青海省西宁市2024届高三上学期期末联考数学试题（文）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1青海省西宁市2024届高三上学期期末联考数学试题（文）第Ⅰ卷（选择题）一、单选题1.已知为虚数单位，复数满足，则复数z的虚部为（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】因为，，所以，所以，所以复数的虚部为；故选：B2.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以．故选:A.3.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图、俯视图中的圆以及侧视图中的圆弧的半径都相等，侧视图中的两条半径互相垂直，若该几何体的体积是,则它的表面积是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由三视图该几何体是球的部分，由该几何体体积为，可得球的半径为的球的，如图所示，所以该几何体的表面积为.故选：D.4.已知的内角的对边分别是，面积为S，且，则角的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，则，所以，又，则.故选：A5.已知是奇函数，则（）A.2 B. C.1 D.-2【答案】A【解析】因为函数是奇函数，所以满足，即，化简为，得，，此时，函数的定义域为，成立.故选：A6.已知向量，，则（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】.故选：A7.八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹.八角星纹以白彩绘成，黑线勾边，中为方形或圆形，具有向四面八方扩张的感觉.图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形为等腰直角三角形.若向图2随机投一点，则该点落在白色部分的概率是（）A B. C. D.【答案】D【解析】设圆的半径为2，如图设与交于，设的中点为，连接.则，设，则，故，而题设中空白部分的面积为，故点落在白色部分的概率是，故选：D.8.已知函数有三个零点，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，则，由得，或；由得，，则当或时单调递增；当时单调递减.则时取得极大值；时取得极小值.函数有三个零点，即函数与直线的图像有3个不同的交点，则实数m的取值范围是故选：A9.江南的周庄、同里、甪直、西塘、鸟镇、南浔古镇，并称为“江南六大古镇”，是中国江南水乡风貌最具代表的城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴、清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴侬软语民俗风情，在世界上独树一帜，驰名中外.这六大古镇中，其中在苏州境内的有3处.某家庭计划今年暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游，则只选一个苏州古镇的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】从这6个古镇中挑选2个去旅游的可能情况有种情况，只选一个苏州古镇的概率为．故选：B10.已知函数是奇函数，且，将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数为，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由是奇函数，则，，又，可得，当，，则，不合题设；当，，则，故；所以，将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，故.故选：A11.圆关于直线对称，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由圆可得标准方程为，因为圆关于直线对称，该直线经过圆心，即，，，当且仅当，即时取等号，故选：C.12.已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，且点到准线的距离为6，的垂直平分线与准线交于点，点为坐标原点，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解法一：抛物线：的焦点为，准线为：，设，由点到准线的距离为6，得，得，代入抛物线的方程得，所以．由抛物线的对称性，不妨设，则直线的斜率为，又的中点坐标为，故的垂直平分线的方程为，令，得，即．所以的面积为．故选：B.解法二：抛物线：的焦点为，准线为：，设，由到准线的距离为6，得，得，代入抛物线的方程得，所以．由抛物线的对称性，不妨设，则直线的斜率为，所以．过点作的垂线，垂足为，则，连接，则，而，所以是等边三角形，于是边的垂直平分线过点，即点与点重合，所以的面积为．故选：B.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题13.已知抛物线：经过点，则抛物线的准线方程是______.【答案】【解析】由题意得：抛物线：经过点，解得准线方程为故答案为：14.已知是第三象限角，则的值为__________.【答案】【解析】由可知，由在第三象限，可知，则，代入，解得，则.故答案为：.15.已知实数x，y满足不等式组，则的最大值为________．【答案】12【解析】作出实数满足不等式组的可行域，如图（阴影部分），由，则，由解得点，作出，平移直线，当直线经过点时，截距最大，故，即z＝3x＋4y－4的最大值为.故答案为：12.16.已知一个体积为球内切于直三棱柱（即与三棱柱的所有面均相切）,底面的中有,则该直三棱柱的外接球（即使所有顶点均落在球面上）的表面积为________．【答案】【解析】由题知，记内切球半径为,外接球半径为,内切圆、外接圆半径为r,R,则,解得,因为该球内切于一个直三棱柱,当且仅当球半径与底面三角形内切圆半径相等,同时棱柱的高恰为球半径的2倍,所以;由题意,设,则在中由余弦定理得,,,所以,由内切圆半径公式,,解得,所以,由正弦定理,,得,而直三棱柱内接于一个球,当且仅当两全等的底面位于距球心距离相同且平行的两个小圆上,显然该两个小圆距球心的距离d应为棱柱高h的一半,所以平面与球心间的距离,且其所在小圆的半径即为其本身外接圆的半径,为,由球的垂径定理,,所以球的表面积为．三、问答题17.信阳市旅游部门为了促进信阳生态特色城镇和新农村建设，将甲、乙，丙三家民宿的相关资料放到某网络平台上进行推广宣传.该平台邀请部分曾在这三家民宿体验过的游客参与调查，得到了这三家民宿的“综合满意度”评分，评分越高表明游客体验越好，现从这三家民宿“综合满意度”的评分中各随机抽取10个评分数据，并对所得数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息.a.甲、乙两家民宿“综合满意度”评分的折线图：b.丙家民宿“综合满意度”评分：2.6，4.7，4.5，5.0，4.5，4.8，4.5，3.8，4.5，3.1c.甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的平均数、中位数：甲乙丙平均数4.54.2中位数4.54.7根据以上信息，回答下列问题：（1）表中值是______，的值是______；（2）设甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的方差分别为、、，试比较其大小.（3）根据“综合满意度”的评分情况，该平台打算将甲、乙、丙三家民宿中的一家置顶推荐，你认为该平台会将这三家民宿中的哪家置顶推荐？说明理由（至少从两个方面说明）.解：（1）甲家民宿“综合满意度”评分：3.2，4.2，5.0，4.5，5.0，4.8，4.5，4.3，5.0，4.5，∴，丙家民宿“综合满意度”评分：2.6，4.7，4.5，5.0，4.5，4.8，4.5，3.8，4.5，3.1，从小到大排列为：2.6，3.1，3.8，4.5，4.5，4.5，4.5，4.7，4.8，5.∴中位数，（2）根据折线统计图可知，乙的评分数据在4分与5分之间波动，甲的数据在3.2分和5分之间波动，根据丙的数据可以在2.6至5分之间波动，∴；（3）推荐乙，理由：乙的方差最小，数据稳定，平均分比丙高，答案不唯一，合理即可.18.已知各项为正数的等差数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.解：（1）依题意，设的公差为，，因为，，所以，解得或，当时，，矛盾，舍去；当时，，满足题意；的通项公式为.（2）由（1）得，，故.19.正四棱锥中，，，其中为底面中心，为上靠近的三等分点．（1）求证：平面；（2）求四面体的体积．（1）证明：在正四棱锥中为底面中心，连接，，则与交于点，且，平面，平面，所以，又，平面，所以平面.（2）解：因为，，所以，又为上靠近的三等分点，所以，则.20.已知函数，且曲线在点处的切线与直线平行.（1）求函数的单调区间；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.解：（1）函数的定义域为，，又曲线在点处的切线与直线平行所以，即，由且，得，即的单调递减区间是由得，即的单调递增区间是.（2）由（1）知不等式恒成立可化恒成立即恒成立令当时，，在上单调递减.当时，，在上单调递增.所以时，函数有最小值，由恒成立，得，即实数的取值范围是.21.已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆方程；（2）设不过原点的直线，与该椭圆交于两点，直线的斜率依次为，满足，试问：当变化时，是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．解：（1）根据题意可得：，解方程组可得，故椭圆方程（2）当变化时，为定值，证明如下：由，把代入椭圆方程得：；设，由二次函数根与系数关系得：因为直线斜率依次是，且满足，所以，该式化为，代入根与系数关系得：，经检验满足：即为定值22.在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程是．（1）在直角坐标系中，若直线经过点且与圆和圆的公共弦所在直线平行，求直线的极坐标方程；（2）若射线与圆的交点为，与圆的交点为，线段的中点为，求的周长．解：（1）由圆的参数方程，则，由，则，即①，由圆的极坐标方程，两边同乘可得，由，则②，可得，故圆与圆的公共弦所在直线的方程为，其斜率为，由直线与两圆公共弦所在直线平行，且直线过，则，化简可得，由，则.（