专题08 圆锥曲线中向量问题+定点+定值+定直线问题（期末压轴专项训练30题）（解析版）-25学年高二数学上学期期末考点大串讲

专题08圆锥曲线中向量问题+定点+定值+定直线问题（期末压轴专项训练30题）一、单选题1．若椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆C上一点，且在第一象限，的内心为，直线与直线的斜率分别为、，则（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】椭圆中的定值问题、椭圆中焦点三角形的其他问题【分析】设的坐标，根据两点求距离公式求出PF1，由椭圆的定义求出，根据内切圆的性质求出点I的坐标，结合两点表示斜率公式化简计算即可求解.【详解】设，，则，易知F1−1,0，，由椭圆焦半径公式可得，，设分别为的内切圆与边，，的切点，则，根据内切圆的性质知，，，因此，即，解得.在中，，解得，因此，所以.故选：A.【点睛】关键点点睛：考查椭圆的定义和方程、性质，考查三角形的内切圆的性质，同时考查直线的斜率公式的运用，考查分析问题，解决问题的能力.2．黄金分割比被誉为“人间最巧的比例”.离心率的椭圆被称为“优美椭圆”已知一“优美椭圆”的左右顶点分别为A，B；椭圆上有一动点P（异于椭圆的左右顶点），设直线，斜率分别为，则为（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】椭圆中的定值问题、由椭圆的离心率求参数的取值范围【分析】设出点P的参数形式，再结合直线的斜率公式，以及椭圆的性质，即可求解.【详解】点P为椭圆C上的动点，则可设，又，则.故选：D.3．已知椭圆，两条直线：；：，过椭圆上一点P作，的平行线，分别交，于M，N，若为定值，则（

）A．9 B．4 C．3 D．2【答案】A【知识点】椭圆中的定值问题、求直线交点坐标【分析】设点，可得出，求出点、的坐标，利用两点间的距离公式结合为定值可求得的值，即可得解.【详解】设点，则直线的方程为，联立，解得，即点，直线的方程为，联立，解得，即点，由已知可得，则，所以，为定值，则，可得.故选：A4．已知椭圆E：的右焦点为，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若且，则E的方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求弦中点所在的直线方程或斜率、椭圆中向量共线比例问题【分析】根据“点差法”以及中点弦即可求解．【详解】如图所示：

因为椭圆E的右焦点为，所以，不妨设，由题意等价于是的中点，所以，又点在椭圆E上面，所以，进一步有，即，所以直线的斜率可以表示为，又、在直线上，所以直线的斜率为，从而，所以解得，即E的方程为.故选：D.5．已知椭圆的上、下顶点为，过点的直线与椭圆相交于两个不同的点（在线段之间），则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】椭圆中向量点乘问题、根据韦达定理求参数、求椭圆中的最值问题【分析】由题意画出图形，分直线的斜率不存在和存在两种情况求解，当直线斜率不存在时，求得，当直线斜率存在时，设出直线方程，和椭圆方程联立，由判别式大于0求得的范围，再结合根与系数的关系写出数量积，由得范围求得的范围．【详解】当直线斜率不存在时，直线方程为，，，此时；当直线斜率存在时，设斜率为，设,则直线方程为，联立，得，，得．，．．，，，则，综上，的取值范围是．故选：D．6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若点满足，则实数a的取值范围是（

）A．[－，] B．[－，] C．[－，] D．[－，]【答案】D【知识点】椭圆中向量点乘问题、求椭圆的焦点、焦距【分析】根据椭圆方程求出焦点坐标，利用向量数量积建立不等式求解.【详解】因为椭圆的焦点，，所以，，因为，所以，解得，故选：D7．已知P为椭圆上任意一点，EF为圆任意一条直径，则的取值范围为（

）A．[8，12] B． C． D．【答案】C【知识点】椭圆中向量点乘问题、数量积的运算律【分析】由题意可得圆心恰好是椭圆的右焦点，将化简得，由椭圆的性质可知，从而可求出的取值范围【详解】由，得，则，圆的圆心恰好是椭圆的右焦点，圆的半径为2，因为，因为P为椭圆上任意一点，为椭圆的右焦点，所以，即，所以，所以，所以的取值范围为，故选：C8．已知为双曲线（）的离心率为，焦点为，且，为双曲线上任意一点，过点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为，则的值为（

）A． B．C． D．与点的位置有关【答案】B【知识点】双曲线中的定值问题、根据离心率求双曲线的标准方程、求点到直线的距离【分析】由题意求出双曲线的方程，可得其渐近线方程，利用点到直线的距离公式求得的表达式，结合点P在双曲线上，化简即可求得答案.【详解】由题意知，即双曲线的焦距，又双曲线离心率为，故，故，则双曲线方程为，则其渐近线方程为，即，设，则，即，不妨设分别在和上，故，故选：B9．已知A，B是双曲线Γ：＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，动点P在Γ上且P在第一象限．若PA，PB的斜率分别为k1，k2，则以下总为定值的是（）A．k1＋k2 B．|k1－k2|C．k1k2 D．【答案】C【知识点】双曲线中的定值问题、已知两点求斜率【分析】设A(－a，0)，B(a，0)，P(m，n)(m＞0，n＞0)，计算可得k1＝，结合依次分析即得解【详解】由题意可得A(－a，0)，B(a，0)，设P(m，n)(m＞0，n＞0)，可得即又k1＝，所以k1k2＝，所以k1k2为定值，不为定值；，不为定值；，不为定值故选：C10．已知点P为双曲线C：（，）上位于第一象限内的一点，过点P向双曲线C的一条渐近线l作垂线，垂足为A，为双曲线C的左焦点，若，则渐近线l的斜率为（）A． B． C． D．【答案】D【知识点】双曲线定义的理解、已知方程求双曲线的渐近线、双曲线向量共线比例问题【分析】设渐近线l的方程，由两直线垂直的条件可得直线的方程，联立两直线方程求得A的坐标，再由向量共线的坐标表示可得P的坐标，代入双曲线的方程，化简整理可得所求直线的斜率．【详解】解：设，渐近线l的方程为，①直线的方程为，②联立①②可得，，即有，由，可得，，解得，，即，由P在双曲线上，可得，化为，即，可得，所以直线l的斜率为．故选：D．11．如图，，分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线与圆在第二象限的一个交点，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】双曲线向量共线比例问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围【分析】设，，联立圆与双曲线方程求出点坐标，设，将利用坐标表示计算可得表示，再将点代入双曲线方程可得关于的齐次方程，结合即可求解.【详解】设，，由整理可得：，即，因为点是双曲线与圆在第二象限的一个交点，所以，，所以点坐标为，设点，则，，由可得，所以，因为点在双曲线上，所以，整理可得：，所以，即，两边同时平方可得：，所以，即，，可得：或（舍），所以，故选：B.12．已知椭圆与双曲线有相同的左焦点、右焦点，点是两曲线的一个交点，且.过作倾斜角为45°的直线交于，两点（点在轴的上方），且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】双曲线中向量点乘问题、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题【分析】根据向量数量积为零对应的垂直关系结合双曲线的定义求解出的长度，再根据焦点坐标求解出椭圆的方程，联立直线与椭圆方程可求解出的纵坐标，通过用表示出，则的值可求.【详解】不妨设为椭圆与双曲线在第一象限内的交点，椭圆方程为，，由双曲线定义可知：，又因为，所以，，所以，所以，所以，所以，所以，所以椭圆方程为，又因为，所以，所以，所以，所以，又因为，所以，所以，解得，故选：A.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过已知的条件求解出椭圆的方程，后续求解的过程中，除了联立思想的运用，还要注意利用点的纵坐标去分析求解问题.13．在平面直角坐标系xOy中，若在曲线的方程中，以且代替得到曲线的方程，则称是由曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线，称为伸缩比.(1)若不过原点的直线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是，证明:是与平行的直线;(2)已知伸缩比时，曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是，且与轴有A，B两个交点（在的左侧），过点且斜率为的直线与在轴的右侧有，两个交点.①求的取值范围;②若直线的斜率分别为，证明：为定值.【答案】(1)证明见解析(2)①；②证明见解析【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中的定值问题、平面直角坐标系中的伸缩变换、根据韦达定理求参数【分析】（1）根据伸缩比的定义，计算证明即可.（2）①直曲联立，借助韦达定理计算即可；②结合①的结论，直接运算即可.【详解】（1）证明：设不过原点的直线的方程是都是常数，且a，b不同时为，则曲线的方程是，且，即，因为都是常数，且a，b不同时为，所以曲线是一条直线，且与直线平行（2）①解：伸缩比时，曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是，所以曲线的方程是，即.与轴的两个交点A，B的坐标分别是，因为直线点，斜率为，所以直线的方程为，代入，消去并整理得，设，则，，因为与在轴的右侧有两个交点，所以，且，解得或，所以的取值范围是.②证明:由①知或，所以，，，所以为定值.14．已知双曲线的实轴长为，且过点(1)求双曲线C的方程.(2)过双曲线C的右焦点F作斜率为的直线l，l与双曲线C交于A，B两点，求(3)若M，N是双曲线C上不同的两点.且直线MN的斜率为，线段MN的中点为P，证明：点P在直线上.【答案】(1)(2)(3)证明见解析【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线过的点求标准方程、求双曲线中的弦长、双曲线中存在定点满足某条件问题【分析】（1）根据题意可得，将点的坐标代入得，即可求解.（2）由（1）得，进而得直线l的方程为，联立双曲线方程，得韦达定理，进而求解.（3）利用点差法即可证明.【详解】（1）根据题意可得，则将点的坐标代入，得，解得，故双曲线C的方程为（2）由（1）得，则，则直线l的方程为设，由，得，，，，所以（3）设，，则，两式相减得设，则，所以，即，所以，即，所以点P在直线上.15．已知双曲线的离心率为，点为上一点．(1)求的标准方程；(2)若直线与相交于，两点，且的垂直平分线过点，求证：为定值．【答案】(1)(2)证明见解析【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、双曲线中的定值问题【分析】（1）依题意得到关于、、的方程组，解得、，即可得解；（2）设Ax1,y1，B【详解】（1）依题意可得，解得，所以双曲线的标准方程为；（2）设Ax1,由，得，显然，∴，即，且，则，∴的中点，又的中垂线过点，且，∴，整理得，即为定值.16．已知双曲线的实轴长为，且过点.(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线的右焦点作斜率为1的直线，与双曲线交于，两点，求；(3)若，是双曲线上不同的两点，且直线的斜率为2，线段的中点为，证明：点在直线上.【答案】(1)(2)(3)证明见解析【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、求双曲线中的弦长、双曲线中的动点在定直线上问题【分析】（1）根据题意可得，将点的坐标代入得，即可求解.（2）由（1）得，进而得直线的方程为，设，联立双曲线方程，利用韦达定理即可求解.（3）利用点差法即可证明.【详解】（1）根据题意可得，则，将点的坐标代入，得，解得，故双曲线的方程为；（2）由（1）得，则，则直线的方程为，设，由，得，，，所以；（3）设，则，两式相减得，设，则，所以，即，所以，即，所以在直线上.17．已知双曲线(1)求双曲线的渐近线方程；(2)已知点、，直线与双曲线交于、两点，，，求的值.【答案】(1)(2)【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、双曲线向量共线比例问题【分析】（1）根据双曲线的方程可得出其渐近线方程；（2）设点Ax1,y1、B【详解】（1）在双曲线中，，，所以，该双曲线的渐近线方程为.（2）由题意可知，直线的方程为，即，且，设点Ax1,联立，可得，，由韦达定理可得，，，，且，，则，所以，，.18．已知双曲线：（，）的离心率是，焦距为6.(1)求的方程；(2)若直线：与相交于，两点，且（为坐标原点），求的值.【答案】(1)(2)【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据离心率求双曲线的标准方程、双曲线中向量点乘问题、根据韦达定理求参数【分析】（1）依题意求出、，即可求出，从而求出方程；（2）设，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，再根据数量积的坐标表示得到方程，代入，求出的值.【详解】（1）因为双曲线：（，）的离心率是，焦距为6，所以，，其中，解得，，所以.所以的方程为.（2）设，，联立方程消去得，因为直线：与相交于，两点，所以，即且，由韦达定理得，，又，，所以，所以，将韦达定理代入上式，得，即，解得，满足且.19．已知椭圆和抛物线.从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录如下：.(1)求椭圆和抛物线的方程；(2)设为实数，已知点，直线与抛物线交于两点.记直线的斜率分别为，判断是否为定值，并说明理由.【答案】(1)，；(2)为定值，理由见解析.【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的定值问题【分析】（1）算出四点对应的的抛物线方程，注意到对应的p一样，即可得抛物线与椭圆方程；（2）联立抛物线与直线方程，由韦达定理可判断是否为定值.【详解】（1）将四个点代入抛物线方程解得的值分别为，注意到对应的p一样，在抛物线上，故抛物线方程为.故为椭圆上的点，则，椭圆方程；（2）是定值，理由如下：设，则由韦达定理：，又因为，所以，同理所以为定值.20．已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且.(1)求和的值；(2)过点的直线与交于A，B两点，记直线OA，OB的斜率分别为，其中为坐标原点，求证：为定值.【答案】(1)，；(2)证明见解析【知识点】抛物线的焦半径公式、抛物线中的定值问题、根据抛物线的方程求参数、根据韦达定理求参数【分析】（1）由焦半径公式求得，得抛物线方程，点坐标代入抛物线方程可得；（2）设直线的方程为，设，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得，再利用在抛物线上求得，然后计算可得．【详解】（1）由题意，，抛物线方程为，在抛物线上，因此，所以；（2）由（1）知焦点为，显然直线与不重合，设直线的方程为，设，由得，因此，又，，所以所以．21．设抛物线上的点与焦点的距离为4，点到轴的距离为.(1)求抛物线的方程；(2)经过焦点的直线交抛物线于，两点，直线（为坐标原点）交抛物线的准线于点，求证：直线的斜率为定值.【答案】(1)(2)证明见解析【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的定值问题【分析】（1）设点，由已知，可得，，代入抛物线的方程，解得，即可得到抛物线的方程；（2）设点的坐标为，当时，得到直线的方程，联立抛物线的方程，消去，可得点的纵坐标，进而得直线的斜率为0，讨论当和时，可得直线的斜率均为0，即直线的斜率为定值.【详解】（1）设点，由已知，所以，又点到轴的距离为，即，即，由点在抛物线上，所以，解得或（舍去），故抛物线的方程为；（2）设点的坐标为，

则直线的方程为，①抛物线的准线方程为，②联立①②，可解得点的纵坐标为，由（1）知焦点，当，即时，直线的方程为，联立消去，可得，即，可得点的纵坐标为，与点的纵坐标相等，于是直线的斜率为0，当时，点的纵坐标为，直线的方程为，与准线的交点的纵坐标为，此时直线的斜率为0，当时，同理可得直线的斜率为0，综上，直线的斜率为定值0.22．在平面直角坐标系中，已知抛物线及点，动直线过点交抛物线于，两点，当垂直于轴时，.（1）求的值；（2）若与轴不垂直，设线段中点为，直线经过点且垂直于轴，直线经过点且垂直于直线，记，相交于点，求证：点在定直线上.【答案】（1）1；（2）证明见解析.【知识点】由弦长求参数、抛物线中的定直线【分析】（1）当直线过点且垂直于轴时，由知抛物线所过的点，代入抛物线方程求得的值；（2）设直线的方程，与抛物线方程联立，消去化简得关于的方程，利用根与系数的关系以及中点坐标求出直线的方程，再根据垂直关系求出直线的方程，由此求得两直线的交点坐标，并判断点在定直线上．【详解】（1）因为过，且当垂直于轴时，，所以抛物线经过点，代入抛物线方程，得，解得.（2）由题意，直线的斜率存在且不为0，设直线方程为：，，.联立消去，得，则，.因为为中点，所以，则直线方程为：.因为直线过点且与垂直，则直线方程为：，联立，解得即，所以，点在定直线上.【点睛】本题考查了抛物线的标准方程与简单几何性质应用问题，也考查了直线与方程的应用问题，属于中档题．23．已知椭圆：（）过的三个顶点，，，当直线垂直于轴时，直线过椭圆的一个焦点.(1)求椭圆的方程；(2)若的平分线垂直于轴，求证：直线的斜率为定值.【答案】(1)(2)证明见解析【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据椭圆过的点求标准方程、椭圆中的定值问题【分析】（1）由题意得，解得，，即可得到椭圆方程；（2）设直线的方程为，联立直线方程和椭圆方程，求得的横坐标，同理求得的横坐标，进一步求得、的纵坐标的差，代入斜率公式得结果.【详解】（1）由题意，，则有，解得，，所以，椭圆的方程为.（2）设直线的斜率为，由题意知，直线的斜率为，设Ax1,直线的方程为，即，联立方程组，消去得，因为，为直线与椭圆的交点，所以，把换成得：，所以，，所以直线的斜率，故直线的斜率为定值.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属中档题.24．如图，已知椭圆：（）上的点到其左焦点的最大矩离和最小距离分别为和，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点.

(1)求椭圆的方程；(2)若，求直线的方程；(3)当直线，均不与轴垂直时，设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.【答案】(1)(2)(3)证明见解析【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的弦长、椭圆中的定值问题【分析】（1）根据椭圆上的点到其左焦点的最大距离和最小距离分别为和，由求解；（2）设直线的方程为，，，由，利用韦达定理，结合弦长公式求解；（3）利用（2）中的韦达定理，由证明.【详解】（1）解：由椭圆：上的点到其左焦点的最大距离和最小距离分别为和，结合椭圆的几何性质，得，解得，则，故椭圆的方程为.（2）解：设直线的方程为，，.由消去，整理得.由，得，则，.，解得或.当时，直线的方程为，此时直线过点；当时，直线的方程为，满足题目条件.所以直线的方程为.（3）证明：因为直线，均不与轴垂直，所以直线：不经过点和，则且，由（2）可知，，，为定值.【点睛】思路点睛：本题第三问的基本思路是先建立模型，再根据点在直线上进行消元，然后利用韦达定理求解.25．已知椭圆的焦点为，，左、右顶点分别为，点为椭圆上异于的动点，的周长为.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线交直线于点，连接交椭圆于点，直线，的斜率分别为，.（i）求证：为定值；（ii）设直线，证明：直线过定点.【答案】(1)椭圆的方程为(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的直线过定点问题、椭圆中存在定点满足某条件问题【分析】（1）根据椭圆的焦点坐标及的周长，可得的值，从而可求解椭圆方程；（2）（i）先利用点的坐标表示出两条直线的斜率，再结合椭圆的方程，代入化简即可；（ii）联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理与（i）中斜率乘积为定值，化简求得定点坐标，即可证得结论．【详解】（1）依题意可设椭圆，且，又的周长为，即，所以，所以椭圆的方程为．（2）证明：（i）设,，,，，由（1）可知，，所以，，因为，即，所以，所以，又，所以，所以；（ii）因为直线的方程为，,，,，联立，得，所以，，由（i）可知，，即，所以，即，化简得，解得或（舍去），所以直线的方程为，所以直线经过轴上的定点，定点坐标为．26．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，短轴长为．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知点，分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的动点，，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，求证：当点变化时，点恒在一条定直线上．【答案】(1)；(2)证明见解析.【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的定直线、根据韦达定理求参数【分析】（1）根据给定条件，求出椭圆短半轴长，结合离心率求出长半轴长即可.（2）设直线的方程为：，，联立直线与椭圆，再表示出直线与的方程，联立求出交点，即可计算推理得证.【详解】（1）设椭圆的标准方程为，由短轴长为，得，由离心率为，得，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）设直线的方程为：，，而，由消去得：，，则，，又直线的方程为：，即，又直线的方程为：，即，由，得，所以当点运动时，点恒在定直线上.

27．已知分别为椭圆的左､右焦点，分别为椭圆的左､右顶点，Px0,y0为椭圆上的动点，过动点Px0,y0作椭圆的切线.分别与直线和相交于两点，四边形的对角线相交于点，记动点的轨迹为.(1)证明：椭圆在点处的切线方程为.(2)求动点的轨迹的方程.(3)过点作斜率不为的直线与相交于点，直线与的交点为，判断点是否在定直线上.【答案】(1)证明见解析(2)(3)在【知识点】轨迹问题——椭圆、椭圆中的定直线、求椭圆的切线方程【分析】（1）直曲联立，求出交点，证明即可；（2）令，得坐标，求出直线方程，求出交点，得到动点的轨迹的方程.（3）设直线的方程为，直曲联立，借助韦达定理，得到,联立，方程，得到满足的条件即可.【详解】（1）证明：联立方程组，消去整理得，又，即，整理得，解得，所以直线与椭圆有且仅有一个交点Px0,即切线方程为.（2）解：由（1）中切线方程，令，得，令，得，因为，所以直线，①因为，所以直线，②由①②得.因为，得，所以动点的轨迹的方程为）.（3）解：设直线的方程为，联立方程组得，则，所以.因为直线的方程为，直线的方程为，所以，所以，所以，整理得所以，即点在定直线上.

28．已知椭圆：的左､右顶点分别为，，离心率为，点在椭圆上.(1)求椭圆的方程.(2)若过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，已知直线与相交于点，试判断点是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由.【答案】(1)(2)存在，【知识点】椭圆中的定直线、根据离心率求椭圆的标准方程、根据a、b、c求椭圆标准方程【分析】（1）根据题意列方程组解出，即可得出方程；（2）根据题意设直线及交点坐标，根据直线的方程求交点，结合韦达定理整理求解.【详解】（1）依题意可得，解得，所以椭圆的方程为.（2）设，，直线的方程为：，联立方程组可得，得到，，则或，由根与系数的关系得到，，因为直线：，直线：，联立两直线方程得到：，即，即，整理得：，所以点在定直线上.【点睛】在解决圆锥曲线中的定直线问题时，常采取的策略有：①根