专题04 高二上期末真题精-选（人教A版（2019）选择性必修第二册 一元函数的导数及其应用常考 59题 压轴35题）解析版

考点01导数的定义考点02借助导数求切线考点03已知某点的导数求参数值考点04导数的四则运算考点05利用导数求函数（不含参）的单调区间考点06由函数在区间上的单调性求参数考点07函数与导数图象之间的关系考点08利用导数讨论函数（含参）的单调区间考点09求函数的极值（极值点）考点10根据函数的极值（极值点）求参数考点11求函数的最值考点12根据函数的最值求参数一元函数的导数及其应用压轴35题压轴一：已知切线条数求参数压轴二：构造函数解决不等式问题压轴三：利用导数研究函数的恒成立问题压轴四：利用导数研究函数的能成立问题压轴五：利用导数研究函数的零点方程的根压轴六：利用导数研究双变量问题考点01导数的定义（共4小题）1．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）某物体运动的位移随时间变化的函数是，已知时刻该物体的瞬时速度为，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】导数定义中极限的简单计算、瞬时变化率的概念及辨析【分析】根据瞬时速度的定义结合导数的定义直接求解即可.【详解】因为时刻该物体的瞬时速度为，所以.故选：C2．（23-24高二下·辽宁·期末）已知函数，则（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】基本初等函数的导数公式、导数定义中极限的简单计算【分析】根据导数的定义式化简，结合导数的计算公式可得解.【详解】由，又，，所以，所以原式等于，故选：D.3．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，则（

）A． B．1 C． D．【答案】A【知识点】导数定义中极限的简单计算【分析】根据题意，由条件可得，然后代入计算，即可得到结果.【详解】因为，，则，所以.故选：A4．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知函数在处的导数为3，则（

）A．6 B．3 C． D．【答案】A【知识点】导数定义中极限的简单计算、求某点处的导数值【分析】与极限的定义式比较，配凑出导数极限的形式：．【详解】，故选：A．考点02借助导数求切线（共6小题）1．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知，记在处的切线为，则过与垂直的直线方程为（

）.A． B． C． D．【答案】A【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则【分析】利用导数的几何意义求出切线的斜率，再求出与其垂直的直线方程.【详解】由，求导得，则切线的斜率为，因此过与垂直的直线斜率为1，方程为.故选：A2．（23-24高二下·河北张家口·期末）过点作两条直线与曲线（e是自然对数的底数）相切，切点的横坐标分别为，，则的值为（

）A．e B．e C．3 D．3【答案】C【知识点】求过一点的切线方程【分析】根据过一点作函数图象的切线问题，设切点，得切线方程，再代入定点求解即可.【详解】由，得，设切点坐标为，则切线斜率为，所以切线方程为.因为点在切线上，所以，即，结合题意，则，是上述方程的根，所以根据韦达定理得.故选：.3．（23-24高二下·山西晋城·期末）过原点O作曲线的切线，其斜率为2，则实数（

）A．e B．2 C． D．【答案】D【知识点】导数的运算法则、求过一点的切线方程【分析】设出切点，求导，得切点处的切线方程，即可代入原点求解.【详解】设切点，则，故切点处的切线方程为，故，将代入得，故，解得或，若，则，此时无解，故不符合题意，若，则，故，此时满足题意，故选：D4．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知函数，则曲线在点处的切线方程为．【答案】【知识点】导数的乘除法、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）【分析】先求出切线的斜率，即可写出切线的点斜式方程．【详解】，所以，故切线方程为，故答案为：．5．（23-24高二下·广东东莞·期末）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则.【答案】【知识点】求过一点的切线方程、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）【分析】设直线与和的切点分别为，，分别求出切点处的直线方程，由已知切线方程，可得方程组，解方程可得切点的横坐标，即可得到的值.【详解】和分布求导，得到和.设直线与和的切点分别为，，则切线方程分别为，，，化简得，，.依题意上述两直线与是同一条直线，所以，，解得，所以故答案为：.6．（23-24高二下·山东青岛·期末）已知函数，若过点1,0可作曲线y=fx两条切线，求a的取值范围.【答案】【知识点】求过一点的切线方程、利用导数研究函数的零点【分析】求出函数的导数，设出切点坐标，求出切线方程，结合切线过的点构造函数，讨论函数有两个零点的a的取值范围.【详解】依题意，，设过点的直线与曲线相切时的切点为，则斜率，所以切线方程为：又点在切线上，所以，即有，由过点可作曲线两条切线，得方程有两个不相等的实数根，令，则函数有2个零点，求导得，若，由，得或，由，得，即函数在，上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得极大值，当时，取得极小值，又，当时，恒成立，所以函数最多1个零点，不合题意；若恒成立，函数在上单调递增，因此函数最多1个零点，不合题意；若，由，得或，由，得，即函数在上单调递增，在上单调递减，则当时，取得极大值，当时，取得极小值，又，显然当时，恒成立，所以函数最多1个零点，不合题意；若，显然，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值，要函数有2个零点，必有，得，当时，，而函数在(0,1)上的值域为，因此在上的值域为，当时，令，求导得，所以函数在上单调递减，则，，而函数在上单调递减，值域为，因此函数在上的值域为，于是当时，函数有两个零点，所以过点可作曲线两条切线时，所以的取值范围是【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据切点构造出切线方程，然后分类讨论，求解零点个数.考点03已知某点的导数求参数值（共3小题）1．（23-24高二下·安徽·期末）已知函数，则（

）A．11 B．7 C． D．【答案】A【知识点】导数的加减法、已知某点处的导数值求参数或自变量、求函数值【分析】求导，令可得，代入运算即可.【详解】因为，则，令，可得，解得，即，所以.故选：A.2．（22-23高二上·吉林·期末）已知，，则（

）A． B． C．1 D．【答案】B【知识点】已知某点处的导数值求参数或自变量、导数的运算法则【分析】利用导数法则及基本初等函数的导数公式，结合函数导数值即可求解.【详解】由，得，又因为，所以，解得.故选：B.3．（23-24高二上·湖南·期末）已知函数，若，则.【答案】/【知识点】已知某点处的导数值求参数或自变量、导数的运算法则【分析】利用导数的运算法则及求导公式求出导数，再由给定的导数值求出.【详解】函数，求导得，于是，所以.故答案为：考点04导数的四则运算（共3小题）1．（多选）（23-24高二下·福建福州·期末）下列求导运算正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】BC【知识点】简单复合函数的导数、基本初等函数的导数公式【分析】由导数的基本运算求解．【详解】对于A项，为常数，则，故A项错误；对于B项，，故B项正确；对于C项，，则，故C项正确；对于D项，，故D项错误，故选：BC2．（多选）（23-24高二下·重庆·期末）下列求导运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【知识点】简单复合函数的导数、导数的运算法则【分析】利用求导四则运算和复合函数求导法则进行计算即可.【详解】A选项，，A错误；B选项，，B正确；C选项，，C正确；D选项，，D错误.故选：BC3．（多选）（23-24高二下·四川眉山·期末）下列求导结果正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【知识点】基本初等函数的导数公式【分析】根据基本初等函数的求导公式分别求导即可.【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D正确.故选：BCD.考点05利用导数求函数（不含参）的单调区间（共4小题）1．（23-24高二上·陕西西安·期末）函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）【分析】求出导函数，由得减区间．【详解】函数定义域是，由已知，由得，∴减区间为，故选：A．2．（23-24高二下·广东清远·期末）函数的单调递减区间为.【答案】【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）【分析】求出函数的导数，再解不等式得解.【详解】函数的定义域为R，求导得，由，得，解得，所以函数的单调递减区间为.故答案为：3．（22-23高三上·山东东营·期末）函数的单调递增区间为．【答案】，【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）【分析】对函数求导，判断导函数的正负，导函数分子无法判断正负，再对分子求导，利用导函数的单调性来判断导函数的正负，进而得出原函数的单调区间.【详解】因为函数，则．设，则，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，所以当时，，则当时，．所以的单调递增区间为，，故答案为：，.4．（23-24高二下·贵州黔南·期末）已知函数．(1)求函数在点处的切线方程；(2)求函数的单调区间．【答案】(1)(2)单调递减区间为，单调递增区间为．【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）【分析】（1）求出，求导得到，利用导函数几何意义得到切线方程；（2）求导，解不等式得到单调区间.【详解】（1）∵，∴，且，∴，∴函数在点处的切线方程为，即．（2）∵的定义域为R，∴由（1）得．令，解得，∴当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增，即函数的单调递减区间为，单调递增区间为．考点06由函数在区间上的单调性求参数（共10小题）1．（23-24高二下·河南驻马店·期末）若函数为定义域内的单调递增函数，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】由函数在区间上的单调性求参数【分析】由题意可知，在内恒成立，利用参变量分离法可得，利用导数求出函数的最大值，即可求得实数的取值范围；【详解】函数求导得由题意可知，在内恒成立，即在内恒成立，故，令，令，得，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；则函数在有最大值为，故，故选：B.2．（23-24高二下·辽宁·期末）若函数在区间上存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】由函数在区间上的单调性求参数【分析】求导后在区间上有解,等价于在区间上有解，分类讨论，计算即可.【详解】，因为在区间上存在单调递减区间，所以在区间上有解，即在区间上有解，当显然不出来；当时，，即，故选:C．3．（23-24高二下·天津·期末）已知函数存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究能成立问题【分析】由题意转化为存在，使，参变分离后，转化为求函数的最值问题，即可求解.【详解】，，由题意可知，存在，使，即，则，，当时，取得最小值，即，得.故选：B4．（23-24高二下·广东·期末）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】利用导数研究能成立问题、由函数在区间上的单调性求参数【分析】根据题意转化为导函数有解，参变分离有解，设，则实数，求导计算可得解；【详解】函数的定义域为,求导得，函数存在单调递减区间，所以有解，即有解，设，则实数，则，令，得，当时，在上递增；当时，在上递减；所以函数有最大值，因此.故选：D.5．（多选）（23-24高二·青海·期末）若函数在上单调递减，则a的取值可以是（

）A．0.39 B． C．0.42 D．【答案】BCD【知识点】由函数在区间上的单调性求参数【分析】求出导函数，根据恒成立确定出的范围，即可得．【详解】.当，时，，所以对恒成立，设，则且，则解得.故选：BCD．6．（23-24高二下·湖北·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是.【答案】【知识点】根据分段函数的单调性求参数、由函数的单调区间求参数【分析】根据题意，分和两种情况，作出函数的图象，结合图象，利用二次函数的对称性，列出不等式，即可求解.【详解】当时，，作出函数的图象，如图（1）所示，可得函数在上单调递增，满足题意；当时，，由二次函数的性质，可得函数在上单调递增，满足题意；当时，，作出函数的图象，如图（2）所示，要使得在上单调递增，则满足或，解得或，综上所述，的取值范围是.故答案为：.7．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知函数，若对任意，且，都有，则．【答案】4【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由函数在区间上的单调性求参数【分析】根据题意可得在上单调递增，从而可得在上恒成立，从而可得在上恒成立，再证明在上恒成立，即可求解.【详解】对任意且，都有，不妨设，对任意且，都有，对任意且，都有，设，对任意且，都有，在上单调递增，在上恒成立，在上恒成立，显然时，在上不恒成立，，在上恒成立，在上恒成立，又在上恒成立，证明如下:设，，当时，单调递减;当时，单调递增，，即，在上恒成立，故.故答案为：4.【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造得在上单调递增，再利用导数和分离参数法并利用经典不等式即可得到答案.8．（23-24高二下·重庆·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为.【答案】【知识点】由函数在区间上的单调性求参数【分析】求导可得，由题意可得对恒成立，求得上最大值，可求实数的取值范围.【详解】由，可得，因为在区间上单调递减，所以对恒成立，所以对恒成立，所以对恒成立(*).令，则所以在上单调递增，所以，所以为使（*）成立，必须且只需，所以实数的取值范围为.故答案为：.9．（23-24高二上·河南许昌·期末）若函数在其定义域的一个子区间上，不是单调函数，则实数k的取值范围是．【答案】【知识点】由函数在区间上的单调性求参数【分析】由题意求导结合函数单调性，列出不等式组即可求解.【详解】由题意单调递增，且，所以若函数在其定义域的一个子区间上，不是单调函数，则，解得.故答案为：.10．（22-23高三上·山东菏泽·期末）已知函数在上单调递减，设实数a的取值集合为M．(1)求；(2)若函数在区间M上单调递增，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)．【知识点】由对数（型）的单调性求参数、由函数的单调区间求参数【分析】(1)由导数与函数的单调性的关系列不等关系求；(2)根据对数函数的单调性和复合函数的单调性结论列不等式求m的取值范围．【详解】（1）因为，所以．因为函数在上单调递减，所以对成立，所以对成立，又所以，所以实数a的取值集合为；（2）函数在区间上单调递增，所以函数为上的增函数，且当时，恒成立，由函数性质可得所以0<m<2．所以m的取值范围为．考点07函数与导数图象之间的关系（共4小题）1．（多选）（23-24高二下·山东青岛·期末）已知为函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，且，则（

）

A．是的极小值点 B．有2个极大值点C．在区间单调递增 D．【答案】BCD【知识点】函数（导函数）图像与极值点的关系、函数与导函数图象之间的关系【分析】根据的图象判断的单调性及其极值情况，再结合各选项描述判断正误.【详解】A：由题意知，当时，，所以不是的极小值点，故A错误；由图知，当时，函数，递增，当时，函数，递减，当时，函数，递增，当时，函数，递减，所以当或时，取得极大值，故B正确；且在区间单调递增，故C正确；D：由题意知，由图，得，，所以区间内单位增长率大于1，且，可得，故D正确；故选：BCD2．（多选）（23-24高二下·广东广州·期末）函数的定义域为，导函数f′x在内的图象如图所示，则（

）

A．函数在上只有一个极小值点B．函数在上有两个极大值点C．函数在上可能没有零点D．函数在上一定不存在最小值【答案】ABC【知识点】函数与导函数图象之间的关系、零点存在性定理的应用、函数极值点的辨析、由导数求函数的最值（不含参）【分析】结合导函数的图象，判断函数的单调性，判断函数的极值，判断函数的零点，即可得到选项．【详解】解：由题意可知，函数的单调性是增函数减函数增函数减函数，即，时，函数取得极大值，在处取得极小值，所以A、B正确；若极小值是函数的最小值时，函数能取得最小值；所以D不正确；函数可能没有零点，所以C正确．故选：ABC．

3．（多选）（23-24高二下·河北邢台·期末）已知f′x是函数的导函数，且f′xA． B．C． D．在上单调递减【答案】ABD【知识点】函数与导函数图象之间的关系【分析】对函数求导后，由，得或或，然后分和结合导函数的图象分析判断即可.【详解】由题意得．由图可知有3个零点，则，令，得或或．当时，，若，则，不符合题意．当时，，则或时，，当或时，符合题意，A，B正确．由图可知，，得，C错误．因为当时，，所以在上单调递减，D正确．故选：ABD4．（多选）（23-24高二下·河南驻马店·期末）如图为函数的导函数图象，则以下说法正确的是（

）A．在区间递增B．的递减区间是C．为函数极大值D．的极值点个数为4【答案】ABD【知识点】函数与导函数图象之间的关系、利用导数求函数的单调区间（不含参）、函数极值点的辨析【分析】根据给定的导函数图象，确定函数的单调区间，再逐项分析判断即可.【详解】令函数的导数为，观察图象知，当或时，，当时，，且当时，；当或时，，因此函数在上单调递增，在上单调递减，AB正确；函数在处都取得极大值，在处都取得极小值，的极值点个数为4，D正确；由于在及邻近区域值得，因此在处没有极值，C错误.故选：ABD考点08利用导数讨论函数（含参）的单调区间（共6小题）1．（23-24高二下·山东威海·期末）设函数.(1)若直线是曲线的切线，求实数的值；(2)讨论的单调性；【答案】(1)(2)答案见解析【知识点】由导数求函数的最值（含参）、已知切线（斜率）求参数、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数证明不等式【分析】（1）设出切点，根据题意得出关于的方程组，解之即可得解；（2）求导，对进行分类讨论，根据导数与函数单调性的关系即可得解；【详解】（1）设切点为，，所以切线方程为，因为直线是曲线的切线，所以，即，化简切线方程得，所以，解得，所以.（2），当时，，所以在上单调递增，当时，令，解得，所以在上单调递增，令，解得，所以在上单调递减，综上可知，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减.2．（23-24高二下·河北石家庄·期末）设函数．(1)讨论的单调性；【答案】(1)答案见解析【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数证明不等式、函数单调性、极值与最值的综合应用【分析】（1）先求得，令，分类讨论的值即可求解；【详解】（1）由，，得，令，①当时，，则，所以在单调递增；②当时，，令，则，解得或，i)当时，当时，，当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减；ii)当时，当时，，当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减；综上，当时，在单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减．3．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数.(1)若，求在区间上的极值；(2)讨论函数的单调性；【答案】(1)极小值，无极大值(2)答案见解析【知识点】求已知函数的极值、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数证明不等式【分析】（1）利用导数可得在区间上的极值；（2）求出f′x分、讨论，可得答案；（3）当时只需证明，设，利用导数求出最小值可得答案.【详解】（1）当时，，则，1f0单调递减极小值单调递增∴fx在区间上有极小值f1（2）函数的定义域为，当时，，从而f′x<0，故函数在0,+∞当时，若，则，从而f′x<0若，则，从而f′x>0故函数在上单调递减，在上单调递增，综上所述，当时，函数在0,+∞上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增；4．（23-24高二下·福建莆田·期末）已知函数，.(1)若，求在上的值域；(2)讨论的单调性.【答案】(1)(2)答案见解析【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、由导数求函数的最值（不含参）【分析】（1）当时，，对求导，利用导数与函数单调性间的关系，得到在区间上单调递增，即可求出结果；（2）对求导，得到，再对进行分类讨，利用导数与函数单调性间的关系，即可求出结果.【详解】（1）当时，，又在区间恒成立，当且仅当时取等号，所以在区间上单调递增，得到在上的最小值为，最大值为，所以在上的值域为.（2）易知定义域为，因为，当时，时，，时，，当时，时，，时，，当时，在区间上恒成立，当且仅当时取等号，当时，时，，时，，综上所述，当时，的减区间为，增区间为；当时，的减区间为，增区间为；当时，的增区间为，无减区间；当时，的减区间为，增区间为.5．（23-24高二下·吉林·期末）已知函数.(1)若曲线在点处的切线方程为，求和的值；(2)讨论的单调性.【答案】(1)(2)答案见解析【知识点】已知切线（斜率）求参数、含参分类讨论求函数的单调区间【分析】（1）求导求得曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为，由已知可得，求解即可；（2）求导得，对分类讨论可求得的单调性.【详解】（1）因为，所以.由，得曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为即，则，解得，（2）.若，则当时，f′x<0，当x∈2,+∞若，则当时，f′x<0当时，f′x若，则f′x≥0在若，则当时，f′x<0，当时，f′综上所述，当时，在上单调递增，在0,2上单调递减，当时，在和上单调递增，在上单调递减，当时，在0,+∞上单调递增，当时，在0,2和上单调递增，在上单调递减.6．（23-24高二下·湖北·期末）已知.(1)判断的单调性；【答案】(1)答案见解析【知识点】根据极值求参数、含参分类讨论求函数的单调区间、求已知函数的极值【分析】（1）求得，分、、和，四种情况讨论，即可求得函数的单调性；【详解】（1）解：由函数，其定义域为可得，令，可得①当时，即时，当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增；②当时，即时，可得，则在单调递增；③当时，即时，当时，；当时，；当时，，所以在和单调递增，在单调递减；④当时，即时，当时，；当时，；当时，，所以在和单调递增，在单调递减；综上所述：当时，在单调递减，在单调递增；当时，在单调递增；当时，在和单调递增，在单调递减；当时，在和单调递增，在单调递减.考点09求函数的极值（极值点）（共5小题）1．（23-24高二下·山东菏泽·期末）函数的极小值为.【答案】【知识点】求已知函数的极值【分析】求出函数的定义域与导函数，从而求出函数的单调区间，即可求出函数的极小值.【详解】函数的定义域为，又，所以当或时，当或时，所以在，上单调递增，在，上单调递减，所以在处取得极小值，即极小值为.故答案为：2．（23-24高二下·辽宁大连·期末）设函数，曲线在点处的切线方程为.(1)求的值：(2)求函数的极值.【答案】(1)(2)极大值为，极小值为.【知识点】已知切线（斜率）求参数、求已知函数的极值【分析】（1）利用切点既在曲线上又在切线上及导数的几何意义即可求解；（2）根据（1）的结论，求出函数，利用导数法求函数的极值的步骤即可求解.【详解】（1）因为，所以，，切线过点，,由导数的几何意义可知，斜率,.（2）由（1）知，，可得，，令，则，解得或，当或时，f′x>0当时，f′x所以在和上单调递增，在−2,3上单调递减，从而可知是函数的极大值点，极大值为，是函数的极小值点，极小值为.所以函数的极大值为，极小值为.3．（23-24高二下·辽宁·期末）已知函数在点处的切线与x轴平行．(1)求a的值；(2)求的单调区间与极值．【答案】(1)(2)在上单调递减，在上单调递增，极小值5，函数无极大值．【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值、利用导数求函数的单调区间（不含参）【分析】（1）由求解；（2）求导，给出函数的单调性求出极值．【详解】（1）解：因为，所以，即，（2）因为的定义域为，由（1）知，所以，当时，，当时，所以在上单调递减，在上单调递增所以当时，取得极小值，函数无极大值．4．（23-24高二下·吉林长春·期末）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的单调区间和极值.【答案】(1)(2)答案见详解【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值、利用导数求函数的单调区间（不含参）【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程；（2）根据导数求单调区间，进而可得极值.【详解】（1）因为，则，可得，，即切点坐标为，斜率，所以切线方程为，即.（2）因为函数的定义域为R，由（1）可知：，令f′x>0，解得；令f′所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为，且函数的极小值为，无极大值.5．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知函数.(1)求曲线在处的切线方程；(2)求的极值.【答案】(1)；(2)当时，取得极大值；当x=0时，取得极小值0．【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值【分析】（1）先求导函数再代入求出斜率结合点斜式即可写出切线方程；（2）先求出导函数再根据导数正负得出单调性即可求出极值.【详解】（1）由，得切点为，，从而切线的斜率，故所求的切线方程为，即．（2）的定义域为，且，令，得或，当x变化时，，的变化情况如下表x00,+f＋0－0＋单调递增单调递减0单调递增作出的图象，如图由图可知当时，取得极大值；当x=0时，取得极小值0．考点10根据函数的极值（极值点）求参数（共5小题）1．（23-24高二下·青海海南·期末）已知函数在处取得极大值，则实数（

）A．1 B．3 C．1或3 D．1或【答案】B【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据极值点求参数【分析】先由在处取得极大值求得值，再分别分析与时的在处的极值情况，从而得解.【详解】因为，所以，因为在处取得极大值，所以，解得或，当时，，令，解得或，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，不符合题意；当时，，令，解得或，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极大值，符合题意；综上，.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是求得值后，要进行检验满足题意与否，从而得解.2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）函数有2个极值点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】根据极值点求参数【分析】求出函数的定义域及导数，函数有2个极值点，则方程在上有2个不同的实数根，列不等式组即可得答案.【详解】的定义域为，，因为有2个极值点，所以方程在上有2个不等的实数根，所以，解得.故选：B.3．（多选）（23-24高二下·广东东莞·期末）已知函数在处取到极大值1，则以下结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【知识点】根据极值求参数、根据极值点求参数、用导数判断或证明已知函数的单调性【分析】对函数进行求导，根据极值点导数意义，判断A，B；根据函数在处取到极大值，则函数在的附近单调性为“左增右减”，用导数正负来判断C，D.【详解】因为fx=ax函数在处取到极大值1.则，则A正确；两式子相减，得到，即，则B正确；由前面知道，，则，由于函数在处取到极大值，则函数的附近单调性为“左增右减”.则，对于时，，即，即，即，即，则.则C正确，D错误.故选：ABC.4．（23-24高二下·河北石家庄·期末）函数在处有极值10，则实数．【答案】【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据极值点求参数、根据极值求参数【分析】将函数求导，由题意得和，联立求得，再回代检验是否符合题意即得.【详解】由求导得，，依题意，①，②，联立①，②，解得：或.当，时，，，函数为增函数，显然不符合题意，故舍去；当，时，，，当时，f′x<0，此时为减函数，当时，f′x>0，此时为增函数，故在处有极小值为，符合题意.故答案为：.5．（23-24高二下·河北·期末）已知是函数的极大值点，则.【答案】【知识点】求已知函数的极值点【分析】求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极大值点即可.【详解】由题可知，令，则，解得，.当或时，f′x>0，当时，f′所以的单调递增区间为，单调递减区间为，故为极大值点.故答案为：.考点11求函数的最值（共5小题）1．（23-24高二下·山东聊城·期末）设函数，若的最小值为，则的最大值为（

）A． B． C．0 D．【答案】B【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、已知函数最值求参数【分析】利用导数求出函数的单调区间，从而可表示出函数的最小值，然后列方程可求出的值，从而可求出最大值.【详解】由，得，由，得，由，得，所以在上递减，在上递增，所以，因为的最小值为，所以，所以，因为，，所以的最大值为.故选：B2．（23-24高二下·天津西青·期末）函数．(1)求在处的切线方程；(2)求在区间上的最值．【答案】(1)(2)最大值是，最小值是【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参）、导数的运算法则、求已知函数的极值【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案；（2）令，求出其解，判断函数在上的单调性，求出端点处的函数值以及极值，比较大小，即得答案.【详解】（1）由已知得：，则，当时，，故在处的切线方程为：，即为：；（2）．令：，得或，则关系如下：，x2+0-0+单调递增极大值单调递减极小值单调递增在单调递增，在单调递减，，所以，，所以函数在区间上的最大值是，最小值是．3．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期末）已知函数在处取得极值，在点处的切线的斜率为.(1)求的解析式；(2)求在区间上的单调区间和最值.【答案】(1)；(2)答案见详解.【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、根据极值点求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参）【分析】（1）由题意得，待定系数可得函数，再验证处取到极值即可；（2）先通过函数的导函数得函数的单调区间及极值，再比较区间端点处的函数值与极值大小可得最值.【详解】（1）函数，x∈R则，依题意，，解得，所以，当时，f′x<0，当时，f′x>0，则在处取得极值，满足题意.所以的解析式是.（2）由（1）知，，，当时，f′x>0，当时，f′x<0，当时，f′x>0，故在处取得极大值，在处取得极小值，又，因此.所以在区间上的单调递减区间为，单调递增区间为，的最大值为，的最小值为.4．（23-24高二下·河南新乡·期末）已知函数.(1)求的单调区间；(2)当时，求在上的最小值与最大值.【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为(2)答案见解析【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数求函数的单调区间（不含参）【分析】（1）先求导函数再根据导数正负求出单调区间即可；（2）先根据函数的单调性结合自变量的区间分类讨论求最值即可；【详解】（1）.令，得；令f′x<0，得；令f′所以的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）当时，.由（1）知，在处取得极大值，且极大值为.当时，在上单调递增，.当时，，若，则，因为，所以.5．（23-24高二下·北京房山·期末）已知函数(1)求函数的极值点；(2)若的极小值为，求函数在上的最大值．【答案】(1)是函数的极小值点；是函数的极大值点.(2)最大值.【知识点】求已知函数的极值、由导数求函数的最值（不含参）、根据极值求参数【分析】（1）先求导函数再根据导函数正负得出函数的极值；（2）先根据极小值求出a，再根据极值及边界值求最大值即可.【详解】（1），

令，得或.

f′x，f00递减a递增递减所以是函数的极小值点；是函数的极大值点.（2）因为的极小值为，即解得，又，

.所以当时，取得最大值.考点12根据函数的最值求参数（共4小题）1．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知函数在上的最大值为4，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】已知函数最值求参数【分析】先求导可得，可求得的极值点，同时确认在各个区间的单调性，即可求得.【详解】由题意知，令，得或，在和上，所以在和单调递增，在上，所以在单调递减，令求得，或，又因在上的最大值为4，故舍弃，又在上单调递减，所以在上，在单调递增，所以当时，，所以a的取值范围为，故选：D2．（23-24高二下·山东临沂·期末）已知函数的值域为，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】求二次函数的值域或最值、由导数求函数的最值（不含参）、分段函数的值域或最值【分析】分段求出函数值域，再根据函数值域为，求参数的取值范围.【详解】当时，，所以在上恒成立，所以函数在上单调递增，所以，.当时，，若即，函数在上单调递增，在上单调递减，所以，.又函数的值域为，所以，（）；若即，函数在上单调递增，所以，.又函数的值域为，所以（）.综上可知：或.故选：C3．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若函数在上的最小值为2，求负实数a的值．【答案】(1)答案见解析(2)【知识点】已知函数最值求参数、含参分类讨论求函数的单调区间、利用函数单调性求最值或值域【分析】（1）求导可得，分类讨论、时对应的单调性即可；（2）由（1）可知的单调性，即可求解.【详解】（1）函数的定义域为，.当时，，则在上单调递增；当时，由得；由得，故在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，则函数在上的最小值为，解得.4．（22-23高二上·江苏淮安·期末）已知函数，．(1)当时，求函数的极值；(2)当时，若函数在上的最小值为，求实数a的值．【答案】(1)的极小值为，极大值为11；(2).【知识点】求已知函数的极值、已知函数最值求参数【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的极值作答.（3）利用导数探讨函数在的单调性，求出最小值即可求解作答.【详解】（1）当时，函数定义域为R，，当或时，，当时，，即函数在，上递减，在上递增，因此当时，取得极小值，当时，取得极大值，所以的极小值为，极大值为11．（2）函数，，求导得，因为，则由得，显然，当时，，当时，，因此函数在上单调递增，在上单调递减，而，，则函数在上的最小值为，解得，所以实数a的值为1.压轴一：利用切线解决距离问题（共5小题）1．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】D【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的加减法【分析】化简已知条件，得到两个函数，利用导数求出切线的斜率，利用两平行线间的距离求解即可.【详解】根据条件得到表示的是曲线上两点的距离的平方.∵，∴，由，可得x=1，此时.∴曲线在处的切线方程为，即：.直线与直线的距离为，∴的最小值为2，∴的最小值为2.故选：D.2．（23-24高二下·河北邢台·期末）已知为函数，图象上一动点，则点到直线的距离的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】已知切线（斜率）求参数、求点到直线的距离、简单复合函数的导数【分析】分析可知当曲线在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小，结合导数的几何意义运算求解.【详解】设，由题意得，当曲线在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小，则，得，，所以点到直线的距离的最小值为．故选：A.3．（23-24高二下·河南漯河·期末）点是曲线上任意一点，则点到的最短距离为（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】已知切线（斜率）求参数、求点到直线的距离、用导数判断或证明已知函数的单调性【分析】根据在点处的切线与平行时，点到的距离最小，利用导数求切点坐标，然后由点到直线的距离公式可得.【详解】记，则，当时，，当时，所以fx在上单调递减，在上单调递增，易知，当在点处的切线与平行时，点到的距离最小，设Px0,y0解得，则，此时，点到的距离为.故选：B4．（23-24高二上·江苏盐城·期末）若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（

）A．1 B． C． D．【答案】D【知识点】已知切线（斜率）求参数、求点到直线的距离、导数的运算法则【分析】求出平行于的直线与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式可得结论．【详解】设，函数的定义域为，求导得，当曲线在点处的切线平行于直线时，，则，而，解得，于是，平行于的直线与曲线相切的切点坐标为，所以点到直线的最小距离即点到直线的距离．故选：D5．（23-24高二上·山西大同·期末）已知函数，其中，若使得成立，则实数的取值集合为．【答案】【知识点】基本初等函数的导数公式、已知切线（斜率）求参数【分析】根据两点间距离公式，函数可看作上任意一点与图象上任意一点的距离的平方，利用平行的切线切点求解即可.【详解】设，，则函数可看作hx图象上任意一点与图象上任意一点的距离的平方．设函数hx在点的切线平行于直线，由，令，解得，所以切点坐标为，点到直线的距离，此时的最小值为8．所以存在唯一的，使．过点且与直线垂直的直线方程为，联立，解得，．所以，时，存在，使成立．故答案为：压轴二：构造函数解决不等式问题（共5小题）1．（23-24高二下·湖北·期末）已知定义在上的函数的导函数为，对于任意的实数都有，且时，．若，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、比较函数值的大小关系【分析】构造函数，由奇偶性定义判断为偶函数，再由导数结合得出其单调性，最后由单调性以及奇偶性比较大小即可.【详解】解：令，对于任意的实数都有，即为偶函数；；当时，，当时，为增函数；又，，即.故选：C.2．（23-24高二下·内蒙古·期末）已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式【分析】首先构造函数，利用导数判断函数的单调性，再求解不等式.【详解】设，，所以函数单调递增，，即，得，所以，所以不等式的解集为.故选：D3．（23-24高二上·福建福州·期末）已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式【分析】令，对函数求导，利用的单调性可得答案.【详解】设，因为，所以，对函数求导，得，因为，所以，所以函数是实数集上的增函数，因此由.故选：D.4．（23-24高三上·江苏扬州·期末）已知函数的导数为，对任意实数，都有，且，则的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式【分析】构造并判断单调性，利用单调性解不等式求解集.【详解】由，可得，令，结合，则，所以在R上递减，故，则原不等式解集为.故选：A5．（22-23高二上·云南昆明·期末）已知定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、根据函数的单调性解不等式【分析】令，求导分析，可得在上单调递减，不等式可等价转化为，根据单调性可得答案．【详解】令，，，在上单调递减，又，，不等式可化为，，故选：B.压轴三：构造函数比较大小（共5小题）1．（23-24高二上·安徽阜阳·期末）设，则（

）A． B．C． D．【答案】A【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系、利用导数求函数的单调区间（不含参）【分析】构造函数，用导数求函数fx的单调性，即可求得题目.【详解】由，设函数，则，当时，单调递减，因为，所以，所以．故选：A．2．（23-24高二下·云南保山·期末）已知，比较三个数的大小，则有（

）A． B．C． D．【答案】A【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系【分析】分别构造函数，，利用导数求导，得单调性求解．【详解】设，则，所以在上单调递增，故时，恒成立，即，所以有，故；设，则，所以在上单调递减，故时，恒成立，即，所以有，，得，综上：，故选：A．3．（23-24高二下·河南郑州·期末）设，则（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、比较指数幂的大小【分析】构造函数，利用导数研究单调性，即可比较，，由，可比较，，从而得到答案【详解】构造函数，所以，即在上单调递增，所以，即，即，所以，又因为，所以，则，故选：B4．（23-24高二下·四川攀枝花·期末）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】A【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性【分析】设分析函数的单调性，可得的大小关系；设函数，分析函数单调性，可得的大小.【详解】设，（），因为，由；由.所以函数在上递减，在上递增.所以，又，，所以.再设，（），因为，由；由.所以函数在上递减，在上递增.所以.又，即.故.故选：A5．（23-24高二下·湖北武汉·期末）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】A【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性【分析】利用指数对数的运算法则，构造函数利用导数判断函数的单调性，即可求解.【详解】因为，构造函数则，，，令所以，当，为增函数，当，为减函数，所以因为，又因为，所以，所以.故选：A压轴四：利用导数研究函数的恒成立问题（共5小题）1．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知函数．(1)当时，求过点的切线方程；(2)若有极值且恒成立，求的取值范围．【答案】(1)(2)【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）【分析】（1）求出、，利用直线的点斜式方程可得答案；（2）转化为，利用导数求出最小值，由可得答案．【详解】（1）的定义域，当时，，，，，所以过点的切线方程为，即；（2）由得，．当时，，在上单调递减，无极值，故舍去；当时，，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以存在极小值，且．令，，，因为，所以，所以在上单调递增，且，由得，所以．2．（23-24高二下·广西·期末）设，.(1)求函数，的单调区间和极值；(2)若关于x不等式在区间上恒成立，求实数a的值.【答案】(1)增区间：与；减区间：与.极小值为，极大值为，(2)【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、求已知函数的极值【分析】（1）求函数的导函数，解不等式可得函数的单调递增区间，解不等式可得函数的单调递减区间，解方程，由此确定函数的极值点；（2）令，由已知可得在区间上恒成立，证明当时，函数单调递增，再判断时，不满足要求，由此确定的范围.【详解】（1）由题设，有，可得令可得，所以，所以函数在区间上单调递增；令可得，解得，.函数在区间上单调递增；令可得，所以，所以，函数在上的递增区间为：与；递减区间为：.当时，函数取极大值，极大值为，当时，函数取极小值，极小值为，（2）关于不等式在区间恒成立，即：在区间上恒成立.令，则，令则，由（1）知：在上的极大值为，又，从而在上的最大值为1，即在上恒成立.于是在上恒成立，所以在上单调递增；从而，当时，，当且仅当时等号成立，所以在上单调递增；从而在上恒成立.所以，当时在上恒成立.当时，存在，使得，当时，，函数在上单调递减，又，所以当时，，与已知矛盾，综合上述，得：.3．（23-24高二下·安徽滁州·期末）已知函数.(1)当时，求的最大值；(2)若在定义域上恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)0(2)【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参）【分析】（1）在函数表达式中代入，利用导数研究函数单调性、最值即可；（2）求导得，对的取值进行适当划分并分类讨论即可求解.【详解】（1）当时，，恒成立，∴fx在上单调递减.所以，当时，的最大值是0；（2），.当时，恒成立，则fx在上单调递增.，不满足题意.当时，.在上恒成立，∴fx在上单调递增.，不满足题意.当时，令.（i）若时，，令，∴fx在上单调递增，上单调递减.所以当时，矛盾，不满足题意.（ii）若时，在上恒成立，∴fx在上单调递减.，满足题意.综上所述，的取值范围为满足题意.【点睛】关键点点睛：第二问的关键是求导后，找到适当的临界值，对进行分类讨论，由此即可顺利得解.4．（23-24高二下·黑龙江绥化·期末）已知函数，．(1)若在上有两个极值点，求a的取值范围；(2)证明：若在上恒成立，则．【答案】(1)；(2)证明见解析【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点、利用导数研究不等式恒成立问题【分析】（1）首先由方程，参变分离为方程有两个不同的正根，转化为利用导数分析函数，的图形，利用数形结合求实数取值范围；（2）首先将不等式参变分离为恒成立，转化为利用导数分析函数的最值.【详解】（1）由题可得，若在0,+∞上有两个极值点，则关于x的方程有两个不同的正实根，即方程有两个不同的正实根．令，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，又当时，，当时，，所以，即，所以a的取值范围为．（2）由题得在[0,)上恒成立，即恒成立．令，，当时，，所以函数在1,+∞上单调递增，当时，．令（），则（），所以函数在[0,1)上单调递增，，，所以在区间上存在唯一零点，使得函数在上小于零，在上大于零，即在区间上大于零，在区间上小于零，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在1,+∞上单调递增，又，所以，所以，原式得证．【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用导数求函数的最值，其中涉及导数求函数的二次导数，且涉及隐零点问题，求函数的最值.5．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围；(3)若恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)(3)【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、由导数求函数的最值（含参）、利用导数研究不等式恒成立问题【分析】（1）求导，对分类讨论，根据导数与单调性的关系，即可求解；（2）根据函数的单调性可得最值，即可代入求解，（3）参变分离，得，构造新函数，利用导数求最值即可求得．【详解】（1），当时，，所以在单调递增.当时，令，解得，当当，所以在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）知，，故，即为，令，，所以在上单调递增.且，所以，故的取值范围为（3）由，得，令，所以，由于均为上的单调递增函数，且值恒为正，又为单调递增函数，故函数在上单调递增，又，故存在唯一的使得，当时，，当时，，，所以当时，单调递减，当时，单调递增，且，由，则，所以，设，，所以在单调递增，，即，所以，故所以,即所以的取值范围是【点睛】关键点点睛：由得，利用的单调性得，进而根据指对互化得，，代入求最值.压轴五：利用导数研究函数的能成立问题（共5小题）1．（23-24高三上·福建福州·期末）设函数，若关于x的不等式有且只有三个整数解，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究能成立问题【分析】把不等式转化为，令，求得，令，在上单调递增，存在唯一的使得，得出函数的单调性，结合，，，，的值和题设条件，得出，求解即可.【详解】∵，等价于.令则，令，在上单调递增，又由，，∴存在唯一的使得，当时，，，单调递减；当时，，，单调递增，又，，，，.所以当有且仅有三个整数解时，有，解得，即实数a的取值范围是.故选：B2．（23-24高二下·吉林长春·期末）若存在，使成立，则的取值范围是．【答案】【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题【分析】由题意可得以，令，利用导数判断出函数在上的单调性即可得答案.【详解】由，可得，因为，所以，所以，令，则，所以函数在上单调递增，又因为，所以，所以，所以的取值范围为.故答案为：.3．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知若存在，使得成立，则的最大值为.【答案】/【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题【分析】根据两函数的同构特征，不难发现，考查利用函数的单调性推得，从而将转化为，最后通过的最大值求得的最大值.【详解】因则，由知时，，即函数在上单调递增.由可得：且,故得：，则，不妨设，则，故当时，，递增，当时，，递减，即，故的最大值为.故答案为：.4．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知函数，使得成立，则实数的最大值为．【答案】/【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题【分析】首先不等式参变分离为在能成立，再构造函数，利用导数求函数的最大值，即可求解.【详解】在能成立，即在能成立，即，，令，则，令有，故当时，，单调递增；当时，，单调递减，故，即实数的最大值为.故答案为：5．（2022·广西柳州·二模）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围.【答案】(1)分类讨论，答案见解析；(2).【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论求出函数的单调区间作答.（2）利用（1）的结论求出在上的最大值，再利用给定条件，构建不等式并分离参数，构造函数，求出函数最大值作答.【详解】（1）函数的定义域为，求导得，而，当时，由得，由得，因此函数在上单调递减，在上单调递增，当时，由得，由得，因此函数在上单调递减，在上单调递增.（2）当时，由（1）知，函数在上单调递减，而，则，任意，存在，使等价于，恒成立，则有，成立，令，则，当时，，当时，，即有在上单调递增，在上单调递减，，因此当时，最大值为，则，所以实数的取值范围是.压轴六：利用导数研究函数的零点方程的根（共5小题）1．（23-24高二下·海南海口·期末）已知函数.(1)当时，求在区间上的极大值；(2)若在区间上有零点，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点【分析】（1）直接利用导数研究函数的单调性与极值即可；（2）分离参数，将问题等价转化为在定区间上有解，构造函数，利用导数研究其单调性与最值即可.【详解】（1）当时，，所以，由三角函数性质可知时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，即是函数在区间上的极大值；（2）问题等价转化为在区间上有解，令，，则，令，所以单调递减，则，即，故在时单调递减，此时，所以.2．（23-24高二下·北京大兴·期末）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求的零点个数．【答案】(1)(2)2【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点【分析】（1）由导数的几何意义求解即可；（2）利用导数分析函数的单调性，极值，判断函数的零点即可.【详解】（1）因为，所以，所以切点为1,0，，所以切线的斜率为，所以切线的方程为.（2）的定义域为：0,+∞，，令，解得，或，当时，，所以单调递增；当时，，所以单调递减；当x∈1,+∞时，，所以单调递增；所以当时，有极大值为，当时，有极小值为，所以为函数的一个零点，当时，，所以在上有一个零点，故函数有2个零点.3．（23-24高二上·浙江丽水·期末）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若函数有三个零点，求实数a的取值范围.【答案】(1)(2)【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；（2）由题意可得是函数的一个零点，故方程有两个不同的非零实数根，令，则可转化为求的范围问题，即可得a的取值范围.【详解】（1），则，又，所以的切线方程为；（2），故是函数的一个零点，由题意可知，方程有两个不同的非零实数根，显然不合题意，令，则，设，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故，又时，，时，，故，即.4．（23-24高二下·山东聊城·期末）已知函数.(1)当时，求的单调区间；(2)若的导函数满足恒成立.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）讨论零点的个数.【答案】(1)见解析(2)（Ⅰ）（Ⅱ）见解析【知识点】利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间、根据极值点求参数【分析】（1）分类讨论，，，结合导数得出单调区间；（2）（Ⅰ）根据极值的定义确定是的极小值点，进而得出的值；（Ⅱ）分离参数，构造函数，并结合导数得出其图像，数形结合得出零点的个数.【详解】（1）时，，当时，在R上单调递减；当时，，若，则时，单调递减；时，单调递增；若，则时，单调递增；时，单调递减；综上，时，的单调减区间为，无单调增区间；时，的单调减区间为，单调增区间为；时，的单调增区间为，单调减区间为；（2）（Ⅰ）由，得，因为恒成立，所以是的最小值，即是的极小值点.令，且，解得.此时时，单调递减，即单调递减；时，单调递增，即单调递增，所以，符合题意.

故.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，因为，所以零点的个数等价于方程实根的个数.令，则，所以当或时，；当或时，，即在和上单调递增，在和上单调递减，当时，，，所以，又，所以的大致图象如图所示:所以当或或时，方程恰有一个实根，零点的个数为1；当或时，方程恰有两个实根，零点的个数为2；当时，方程无实根，零点的个数为0.【点睛】关键点睛：解决问题（Ⅱ）时，关键在于分离参数，构造函数，利用导数得出单调性，进而由图像判断零点个数.5．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数.(1)在处切线斜率为2，求；(2)当时，①，证明：；②判断的零点个数，并说明理由.【答案】(1)；(2)①证明见解析；②两个【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、已知切线（斜率）求参数、用导数判断或证明已知函数的单调性【分析】（1）根据导数的几何意义代入计算解方程可得；（2）①对函数求导并构造函数利用函数单调性即可证明得出结论；②对不同区间上的单调性进行分类讨论，并利用零点存在定理可得在上有两个零点.【详解】（1）由可得，可得，解得；（2）当时，，其定义域为；可得；①当时，令，则，令，则；因此可知hx在上单调递增，即，因此，可得在上单调递增；所以，即在上单调递增，因此，即可得时，；②由h′x>0，可知hx易知当趋近于时，hx趋近于，又；根据零点存在定理可得hx在上存在唯一零点；设，，即可得时，hx<0；时，hx所以f′x在上单调递减，在上单调递增，因此，当趋近于时，f′x趋近于，令，所以在上单调递增，上单调递减，0,+∞上单调递增；即可得，当趋近于时，趋近于，即可得在上有唯一零点，且，即的一个零点为0，0,+∞上无零点，综上可知，在上有两个零点.【点睛】方法点睛：求解函数零点问题时，要利用导数求出函数单调性并由零点存在定理得出零点所在区间，即可求得函数的零点个数.压轴七：利用导数研究双变量问题（共5小题）1．（23-24高二下·天津·期末）已知函数为的导函数，已知曲线y=fx在处的切线的斜率为3.(1)求的值；(2)证明：当时，；(3)若对任意两个正实数，且，有，求证：.【答案】(1)2(2)证明见解析(3)证明见解析【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题【分析】（1）由求得值；（2）设，利用导数确定其单调性后可证；（3）不妨设，令，由进行转化后把用表示，把要证不等式化为关于的不等式，再利用导数进行证明．【详解】（1）由，可知，因为y=fx在1,f所以.所以.（2）证明：由（1）知，不妨设，则.令因为，所以在1,+∞上单调递增，.故，所以在1,+∞上单调递增，，所以.（3）由（1）知，不妨设，令由即得，即.即，则，所以，要证.设，则.则在1,+∞上单调递减，，故成立.【点睛】方法点睛：关于函数中两个变量的问题的处理，一般需要进行消元，化二元为一元（多元为少元至一元），处理方法可以设，（或，然后利用的关系，如或是函数的极值点之类的，把与有关的等式或不等式表示为关于的函数的等式或不等式，再利用函数的导数进行求解证明．2．（23-24高二下·重庆·期末）设为自然对数的底数，已知函数.(1)当函数图象的切线经过原点时，求切线的方程；(2)当实数满足且，求的最大值.【答案】(1)或；(2)8【知识点】求过一点的切线方程、利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题【分析】（1）首先求函数的导数，再设切点，利用导数的几何意义求切线方程，并代入原点，即可求解切点，以及切