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第三章导数及其应用微专题构造法解f(x)与f′(x)共存问题

以抽象函数为背景，题设条件或所求结论中具有f(x)与f′(x)共存的不等式，旨在考查导数运算法则的逆向、变形应用能力的客观题，是近几年高考中的一个热点．解答这类问题的策略是将f(x)与f′(x)共存的不等式与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用函数的性质解决问题．类型一构造和、差型可导函数【例1】已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)＝20，且f(x)的导函数f′(x)满足f′(x)＞6x2＋2，则不等式f(x)＞2x3＋2x的解集为(

)A．{x|x＞－2} B．{x|x＞2}C．{x|x＜2} D．{x|x＜－2或x＞2}B

解析：令函数F(x)＝f(x)－2x3－2x，则F′(x)＝f′(x)－6x2－2.由题可知f′(x)＞6x2＋2，所以f′(x)－6x2－2＞0，即F′(x)＞0，所以F(x)在R上单调递增．因为F(2)＝f(2)－2×23－2×2＝0，故f(x)＞2x3＋2x等价于F(x)>F(2)，所以所求不等式的解集为{x|x>2}．√若已知f′(x)>G(x)，解不等式f(x)＞g(x)，其中g(x)，G(x)都是具体函数，且g′(x)＝G(x)，可构造函数F(x)＝f(x)－g(x)．思维建模

√【例3】已知奇函数f(x)的定义域为R，当x＞0时，2f(x)＋xf

′(x)＞0，且f(2)＝0，则不等式f(x)＞0的解集为______________.(－2，0)∪(2，＋∞)

解析：设g(x)＝x2f(x)(x∈R)，因为f(x)为R上的奇函数，所以易得g(x)为R上的奇函数．因为g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)＝x[2f(x)＋xf

′(x)]，又当x＞0时，2f(x)＋xf

′(x)＞0，即g′(x)＞0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增．又因为g(x)为R上的奇函数，所以g(x)在(－∞，0)上单调递增，g(0)＝0.因为g(2)＝4f(2)＝0，所以g(－2)＝－g(2)＝0，作出g(x)的简图如图．

数形结合可得g(x)＝x2f(x)＞0的解集为

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