2023年中考九年级数学高频考点拔高训练-四边形动点问题

2023年中考九年级数学高频考点拔高训练-四边形动点问题

1.如图，矩形ABCD中，AB=2,4。=4,动点E在边BC上，与点B、C不重合，过点A

(1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围.

(2)若点F在线段CD上，当CF=1时，求EC的长.

(3)若直线AF与线段BC延长线交于点G,当ADBE与ADFG相似时，求DF的长.

2.将一个平行四边形纸片ABCD放置在平面直角坐标系中，O为原点，点八(-2,0),点8(1,0)，

点D在y轴正半轴上，乙DAB=60。.

图①

(I)如图①，求点D的坐标;

3.如图，在矩形ABCD中，AE是AD上的一个动点，连接BE,作点A关于的对称点

F，且点F落在矩形ABCD的内部，连结AF,BF,EF,过点巨作GF14广交AD于

(1)求证：AE=GE;

（2）如图2,当点F落在AC上时，用含n的代数式表示器的值；

（3）当AD=4AB，且AFGC=90°时，求几的值.

4.在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=12cm,E是AB边上一动点，以lcm/s的速度从点B出发，

到A停止运动；F是BC边上一动点，以2cm/s的速度从点B出发，到点C停止运动.设动点运动

（2）当4DEF是直角三角形时，求ADEF的面积.

5.综合与实践

【问题背景】

如图1,平行四边形ABCD中，ZB=60°,AB=6,AD=8.点E、G分别是AD和DC边的中

点，过点E、G分别作DC和AD的平行线，两线交于点F,显然，四边形DEFG是平行四边形.

【独立思考】

（I）线段AE和线段CG的数量关系

是：.

（2）将平行四边形DEFG绕点D逆时针旋转，当DE落在DC边上时，如图2,连接AE和

CG.

①求AE的长；

②猜想AE与CG有怎样的数量关系，并证明你的猜想；

（3）【问题解决】

将平行四边形DEFG继续绕点D逆时针旋转，当A,E,F三点在同一直线上时（如图3）,AE

与CG交于点P,请直接写出线段CG的长和NAPC的度数.

6.如图，在平面直角坐标系中，点A（百，0）,B（36，2）,C（0,2）.动点D以每秒1个

单位的速度从点O出发沿OC向终点C运动，同时动点E以每秒2个单位的速度从点A出发沿AB

向终点B运动.过点E作EF_LAB,交BC于点F,连接DA、DF.设运动时间为t秒.

（2）当t为何值时，AB〃DF；

（3）设四边形AEFD的面积为S.①求S关于t的函数关系式；

②若一抛物线y=-x2+mx经过动点E,当SV26时，求m的取值范围（写出答案即可）.

7.如图，在矩形A8C。中，AD=2V5,AI3=4芯,于点俯，在对角线AC上取一点

M使得2CN=3AM,连接DN并延长交AC于点E,"是AB上一点，连接ERMF.当点P从点E

匀速运动到点尸时，点Q恰好从点M匀速运动到点N.

（2）EF//AC,记EP=x,AQ=y.

①求），关于k的函数表达式.

②连接PQ,当直线PQ平行于四边形。的一边时，求所有满足条件的.1的值.

（3）在运动过程中，当直线PQ同时经过点B和。时，记点Q的运动速度为巾，记点P的运动

速度为电，求奈的值.

v2

8.如图

（1）（学习心得）

于彤同学在学习完"圆''这一直内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解

决，可以使问题变得非常容易.

例如：如图1,在△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,D是△ABC外一点，且AD=AC,求

NBDC的度数.若以点A为圆心，AB为半径作辅助。A,则点C、D必在。A上，NBAC是。A的

圆心角，而NBDC是圆周角，从而可容易得到NBDC=

（2）（问题解决）

如图2,在四边形ABCD中，ZBAD=ZBCD=90°,ZBDC=25°,求/BAC的度数.

（3）（问题拓展）

如图3,如图，E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF.连接CF交BD于点

G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是.

9.在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A,C分别在工轴、），轴上，点8的坐标为

（2,273）,将矩形OABC绕点A顺时针旋转a,得到矩形01ABici,点O,B,C的对应点分别

为。1，8i，Gi.

（1）如图①，当a=45。时，01cl与AB相交于点E,求点£的坐标；

（2）如图②，当点。1落在对角线0B上时，连接BC],四边形OAC窗是何特殊的四边

形？并说明理由；

（3）连接,当BC1取得最小值和最大值时，分别求出点J的坐标（直接写出结果即

可）.

10.如图所示，在等边三角形ABC中，BC=8cm,射线AG〃BC,点E从点A出发沿射线AG以

Icm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为i（s）

BfFC

(1)填空：当t为s时，△ABF是直角三角形；

(2)连接EF,当EF经过AC边的中点D时，四边形AFCE是否是特殊四边形？请证明你的结

论.

11.如图，在四边形ABCD中，ZA=90°,AD〃BC,AD=2,AB=6,CD=10,点E为CD的中点，

连结BE,BD,作DFJ_BE于点F。动点P在线段BC上从点B向终点C匀速运动，同时动点Q在

线段CD上从点C向终点D匀速运动，它们同时到达终点。

(1)求tanC的值。

(2)求DF的长。

(3)当P0与△BDF的一边平行时，求所有满足条件的BP的长。

12.如图，菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AC=12cm,BD=16cm,动点N从点D出

发，沿线段DB以2cm/S的速度向点B运动，同时动点M从点N出发，沿线段BA以lcm/S的速度

向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止.设运动时间为t(s)(),以点

M为圆心，MB为半径的。M与射线BA,线段BD分别交于点E,F,连接EN.

(1)求BF的长(用含有t的代数式表示)，并求出t的取值范围;

(2)当t为何值时，线段EN与。M相切？

(3)若。M与线段EN只有一个公共点，求t的取值范围.

13.如图，在RtaABC中，ZX=90°,AC=3,AB=4,动点。从点A出发，沿方向以每秒2个

单位长度的速度向终点3运动，点Q为线段A尸的中点，过点P向上作PM_LA4,旦PM=3AQ,以

P。、PM为边作矩形PQNM.设点P的运动时间为/秒.

（1）线段MP的长为（用含/的代数式表示）.

（2）当线段MN与边8c有公共点时，求，的取值范围.

（3）当点N在AABC内部时，设矩形PQNM与△A8C重叠部分图形的面积为S,求S与/之间

的函数关系式.

（4）当点M到△ABC任意两边所在直线距离相等时，直接写出此时，的值

14.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形是矩形，*B的坐标是（8,6），煎M为

0A边上的一动点（不与点0、A重合），连接CM,过点M作直线11CM,交AB于点

D,在直线I上取一点E（点E在点M右侧），使得送=寺，过点E作EF//A0,交B0

于点F,连接BE,设0M=m（0<m<8）.

（1）填空：点E的坐标为（用含m的代数式表示）；

（2）判断线段EF的长度是否随点M的位置的变化而变化？并说明理由：

（3）①当m为何值时，四边形BCME的面积最小，请求出最小值；

②在x轴正半轴上存在点G，使得LGEF是等腰三角形，清直接写出3个符合条件的点G

的坐标（用含m的代数式表示）.

15.如图1,在菱形ABCD中，AB=15,过点A作AC_L8C于点E,AE=12,动点P从点B出

发，以每秒3个单位长度的速度沿BE向终点E运动，过点P作PQ18C,交BA于点Q,以PQ为

边向右作正方形PQMN,点N在射线BC上，设点P的运动时间为t秒.

(1)求菱形对角线AC的长；

(2)求线段AQ与时间t之词的函数关系式，并写出t的取值范围.

(3)如图2,AC交QM于点F,交QN于点O,若O是线段QN的中点，求t的值.

16.如图，BD是^ABCD的对角线，48=7,BD=4五，4ABO=45。，动点P、Q

分别从A、D同时出发，点P沿折线AB-BC向终点C运动，在AB上的速度为每秒7个单

位，在BC上的速度为每秒5个单位，点Q以每秒2四个单位的速度沿DB向终点B运

动.连结PQ,以DQ、PQ为边作团DEPQ,设点P的运动时间为£(s)(t>0).

(1)当点P在边AB上时，用含t的代数式表示点P到BD的距离.

(2)当点E落在边CD上时，求£的值.

(3)设^DEPQ与^ABCD重叠部分图形的面积为S,求S与£之间的函数关系式.

(4)连结EQ,直接写出直线EQ与宜线BD所夹锐角的正切值.

答案解析部分

1.【答案】（1）解：如图1,

西边形ARCD是矩形,

•••DC=AB=2,Z,ADC=乙BCD=90°.

又%•AF1DE,

LADF=^DCE=90°,ZD.4F=^EDC=90°-^DFA,

AADF-ADCE,

.AD_DF

*,DC=CE1

4xnrI1

•••2=5，即y=]%.

V点E在线段BC上，与点B、C不重合，

•••0<y<4,.%0<<4，即0<x<8,

y=lx,(0<%<8)；

(2)解：①当点F线段DC二时，

vCF=1,

DF=x=2—1=1,此时CE=y=ix=i:

乙乙

②当点F线段DC延长线上时，

CF=1,

DP=x=2+l=3,此时CE=y=yx=~;

当C尸=1时.，EC的长为.或9；

(3)解：在RtAADF中，AF=y/AD2+DF2=V16+x2,

在Rt△DCE中,DE=VfC24-DC2=J(^x)2+4=^V16+x2

.:四边形ABCD是矩形，

AD//BC,

:,AADF〜AGCF,

AF_DF

GF=CF

CFAF2-x/2

•••FG=—gp-=—Vx2+16

•••LDEC=乙AFD=90-Z-EDC，

•••LBED=Z.DFG,

・•・当ADBE与ADFG相似时，可分以下两种情况讨论:

@ADER-AGFD,如图2.

图2

则有罂=笥，

：.ED，FD=FG・EB,

：，久2+16,x=2%"小"+16,(4—^x)»

解得：x=l.

◊

②若ADEB〜ADFG,如图3,

:.ED•FG=EB•FD,

衬-2+16•^-^-y/x2+16=(4-^x)-x,

整理得：3/+8%-16=0,

4

解秩--

3x2=-4(舍去).

综上所述：DF的长为|或

2.【答案】解：丁点4(—2,0)，

：.0A=2.

在R£ZMO。中，/-DAO=60°,

*'•DO=OA-tanZ-DAO=2xtan60°=2百.

乂点D在y轴正半轴上，

・••点D的坐标为(0,2V3).

(ID剪切下△40。并将其沿x轴正方向平移，点A的对应点为点D的对应点为D,，点O的对

应点为0‘，设00'=3△AD'O'和四边形OBCD重叠部分的面积为S.

①如图②，若平移后△AD'O'和四边形OBCD重整部分是五边形时，4方交y轴于点E,0力'交

BC于点F,试用含有t的式子表示S,并直接写出t的取值范围；

②当夫t4时，求S的取值能围(直接写出结果即可).

【答案】解：①由平移可知，△4D。三△4。'。'，AD//BC,

•••AO'=AO=2^DO'=DO=2百，乙D'A'B=乙CBO'=60°.

AOBO'

图②

由0。'=3B(l,0)知，AO=AO-00'=2-t，BOr=OOr-OB=t-1,

在Rt△AE。中，EO=A'O-tanz.EAlO=(2-t)-tan60°=石(2-£).

♦•,S“Zo=)。-OF=1•(2-1)•V3(2-t)=(2-t)2.

同理％BFO，=步。，。'=用(—IF

乂S,n，c，=^AO'-DO=1x2x2V3=26.

△4DOZZ

:"S=S“DB_S“E0-SLBFO,-20一堂(2_t)2-岑(£-1)2,

即S=-V3t2+3V3t-^(lV£<2>

②苍4

3.【答案】(1)证明：设4E=a,贝I」AD=na,

由对称知，AE=FE,

•••LEAF=Z-EFA,

vGF1AF,

LEAF+Z.FGA=LEFA+乙EFG=90°,

:.LFGA=Z.EFG,

•••EG—EF,

•••AE=EG；

(2)解：如图1,当点F落在AC上时，

由对称知，BE1AF,

•••乙ABE+乙BAC=90°,

vLDAC+^BAC=90°,

•••LABE=Z.DAC,

vLBAE=LD=90°,

：,AABE~ADAC,

.48_AE..AD—口。

-DA-DCf--DC,

:.AB2=AD-AE=na2,

vAB>0,

AB=y/na,

ADna

..布=漏=低；

(3)解：若AD=4AB,则48=软,

如图2,当点F落在线段BC上时，EF=AE=AB=a,此时

•••n=4,

••・当点F落在矩形内部时，n>4,

vLCGF=90°,如图3,

LCGD+/LAGF=90°,

•••LFAG+/-AGF=90°,

•••Z.CGD—AFAG—乙4BE，

vLBAE=ZD=90°,

•••AABE〜ADGC,

.AB_AE

•.DG~DC1

AB-DC=DG-AE,

DG=AD—AE-EG=na-2a=(n-2)a,

•••(/Q)2=(n-2)Q-a,

.•・兀=8+4或或n=8-4V2(由于n>4,所以舍)，

即：n=8+4V2

4.【答案】(1)解：VBE=tcm,BF=2tcm,AE=(6-t)cm,CF=(12-2t)cm,

/.SADEF=S矩形ABCD-SAAED-SABEF-SACDF,

/.S=12X6-ixl2x(6-t)-1(x2t-1x6x(12-2t)=-t2+12t,

(t>0

根据题意得6-t>0

(12-2t>0

解得0V《6；

（2）解：由勾股定理可，EF2=BE2+BF2=5t2,

DF2=CD2+CF2=4t2-48t+18(),

DE2=AD2+AE2=t2-12t+180,

①当NEDF为直角时，EF2=DE2+DF2,

即5t2=t2-12t+180+4t2-48t+180,

解得t=6,

・・・S=-62+12x6=36；

②当NDEF为直角时，DF?=DE2+EF2,

即6t2-12t+180=4t2-48t+180,

解得t=0或-18,

VD<t<6,

，都不符合；

③当NDFE为直角时，DE2=DF2+EF2,

即5t2+4t2-481+180=12.121+180,

解得t=0（舍）或t=3，.

・，・S=-（豕+12X*33,•

5.【答案】（1）3AE=4CG或4ECG或,4E=CG或需=1等

（2）解：解：①如图，过点E作EH_LAD于点H,

在RtAEDH中，/EDA=60°,ED=5Ao=—x8=4»

；・EH=DE•sin^ADE=4xsin600=2百，

AAH=AD-HD=8-2=6,

在R【AAHE中，根据勾股定理可得/E=/AH?+EH2=^62+（2V3）2=

②3AE=4CG或4E=^=CG^^AE=CG或保=g等，

证明如下:

由题可知：ZADC=ZCDG=60°,器=部=*,即器=器,

.*.△ADE^ACDG,

..4E_/ID_8_4

-CG=CD=6=3f

4

-

即3AE=4CG或4E3

（3）解：CG=35+3,ZAPC=60°

2

6.【答案】（1）解：过点B作BM_Lx轴于点M

・・・BC〃OA

AZABC=ZBAM

VBM=2,AM=2V3

AtanZBAM=等

AZABC=ZBAM=30°

(2)解：VAB/7DF

AZCFD=ZCBA=30o

在RtZiDCF中，CD=2-t,ZCFD=30°,

ACF=V3(2-t)

AAB=4,

ABE=4-2t,ZFBE=30°,

・・・BF二组萨

・••遮(2-t)+2(4~2^=3V3，

V3

・・・Jr—y5

（3）解：①连接DE,过点E作EGJ_x轴于点G,

则EG=l,OG=V3+V3t

AE(V3+V3t,t)

・・・DE〃x轴

S=SADEF+SADEA=劣DExCD+DExOD

1

-E-X

2(V3t+V3)x2

-+

②s

由①可知，S=V3+V3t

*,*73t+V3V2\[3,

At<l,

Vt>0,

/.0<t<l,

:y=-x2+mx,点E(V3+V3t»t)在抛物线上，

当1=0时,E(V3,0),

/.m=y/3,

当t=l时，E(2百，1),

-rn-13/3

6

・,•遮<m<

6

7.【答案】(I)解：在矩形ABCD中，AD=2遍，AB=4y/5,ZADC=90°,

•••AC=Jm+pc2=J(2灼2+(4伺2=10,

VDM1AC,

AZADM=ZDCM,

，AM=AD・sinNADM=AD・sin/DCM=2遍x9=2,

V2CN=3AM,

ACN=3,AN=AC-CN=7,

•••AD〃CE,

?.△ADN^ACEN,

.AD_AN

**~CE~~CN'

.2底7

,•CE=3

ACE=竿

(2)解：①若EF〃AC,则EF=V5BE=芯x竽=岑,

VP,Q匀速运动，设丫=10<+1),(k#0),

令x=0,y=b,此时点P在E点，Q在M点，b=AM=2；

令y=7U寸，此时Q在N点，P在F点，x=写，

2=b

7=-y-k+b

解得k=Z,

•，・y=+2；

6

-

②(i)当QP〃DM时，AN-y+CN-7

解得x=霁,

(ii)当QP〃MF时，四边形QMFP是平行四边形，由MQ=FP得，y-2=岑

解得x=g,

(iii)当QP〃NE时，四边形QPEN为平行四边形，由QN=EP可得，7-y=x,

解得x=|.

综合以上可得，满足条件的x的值为招或舞或|

(3)解：PQ同时经过B,D时，Q为AC的中点，此时MQ=3,QN=2,

由题意知嚣=年多=方，

过点作

PPH_LBE,EH=IEB=X=24^,BH=16v5,

贝I」EH：PH：EP=3：4：5,

•cc5_5、，8x/5_404

••EF=3BRFE-3X---2T'

%_MN_5rp

，Q,P的运动速度比为==4075=第

2-2T40

8.【答案】(I)45

(2)解：如图2,取BD的中点O,连接AO、CO.

VZBAD=ZBCD=90°,

，点A、B、C、D共圆，

AZBDC=ZBAC,

VZBDC=25°,

AZBAC=25°,

(3)A/5-I

9.【答案】(l)解:

•・•矩形OABC,

，乙048=90°.

,

：LOAO1=45°,

：.LOXAE=45°.

=90°,04=04=2,

：.0xF=AF=FE=V2,

A.4E=AFA-EF=2^2.

，E(2,2伪•

(2)解：四边形OAgB是平行四边形.

在RtA/lOB中，tan〃08=^=孥=75，

：.LBOA=60°.

同理，=60°.

*：0A=0通,

•••△0401是等边三角形.

：.LOAO1=60°.

，AC］与x轴的夹角等于60°.

・・・B0〃4cl.

又BO=AQ,

・•・四边形04G8为平行四边形.

(3)(2+V3,3),(2-X/3,-3)

10.【答案】(1)2或8

(2)解：四边形AFCE是平行四边形，证明如下:

如图3,过点A作AH_LBC于点H

/XV

B—>F

图3

VZABC=60°,AB=8cm

BH_1

/.sinZABC=—=—,cosZABC=

AB2AB=2

・,.AH=*AB=4V3cm,BH=iAB=4cm

乙，

・.,AG〃BC

AZEAD=ZFCD,ZAED=ZCFD

•・•点D是AC中点

.\AD=CD

在AADE与△CDF中

ZAED=Z.CFD

^EAD=乙FCD

AD=CD

/.△ADE^ACDF(AAS)

••・DE=DF

.••四边形AFCE是平行四边形

AAE=CF

VAE=t,CF=BC-BF=8-2t

.*.c=8-2t

解得：t=|

・・・AE=1cm,BF=竽cm

ABF>BH,AF>AH,ZAFC>900

AAF/AE

・♦・四边形AFCE不是菱形或矩形，四边形AFCE是平行四边形.

11.【答案】(1)解：过点D作DG_LBC于点G,

•・・AD〃BC,ZA=90°,

AZDGC=90°,AD=BG=2,

，DG=AB=6,GO8,AtanC=郡=禽=%

(2)解：过点E作EM_LBC于点M,

•••E为DC中点，.'EM为aDGC的中位线,

.'EM=1DG=3,CM=1GC=4,

MC=7EC2-EM2=Vs2-32=4,

、：BC=BG+GC=AD+GC=2+8=10,

ABM=BC-MC=10-4=6,

；・BE=yjBM2+EM2=V62+32=3V5，

・・・E为CD的中点,

/.SABDE=iSABDc=ixlxDGxBC=ixlx6x10=15,

/.SABDt=iDEDr=i5

即④x3追xDF=15

ADF=2V5.

（3）解：由题意可知BC=CD,所以动点P与Q的运动速度相等,

故BP=CQ,设BP=x,则CP=10-x

①当PQ〃BD时，△CPQ^ACDB

.*.△CMQ^ACGD

：.CQ=CP

/.10-x=x

・・・x=5,ABP=5

②当PQ〃BF时，△CQP^ACEB,

.CQ_CP.x_10—x

=FC'••耳=F"

③当PQ〃DF时，延长DF交BC于H,

VBD=2VlO，DF=2V5，ABF=2遍

・・・ABDF为等腰直角三角形

•••△BDC为等腰三角形

根据轴对称性，点H为BC的中点（注：也可ACDH名ACBE）

ACH=5

VPQ/7DF,•CQ_CP.x_10-x

，9CD=CH，，10=~T~

20：,BP=20

TT

・・・BP=5或学或至

12.【答案】（1）解：连接MF.四边形ABCD是菱形，.\AB=AD,

AC±BD,OA=OC=6,OB=OD=8,

在RSAOB中，AB=V62+82=1。，

〈MB=MF,AB=AD,

AZABD=ZADB=ZMFB,

，MF〃AD,

.BM_BF

，，'BA=BD'

.t_BF

,•T0=16，

8

-

5(0<t<8).

（2）解：当线段EN与。M相切时，易知△BENs^BOA,

・BE_BN

••而一近’

.2t_16-2t

・

•・l[--y3-2•

・・・1=等s时，线段EN与。M相切.

(3)解：①由题意可知：当OVtW苧时，(DM与线段EN只有一个公共点.②当F与N重合

时，则有It+2t=16,解得仁等,

观察图象可知，等＜tV8时，OM与线段EN只有一个公共点.

综上所述，当0＜氐苧或等VtV8时，OM与线段EN只有一个公共点.

13.【答案】(1)3t

(2)解：如图2・1中，当点M落在BC上时，

图2-1

,・，PM〃AC,

,PM_PB

9，AC=BA'

.3t_4-2t

•，T=_4-'

解得1=I

如图2-2中，当点N落在BC上时,

图2-2

•・7Q〃AC,

.NQBQ

*'~AC~~BA

.3t4-t

••w

解得i=i

24

--<-

综卜.所述，满足条件的t的值为3t<5

（3）解：如图3-I中，当0＜饪!时，重叠部分是矩形PQNM,S=3t2

八QP

图3-1

4

如图・中，当,-

32<t<5时，重叠部分是五边形PQNEF.

C

A/

A~Q―P

图3-2

-竽2

S=S矩杉PQNM-SAEFM=3t2-1*[3t-1(4-2t)]•[3t-1(4-2t)]=t+18t-6,

3t2(0<t<j)

综上所述，s=

9124,

--t2

21+18t6(可<£(可)

(4)如图4-1中，当点M落在NABC的角平分线BF上时，满足条件.作FE_LBC于E.

'B

VZFAB=ZFEB=90°,ZFBA=ZFBE,BF=BF,

BFA^ABFE(AAS),

AAF=EF,AB=BE=4,设AF=EF=x,

VZA=90°,AC=3,AB=4,

「・BC=yjAC2-VAB2=5,

・・・EC=BC-BE=5-4=1,

在RsEFC中，则有x2+P=(3.x)2,

解得x=J,

•・・PM〃AF,

,PM_PB

-~AF=BA'

.3t_4-2t

・・4-4，

3

.r-4

1T

如图4-2中，当点M落在NACB的角平分线上时，满足条件作EF_LBC于F.

，AE=EF,AC=CF=3,设AE=EF=y,

・・・BF=5-3=2,

在RtZkEFB中，则有x?+2』(4-x)2,

解得x=5,

乙

VPM/7AC,

.PM_PE

**~AC=AE'

・3t―尹2t

•*-o9

解得l=;.

如图4-3中，当点M落在△ABC的/ACB的外角的平分线上时，满足条件.

设MC的延长线交BA的延长线于E,作EF±BC交BC的延长线于分,

同法可证：AC=CF=3,EF=AE,设EF=EA=x,

在RSEFB中,则有x2+82=（x+4）2,

解得x=6,

VAC/7PM,

.AC_EA

*W=EP'

.3t_6

,,T=6+2t'

解得t=1，

综上所述，满足条件的t的值为4或，或方.

14.【答案】（1）（m+怖，|m）

（2）解：设直线BO的解析式为：y=kx,

把点B的坐标是（8,6）,代入上式可得：6=8k,解得：k=1,

・•・直线BO的解析式为：y=2x,

•・•点E的坐标为（m+3|m）,EF//AO,

，点F的坐标为（m,1m）,

AEF=m+1-m=3,即：线段EF的长度不会随点M的位置的变化而变化

（3）解：①连接CE,过点E作EQ_LBC于点Q,

•・•点E的坐标为（m+慨，|m）,

EQ=6-，m,

V0C=6,OM=m,

洗

•M-V+即,

LO.

_

MCOMM4

•_-_-

店=

・NN-

7E3

ME=4CM=4J36+m?，

J四边形BCME的面积=^CM-ME+^BC-QE=1m2-3m+^=1(m-4)2+^

乙乙o乙o乙

即：当n『4时，四边形BCME的面积最小值为：:；

@（a）当点G为顶角顶点时，如图，则G（空辿,0），即：G（m+W，0）,

2

939

-+-或+-

24G(2

9

或G+-

2

7--------

^V36-m2,0).

15.【答案】（1）解：如图，连结AC,

•・•四边形ABCD是菱形，

：.AR=RC=15.

V.4E1BC,

C.LAEB=90°,

AB-15,AE-12»

：・BE=\/AB2-AE2=9,

：.CE=BC-BE=15—9=6,

，在/?£△/£；£•中，AC=\/AE?4-CE?=675;

(2)解：YPQ1BC,

：.PQIIAE,

•••△BPQBEA,

・BP_PQ_BQ

，，BE~AE~BA，

即上登笔

:・BQ=53PQ=43

A.4Q=AB-BQ=15-St,(0<t<3)

(3)解：'：QM||BC,

AQFABC,乙OQF=乙ONC

.AQQF

,•而一BCf

=BC,

：.AQ=QF,

•.•。是QN的中点,

：.OQ=ON；

(乙OQF=Z.ONC

在AOQ"和△ONC中，|OQ=ON

("OQ=4CON

:・&OQF=△ONC(ASA),

・・・FQ=CN,

・・・AQ=FQ=CN,

•：BP=33PQ=PN=43

:.BN=73

：.AQ=BN-BC=7t-15=15-5t,

解得：”今

16.【答案】(1)解：如图①，过点P作P尸1BD于点F

0①

在RtAPFB+，乙PFB=90°

PF/2