湖北省随州市部分高中2025届高三上学期12月月考数学试卷（含解析）

2024年秋季湖北省随州市部分高中12月月考高三数学试题本试卷共4页，全卷满分150分，考试用时120分钟。考试时间：2024年12月21日8:00——10:00★祝考试顺利★考试范围：高中全部高考内容注意事项：1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置。2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4、考试结束后，请将答题卡上交。一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、若0<m<1,则不等式(x-m)<0的解集为()A. B.C. D.2、sin15°cos45°+sin105°sin135°=()A. B. C. D.13、已知cosα=,sin(β-α)=-,α,β均为锐角,则β=()A. B.C. D.4、在平面直角坐标系中,O为坐标原点,,若绕点O逆时针旋转60°得到向量,则=()A.(0,1) B.(1,0)C. D.5、如图,已知棱长为2的正方体ABCD⁃A1B1C1D1,点E为线段CD1的中点,则直线AE与平面A1BCD1所成角的正切值为()A. B.C. D.6、已知椭圆C:16x2+4y2=1,则下列结论正确的是()A.长轴长为 B.焦距为C.短轴长为 D.离心率为7、10名工人某天生产同一零件,生产的件数是:15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a,中位数为b,众数为c,则有()A.a>b>c B.c>b>aC.c>a>b D.b>c>a8、甲、乙两羽毛球运动员之间的训练,要进行三场比赛,且这三场比赛可看做三次伯努利试验,若甲至少取胜一次的概率为,则甲恰好取胜一次的概率为()A.B.C.D.二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9、(多选题)已知函数f(x)=ex-ax有两个零点x1,x2,且x1<x2,则下列说法正确的是()A.a>eB.x1+x2>2C.x1x2>1D.有极小值点x0,且x1+x2<2x010、(多选题)已知向量a,b满足a·b=1,|b|=1,且|a+b|=,则()A.|a|=2 B.a⊥(a-b)C.a与b的夹角为 D.a与b的夹角为11、(多选题)下列说法正确的是()A.在经验回归方程=-0.85x+2.3中,当解释变量x每增加1个单位时,响应变量平均减少2.3个单位B.在经验回归方程=-0.85x+2.3中,相对于样本点(1,1.2)的残差为-0.25C.在残差图中,残差分布的水平带状区域的宽度越窄,其模型的拟合效果越好D.若两个变量的决定系数R2越大,表示残差平方和越小,即模型的拟合效果越好三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分12、函数y=的单调递减区间是。

13、已知数列{an}满足a1=2,an+1=3an-2n+1,则an=。

14、设P为直线l:2x+y+9=0上的任一点,过点P作圆x2+y2=9的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,则直线AB恒过定点。

四、解答题：本题共5小题，共77分15、（本小题满分15分）设函数y=f(x)的不动点集合为A,稳定点集合为B,求证:(1)A⊆B;(2)若函数f(x)单调递增,则A=B。16、（本小题满分15分）已知函数f(x)=ax-sinx。(1)若函数f(x)为增函数,求实数a的取值范围;(2)求证:当x>0时,ex>2sinx。17、（本小题满分15分）已知正项数列{an},其前n项和Sn满足an(2Sn-an)=1(n∈N*)。(ⅰ)求证:数列{}是等差数列,并求出Sn的表达式;(ⅱ)数列{an}中是否存在连续三项ak,ak+1,ak+2,使得,,构成等差数列?请说明理由。18、（本小题满分16分）如图所示,在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点。(1)求证:B1E⊥AD1;(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,请说明理由。19、（本小题满分16分）为丰富学生的课外活动,某学校羽毛球社团举办羽毛球团体赛,赛制采取5局3胜制,每局都是单打模式,每队有5名队员,比赛中每名队员至多上场一次且上场顺序是随机的,每局比赛结果互不影响,经过小组赛后,最终甲乙两队进入最后的决赛,根据前期比赛的数据统计,甲队明星队员M对乙队的每名队员的胜率均为,甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为。(注:比赛结果没有平局)(1)求甲队明星队员M在前4局比赛中不上场的前提下,甲乙两队比赛4局,甲队获得最终胜利的概率;(2)求甲乙两队比赛3局,甲队获得最终胜利的概率;(3)若已知甲乙两队比赛3局,甲队获得最终胜利,求甲队明星队员M上场的概率。高三数学试题参考答案一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、解析当0<m<1时,m<,所以不等式的解集为。故选D。2、解析因为sin105°=sin(90°+15°)=cos15°,sin135°=sin(180°-45°)=sin45°,所以sin15°cos45°+sin105°sin135°=sin15°cos45°+cos15°sin45°=sin(15°+45°)=sin60°=。故选C。3、解析因为cosα=,sin(β-α)=-<0,α,β均为锐角,所以sinα=,β-α∈,可得cos(β-α)=,sinβ=sin[(β-α)+α]=sin(β-α)cosα+cos(β-α)sinα=-,所以β=。故选B。4、解析因为,所以与x轴的夹角为30°,依题意,向量与x轴的夹角为90°,则点B在y轴正半轴上,且||=1,所以点B(0,1),则=(0,1)。故选A。5、解析(图略)连接AB1,设AB1与A1B交于点F,易知AF⊥A1B,AF⊥BC,且A1B∩BC=B,A1B,BC⊂平面A1BCD1,所以AF⊥平面A1BCD1。连接EF,则∠AEF是直线AE与平面A1BCD1所成的角,tan∠AEF=。故选A。6、解析把椭圆方程16x2+4y2=1化为标准方程可得=1,所以a=,b=,c=,则长轴长2a=1,焦距2c=,短轴长2b=,离心率e=。故选D。7、解析从小到大排列此数据为:10,12,14,14,15,15,16,17,17,17。平均数为×(10+12+14×2+15×2+16+17×3)=14.7;数据17出现了三次,17为众数;第5位、第6位均是15,故15为中位数。所以a=14.7,b=15,c=17,即a<b<c。故选B。8、解析假设事件A=“甲取胜”,设每场比赛甲胜的概率为p,由题意得,事件A发生的次数X~B(3,p),则有1-(1-p)3=,得p=,则事件A恰好发生一次的概率为。故选C。二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9、解析由f(x)=ex-ax知f'(x)=ex-a。f(x)有极小值点x=lna,而极小值f(lna)=a-alna<0,所以a>e,A正确。f(x)有两个零点x1,x2,则-ax1=0,-ax2=0,即x1=lna+lnx1①,x2=lna+lnx2②。①-②,得x1-x2=lnx1-lnx2,根据对数均值不等式,,得x1+x2>2,而1>,因此x1x2<1,B正确,C错误。由①+②,得x1+x2=2lna+lnx1x2<2lna,即x1+x2<2x0,D正确。故选ABD。10、解析因为a·b=1,|b|=1,且|a+b|=,所以a2+2a·b+b2=7,则|a|2+2+1=7,则|a|=2,故A正确;因为a·(a-b)=a2-a·b=3≠0,所以a与a-b不垂直,故B错误;cos<a,b>=,又<a,b>∈[0,π],所以a与b的夹角为,故C正确,D错误。故选AC。11、解析对于A,根据经验回归方程,当解释变量x每增加1个单位时,响应变量y平均减少0.85个单位,故A错误;对于B,当解释变量x=1时,响应变量=1.45,则样本点(1,1.2)的残差为-0.25,故B正确;对于C,在残差图中,残差分布的水平带状区域的宽度越窄,说明拟合精度越高,即拟合效果越好,故C正确;对于D,由决定系数R2的意义可知,R2越大,表示残差平方和越小,即模型的拟合效果越好,故D正确。故选BCD。三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分12、解析因为y==-1+,故其单调递减区间为(-∞,-1),(-1,+∞)。13、解析因为an+1=3an-2n+1,所以an+1-(n+1)=3(an-n),所以=3,又因为a1-1=2-1=1≠0,所以{an-n}是首项为1,公比为3的等比数列,所以an-n=3n-1,所以an=3n-1+n。14、解析因为P是直线l:2x+y+9=0上的任一点,所以设P(m,-2m-9),由于圆x2+y2=9的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,所以OA⊥PA,OB⊥PB,则点A,B在以线段OP为直径的圆上,即线段AB是圆O和圆C的公共弦,则圆心C的坐标是,且半径的平方是r2=,所以圆C的方程是①,又x2+y2=9②,②-①得mx-(2m+9)y-9=0,即公共弦AB所在的直线方程是mx-(2m+9)y-9=0,即m(x-2y)-(9y+9)=0,由所以直线AB恒过定点(-2,-1)。四、解答题：本题共5小题，共77分15、（本小题满分15分）【证明】(1)不妨设x0∈A,则由题知f(x0)=x0,则f(f(x0))=f(x0)=x0,故x0∈B,所以A⊆B。(2)设t∈B,则f(f(t))=t,因为函数f(x)单调递增,所以存在唯一a,使f(t)=a,f(a)=t,若a<t,则f(a)<f(t),得到t<a,与a<t矛盾;若a>t,则f(a)>f(t),得到t>a,与a>t矛盾,故必有a=t,所以f(t)=t,即t∈A,又由(1)知A⊆B,所以,当函数f(x)单调递增时,A=B。16、（本小题满分15分）解(1)因为f(x)=ax-sinx,所以f'(x)=a-cosx,由函数f(x)为增函数,则f'(x)=a-cosx≥0恒成立,即a≥cosx在R上恒成立,因为y=cosx∈[-1,1],所以a≥1,即实数a的取值范围是[1,+∞)。(2)证明:由(1)知,当a=1时,f(x)=x-sinx为增函数,当x>0时,f(x)>f(0)=0⇒x>sinx,要证当x>0时,ex>2sinx,只需证当x>0时,ex>2x,即证ex-2x>0在(0,+∞)上恒成立,设g(x)=ex-2x(x>0),则g'(x)=ex-2,令g'(x)=0,解得x=ln2,所以g(x)在(0,ln2)上单调递减,在(ln2,+∞)上单调递增,所以g(x)min=g(ln2)=eln2-2ln2=2(1-ln2)>0,所以g(x)≥g(ln2)>0,所以ex>2x成立,故当x>0时,ex>2sinx。17、（本小题满分15分）解(ⅰ)证明:由an(2Sn-an)=1,得(Sn-Sn-1)(Sn+Sn-1)=1(n∈N*,n≥2),所以=1(n≥2,n∈N*)。又a1(2S1-a1)==1,an>0,所以a1=1,=1。所以{}是以=1为首项,公差为1的等差数列,所以=n,Sn=(n∈N*)。(ⅱ)数列{an}中不存在连续三项ak,ak+1,ak+2,使得,,构成等差数列。理由如下:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=,因为当n=1时,a1=1,符合上式,所以an=(n∈N*),所以。假设数列{an}中存在连续三项ak,ak+1,ak+2,使得,,构成等差数列,则2()=,即,两边同时平方,得k+1+k+2··,所以(k+1)k=(k-1)(k+2)。整理得k2+k=k2+k-2,得0=-2,又0≠-2,所以假设错误,所以数列{an}中不存在连续三项ak,ak+1,ak+2,使得,,构成等差数列。18、（本小题满分16分）解(1)证明:以A为原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系。设AB=a,则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E,B1(a,0,1)。故=(0,1,1),·×0+1×1+(-1)×1=0,所以,即B1E⊥AD1。(2)存在满足要求的点P,假设在棱AA1上存在一点P(0,0,z0),0≤z0≤1,使得DP∥平面B1AE,此时=(0,-1,z0)。设平面B1AE的法向量为n=(x,y,z)。=(a,0,1),。因为n⊥平面B1AE,所以n⊥,n⊥,得取x=1,则故n=是平面B1AE的一个法向量。要使DP∥平面B1AE,只需n⊥,即-az0=0,解得z0=。所以存在点P,满足DP∥平面B1AE,此时A