专题03 直线的方程及其位置关系（考点清单+知识导图+16个考点清单-题型解读）（原卷版）-25学年高二数学上学期期末考点大串讲

清单03直线的方程及其位置关系（个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】直线斜率的坐标公式如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式：（1）当时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在；（2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换；（3）当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行。【清单02】两条直线平行对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有.对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点(1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②与不重合．(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则.(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：或，斜率都不存在.【清单03】两条直线垂直如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直，即.对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点(1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②且.(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．(3)判定两条直线垂直的一般结论为：或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．【清单04】直线的点斜式方程已知条件（使用前提）直线过点和斜率（已知一点+斜率）图示点斜式方程形式适用条件斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程）【清单05】直线的斜截式方程已知条件（使用前提）直线的斜率为且在轴上的纵截距为（已知斜率+纵截距）图示点斜式方程形式适用条件斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程）【清单06】直线的截距式方程已知条件（使用前提）直线在轴上的截距为，在轴上的截距为图示点斜式方程形式适用条件，【清单07】直线的一般式方程定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方程(其中,不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.说明：1．、不全为零才能表示一条直线，若、全为零则不能表示一条直线.当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线．当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线．由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线．2．在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程.3.解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式.【清单08】两条直线的交点坐标直线：（）和：（）的公共点的坐标与方程组的解一一对应.与相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；与平行方程组无解；与重合方程组有无数个解.【清单09】两点间的距离平面上任意两点，间的距离公式为特别地，原点与任一点的距离.【清单10】点到直线的距离平面上任意一点到直线：的距离.【清单11】两条平行线间的距离一般地，两条平行直线：（）：（）间的距离.【清单12】对称问题点关于直线对称问题（联立两个方程）求点关于直线：的对称点①设中点为利用中点坐标公式得，将代入直线：中；②整理得：【考点题型一】斜率与倾斜角变换关系核心方法：图象法【例1】（24-25高二上·湖北黄冈·期中）已知点，若，则直线AB的倾斜角的取值范围为（

）A． B．C． D．【变式1-1】（24-25高二上·河北张家口·期中）如图，直线，，，的斜率分别为，，，，则（

）

A． B．C． D．【变式1-2】（24-25高二上·广东广州·期中）设直线l的斜率为k，且，则直线l的倾斜角的取值范围为（

）A． B．C． D．【考点题型二】直线与线段有公共点，求斜率取值范围核心方法：图象法【例2】（24-25高二上·广东惠州·期中）已知点，过点的直线与线段（含端点）有公共点，则直线的斜率的取值范围为（

）A． B．C． D．【变式2-1】（24-25高二上·河南信阳·期中）已知，B2,1，，经过点C作直线l，若直线l与线段AB没有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为（

）A． B．C． D．【变式2-2】（24-25高二上·广东深圳·期中）已知点，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（

）A． B． C． D．[1,4]【考点题型三】利用斜率的几何意义求代数值（范围）核心方法：图象+转化【例3】（2024高二·全国·专题练习）已知实数x，y满足，且．(1)求的取值范围；(2)求的取值范围．【变式3-1】（22-23高二上·四川雅安·开学考试）已知实数x，y满足，且，求的最大值和最小值.【考点题型四】求直线方程【例4】（24-25高二上·重庆·期中）已知的三个顶点分别是，，.(1)求边上的高所在的直线方程；(2)求边上的中线所在的直线方程；(3)求角平分线所在的直线方程.【变式4-1】（24-25高二上·天津滨海新·期中）已知点，，，根据条件求出直线方程，并化为一般式方程(1)求过点A且与平行的直线方程；(2)边上的中线所在直线的方程；(3)边上的高所在直线方程；(4)边的垂直平分线的方程.【考点题型五】两条直线平行与垂直关系的判定核心方法：斜率相等或斜率相乘为-1【例5】（24-25高二上·贵州六盘水·期中）（1）已知，，，判断，，三点是否在同一条直线上；（2）已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，判断与是否垂直.【变式5-1】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）（1）判断下列不同的直线与是否平行：的斜率为2，经过两点；（2）判断下列直线与是否垂直；的倾斜角为45°，经过两点．【变式5-2】（24-25高二上·全国·课堂例题）判断下列两条直线是否垂直，并说明理由：(1)，；(2)，；(3)，．【考点题型六】根据两条直线平行与垂直关系求参数核心方法：斜率相等或斜率相乘为-1【例6-1】（24-25高二上·浙江·期中）已知，两直线，若，则的最小值为（

）A．12 B．20 C．26 D．32【变式6-1】（24-25高二上·广东·期中）已知直线与.若，则（

）A． B．1 C． D．2【变式6-2】（24-25高二上·福建福州·期中）直线与直线平行，则．【变式6-3】（24-25高二上·辽宁·期中）已知直线：，：，若，则的值为.【考点题型七】求平行，垂直的直线方程核心方法：斜率相等或斜率相乘为-1【例7】（24-25高二上·云南楚雄·阶段练习）求满足下列条件的直线的方程：(1)直线过点，且与直线平行；(2)直线过点，且与直线垂直.【变式7-1】（24-25高二上·北京顺义·期中）经过点且与直线平行的直线方程为（

）A． B．C． D．【变式7-2】（24-25高二上·江苏盐城·期中）过点，且与直线垂直的直线方程是（

）A． B．C． D．【考点题型八】直线过定点问题核心方法：两条直线相交交点坐标【例8】（24-25高二上·江苏扬州·期中）对于任意的实数，直线恒过定点（

）A． B． C． D．【变式8-1】（24-25高二上·浙江·期中）直线经过的定点坐标为.【变式8-2】（24-25高二上·浙江·期中）直线经过的定点坐标是．【考点题型九】直线与坐标轴围成图形面积问题（定值）核心方法：三角形面积公式【例9】（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知的顶点，边AB上的中线CD所在直线方程为，边AC上的高线BE所在直线方程为．(1)求边BC所在直线的方程；(2)求的面积．【变式9-1】（24-25高二上·福建福州·期中）已知的三个顶点是，，.(1)求边上的高所在的直线方程；(2)求的面积.【变式9-2】（24-25高二上·山东烟台·期中）已知的顶点，边上的高所在直线方程为，的平分线所在的直线方程为．(1)求直线的方程和点C的坐标；(2)求的面积．【考点题型十】直线与坐标轴围成图形面积问题（最值）核心方法：三角形面积公式+基本不等式【例10】（24-25高二上·福建福州·期中）平面直角坐标系Oxy中，射线，，过作直线分别与交于A，B两点.(1)若，求直线的方程;(2)求面积的最小值.【变式10-1】（24-25高二上·广东·期中）已知直线.(1)求原点到直线l距离的最大值：(2)若直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点，当面积最小时，求对应的直线l的方程.【变式10-2】（24-25高二上·福建福州·阶段练习）已知直线.(1)直线经过定点吗？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，说明理由；(2)求原点到直线距离的最大值；(3)若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于两点，当面积最小时，求对应的直线的方程.【考点题型十一】易错点根据截距求直线方程核心方法：分类讨论【例11】（24-25高二上·福建三明·阶段练习）直线l过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为．【变式11-1】（24-25高二上·安徽亳州·阶段练习）若直线过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为.【变式11-2】（2024·陕西西安·一模）过点，在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为．【考点题型十二】点关于直线对称点【例12】（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期中）点关于直线对称的点的坐标为．【变式12-1】（24-25高二上·广东汕尾·阶段练习）设点关于直线的对称点为，则点的坐标为．【变式12-2】（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）已知点，则点P关于直线的对称点的坐标是．【考点题型十三】直线关于点对称问题(求关于点的对称直线，则）核心方法：方法一：在直线上找一点，求点关于点对称的点，根据，再由点斜式求解；方法二：由，设出的直线方程，由点到两直线的距离相等求参数.方法三：在直线任意一点，求该点关于点对称的点，则该点在直线上.【例13】（23-24高二上·全国·课后作业）直线关于点对称的直线的方程为．【变式13-1】（23-24高一下·江西抚州）与直线关于原点对称的直线的方程为.【变式13-2】（24-24高二·全国·课后作业）已知直线与关于点对称，则.【考点题型十四】直线关于直线对称问题（两直线平行）核心方法：直线：（）和：（）平行,求关于直线的对称直线①②在直线上任取一点，求点关于直线的对称点，利用点斜式求直线.【例14】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与关于直线对称，求直线的方程.【变式14-1】（2024高三·全国·专题练习）直线关于直线对称的直线方程为【变式14-2】（24-25高二·全国·课后作业）已知直线，，．（1）求直线关于直线的对称直线的方程；（2）求直线关于直线的对称直线的方程．【考点题型十五】直线关于直线对称问题（两直线相交）核心方法：对称性【例15】（23-24高三上·湖北·阶段练习）直线关于轴对称的直线方程是（

）A． B．C． D．【变式15-1】（24-25高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程是.【变式15-2】（2024·福建厦门·模拟预测）已知直线：关于直线的对称直线为轴，则的方程为.【考点题型十六】将军饮马问题核心方法：对称性【例16】（23-24高二上·江苏泰州·阶段练习）已知点，，点在直线上，则的最小值为.【变式16-1】（24-25高二上·吉林长春·期中）已知为直线上的一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【变式16-2】（24-25高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知点，直线，在直线上找一点使得最小，则这个最小值为（

）A． B．8 C．9 D．10提升训练一、单选题1．（24-25高二上·湖北·期中）已知三点，则过点的直线与线段AB有公共点时，直线斜率的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·北京·期中）若直线：与直线：平行，则（

）A．3 B．C．3或 D．3或13．（24-25高二上·山东济南·期中）“”是“直线与直线平行”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（24-25高二上·山东济南·阶段练习）已知点，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围（

）A． B．C． D．5．（24-25高三上·北京丰台·期中）已知函数过定点M，点M在直线上且，则的最小值为（）A． B． C． D．6．（24-25高二上·重庆·开学考试）已知点，在直线上存在一点，使最小，则点坐标为（

）A． B． C． D．7．（24-25高二上·山东济南·阶段练习），函数的最小值为（

）A．2 B． C． D．8．（24-25高二上·山东济南·期中）若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二、多选题9．（24-25高二上·江苏常州·期中）设a为实数，直线，，则（

）A．当时，不经过第一象限 B．的充要条件是C．若，则或 D．恒过点10．（24-25高二上·全国·单元测试）已知两条直线，的方程分别为与，下列结论正确的是（

）A．