专题06 椭圆+双曲线 离心率+焦点三角形问题（期末压轴专项训练30题）（解析版）-25学年高二数学上学期期末考点大串讲

专题06椭圆+双曲线离心率焦点三角形问题（期末压轴专项训练30题）一、单选题1．设椭圆：（）的左、右焦点分别为，，直线过点.若点关于的对称点恰好在椭圆上，且，则的离心率为（

）.A． B． C． D．【答案】C【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围【分析】利用椭圆的定义结合余弦定理求解出，结合求解出离心率的值.【详解】如图，由已知可得，，，由椭圆定义，得，在中，由余弦定理得，所以，又，整理得，又椭圆的离心率，所以，解得或（舍去），所以的离心率.故选：C.2．已知、为椭圆的左、右焦点，点为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】余弦定理解三角形、椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的面积问题【分析】根据椭圆的定义，余弦定理，面积相等即可求解．【详解】如图，由椭圆定义可知，且，又，利用余弦定理可知：，化简可得，所以的面积为，设的外接圆半径为，内切圆半径为，由正弦定理可得，可得，易知的周长为，利用等面积法可知，解得，又的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，即，所以，即可得，所以，离心率.故选：3．已知，是椭圆：的左、右焦点，是的下顶点，直线与的另一个交点为，且满足，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】余弦定理解三角形、椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围【分析】先利用椭圆的定义及勾股定理用表示出，在△中求出，再在△中，通过余弦定理得到与的关系，即可求出离心率.【详解】由题意得，，令，则∵，∴，即，∴，,在△中，，在△中，，∴，∴.故选：A.4．在平面直角坐标系中，，为双曲线的左、右焦点，，P为E左支上异于顶点的一点，直线PM平分，，，则E的离心率为（

）A． B．2 C． D．4【答案】A【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围【分析】由题意得，设与交于点，可得，利用双曲线定义可得，由离心率公式计算即可.【详解】由，得，设与交于点，如图，由直线PM平分，且，可得为等腰三角形，则为的中点，可得，又因为，可得，即，所以双曲线E的离心率为.故选：A.5．已知双曲线的左顶点为，左，右焦点分别为，，且关于它的一条渐近线的对称点为，若以为圆心，为半径的圆过原点，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围【分析】根据题意可知，根据渐近线和中位线可知，即可得离心率.【详解】由题意可知：，设与渐近线的交点为，则为的中点，且，则点到直线的距离，可得，又因为分别为的中点，则，即，所以双曲线的离心率为.故选：B.6．已知双曲线的一个顶点为，左、右焦点分别为，，直线经过，且与交于，两点.若，，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围【分析】设，则，利用双曲线的定义表示，，由勾股定理可得关系进而可得离心率．【详解】由题意知，，且A，B都在双曲线的右支上．设，则，，．在中，，得，则，.在中，，即，得．所以双曲线C的离心率为.故选：B二、多选题7．设椭圆：的左、右焦点分别为，，是椭圆上的动点，则下列说法中正确的是（

）A． B．椭圆的离心率C．的最大值是 D．面积的最大值为【答案】ACD【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的最值问题【分析】由椭圆方程得出，由椭圆的定义判断A；由离心率公式判断B；设根据二次函数的性质判断C；面积，结合的范围判断D【详解】因为椭圆C的方程，故，由椭圆的定义可知，故A正确；离心率，故B错；由椭圆性质可知，所以的最大值是3，故C对；因为，又，当时，即P在短轴的顶点时面积的取得最大值，，故D对；故选：ACD8．已知椭圆分别为的左、右焦点，A，B分别为的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，且点到距离的最大值和最小值分别为3和1.下列结论正确的是（

）A．椭圆的离心率为B．存在点，使得C．若，则外接圆的面积为D．的最小值为【答案】ACD【知识点】正弦定理求外接圆半径、基本不等式求和的最小值、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中存在定点满足某条件问题【分析】A由题可得，然后可计算离心率；B等价于判断方程组是否有解；C设，由余弦定理及题目条件可得，然后由正弦定理可得外接圆半径，即可判断选项正误；D设，可将化为，后由基本不等式可得最小值.【详解】A选项，因为点是椭圆上的一个动点，且点到距离的最大值和最小值分别为3和1，故有：，解得：，椭圆的离心率，故A正确；B选项，若椭圆上存在点，使得，则点在圆上，又因为方程组无解，故B错误；C选项，设，则，若，即，在中，由余弦定理可得，因为，所以，根据正弦定理可知，，故C正确；D选项，设，则：，令，则，所以，当且仅当，即时取“=”，所以的最小值为，故D正确.故选：ACD【点睛】方法点睛：对于外接圆问题，常联想正弦定理，外心，向量等知识；对于最值问题，常联想基本不等式，函数单调性，导数等知识.9．已知椭圆的左、右焦点分别为，左右顶点为，，过左焦点斜率存在且不为的直线交椭圆于两点，过的切线为，的中点为，若，则下列说法正确的是（

）A．的离心率为 B．的周长为C． D．【答案】ABD【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围【分析】由离心率的齐次式可得A正确；由椭圆的定义可得B正确，由当点的横坐标在到之间变化时，可得C错误；由点差法，椭圆的第三定义，椭圆的切线方程的设法可得D正确；【详解】A，，故A正确；B，的周长为，由可得周长为，故B正确；

C，因为，所以，当与点重合时，，当点的横坐标为时，，所以当点的横坐标在到之间变化时，的长度一定有小于的情况，故C错误；D，设，因为在椭圆上，所以，两式相减可得，即，设过点的切线方程为，则，，所以，又，所以，又，即，代入斜率表达式并结合化简可得，所以，故D正确；故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题D选项的关键是能够用点差法表示以及过点的切线方程的设法为.10．已知点是椭圆：上一点，，是椭圆的左、右焦点，且的面积为4，则下列说法正确的是（

）A．点的纵坐标为 B．C．的周长为 D．的内切圆半径为【答案】BC【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、椭圆中焦点三角形的面积问题、椭圆中焦点三角形的其他问题【分析】此题先算出椭圆的基本量，运用三角形面积公式即得；再利用点的坐标易于求得的边长，运用勾股定理逆定理即得；根据椭圆的定义式可得的周长；最后利用面积相等即得内切圆半径.【详解】依题意，不妨设点，由可得故，则的面积为解得：，对于A选项，由上分析知点的纵坐标为，故A项错误；对于B选项，由知，此时点为椭圆短轴顶点，故，又由知，故B项正确；对于C选项，因点在椭圆上，故有于是的周长为故C项正确；对于D选项，设的内切圆半径为，则由三角形面积相等可得：，解之得：故D项错误.故选：BC.11．已知椭圆分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（

）A．椭圆离心率为B．C．若，则的面积为D．最大值为【答案】BCD【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的面积问题【分析】由椭圆方程得到的值，根据离心率的定义可判断A，根据椭圆的定义可判断B，根据勾股定理和椭圆的定义可得到，从而由三角形面积公式可判断C，由对勾函数可判断D.【详解】由椭圆方程可知，，，，所以椭圆的离心率，故A错误；由椭圆定义知，故B正确；又，因为，所以，，解得：，所以的面积为，故C正确；因为，即，设，由对勾函数的性质可得函数在上单调递减，在上单调递增，且，所以，所以，故D正确.故选：BCD.12．《文心雕龙》中说“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立”，意思是自然界的事物都是成双成对的.已知动点到定点的距离和它到直线的距离的比是常数.若某条直线上存在这样的点，则称该直线为“成双直线”，下列说法正确的是（

）A．动点的轨迹方程为：B．的最大值为16C．点为动点的轨迹上的任意一点，，，则的面积为D．直线与动点的轨迹交于两点，则的最小值为【答案】AD【知识点】椭圆的对称性、轨迹问题——椭圆、求椭圆中的最值问题、椭圆中焦点三角形的面积问题【分析】首先利用轨迹法求点的轨迹方程，再利用椭圆的性质和定义，以及基本不等式，即可判断选项.【详解】设，则，化简为，故A正确；B.由A可知，，的最大值为，故B错误；C.由椭圆方程可知，点是椭圆的左焦点，则，即，，，所以，则，故C错误；D.四边形是平行四边形，即，,当，即时，等号成立，所以则的最小值为，故D正确.故选：AD13．已知是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，则下列说法正确的是（

）A．椭圆的离心率为 B．存在点，使得C．的最小值为 D．内切圆半径的最大值为【答案】AD【知识点】根据椭圆的有界性求范围或最值、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求椭圆中的最值问题、椭圆中焦点三角形的其他问题【分析】对于A：根据椭圆方程可得，即可得离心率；对于B：分析可知以为直径的圆与椭圆没有交点，即可判断B；对于C：整理可得，结合的范围分析判断；对于D：利用等面积法可得，进而分析的面积的最值即可.【详解】不妨设分别是左、右焦点.对于选项A：由椭圆方程可得a=2，，，所以椭圆的离心率为，故A正确；对于选项B：因为，可知以为直径的圆与椭圆没有交点，所以不存在点使得，故B错误；对于选项C：由于对有，，从而.所以不可能以为最小值，故C错误；对于选项D：设内切圆半径为，则，故.当且仅当点为短轴顶点时，取到最大值，所以内切圆半径的最大值为，故D正确；故选：AD.14．已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则（

）A．椭圆的离心率为B．的周长为6C．若，则的面积为3D．若，则【答案】ABD【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中焦点三角形的其他问题【分析】对A，根据题意可得，即可求解；对B，根据椭圆的定义判断即可；对C，根据余弦定理结合椭圆的定义判断即可；对D，根据余弦定理与椭圆的定义求解即可．【详解】对A，由题意，，故，，故A正确；对B，的周长为，故B正确；对C，，，当且仅当时，等号成立，因为在上递减，所以此时最大，又，，所以的最大值为，，不成立，故C错误；对D，由余弦定理，即，解得，故，故D正确；故选：ABD15．设椭圆的焦点为、，点在椭圆上，则（

）A．焦点、坐标为， B．的最大值为7，最小值为1C． D．为直角三角形的顶点有4个【答案】BC【知识点】椭圆上点到焦点的距离及最值、根据椭圆方程求a、b、c、求椭圆的焦点、焦距、椭圆中焦点三角形的其他问题【分析】根据椭圆的方程可得焦点坐标判断A，根据椭圆的性质判断B，根据椭圆的定义判断C，根据为直角三角形确定M个数判断D.【详解】由椭圆，可知，且焦点在上，则，焦点坐标，，故A错误；由椭圆的性质知，的最大值为，最小值为，故B正确；由椭圆的定义知，，故C正确；因为，所以以为直径的圆与椭圆有4个交点，当在交点时，为直角三角形有4个，当或垂直轴时，为直角三角形有4个，故为直角三角形的顶点共有8个，故D错误.故选：BC16．已知双曲线的左，右焦点分别为F1−c,0、，直线与双曲线右支相交于（其中在一象限），若，则列说法正确的是（

）A． B．C． D．的面积为15【答案】ACD【知识点】余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题【分析】根据题意，然后根据双曲线的定义，结合通过余弦定理即可得出结果.【详解】，因为,则，A正确；由，根据双曲线的定义可得，知，则，中由余弦定理可得，解得(舍)或，故B错误；设，则中由余弦定理,可得，则，C正确；，D正确；故选：ACD17．已知双曲线的一条渐近线的方程为，上、下焦点分别为，下列判断正确的是（

）A．的方程为B．的离心率为C．若点为的上支上的任意一点，，则的最小值为D．若点为的上支上的一点，则△的内切圆的半径为【答案】ACD【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、利用定义求双曲线中线段和、差的最值、根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线的离心率或离心率的取值范围【分析】根据渐近线方程求，根据双曲线方程求离心率，即可判断AB，根据双曲线的定义，结合数形结合判断C，根据双曲线方程求点的坐标，再根据的面积和周长，即可求内切圆的半径，判断D.【详解】A.由双曲线方程可知，双曲线的渐近线方程为，又双曲线的一条渐近线方程为，所以，所以的方程为，故A正确；B.由双曲线的方程，可知，，，则，所以离心率，故B错误；C.，，，当点三点共线且依序排列时，等号成立，所以的最小值为，故C正确；D.D.的方程为，当时，，，，计算可得，，，所以的面积为，的周长为，设△的内切圆的半径为，则，得，故D正确.故选：ACD18．已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，点是它们的一个公共点，且在圆上，椭圆和双曲线的离心率分别为，且，则下列说法正确的是（

）A．B．双曲线的方程为C．的面积为D．的周长为【答案】ABC【知识点】椭圆定义及辨析、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、椭圆中三角形（四边形）的面积【分析】结合对称性，利用椭圆与双曲线的定义可得，，再由点在圆上得，消去可得的关系，即，联立解得，进而可得，再依选项逐个求解判断可得.【详解】由题意知，设焦距为，则.设椭圆的长轴长为，短轴长为，双曲线的实轴长为，虚轴长为，根据对称性，不妨设椭圆与双曲线的交点在第一象限，由椭圆的定义知，，则由双曲线的定义知，，则由两式相加化简得，点在圆上，，，则，则，又，A项，联立，解得，，故A正确；B项，由A可知，，，解得，，则，所以双曲线方程为，故B正确；C项，由，，则，所以的面积，故C正确；D项，的周长为，故D错误.故选：ABC.19．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作斜率为的直线与双曲线的右支交于，两点（在第一象限），，为线段的中点，为坐标原点，则（

）A．B．双曲线的离心率为C．的面积为D．直线的斜率为【答案】ABD【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、求弦中点所在的直线方程或斜率【分析】利用双曲线的定义求出、，可判断A选项；在中，应用余弦定理可得出关于、的齐次等式，可求得双曲线的离心率，可判断B选项；利用三角形的面积公式可判断C选项；利用点差法求出直线的斜率，可判断D选项.【详解】如下图所示：对于A选项，因为，所以，由双曲线的定义可得，所以，，所以选项A正确，对于B选项，设直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则为锐角且，由可得，则，在中，由余弦定理得，即，等式两边同时除以可得，因为，解得，所以选项B正确，对于C选项，因为，则为钝角，所以，，所以选项C错误，对于D选项，设Ax1,y1，B因为，则，由，得，所以，则，则直线的斜率为，所以选项D正确，故选：ABD．20．如图，是椭圆：与双曲线：（，）在第一象限的交点，且，共焦点，，，的离心率为，则下列结论正确的是（

）

A．， B．若双曲线的方程是，则C．若，则 D．的面积为【答案】ABD【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的面积问题、椭圆中焦点三角形的其他问题【分析】对于A：根据椭圆、双曲线的定义运算求解即可；对于B：可得，结合选项A可得，，即可得结果；对于C：根据题意利用余弦定理分析可得，即可得离心率；对于D：根据余弦定理结合椭圆、双曲线的定义整理可得，进而可求面积.【详解】对于选项A：由椭圆：可知，即，双曲线：可知，且点在第一象限，则，解得，故A正确；对于选项B：若双曲线的方程是，则，可得，，则，即，所以，故B正确；对于选项C：若，在中，由余弦定理可得，即，解得，所以，故C错误；对于选项D：在中，由余弦定理可得，结合椭圆定义可得，即，整理可得，结合双曲线的定义可得，即，整理可得，则，且为锐角，可得，所以的面积为，故D正确；故选：ABD.21．已知分别是双曲线的左右焦点，点是圆上的动点，下列说法正确的是（

）A．三角形的周长是12B．若双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的焦距为8，则双曲线为C．若，则的位置不唯一D．若是双曲线左支上一动点，则的最小值是【答案】ACD【知识点】双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的焦距、根据双曲线的渐近线求标准方程【分析】结合双曲线和圆的性质以及点到直线的距离公式可得A正确；由相同渐近线方程设出双曲线方程，再由焦距解出即可得B错误；由椭圆的轨迹和圆的位置关系得到C正确；由双曲线的定义结合点与圆的位置关系得到D正确；【详解】由题意可得双曲线，，，，，，圆心坐标，半径，A，，，，所以三角形的周长是12，故A正确；B，由题意可设双曲线的方程为或，变形为标准形式或，，又双曲线的焦距为8，所以，所以双曲线为或，故B错误；C，，所以点轨迹为以为焦点的椭圆，且，，，所以轨迹方程为，圆心坐标代入椭圆方程可得，所以圆心在椭圆上，又点是圆上点，画出图形可得所以，的位置不唯一，故C正确；D，由双曲线的定义可得，所以，所以，因为，所以当三点共线时，取得最小值，又因为的最小值为，所以的最小值是，故D正确；故选：ACD.三、填空题22．已知椭圆：，过左焦点作直线与圆：相切于点，与椭圆在第一象限的交点为，且，则椭圆离心率为.【答案】【知识点】余弦定理解三角形、由直线与圆的位置关系求参数、椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围【分析】由题意利用直线与圆相切可得，再由余弦定理计算得出，利用椭圆定义即可得出离心率.【详解】设椭圆右焦点为，连接，如下图所示：由圆：可知圆心，半径；显然，且，因此可得，所以，可得；即可得，又易知；由余弦定理可得，解得，再由椭圆定义可得，即，因此离心率.故答案为：23．古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆方程，、为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经椭圆上的点和点反射后，满足，，则该椭圆的离心率为．

【答案】/【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的其他问题【分析】由题意，作图，利用三角函数的性质，可设线段的表示，根据齐次方程的思想，可得答案.【详解】由题意，可作图如下：

则，，即，可设，，，由，则，即，，在中，，则.故答案为：.24．已知双曲线的左、右焦点分别为、，若双曲线的左支上一点满足，以为圆心的圆与的延长线相切于点，且，则双曲线的离心率为.【答案】【知识点】正弦定理解三角形、双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围【分析】先根据正弦定理结合双曲线定义求得，然后根据相切对应的垂直关系结合勾股定理得到关于的方程，则离心率可求.【详解】在中，由正弦定理得，且，由，得，由，得为的中点，则，又以为圆心的圆与的延长线相切于点，则，，由，得，则，所以双曲线的离心率.故答案为：25．已知是椭圆：的一个焦点，是的上顶点，的延长线交于点，若，则C的离心率是.【答案】/【知识点】二倍角的余弦公式、余弦定理解三角形、椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围【分析】根据给定条件，结合椭圆的对称性及定义、余弦定理求得，再利用二倍角公式及离心率的几何意义求出离心率.【详解】不妨设是椭圆的左焦点，是的右焦点，的焦距为，连接，则，又，所以，在中，由余弦定理得，则，即，所以.故答案为：26．已知椭圆：（）与双曲线：（，）有共同的焦点，，点P为两曲线的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，那么的最小值为.【答案】【知识点】基本不等式求和的最小值、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围【分析】分别在椭圆和双曲线中，利用焦点三角形中的余弦定理建立等量关系，再构造，利用基本不等式，即可求解.【详解】设两曲线的半焦距为，由余弦定理得：，在椭圆中，，得，在双曲线中，，得，从而，得，则，，即，，即，所以.当且仅当时等号成立.故答案为：.27．设为椭圆与双曲线的公共