辽宁省辽阳市2023-2024学年高一上学期1月期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省辽阳市2023-2024学年高一上学期1月期末考试数学试题一、多项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意，，而，所以.故选：A.2.已知向量，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故选：B.3.设是两个集合，且，则命题“，”的否定为（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】根据全称量词命题的否定的基本形式可知，命题“，”的否定为“，”.故选：D.4.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由对数函数的单调性可知，，即，函数在R上减函数，于是，即，所以．故选：C.5.从1，2，3，4这4个数中随机选取2个数，则选取的2个数之积大于4的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】该试验的样本空间为，共包含6个样本点，“选取的2个数之积大于4”对应的事件为，含有3个样本点，所以选取的2个数之积大于4的概率为．故选：C.6.已知函数，则“”是“的最小值大于5”的（）A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，若，则，即的最小值大于5，反之亦成立，则“”是“的最小值大于5”的充要条件.故选：A.7.一副扑克牌（含大王、小王）共54张，A，2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K各4张，从该副扑克牌中随机取出两张，事件“取出的牌有两张6”，事件“取出的牌至少有一张黑桃”，事件“取出的牌有一张大王”，事件“取出的牌有一张红桃6”，则（）A.事件A与事件互斥 B.事件与事件互斥C.事件与事件互斥 D.事件A与事件互斥【答案】D【解析】ABC选项，因为事件A与事件，事件与事件，事件与事件都可以同时发生，所以A，B，C错误，D选项，因为取出的牌有两张6的同时不可能还能取出一张大王，所以事件A与事件C互斥.故选：D.8.大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记为实际声压，通常我们用声压级（单位：分贝）来定义声音的强弱，声压级与声压存在近似函数关系：，其中为常数,且常数为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压为穿软底鞋走路的声压的倍，且穿硬底鞋走路的声压级为分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级的倍.若住宅区夜间声压级超过分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为，则（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】由题意，得，则，因此，，则，，则.故选：A.二、多项选择题：本大题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.下列命题为真命题的是（）A.B.零向量与任意向量共线C.互为相反向量的两个向量的模相等D.若向量，满足，，则【答案】BCD【解析】，A选项错误；零向量与任意向量共线，B选项正确；互为相反向量的两个向量的模相等，C选项正确；若向量，满足，，则，即，D选项正确．故选：BCD.10.某人记录了自己一周内每天运动时长（单位：分钟）：.若这组数据的第40百分位数与第20百分位数的差为3，则的值可能为（）A.47 B.45 C.53 D.60【答案】AC【解析】将已知的6个数按照从小到大的顺序排列为，又，，若，则这组数据的第20百分位数与第40百分位数分别是46和，；若，则这组数据的第20百分位数与第40百分位数分别是50和，，所以，则这组数据的第20百分位数与第40百分位数分别是和50，或50和，则，解得或53.故选：AC.11.已知函数对任意恒有，且，则（）A. B.可能是偶函数C. D.可能是奇函数【答案】AB【解析】对于选项A，令，得，则，所以选项A正确；令，得，则，对于选项B，若是偶函数，则，所以选项B正确；对于选项C，令，得，所以选项C错误；对于选项D，若是奇函数，则，所以不可能是奇函数，所以选项D错误.故选：AB.12.已知函数，.若关于的方程有3个实数解，，，且，则（）A.的最小值为4 B.的取值范围是C.的取值范围是 D.的最小值是9【答案】BCD【解析】作出的大致图象，如图所示：由题意可得，可得，即，其中，，，，对于选项A：因为，当且仅当，即时，等号成立，但，所以的最小值不为4，A错误；对于选项BC：因为，所以，，故BC正确；对于选项D：因为，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是9，故D正确．故选：BCD.三、填空题：本大题共4小题，把答案填在答题卡中的横线上．13.已知向量不共线，，，，则实数________．【答案】【解析】因为，所以，，则，解得．故答案为：.14.函数的图象经过定点，则点的坐标为________．【答案】【解析】令，得，所以点的坐标为．故答案为：.15.函数的最小值为________，此时________．【答案】01【解析】由题意得，当时，取得最小值0，作出函数，的图象：可知，的图象只有一个交点，且，故结合图象可知交点的横坐标为1，所以方程的解为．故答案为：01.16.投壶是从先秦延续至清末的传统礼仪和宴饮游戏，在战国时期较为盛行.投壶时，第一箭入壸（即投中）称为“有初”，投中且投入壶耳称为“贯耳”，假设投壶参与者甲每次投壶得“贯耳”的概率为，每次投中的概率为.若甲投壶3次，则甲“有初”“贯耳”均投得的概率为________．【答案】【解析】若甲第一次投壶投得“贯耳”，则甲“有初”“贯耳”均投得，其概率为；若甲第一次投壶投中且未投得“贯耳”，则甲在后面2次投壶中至少要投中1次“贯耳”，其概率为，故所求概率为．故答案为：.四、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.从某脐橙果园随机选取200个脐橙，已知每个脐橙的质量（单位：）都在区间内，将这200个脐橙的质量数据分成这4组，得到的频率分布直方图如图所示.（1）试问这200个脐橙中质量不低于的个数是多少？（2）若每个区间的值以该区间的中间值为代表，估计这200个脐橙的质量的平均数.解：（1）不低于的频率为，所以这200个脐橙中质量不低于的个数是.（2）平均数为.18.如图，在平行四边形中，，分别为，的中点．（1）试问与是相等向量还是相反向量？说明你的理由．（2）若，试用，表示，．解：（1）由题意可得：，因为，分别为，的中点，所以，所以与是相等向量.（2）由题意可得：；因为，则，所以.19.已知函数．（1）求的解析式；（2）若函数，，，，求的取值范围．解：（1）令，则，则，所以的解析式为.（2）因为在上单调递增，所以，因为在上单调递减，所以，因为，，，所以，所以，解得，所以的取值范围是.20.从①；②这两个条件中任选一个填入题中的横线上，并解答问题．已知函数________．（1）求值；（2）判断在上的单调性，并用单调性的定义证明你的判断．解：（1），，选①，，则.选②，，则.（2）选①，，在上单调递减，在上单调递增，，且，则，当时，，，，则，，因此在上单调递增；当时，，，，则，，所以在上单调递减.选②，，在上单调递减，在上单调递增，，且，当时，，，因为，则，，则，，所以在上单调递增；当时，，，因为，则，，则，，所以在上单调递减.21已知函数．（1）求函数零点的个数；（2）若函数的最小值为，求函数的最小值（结果用表示）．解：（1），其中且，由，得，画出，的图象，如下：可知，它们的图象只有一个交点，且交点的横坐标不是1，所以的零点个数为1.（2），，，当的取值范围为时，的取值范围为，所以的最小值与的最小值相等，均为，因为，所以的最小值为.22.已知函数．（1）判