高考数学一轮复习第五章第三节平面向量的数量积及综合应用课件

第五章

平面向量、复数第三节平面向量的数量积及综合应用·考试要求·1．理解平面向量数量积的概念及其物理意义．2．了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、物理问题以及其他一些实际问题．必备知识落实“四基”

×××√

√

∠AOB0≤θ≤π0π

√

√

|a||b|cos

θ03．数量积a·b的几何意义：数量积a·b等于向量a的长度与向量b在向量a的方向上的投影的乘积．4．运算律：对于向量a，b，c和实数λ，有(1)a·b＝______；(2)(λa)·b＝_________＝_________；(3)(a＋b)·c＝____________．注意点：由a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，两边不能约去同一个向量．b·aλ(a·b)a·(λb)a·c＋b·c

核心回扣已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.结论符号表示坐标表示模夹角a⊥b的充要条件_________x1x2＋y1y2＝0a·b|与|a||b|的关系||a·b|≤|a||b|

a·b＝0【常用结论】1．平面向量数量积运算的常用公式：(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2．有关向量夹角的两个结论：(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.应用1已知a，b为非零向量，则“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件B

解析：根据向量数量积的定义可知，若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或零角；若a与b的夹角为锐角，则一定有a·b>0，所以“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件．√

核心考点提升“四能”

√

√

计算平面向量数量积的主要方法(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos

〈a，b〉．(2)利用坐标运算：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用基底法求数量积．(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义．

√

√(3)(2023·新高考全国Ⅰ卷)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(

)A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1C．λμ＝1 D．λμ＝－1D

解析：

因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)．由(a＋λb)⊥(a＋μb)，可得(a＋λb)·(a＋μb)＝0，即(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.√

√

[变式]本例中条件改为“m＝(sinα－2，－cos

α－1)，n＝(－sinα，cos

α)”，若m∥n，求tanα.解：由m∥n得(－sinα)(－cos

α－1)＝(sinα－2)cos

α，化简得sinα＝－2cosα，所以tanα＝－2.平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式时，先运用向量相关知识，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)当给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式时，其解题思路是通过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性求解．

向量求最值(范围)的常用方法(1)利用三角函数求最值(范围)．(2)利用基本不等式求最值(范围)．(3)建立坐标系，设变量，构造函数求最值(范围)．(4)数形结合，应用图形的几何性质求最值．

√

√

平面向量与三角形的“四心”

在近几年的高考中经常考查向量的数量积及灵活运用，并需要一定的计算技巧，考查考生的理性思维的广度和深度以及进一步学习的能力，符合对数学能力考查的命题思想．在高考命题中，三角形的“四心”显得非常重要．平面几何中三角形的“四心”，即三角形的内心、外心、重心、垂心．在引入向量这个工具后，我们可以从动和静两个角度看三角形中的“四心”的向量表示：其一可以使我们对三角形中的“四心”有全新的认识；其二使我们对向量形式的多样性和向量运算的灵活性有更清楚的认识