辽宁省普通高中2025届高三上学期11月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省普通高中2025届高三上学期11月期中考试数学试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，则，所以，，所以，.故选：D.2.下列四个命题中是假命题的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】，解得，所以，是真命题；，即，解得，所以，是真命题；，所以，解得，所以，是假命题；，是真命题.故选：.3.已知集合为全集，集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】对于A选项，因为，则、均不为空集，因为，所以，当时，则，又因为为的真子集，A错；对于B选项，若，则，B错；对于C选项，因为，所以，，C错；对于D选项，因为，所以，，D对.故选：D.4.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由于，代入原式中得：，解得：；又.故选：D5.若函数在上存在零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函数在上存在零点，则有解，即在上有解，令，则，当时，，所以函数在上单调递增，所以，即，所以实数的取值范围是.故选：A6.已知定义在上的函数及其导函数，满足，且，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，则，因为，所以，所以在0,+∞上单调递增，，即，又，则，所以，即，所以，解得.故选：.7.已知高为的正四棱台的所有顶点都在球的球面上，，为内部（含边界）的动点，则（）A.平面与平面的夹角为B.球的体积为C.的最小值为D.与平面所成角度数的最大值为【答案】D【解析】对于：取中点为，连接，则，所以平面与平面的夹角为，因为，所以，，又高为，所以，所以，即平面与平面的夹角为.故错误；对于：，所以点到各个顶点的距离都为，所以点即为正四棱台的外接球的球心，所以球的半径为，所以球的体积为，故错误；对于：易得平面，且平面，所以平面平面，连接，交于点，连接，则四边形为菱形，所以，，又平面，平面平面，所以平面，连接，因为平面，所以，所以，所以，当且仅当点与重合时等号成立，故错误；对于：因为平面，垂足为，平面，所以为直线到平面的距离，所以点到平面的距离为，设直线与平面所成角为，则，因为，所以，当且仅当点与重合时等号成立，所以与平面所成角度数的最大值为，故正确.故选：8.已知函数，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，又因为，所以当时，，在上单调递减，所以，不满足题意；所以，令，则，令，得，当，即时，在上恒成立，所以，即上单调递增，所以，所以在上单调递增，则，满足题意；当，即时，当时，，则，即单调递减，当时，，则，即单调递增，又因为，假设存在唯一，使成立，则必有，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，又，所以当时，必有，不满足题意；综上，.故选：D.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知函数的图象关于直线对称，则（）A.在上单调递减B.曲线的对称中心为，C.直线是曲线的一条对称轴D.在上有一个极值点【答案】ACD【解析】因为函数的图象关于直线对称，则，可得，因为，则，所以，，对于A选项，由，得，所以，函数在上单调递减，A对；对于B选项，由得，所以，曲线的对称中心为，B错；对于C选项，由得，当时，，则直线是曲线的一条对称轴，C对；对于D选项，当时，，由可得，所以，函数在上只有一个极值点，D对.故选：ACD.10.在边长为的正方形中，点为线段上的一点，，为线段上的动点，为的中点，则（）A. B.在上的投影向量为C.存在点，使得直线 D.的最小值为【答案】AD【解析】对于A选项，因为点为线段上的一点，，则，所以，，A对；对于B选项，在上的投影向量为，B错；对于C选项，由题意可知，，，因为为线段上的动点，所以，设，其中，又因为为的中点，则，若存在点使得，则，故，该方程无解，故不存在点，使得，C错；对于D选项，由C选项可知，，又因为，所以，当时，取到最小值，D对.故选：AD.11.设是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数，则（）A.若有极值点，则B.若当时，有极值，则对应的拐点为或C.若当时，在上无极值点，则的取值范围为D若当，时，曲线与轴分别交于、、，则【答案】ACD【解析】对于A选项，若函数有极值点，则有两个不等的零点，所以，，即，A对；对于B选项，当时，函数有极值，则，解得或，当，时，，此时，函数在上单调递增，该函数无极值，经检验，，合乎题意，所以，，，令，可得，此时，函数对应的拐点为，B错；对于C选项，当时，函数在上无极值点，则函数在上为单调函数，则恒成立，则，解得，即实数的取值范围是，C对；对于D选项，当，时，，由有，等式两边同除可得，令，则、、是方程的三个根，所以，，即，所以，，，，所以，，D对.故选：ACD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.设数列的前项和为，且满足，则_____.【答案】21【解析】由，可得，所以数列是一个公式为的等比数列，即，所以即，所以由等比数列的求和公式可得：，故答案为:.13.已知直线是曲线和的公切线，则的值为_____.【答案】【解析】令，则，因为直线是曲线的切线，所以由解得，此时所以在处的切线为，所以，又是的切线，联立得，令解得，所以.14.已知正方体的棱长为1，点，分别是线段，上的两个动点，若与底面所成角的度数为，则线段长度的取值范围是_____.【答案】【解析】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，所以，，，，，由题意可设，，其中，所以，显然为平面的法向量，所以，化简得，显然（否则矛盾），从而，解得，，因为在上单调递减，在上单调递增，所以函数在上的最小值为，最大值为，所以的取值范围为.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.在中，内角的对边分别为，，，且为内一点.（1）判断的形状；（2）若，，，求的最小值.解：（1）在中，因为，所以，由正弦定理得，即，则，所以，所以为等腰三角形.（2）由（1）知，中，，又，，所以是边长为的正三角形，由为内一点，在中，，，设外接圆的半径为，则由正弦定理，，解得，则是边长为的正三角形，又点在圆的劣弧上运动，如图，设点是在弧上除中点外的一点，因为，则当点在中点时，即与弧的交点，取得最小值，又，此时，即的最小值是.16.已知函数.（1）求极值点；（2）若，有，求实数的取值范围.解：（1）因为，则，当时，，由可得，由可得，此时，函数的减区间为，增区间为，所以，函数的极小值点为，无极大值点；当时，，则，由可得或，由可得，此时，函数的增区间为、，减区间为，所以，函数的极大值点为，极小值点为；当时，，当时，，则，当时，，则，此时，函数在上单调递增，无极值点；当时，，则，由可得或，由可得，此时，函数的增区间为、，减区间为，所以，函数的极大值点为，极小值点为.综上所述，当时，函数的极大值点为，极小值点为；当时，函数无极值点；当时，函数的极大值点为，极小值点为；当时，函数的极小值点为，无极大值点.（2）因为，对任意的，有，所以，，即，令，其中，则，所以，函数在上单调递减，则，故，因此，实数的取值范围是.17.观察下面图形中小正方形的个数，若第个图形中的小正方形的个数为，令.（1）求及数列bn的前项和；（2）设数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围.解：（1）由题意可得，，，，，，所以，，则，所以，.（2）由（1）知，，所以，，①，②②①得，因为，即，所以，，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，则，因此，实数的取值范围是.18.如图，在正三棱柱中，、分别是、的中点.若，.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：连接，交于点，连接，因为四边形为平行四边形，则为的中点，又因为为的中点，所以，，因为平面，平面，所以，平面.（2）解：取的中点，连接，因为平面，为等边三角形，为的中点，则，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，设，则、、、、，所以，，，因为，则，解得，则，，，，设平面的法向量为，则，取，可得，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，，因此，平面与平面夹角的余弦值为.19.如果无穷数列满足“对任意正整数，，都存在正整数，使得”，则称数列具有“性质”.（1）记数列的前项和为，若，求证：具有“性质”；（2）若等差数列的首项，公差为，求证：具有“性质”的充分条件是；（3）如果各项均为正整数的无穷等比数列具有“性质”，且，，三个数中恰有两个出现在数列中，求满足题意的的公比.（1）解：当时，，解得，当时，，整理得，故为首项和公比均为2的等比数列，故，若，则，则当时，对任意正整数，，都存在正整数，使得，所以具有“性质”；（2）证明：因为数列bn是首项为1的等差数列，所以，则，若数列bn具有“性质”，则，则，则，故，故当时，上式成立，此时数列bn具有“性质”，当时，，当时，也是正整数，即成立，此时数列bn具有“性质”，数列数列bn具有“性质”的充分条件为；（3）解：从，，三个数中任选两个，共有以下3种情况，，和，和，；对于，，因为为正整数，可以认为，是等比数列中的项，因为等比数列各项均为正整数，所以公比可能为，若公比为2，则的