专题09 导数的概念意义及运算（考点清单+知识导图+ 9个考点清单-题型解读）（解析版）-25学年高二数学上学期期末考点大串讲

清单09导数的概念意义及运算（个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】函数的平均变化率定义：一般地，函数在区间上的平均变化率为：，表示为函数从到的平均变化率，若设,则平均变化率为【清单02】函数在处的导数（瞬时变化率）定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作.【清单03】导数的几何意义如图,在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.则割线的斜率【清单04】曲线的切线问题1、在型求切线方程已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.第二步：计算切线斜率.第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。根据直线的点斜式方程得到切线方程：.2、过型求切线方程已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.步骤：第一步：设切点第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；第三步：令：，解出，代入求斜率第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.【考点题型一】求平均变化率【例1】（23-24高二下·湖北·期中）函数，当自变量x由1增加到时，函数的平均变化率为（

）A．2 B． C． D．【答案】C【知识点】平均变化率【分析】根据平均变化率的概念计算即可得解.【详解】，，，故选：C【变式1-1】（多选）（23-24高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）若函数，，则函数在上平均变化率的取值可能为（

）A． B． C． D．【答案】BD【知识点】已知两点求斜率、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、平均变化率【分析】根据平均变化率得，结合该式的几何意义为在上任意一点与连线的斜率，数形结合及导数几何意义求其范围，即可得答案.【详解】由在上平均变化率为，故表示在上任意一点与连线的斜率，图象如下：最大为与连线的斜率，即为；最小为在处的切线斜率，即；所以.故选：BD【变式1-2】（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知函数，则从1到的平均变化率为．【答案】【知识点】平均变化率【分析】借助平均变化率定义计算即可得.【详解】.故答案为：.【考点题型二】求瞬时变化率核心方法：【例2】（24-25高二下·全国·课后作业）在一次高台跳水比赛中，若某运动员在跳水过程中其重心相对于水面的高度h（单位：米）与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系，则该运动员在起跳后1秒时的瞬时速度为米/秒．【答案】【知识点】瞬时变化率的概念及辨析、导数的乘除法、求某点处的导数值【分析】由瞬时速度的概念结合导数运算即可求得答案.【详解】由题意得，则．故答案为：.【变式2-1】（24-25高二下·全国·随堂练习）某物体做直线运动，其运动规律是（的单位：s，的单位：m），则它在第4s末的瞬时速度为．【答案】26【知识点】求某点处的导数值、导数的运算法则、瞬时变化率的概念及辨析【分析】运用导数几何意义，结合导数四则运算计算即可.【详解】，求导，令，得到.故则它在第4s末的瞬时速度为26.故答案为：26.【变式2-2】（24-25高二下·全国·课后作业）函数在处的瞬时变化率为．【答案】/【知识点】瞬时变化率的概念及辨析【分析】根据瞬时变化率定义计算即可.【详解】增量为．函数的平均变化率为，而．．故答案为：.【考点题型三】导数概念中极限的简单计算核心方法：【例3】（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数在处可导，且，则（

）A． B． C． D．2【答案】B【知识点】导数定义中极限的简单计算【分析】利用导数的定义求解.【详解】解：因为，所以，即，所以，故选：B【变式3-1】（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）若函数在区间内可导，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】导数定义中极限的简单计算【分析】由导数的定义即可求解.【详解】，故选：D.【变式3-2】（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）已知函数，则.【答案】【知识点】导数定义中极限的简单计算、简单复合函数的导数【分析】根据题意，求得，结合，即可求解.【详解】由函数，可得，又由.故答案为：.【考点题型四】求在某一点出切线核心方法：【例4】（24-25高三上·江苏扬州·期中）已知函数，则曲线在点处的切线方程为.【答案】【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）【分析】先对函数求导，再把代入导函数中可求出切线的斜率，根据切点坐标，从而利用点斜式可求出切线方程.【详解】因为函数，所以，所以当时，，即切线方程的斜率为，又因为切点为，所以由直线的点斜式方程为：，即.故答案为：.【变式4-1】.（24-25高三上·上海·阶段练习）函数在点处的切线方程为.【答案】【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）【分析】根据题意，由导数的几何意义即可得到结果.【详解】由题意可知，，则切点为，因为，则，所以在点处的切线斜率为，则切线方程为，即故答案为：【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是.【答案】【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）【分析】先求出当时的解析式，然后由导数的几何意义求解即可.【详解】当时，，即，∴，∴，又，则曲线在点处的切线方程是，即.故答案为：.【考点题型五】求过某一点处切线核心方法：计算切线斜率【例5】（多选）（23-24高二下·贵州·期中）过点且与曲线相切的直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】BC【知识点】求过一点的切线方程、导数的运算法则、直线的点斜式方程及辨析【分析】运用导数几何意义，结合导数运算，点斜式可解.【详解】求导得，设切点为，则，切线方程为，又切线过点，所以，整理得，解得或.当时，，切线方程为.当时，，切线方程为.故选：BC.【变式5-1】（23-24高二下·辽宁·阶段练习）过原点且与函数图像相切的直线方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】求过一点的切线方程【分析】先设出切点，再利用导数的几何意义建立方程求出切线的斜率即可得到结果.【详解】因为，所以，设所求切线的切点为，则，由题知，，解得，所以切线斜率为，故所求切线方程为.故选：C.【变式5-2】（2024·江西景德镇·一模）过点且与曲线相切的直线方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【知识点】求过一点的切线方程【分析】根据导数几何意义以及斜率公式，计算可得切点坐标，即可求得切线方程.【详解】，点不在曲线上，设切点为，则，解得：，得切点，则切线方程为：，故选：．【考点题型六】已知切线求参数【例6】（23-24高二下·四川内江·阶段练习）已知函数在点处的切线方程为，则．【答案】【知识点】已知切线（斜率）求参数【分析】根据题意，利用导数的几何意义，列出方程组，求得的值，即可求解.【详解】由函数，可得，可得，因为函数在点处的切线方程为，可得，解得，所以.故答案为：.【变式6-1】.（23-24高二下·吉林四平·期中）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则点的横坐标为（

）A． B． C．2 D．1【答案】D【知识点】已知切线（斜率）求参数【分析】设点Ax0,y0【详解】设，点Ax0,y由在点处的切线与直线垂直可得，即，又，.故选：D【变式6-2】（2024·广东珠海·一模）直线与曲线相切，则．【答案】【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数【分析】设切点坐标为，由导数的几何意义求解即可.【详解】设切点坐标为，由于，所以切线的斜率为：，所以曲线在处的切线方程为：，即，所以，，故答案为：.【考点题型七】已知某点处的导数值求参数【例7】（24-25高三上·上海·单元测试）已知，其中，且，则．【答案】2【知识点】已知某点处的导数值求参数或自变量、简单复合函数的导数【分析】利用可得答案.【详解】因为，所以，所以.故答案为：2．【变式7-1】.（23-24高二下·宁夏吴忠·期中）已知函数，．若，则．【答案】【知识点】已知某点处的导数值求参数或自变量、导数的运算法则、基本初等函数的导数公式【分析】利用基本初等函数的导数公式和法则，结合导数值及三角函数值即可求解.【详解】因为，所以.因为，所以，即，所以，又因为，所以.故答案为：.【变式7-2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）设函数，若，则．【答案】2【知识点】已知某点处的导数值求参数或自变量、导数的运算法则【分析】根据给定条件，求出函数的导数，再代入求出的值.【详解】函数，求导得，由，得，所以.故答案为：2【考点题型八】导数的加减乘除，复合运算【例8】（23-24高二下·海南海口·期中）求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)(5)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、简单复合函数的导数【分析】根据基本初等函数、积的导数、商的导数和复合函数的求导公式逐项求导即可．【详解】（1）（2）（3）（4），则（5）【变式8-1】（24-25高二上·全国·课后作业）设函数，则（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】简单复合函数的导数【分析】运用复合函数的求导规则计算即可.【详解】．故选：D.【变式8-2】（多选）（24-25高三上·陕西咸阳·期中）下列求导运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则【分析】利用基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则可得选项A，B，C正确，选项D错误.【详解】A.，选项A正确.B.，选项B正确.C.为常数，选项C正确.D.，选项D错误.故选：ABC.【变式8-3】（多选）（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【知识点】简单复合函数的导数、导数的运算法则、基本初等函数的导数公式【分析】借助导数运算法则逐项计算即可得.【详解】对A：，故A错误；对B：，故B正确；对C：，故C错误；对D：，故D正确.故选：BD.【考点题型九】已知切线的条数求参数【例9】（23-24高二上·广东深圳·期末）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是.【答案】【知识点】求过一点的切线方程【分析】先利用导数求曲线过坐标的切线方程，再列出关于的不等式，进而求得的取值范围.【详解】由得，设切点坐标为，则切线斜率，切线方程为，又因为切线过，所以，整理得，又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个实数解，所以，解得或，所以的取值范围是，故答案为：.【变式9-1】（23-24高二上·山东临沂）已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求过一点的切线方程【解析】首先设过点的切线方程，切点，利用导数的几何意义列式，转化为有三个解，通过设函数，问题转化为与有三个交点，求的取值范围.【详解】设过点的直线为，，设切点为，则，得有三个解，令，，当，得或，，得，所以在，单调递增，单调递减，又，，有三个解，得，即.故选：D【点睛】方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.【变式9-2】（24-25高三上·河南信阳·阶段练习）已知.若曲线存在两条过点的切线，则的取值范围是.【答案】或【知识点】求过一点的切线方程、已知切线（斜率）求参数【分析】求导函数设切点坐标为，写出切线方程并代入点得，由于有两条切线，故方程有两非零的根，结合判别式即可求解．【详解】由题得，设切点坐标为，则切线方程为，又切线过点，可得，整理得，因为曲线存在两条切线，故方程有两个不等实根且若，则，为两个重根，不成立即满足，解得或．故的取值范围是或故答案为：或提升训练一、单选题1．（24-25高三上·福建·期中）若直线与曲线相切，则（

）A．2 B．e C． D．【答案】C【知识点】已知切线（斜率）求参数【分析】设切点，再根据导数的几何意义求解即可.【详解】设切点为，则对求导有，故在处切线的斜率为，则由在直线上可得，解得，故.故选：C2．（2024·广东肇庆·一模）曲线在处的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）【分析】利用导数的几何意义求出斜率，再代入直线的点斜式方程化简即可【详解】令，则，即，f1=0，所以曲线在处的切线方程为，即，故选：D.3．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知是定义在上的可导函数，若，则（

）A． B． C．1 D．【答案】C【知识点】导数定义中极限的简单计算【分析】根据导数的定义计算可得结果.【详解】由导数的定义，.故选：C.4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知曲线在点处的切线斜率为1，则曲线在点处的切线斜率为（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】导数定义中极限的简单计算、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）【分析】由导数的几何意义将切线斜率转化为导数值，然后利用导数的定义及两个极限式子的结构关系可得结果.【详解】曲线在点0,1处的切线斜率为1，所以，则曲线在点0,1处的切线斜率为．故选：C.5．（24-25高三上·山东·阶段练习）已知为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由奇偶性求参数【分析】利用奇函数的性质求解出参数，再利用导数的几何意义求解切线方程即可.【详解】因为为奇函数，且在处有定义，所以，因为，所以，故，而，得到切点为，又，设切线斜率为，由斜率的几何意义得，故切线方程为，化简得，故D正确.故选：D6．（23-24高二下·新疆乌鲁木齐·期中）函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（

）

A． B．C． D．【答案】B【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、斜率与倾斜角的变化关系、已知两点求斜率【分析】结合图形，利用曲线上两点所在直线的斜率和过两点的切线斜率的比较即可得到.【详解】

如图，设函数的图象上有两点，经过点的切线分别为,则直线的斜率依次为，由图知直线的倾斜角满足，，因函数在上递增，故，即.故选：B.7．（23-24高三下·全国·阶段练习）若存在过原点的直线与函数的图象切于轴右侧，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】求过一点的切线方程、导数的乘除法【分析】先求得，设切点为，根据，列出方程，得到，结合方程的根，即可求解.【详解】由函数，可得，设切点为，可得，即，整理得，解得或（舍去），因为存在过原点的直线与函数的图象切于轴右侧，所以，解得，即实数的取值范围为.故选：D.8．（2024·福建·模拟预测）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（）A．， B．，C．， D．，【答案】A【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题【分析】设出切点，写出切线方程，利用对应系数相等建立方程，解出即可.【详解】设直线与曲线的切点为且，与曲线的切点为且，又，，则直线与曲线的切线方程为，即，直线与曲线的切线方程为，即，则，解得，故，故选：A.二、多选题9．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）下列说法中正确的是（

）A．B．C．设函数，若，则D．设函数的导函数为，且，则【答案】BC【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的加减法、导数的乘除法、求某点处的导数值【分析】利用基本初等函数的导数公式及运算法则求解即可.【详解】对于选项A:结合题意可得：,故选项A错误；对于选项B:结合题意可得：,故选项B正确；对于选项C:,由，，解得，故选项C正确；对于选项D:结合题意可得：,，解得，故选项D错误.故选：BC.10．（23-24高三上·福建厦门·阶段练习）已知直线与曲线相切，则下列直线中可能与垂直的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数【分析】根据导数求出切线斜率的取值范围，结合垂直关系得出的取值范围，再判断各选项.【详解】的定义域为，，即直线的斜率，设与垂直的直线的斜率为，则，所以，.对于A，直线的斜率为，故A正确；对于B，直线的斜率为，故B错误；对于C，直线的斜率为，故C正确；对于D，直线的斜率为，故D错误.故选：AC.三、填空题11．（24-25高三上·上海·期中）已知函数，若，则.【答案】【知识点】导数定义中极限的简单计算【分析】根据导数的定义计算可得.【详解】因为，所以.故答案为：12．（24-25高三上·湖南·阶段练习）曲线的一条切线为，则．【答案】【知识点】已知切线（斜率）求参数【分析】求导数，然后根据切线斜率求出切点坐标，代入切线方程后可得结论．【详解】，令，则，切点代入直线得．故答案为：．四、解答题13．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数．(1)求曲线上任意一点处的切线斜率；(2)求曲线在点处的切线方程．【答案】(1)(2)【知识点】利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程、导数的运算法则【分析】（1）根据导数的定义得出导数的几何意义得出切点的斜率；（2）先求导函数的函数值得出斜率再点斜式求出切线方程.【详解】（1）由导数的几何意义可知曲线y=fx上任意一点x0,f则由导数的定义，可得．即曲线y=fx上任意一点x0,f（2）f3=0，由（1）知，曲线y=fx在点处的切线斜率为所以切线方程为，即．14．（23-24高二下·江苏·阶段练习）（1）已知二次函数，其图象过点，且，求的值；（2）设函数