山西省大同市2023-2024学年高二上学期期末质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山西省大同市2023-2024学年高二上学期期末质量监测数学试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案用0.5mm的黑色笔迹签字笔写在答题卡上.4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回．一、选择题（本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.直线过点，，则直线在轴上的截距是（）A. B.3 C. D.【答案】D【解析】由题可得直线的斜率，再由点斜式方程可得，化简可得，令，则直线在轴上的截距为.故选：D．2.曲线在处的切线方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题得，切点坐标为，，所以函数在切点处的切线斜率，切线方程为，化简得．故选：A．3.等差数列的前项和为．若，则（）A.8092 B.4048 C.4046 D.2023【答案】C【解析】由等差数列的性质可得，所以，解得，所以．故选：C．4.函数的单调递减区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由函数，可得其的定义域为，且，令，解得，所以函数的单调递减区间是．故选：B．5.设圆，圆，则是两圆相切的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题可得圆的圆心坐标为，半径为2，圆的圆心坐标为，半径为，故圆心距，因为两圆相切可分为外切和内切，当两圆外切时，圆心距，解得；当两圆内切时，圆心距，解得，或（舍去），所以是两圆相切的充分不必要条件.故选：B．6.若椭圆的离心率和双曲线的离心率恰好是关于的方程的两个实根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由椭圆与双曲线的性质可知，椭圆的离心率，双曲线的离心率，关于的方程有两个不相等的实根，，令，则解得：．故选：D．7.已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，是坐标原点，且，则的面积等于（）A. B. C. D.3【答案】C【解析】椭圆的半焦距，则，设点，于是，消去得，所以的面积.故选：C8.已知，且满足，则下列结论一定正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】等式，等号两边同除以，可得，所以，所以，所以，构造函数，则，显然，函数在定义域内增函数，所以，即．故选：A．二、选择题（本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．）9.已知空间四点，，，，则下列四个结论中正确的是（）A. B.C.点到直线的距离为 D.点到平面的距离为【答案】AB【解析】对于A中，由，，可得，所以，所以A正确；对于B中，由空间的距离公式，可得，所以B正确；对于C中，取向量，，可得，，所以点到直线的距离为，所以C错误；对于D中，由向量，，，设平面的法向量为，则,令，可得，，所以，所以点到平面的距离为，所以D错误．故选：AB．10.已知双曲线的方程为，则（）A. B.的焦点可以在轴上C.的焦距一定为8 D.的渐近线方程可以为【答案】ACD【解析】由题意得，解得，即A正确；可得双曲线的标准方程为，故双曲线的焦点一定在轴上，所以B错误；易知双曲线的焦距为，所以C正确；显然当时，双曲线的标准方程为，其渐近线方程为，所以D正确．故选ACD．11.已知数列的前项和为，首项，且满足，则下列四个结论中正确的是（）A.数列是等比数列 B.C. D.【答案】BCD【解析】对于A选项，取，得，又，所以，取，得，所以，显然，即数列一定不是等比数列，所以A错误；对于B选项，取，得，取，得，所以，所以B正确；对于C，D选项，由，得，又，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，，，，所以C，D均正确．故选:BCD．12.已知点是焦点为的抛物线上的一个动点，，则（）A.的最小值为1 B.的最小值为4C.最小值为3 D.的最大值为【答案】AB【解析】由抛物线方程，得其焦点，准线方程为，过作于点，则，显然当在坐标原点时有最小值，此时，即的最小值为1，所以A正确；由于，故当三点共线时，即在坐标原点时有最小值，此时，即的最小值为4，所以B正确；对于C选项，设，则，当时，取得最小值，最小值为，所以C错误．对于D选项，根据抛物线的对称性，不妨设，若，则，，，所以；若，则，，，所以；若且，此时且，，，所以，因为，所以，即．令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以．此时有最大值为1．而，则．综上，的最大值为．所以D错误．故选:AB．三、填空题（本大题共4小题．）13.已知为等比数列，，，则______．【答案】【解析】设公比为．由题可得，所以，即，又，所以．故答案为：14.点，分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，则的周长是______．【答案】【解析】由题意，在双曲线中，，∴，，由余弦定理的推论可得，所以，所以，，所以，所以，所以的周长为．故答案为：.15.已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，且点在第一象限，若，则______．【答案】9【解析】抛物线的焦点为，代入得，联立可得，化简得，又点在第一象限，解得，．由，得，即，解得．故答案为：9.16.已知函数，其中，若使得成立，则实数的取值集合为______．【答案】【解析】设，，则函数可看作图象上任意一点与图象上任意一点的距离的平方．设函数在点的切线平行于直线，由，令，解得，所以切点坐标为，点到直线的距离，此时的最小值为8．所以存在唯一的，使．过点且与直线垂直的直线方程为，联立，解得，．所以，时，存在，使成立．故答案为：四、解答题（解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17.已知函数在时取得极值．（1）求实数值；（2）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围．解：（1）易知，依题意，解得，此时，当或时，；当时，，即函数在，上单调递增，在上单调递减，因此函数在时取得极值，所以．（2）由（1）得函数在上单调递减，在上单调递增；所以，由题意可得，解得，所以的取值范围为．18.已知在四棱雉中，底面为正方形，侧棱平面，点在线段上，直线平面，．（1）求证：点为中点；（2）求平面与平面夹角的余弦值．解：（1）连接交于点，连接，因为平面，且平面，平面平面，所以．又因为在正方形中，是的中点，所以点为中点．（2）因为平面，四边形为正方形，，平面，所以，，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，所以，，，，，，所以，．设平面的法向量为，则即令，则，，即；由平面，得，又，，平面，平面，所以平面，即是平面的一个法向量．所以．所以平面与平面夹角的余弦值为．19.在平面直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为，倾斜角为的直线与交于，两点．（1）求的方程；（2）以为直径的圆能否经过坐标原点？若能，求出直线的方程；若不能，请说明理由．解：（1）设，则，化简得．所以的方程为．（2）设直线的方程为，，，如下图所示：联立可得，所以，解得．由韦达定理得，假设以为直径的圆能经过坐标原点，则，即，可得，又，所以，此时方程无实数解．所以以为直径的圆不能经过坐标原点．20.已知数列的前项和为，且，数列满足，数列的前项和为．（1）求数列的通项公式；（2）求．解：（1）当时，，得，由，得，所以，化简得，又，所以，即数列是等比数列，且公比．所以．（2）由（1）得，所以则．21.已知椭圆经过点，一个焦点在直线上．（1）求椭圆的方程；（2）设经过原点的两条互相垂直的直线分别与椭圆相交于，两点和，两点．求四边形的面积的最小值．解：（1）由题意，椭圆的左、右焦点分别为，，即，所以，即，，所以椭圆的方程为．（2）①当直线的斜率不存在或为0时，，，，分别为椭圆的四个顶点，所以．②当直线的斜率存在且不为0时，设，则，设，，，，联立，解得，即，所以，同理，所以．令，则，，所以，，当时，又，所以四边形的面积的最小值为．22.已知函数．（1