高考数学一轮复习第十章第九节概率、统计与其他知识的交汇问题课件

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第九节概率、统计与其他知识的交汇问题·考试要求·1．会求概率、统计与不等式的综合问题．2．会求概率、统计与函数的综合问题．3．会求概率、统计与数列的综合问题．核心考点提升“四能”

(2)当γ＝0时，若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望E(X)的最大值．解：若γ＝0，此时每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，则α＋β＝1，此时X的所有可能取值为2，4，5，可得P(X＝2)＝P(AA)＋P(BB)＝α2＋β2，P(X＝4)＝P(ABAA)＋P(BAAA)＋P(ABBB)＋P(BABB)＝(2α3β＋2αβ3)＝2αβ(α2＋β2)，P(X＝5)＝P(ABAB)＋P(ABBA)＋P(BABA)＋P(BAAB)＝α2β2＋α2β2＋α2β2＋α2β2＝4α2β2，

X245Pα2＋β22αβ(α2＋β2)4α2β2

概率、统计与不等式有关的综合问题的解法(1)根据概率的性质、均值、方差公式等得出关于概率p的表达式或不等式．(2)通过不等式知识解不等式或利用基本不等式求最值．

某工厂A，B两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下，通过日常监控得知，A，B生产线生产的产品为合格品的概率分别为p和2p－1(0.5≤p≤1)．(1)从A，B生产线上各抽检一件产品，若至少有一件合格品的概率不低于99.5%，求p的最小值p0；解：至少有一件合格品的概率为1－(1－p)[1－(2p－1)]＝1－2(1－p)2.令1－2(1－p)2≥0.995，解得0.95≤p≤1.05.又0.5≤p≤1，所以0.95≤p≤1，故p的最小值p0＝0.95.(2)假设不合格的产品均可通过返工修复变为合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知A，B生产线的不合格品返工修复后，每件产品可分别挽回损失5元和3元，若从两条生产线上各随机抽检1000件产品，以返工修复后挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线挽回的损失较多？解：由(1)可知，A，B生产线上产品为合格品的概率分别为0.95和0.9，所以A，B生产线上产品不是合格品的概率分别为0.05和0.1.故从A生产线上抽检的1000件产品中，不合格产品大约有1000×0.05＝50(件)，返工修复后，可挽回损失50×5＝250(元)，从B生产线上抽检的1000件产品中，不合格产品大约有1000×0.1＝100(件)，返工修复后，可挽回损失100×3＝300(元)，因为250<300，所以B生产线挽回的损失较多．

概率、统计与函数的综合问题【例2】(2024·济宁模拟)某校数学组老师为了解学生数学学科核心素养整体发展水平，组织本校8000名学生进行针对性检测(检测分为初试和复试)，并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值．附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.解：样本平均数的估计值为10(40×0.010＋50×0.020＋60×0.030＋70×0.024＋80×0.012＋90×0.004)＝62.所以样本平均数的估计值为62.

概率、统计与函数有关的综合问题的解法在概率与统计的问题中，决策的工具是样本的数字特征或有关概率．决策方案的最佳选择是将概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作为最佳方案，解题时通常先结合概率、方差、均值的公式列出函数表达式，再利用函数的性质(单调性、最值等)求解．在2024年春节期间，甲公司和乙公司在某购物平台上同时开启了打折促销，直播带年货活动，甲公司和乙公司所售商品类似，存在竞争关系．(1)现对某时间段100名观看直播后选择这两个公司直播间购物的情况进行调查，得到如下数据：单位：名

是否有99.9%的把握认为选择哪家直播间购物与用户的年龄有关？用户年龄段选择甲直播间购物选择乙直播间购物合计19～24岁40

5025～34岁

30

合计

用户年龄段选择甲直播间购物选择乙直播间购物合计19～24岁40105025～34岁203050合计6040100(2)若小李连续两天每天选择在甲、乙其中一个直播间进行购物，第一天等可能地从甲、乙两家中选一家直播间购物，如果第一天去甲直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为0.7；如果第一天去乙直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为0.8，求小李第二天去乙直播间购物的概率．解：由题设，事件小李第二天去乙直播间包括第一天去甲直播间，第二天去乙直播间和第一天去乙直播间，第二天去乙直播间两种情况，所以小李第二天去乙直播间购物的概率P＝0.5×(1－0.7)＋0.5×(1－0.8)＝0.25.

X3123P(2)若把比赛规则③改为：若第i(i＝1，2，3，…，n－1)号同学未答对第二题，则第i轮比赛失败，第i＋1号同学重新从第一题开始作答．令随机变量Yn表示n名同学在第Yn轮比赛结束．①求随机变量Yn(n∈N*，n≥2)的分布列；

Yn123…n－1nP…

概率、统计与数列有关的综合问题的解法一是认真审题，判断随机变量的所有可能取值，并注意相互独立事件的概率与互斥事件的概率的区别，求出随机变量取各个值时的概率，从而列出随机变量的分布列；二是将概率的参数表达式与数列的递推式相结合，可得数列的通项公式，此种解法新颖独特．

(2024·威海模拟)全民健身是全体人民增强体魄、健康生活的基础和保障，为了研究杭州市民健身的情况，某调研小组随机抽取了100名市民进行调研，得到如下数据：

(1)如果认为每周健身4次及以上为“喜欢健身”，请列出2×2列联表，并根据小概率值α＝0.05的独立性检验，判断喜欢健身与性别是否有关联．每周健身次数1次2次3次4次