2023-2024学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语章末复习课

章末复习课要点训练一集合的概念与基本关系(1)集合中元素的特性:确定性、无序性、互异性.利用集合中元素的互异性可解决集合中元素的确定性问题.(2)利用描述法表示集合时,一定要将集合中元素的特性表示清楚.(3)集合间的关系包括包含关系、相等关系.判断时可以根据定义判断元素与集合的关系.1.若集合A={0,1,2},则集合B={xy|x∈A,y∈A}中元素的个数是 ()A.9B.5C.3D.1解析:因为集合A={0,1,2},所以集合B={2,1,0,1,2},所以集合B中共有5个元素.答案:B2.若集合A={x|x2x2=0},B={x||x|=y+2,y∈A},则集合B是 ()A.{4,4} B.{4,1,1,4}C.{0,1} D.{1,1}解析:在集合A中,解方程x2x2=0,得x=2或x=1.在集合B中,因为y∈A,所以y=2或y=1.所以|x|=y+2=4或|x|=y+2=1,所以x=±4或x=±1,所以B={4,1,1,4}.答案:B3.若非空集合A={x|x22x+a=0}⫋{b,b2},则b的值为 ()A.1 B.2C.2 D.2解析:由题意,得x22x+a=0有且仅有两个相等的根,所以x=1,则1∈{b,b2}.因为b≠b2,所以b≠1,所以b2=1,所以b=1.答案:A4.已知5∈{x|x2ax5=0},用列举法表示集合{x|x24xa=0}为{2}.解析:因为5∈{x|x2ax5=0},所以(5)2+5a5=0,所以a=4,所以x24x+4=0的解为x=2,所以{x|x24xa=0}={2}.5.若A={a1,2a2+5a+1,a2+1},2∈A,则实数a的值为32解析:因为2∈A,所以a1=2或2a2+5a+1=2,显然a2+1≠2.当a1=2时,a=1,此时a1=2a2+5a+1=2,不符合集合元素的互异性,故舍去;当2a2+5a+1=2时,解得a=32,a=1.由上可知当a=1时不符合集合元素的互异性,舍去,故a=3要点训练二集合的基本运算集合的基本运算包括交、并、补运算,当集合是由列举法给出时,运算时可直接借助于定义求解,或通过Venn图观察求解;当集合中的元素满足不等式(组)时,运算时一般先将不等式(组)在数轴上表示出来,再借助数轴求解.1.若集合A={1,2,3},B={2,3,4},则A∪B=()A.{1,2,3,4} B.{1,2,3}C.{2,3,4} D.{1,3,4}解析:由题意,得A∪B={1,2,3,4}.答案:A2.若全集U={1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={1,0,1},则(∁UA)∩B= ()A.{1} B.{0,1}C.{1,2,3} D.{1,0,1,3}解析:易知∁UA={1,3},所以(∁UA)∩B={1}.答案:A3.(2023年全国甲卷,理)设集合A={x|x=3k+1,k∈Z},B={x|x=3k+2,k∈Z},U为整数集,则∁U(A∪B)= ()A.{x|x=3k,k∈Z} B.{x|x=3k1,k∈Z}C.{x|x=3k2,k∈Z} D.⌀解析:因为A={x|x=3k+1,k∈Z},B={x|x=3k+2,k∈Z},所以A∪B={x|x=3k+1或x=3k+2,k∈Z},又U为整数集,所以∁U(A∪B)={x|x=3k,k∈Z}.故选A.答案:A要点训练三全称量词与存在量词(1)含量词命题的判断,关键是看量词是全称量词还是存在量词.(2)对全称量词命题及存在量词命题的否定,不但要分别把全称量词改为存在量词,存在量词改为全称量词,还要否定结论.(3)由于原命题和原命题的否定真假性相反,故常利用这一性质求解有关含参数的问题.1.命题“存在实数x,使x>1”的否定是 ()A.对任意实数x,都有x>1B.对任意实数x,都有x≤1C.不存在实数x,使x≤1D.存在实数x,使x≤1解析:命题“存在实数x,使x>1”的否定是“对任意实数x,都有x≤1”.答案:B2.若命题p:“∀x∈R,x22mx+m24=0”,则命题p的否定为 ()A.∀x∈R,x22mx+m24=0B.不存在x∈R,x22mx+m24=0C.∃x∈R,x22mx+m24≠0D.∀x∈R,x22mx+m24≠0解析:命题“∀x∈R,x22mx+m24=0”的否定为“∃x∈R,x22mx+m24≠0”.答案:C3.命题:∀x∈R,ax2+2x+1<0的否定为∃x∈R,ax2+2x+1≥0.解析:由全称量词命题的否定为存在量词命题,知∀x∈R,ax2+2x+1<0的否定为∃x∈R,ax2+2x+1≥0.要点训练四充分条件与必要条件的判断及应用充分条件与必要条件的判断常借助以下方法:(1)利用定义判断:只需判断命题“若p,则q”“若q,则p”的真假.(2)利用集合间的包含关系判断:若A⊆B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.1.若x,y∈R,则“x≥y”是“x2(xy)≥0”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:因为x2(xy)≥0,所以x=0或x≠0,x-y≥0,因此“x答案:A2.若A,B,U是三个集合,且A⊆U,B⊆U,则“x∈(∁UA)∩(∁UB)”是“x∈∁U(A∪B)”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:因为(∁UA)∩(∁UB)=∁U(A∪B),所以“x∈(∁UA)∩(∁UB)是x∈∁U(A∪B)”的充要条件,故选C.答案:C3.若“x>3”是“x>m”的必要不充分条件,则m的取值范围是m>3.解析:因为“x>3”是“x>m”的必要不充分条件,所以{x|x>m}是{x|x>3}的真子集,所以m>3.要点训练五数形结合思想在解决集合的关系及运算问题时,常利用数轴或Venn图表示相应的集合,根据图形判断求解.1.若集合A={1,2},B={2,3,4},则图中阴影部分所表示的集合是 ()A.{1} B.{3,4}C.{2} D.{1,2,3,4}答案:B2.已知集合A={x|2≤x<3},B={x|m3<x<m+1},若A∪B=B,则m的取值范围是2≤m<5.3.设全集U={x|0<x<10,x∈N*}.若A∩B={1},A∩(∁UB)={3,5,7},(∁UA)∩(∁UB)={8},求集合A,B.解:由题意,知U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}.由A∩B={1},(∁UA)∩(∁UB)={8},知1既在集合A中也在集合B中,8既不在集合A中也不在集合B中.由A∩(∁UB)={3,5,7},得3,5,7在集合A中且不在集合B中,综上所述,把相应的元素用Venn图表示如图所示.易得A={1,3,5,7},B={1,2,4,6,9}.要点训练六分类讨论思想在涉及集合中元素的互异性和空集问题时,常需要分类讨论解决问题.1.若a∈{1,a22a+2},则实数a的值为2.2.已知集合A={x|ax23x+1=0,a∈R},若集合A中至多只有一个元素,则a的取值范围是{a|a=0或a≥94}3.已知集合A={x|0≤x≤2},B={x|2+a≤x≤1a,a∈R}.(1)当a=1时,求∁R(A∪B);(2)若A∩B=