数的运算法则,可得,然后利用复数模的概念,可得结果.【详解】由题可知:由,所以所以故选:A【点睛】本题主要考查复数的运算,考验计算,属基础题.4、A【解析】

设圆的标准方程,利用待定系数法一一求出,从而求出圆的方程.【详解】设圆的标准方程为,由题意得圆心为,的中点,根据中点坐标公式可得,,又,所以圆的标准方程为:,化简整理得,所以本题答案为A.【点睛】本题考查待定系数法求圆的方程,解题的关键是假设圆的标准方程,建立方程组,属于基础题.5、B【解析】

计算的和,然后除以,得到“5阶幻方”的幻和.【详解】依题意“5阶幻方”的幻和为,故选B.【点睛】本小题主要考查合情推理与演绎推理,考查等差数列前项和公式,属于基础题.6、C【解析】

计算出、,进而可得出结论.【详解】由表格中的数据可知,,由频率分布直方图可知,,则,由于场外有数万名观众,所以,.故选:B.【点睛】本题考查平均数的大小比较,涉及平均数公式以及频率分布直方图中平均数的计算,考查计算能力,属于基础题.7、C【解析】

利用复数的除法,以及复数的基本概念求解即可.【详解】,又的实部与虚部相等,,解得.故选:C【点睛】本题主要考查复数的除法运算,复数的概念运用.8、A【解析】

由,得,代入集合B即可得.【详解】,,,即:,故选:A【点睛】本题考查了集合交集的含义,也考查了元素与集合的关系,属于基础题.9、C【解析】

,,判断其在内的单调性即可.【详解】解:根据题意在内递增,,是以为对称轴,开口向下的抛物线,所以在上单调递减,故选:C.【点睛】本题考查了利用随机变量的分布列求随机变量的期望与方差,属于中档题.10、D【解析】

推导出,且,,,设中点为,则平面,由此能表示出该容器的体积,从而求出参数的值.【详解】解:如图(4),为该四棱锥的正视图,由图(3)可知,,且,由为等腰直角三角形可知,,设中点为,则平面,∴,∴,解得.故选:D【点睛】本题考查三视图和锥体的体积计算公式的应用,属于中档题.11、C【解析】

根据循环结构的程序框图,带入依次计算可得输出为25时的值,进而得判断框内容.【详解】根据循环程序框图可知,则,,,,,此时输出,因而不符合条件框的内容,但符合条件框内容,结合选项可知C为正确选项,故选:C.【点睛】本题考查了循环结构程序框图的简单应用,完善程序框图,属于基础题.12、A【解析】

根据题意可将转化为,令,利用导数,判断其单调性即可得到实数的最小值.【详解】因为不等式有正整数解,所以,于是转化为,显然不是不等式的解,当时,,所以可变形为.令,则,∴函数在上单调递增,在上单调递减,而,所以当时,,故,解得.故选:A.【点睛】本题主要考查不等式能成立问题的解法,涉及到对数函数的单调性的应用,构造函数法的应用,导数的应用等,意在考查学生的转化能力,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

先根据点共线得到,从而得到O的轨迹为阿氏圆,结合三角形和三角形的面积关系可求.【详解】设B,O,E共线,则,解得,从而O为CD中点,故.在△BOD中,BD=2,,易知O的轨迹为阿氏圆,其半径,故.故答案为:.【点睛】本题主要考查三角形的面积问题,把所求面积进行转化是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.14、2【解析】

如图所示,先证明,再利用抛物线的定义和相似得到.【详解】由题得,.因为.所以,过点A、B分别作准线的垂线,垂足分别为M,N,过点B作于点E,设|BF|=m,|AF|=n,则|BN|=m,|AM|=n,所以|AE|=n-m,因为,所以|AB|=3(n-m),所以3(n-m)=n+m,所以.所以.故答案为:2【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系,考查抛物线的定义,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15、【解析】

利用复数的乘法运算求出,再利用共轭复数的概念即可求解.【详解】由,则.故答案为:【点睛】本题考查了复数的四则运算以及共轭复数的概念,属于基础题.16、【解析】

根据空间位置关系,将平面旋转后使得各点在同一平面内,结合角的关系即可求得两点间距离的三角函数表达式.根据所给参考数据即可得解.【详解】棱长为2的正方体中,点分别为棱的中点,以为圆心,1为半径,分别在面和面内作弧和.将平面绕旋转至与平面共面的位置,如下图所示:则,所以;将平面绕旋转至与平面共面的位置,将绕旋转至与平面共面的位置,如下图所示:则,所以;因为,且由诱导公式可得,所以最短距离为,故答案为:.【点睛】本题考查了空间几何体中最短距离的求法,注意将空间几何体展开至同一平面内求解的方法,三角函数诱导公式的应用,综合性强,属于难题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)列联表见解析,有的把握认为患心肺疾病与性别有关,理由见解析;(2).【解析】

(1)结合题意完善列联表,计算出的观测值,对照临界值表可得出结论;(2)记不患心肺疾病的五位男性中从事户外作业的两人分别为、,其余三人分别为、、,利用列举法列举出所有的基本事件,并确定事件“所选的人中至少有一位从事的是户外作业”所包含的基本事件数,利用古典概型的概率公式可取得所求事件的概率.【详解】(1)由于在全部人中随机抽取人,抽到患心肺疾病的人的概率为,所以人中患心肺疾病的人数为人,故可将列联表补充如下:患心肺疾病不患心肺疾病合计男女合计.故有的把握认为患心肺疾病与性别有关;(2)记不患心肺疾病的五位男性中从事户外作业的两人分别为、,其余三人分别为、、.从中选取三人共有以下种情形:、、、、、、、、、.其中至少有一位从事的是户外作业的有种情形,分别为:、、、、、、、、,所以所选的人中至少有一位从事的是户外作业的概率为.【点睛】本题考查利用独立性检验的基本思想解决实际问题,同时也考查了利用列举法求解古典概型的概率问题,考查计算能力,属于中等题.18、(1);(2).【解析】

(1)求导得到有两个不相等实根,令,计算函数单调区间得到值域,得到答案.(2),是方程的两根,故,化简得到,设函数,讨论范围,计算最值得到答案.【详解】(1)由题可知有两个不相等的实根,即:有两个不相等实根,令,,,,;,,故在上单增,在上单减,∴.又,时,;时,,∴,即.(2)由(1)知,,是方程的两根,∴,则因为在单减,∴,又,∴即,两边取对数,并整理得:对恒成立,设,,,当时,对恒成立,∴在上单增,故恒成立,符合题意;当时,,时,∴在上单减,,不符合题意.综上,.【点睛】本题考查了根据极值点求参数,恒成立问题,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.19、(1)极大值,无极小值;(2).(3)见解析【解析】

(1)先求导,根据导数和函数极值的关系即可求出;(2)先求导,再函数在区间上递增,分离参数,构造函数,求出函数的最值,问题得以解决;(3)取得到,取,可得,累加和根据对数的运算性和放缩法即可证明.【详解】解:(1)当时,设函数,则令,解得当时,,当时,所以在上单调递增,在上单调递减所以当时,函数取得极大值,即极大值为,无极小值;(2)因为,所以,因为在区间上递增,所以在上恒成立,所以在区间上恒成立.当时,在区间上恒成立,当时,,设,则在区间上恒成立.所以在单调递增,则,所以,即综上所述.(3)由(2)可知当时,函数在区间上递增,所以,即,取,则.所以所以【点睛】此题考查了参数的取值范围以及恒成立的问题,以及不等式的证明,构造函数是关键,属于较难题.20、(1)证明见解析(2)【解析】

(1)根据线面垂直的性质定理,可得DE//BF,然后根据勾股定理计算可得BF=DE,最后利用线面平行的判定定理,可得结果.(2)利用建系的方法,可得平面ABF的一个法向量为,平面CDF的法向量为,然后利用向量的夹角公式以及平方关系,可得结果.【详解】(1)因为DE⊥平面ABCD,所以DEAD,因为AD=4,AE=5,DE=3,同理BF=3,又DE⊥平面ABCD,BF⊥平面ABCD,所以DE//BF,又BF=DE,所以平行四边形BEDF,故DF//BE,因为BE平面BCE,DF平面BCE所以DF//平面BCE;(2)建立如图空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(4,0,0),C(0,4,0),F(4,3,﹣3),,设平面

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