黑龙江省牡丹江市2024-2025学年高一上学期第二次三校联考数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1黑龙江省牡丹江市2024-2025学年高一上学期第二次三校联考数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为，，所以．故选：C.2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】命题“，”的否定是“，”.故选：D.3.函数的定义域为（）A B.C. D.【答案】D【解析】由解得或．故选：D．4.已知幂函数的图象经过点，则＝（）A. B.9 C. D.【答案】D【解析】设，由的图象经过点，得，解得，即，所以.故选：D.5.已知，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】取，，可知A，B错误；因为，所以C正确；取，可知D错误.故选：C.6.经调查发现，一杯热茶的热量会随时间的增大而减少，它们之间的关系为，其中，且．若一杯热茶经过时间，热量由减少到，再经过时间，热量由减少到，则（）A.2 B.1 C. D.【答案】A【解析】当时，，当时，，故；当时，，故，所以．故选：A．7.函数的图象与的图象的交点个数为（）A8 B.6 C.4 D.2【答案】C【解析】在同一直角坐标系中，作两个函数与的图象，由图可知，两函数的图象的交点个数为4．故选：C．8.已知函数的定义域为，，，都有，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】当，时，，所以；令得，所以；，，，…，.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知关于的不等式的解集为，则（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】因为不等式的解集为，所以，，4是方程的两根，所以，，则，A错误；，则，D正确；因为，所以，B正确；因为，所以，，两式相加得，即，C正确．故选：BCD．10.若，则下列说法一定正确的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】因为函数在0,+∞上单调递减，所以，则，所以，A正确；由，得，，但与1的大小关系不确定，所以B错误；由，得，则，所以，C正确；由，得，所以，但与1的大小关系不确定，所以D错误．故选：AC．11.已知函数，则（）A.当时，为偶函数 B.既有最大值又有最小值C.在上单调递增 D.的图象恒过定点【答案】ACD【解析】当时，，定义域为，因为，所以为偶函数，A正确；因为，所以，则有最大值，没有最小值，B错误；因为在上单调递增，在上单调递减，又在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，C正确；当时，，所以的图象恒过定点，D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，则______.【答案】0【解析】已知函数，则，所以．13.若函数的图象经过第一、二、三象限，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】根据对数函数的图象可知，要使函数的图象经过第一、二、三象限，则，即，所以，故实数的取值范围为．14.，分别表示函数在区间上的最大值与最小值，则________.【答案】4【解析】因为因为，，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设命题：实数满足，其中，命题：实数满足．（1）若，且和都是真命题，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．解：（1）当时，不等式为，解得，即：；由，得，即：，由和都是真命题，得，所以实数的取值范围是．（2）由，，得，即命题：．由（1）知命题：，因为是的充分不必要条件，因此解得，所以实数的取值范围是．16.已知函数为奇函数，且．（1）求函数的解析式；（2）判断函数在上的单调性并证明．解：（1）因为函数为奇函数，定义域为，所以，即恒成立，所以，又，所以，所以．（2）在上单调递增，证明如下：任取，且，则，又，且，所以，，，所以，即，所以在上单调递增．17.一家货物公司计划租地建造仓库存储货物，经过市场调查了解到下列信息：每月库存货物费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成正比；每月土地占地费用（单位：万元）与（单位：km）成反比，当在距离车站5km处建仓库时，和的费用分别为1万元和8万元．（1）若使每月土地占地费用与每月库存货物费之和不超过7.2万元，则仓库到车站的距离（单位：km）应该在什么范围？（2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使得两项费用之和最小？并求出最小值．解：（1）设，，由题知：当时，和的费用分别为1万元和8万元，即，，解得，，所以，．若使每月土地占地费用与每月库存货物费之和不超过7.2万元，即，解得，所以若使每月土地占地费用与每月库存货物费之和不超过7.2万元，则仓库到车站的距离的取值范围为（单位：km）．（2）由，当且仅当时，即时，等号成立，所以仓库到车站的距离为15km时，两项费用之和最小，最小值为7万元．18.已知函数图像经过点，.（1）求的解析式；（2）证明：曲线是中心对称图形；（3）求关于的不等式的解集.解：（1）由题意可知，解得或，（舍去），所以.（2）证明：因为，所以曲线关于点对称，故曲线是中心对称图形.（3）由（1）可知，，易知函数在上单调递增，且，所以在上单调递减.由（2）可知，，由，得，即，根据在上单调递减，得，整理得，，即.当时，解得；当时，无解；当时，解得.综上可知，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.19.现定义了一种新运算“⊕”：对于任意实数，，都有（且）．（1）当时，计算4⊕4；（2）证明：，都有