高一数学上学期期末复习【第二章 一元二次函数、方程和不等式】九大题型归纳（拔尖篇）（解析版）

高一上学期期末复习第二章九大题型归纳（拔尖篇）【人教A版（2019）】题型1题型1利用作差法、作商法比较大小1．（2023下·辽宁抚顺·高二校联考期末）已知x>y>1>z>0,a=1+xzz,b=A．a>c>b B．b>c且a>cC．b>c>a D．a>b且a>c【解题思路】由x>y>1>z>0，得1x<1y【解答过程】因为x>y>1>z>0，所以1x<所以a=x+a-b=x+1z-y-a-c=x+1z-z-c-b=z+1y-y-所以a>b且a>c.故选：D.2．（2023·上海·高三专题练习）设p=a2+a+1-1，A．p>q B．p<q C．p≥q D．p≤q【解题思路】首先配方判断p、q均大于零，然后作商即可比较大小.【解答过程】p=aq=a则q=a故p≤q，当且仅当a=0时，取等号，故选：D.3．（2023上·贵州六盘水·高一统考期中）从下列三组式子中选择一组比较大小：①设x>1,M=x-x-1②设M=x+3x+4,N=③设a>b>0,M=a2-b注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分.【解题思路】①利用有理根式可得M=1x+x-1>0,N=②用作差法比较即可；③用作差法或作商法比较即可.【解答过程】解：①M>NM=x因为x+1+所以1x+1即x+1-∴M>N.②M>NM-N=x+3∴M>N.③M>N方法一（作差法）M-N==a-b因为a>b>0，所以a+b>0,a-b>0,2ab>0,a所以2aba-b所以a2∴M>N..方法二（作商法）因为a>b>0，所以a2所以MN所以a2∴M>N.4．（2023·江苏·高一假期作业）下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了；(2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡；(3)如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了.【解题思路】由题意建立不等式，利用作差法比较大小即可得证.【解答过程】（1）设糖水b克，含糖a克，糖水浓度为ab，加入m克糖，即证明不等式a+mb+m>ab(其中a，b，m为正实数，且不妨用作差比较法，证明如下：a+mb+m-ab=∵a，b，m为正实数，且a<b，∴b+m>0,b-a>0，∴mb-abb+m（2）设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为ab；另一份糖水d克，含糖c克，糖水浓度为cd，且ab<cd证明：∵ab<cd，且b＞a＞0，d∴ad<bc，即bc-ad>0，ab即abcd即a+c（3）设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为ab，加入m克水，求证：ab>ab+m(其中b＞a＞证明：ab∴a题型2题型2利用不等式的性质求取值范围1．（2023上·山东济宁·高一曲阜一中校考期末）已知0<a-b<2，2<a+b<4，则3a+b的范围是（

）A．4,8 B．6,10 C．4,10 D．6,12【解题思路】首先用a-b和a+b表示3a+b，再根据条件的范围，求解3a+b的范围.【解答过程】设3a+b=xa-b得x+y=3y-x=1，解得：x=1所以3a+b=a-b因为0<a-b<2，2<a+b<4，所以4<2a+b<8，所有3a+b的范围是4,10.故选：C.2．（2023上·陕西商洛·高二统考期末）已知实数a，b满足-3≤a+b≤-2，1≤a-b≤4，则3a-5b的取值范围是（

）A．92,412 B．6,19 C．【解题思路】由3a-5b=-(a+b)+4(a-b)，再结合同向不等式的可加性求解即可.【解答过程】因为3a-5b=-(a+b)+4(a-b)，由-3≤a+b≤-2，所以2≤-a+b由1≤a-b≤4，所以4≤4a-b所以6≤3a-5b=-(a+b)+4(a-b)≤19，即3a-5b的取值范围是6,19.故选：B.3．（2023上·广东揭阳·高一统考期中）实数a，b满足4≤a+b≤7，2≤a-b≤3.(1)求实数a，b的取值范围；(2)求3a-2b的取值范围.【解题思路】（1）应用不等式性质线性运算可得；（2）用已知式子表示所求式子结合不等式性质线性运算即可.【解答过程】（1）∵4≤a+b≤7，2≤a-b≤3∴3≤a≤5，12（2）3a-2b=52因为2≤a-b≤3，所以5≤52又4≤a+b≤7，所以2≤12所以3a-2b=54．（2023上·广东佛山·高一校考期中）设a∈-6,8，b∈(1)求2a+b的取值范围．(2)求a-b的取值范围．(3)求ab【解题思路】根据不等式的性质求取值范围.【解答过程】（1）因为a∈-6,8，所以2a∈又b∈2,3，所以2a+b∈（2）因为b∈2,3，所以-b∈因为a∈-6,8，所以a-b∈（3）因为b∈2,3，所以1当a∈0,8时，a当a∈-6,0时，a所以ab题型3题型3利用不等式的性质证明不等式1．（2023上·陕西榆林·高一校考期中）证明下列不等式：(1)已知a>b>c>d，求证：1a-d(2)已知a>b>0,c<d<0,e<0，求证：ea-c【解题思路】（1）依题意可得a-d>b-c>0，再根据不等式的性质证明；（2）利用作差法证明即可.【解答过程】（1）∵a>b>c>d，即a>b,-d>-c，∴a-d>b-c>0，则1a-d（2）∵a>b>0,c<d<0,e<0，∴-c>-d>0，∴a-c>b-d>0,b-a<0,c-d<0，则ea-c∴2．（2023·高一课时练习）阅读材料：（1）若x>y>0，且m>0，则有y（2）若a<b,c<d，则有a+c<b+d．请依据以上材料解答问题：已知a，b，c是三角形的三边，求证：ab+c【解题思路】利用三角形两边的和大于第三边，结合给定材料推理作答.【解答过程】因为a，b，c是三角形的三边，则b+c>a>0，由材料（1）知，ab+c同理ba+c<2ba+b+c，ab+c所以原不等式成立.3．（2023上·河南·高一阶段练习）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：yx(1)证明榶水不等式；(2)已知a,b,c是三角形的三边，求证：ab+c【解题思路】（1）由作差法证明；（2）由糖水不等式变形证明．【解答过程】（1）y+mx+m因为x>y>0,m>0，所以x+m>0,x-y>0，所以mx-yxx+m（2）因为a,b,c是三角形的三边，所以b+c>a>0，由（1）知ab+c同理ba+c所以ab+c所以原不等式成立．4．（2023·上海·高一专题练习）（1）已知a>b,e>f,c>0，求证：f-ac<e-bc；（2）已知a>b>0,c<d<0，求证：b（3）已知bc-ad≥0,bd≥0，求证：a+b【解题思路】根据不等式的基本性质，逐项推理、运算，即可求解.【解答过程】（1）因为a>b,c>0，可得ac>bc，所以-ac<-bc，又因为f<e，可得f-ac<e-bc.（2）因为c<d<0，所以-c>-d>0，又因为a>b>0，所以a-c>b-d>0，可得1b-d因为a>b>0，根据不等式的性质，可得ab-d>b（3）因为bd>0，要证a+bb≤c+d展开得ad+bd≤bc+bd，即ad≤bc，即bc-ad≥0，又因为bc-ad≥0，所以a+bb题型4题型4利用基本不等式证明不等式1．（2023上·江西新余·高三统考期末）已知a>0，b>0，且a+b=2，证明.(1)a2(2)a【解题思路】（1）首先将不等式左边进行变形，利用公式2=a+b≥2ab（2）首先将不等式左边变形为a2+【解答过程】（1）a2因为a>0,b>0，2=a+b≥2ab，则0<ab≤1，则a2b所以a2（2）a=====而a2+b所以a32．（2023上·河南·高一校联考期末）证明下列不等式，并讨论等号成立的条件．(1)若0≤x≤1，则x1-(2)若ab≠0，则ba【解题思路】（1）利用基本不等式即可证明；（2）讨论ab>0和ab<0两种情况，脱掉绝对值符号，结合基本不等式证明即可.【解答过程】（1）证明：因为0≤x≤1，所以0≤x≤1，所以x1-当且仅当x=1-x，即（2）证明：因为ab≠0，当ab>0时，ba当且仅当a=b≠0时等号成立．当ab<0时，ba当且仅当a=-b≠0时等号成立．综上，若ab≠0，则ba+a3．（2023上·河南新乡·高一校联考期末）已知a>0,b>0．(1)若a-b=4，证明：a+4(2)若a2+9b【解题思路】（1）由a-b=4，得a=b+4，再利用基本不等式即可得证；（2）由a2+9【解答过程】（1）由a-b=4，得a=b+4，所以a+4当且仅当b+1=4b+1，即即a+4（2）因为a2所以34(a+3b)2则a+3b≤6，所以a+3b的最大值为6．4．（2023上·山东菏泽·高一校考期末）已知a，b都是正数.(1)若a+b=1(2)当a≠b时，证明：aa【解题思路】（1）根据基本不等式乘“1”法即可求解，（2）根据作差法即可求解.【解答过程】（1）证明：由于a，b都是正数，b=1a当且仅当a=b=14时等号成立.所以（2）证明：a=a因为a≠b，a>0,b>0，所以a-b2>0，a题型5题型5基本不等式的恒成立问题1．（2023上·广东广州·高一校考期末）若正数x,y满足x+y=1，且不等式4x+1+1y-m≥0A．447 B．275 C．143【解题思路】将x+y=1变成x+1+y=2，可得4x+1【解答过程】解：∵x>0，y>0，x+y=1，∴x+1+y=2，∴4x+1当且仅当4yx+1=x+1y，即x+1=2y时等号成立，解得因为不等式4x+1所以4x+1+所以，实数m的最大值为92故选：D．2．（2023上·河南郑州·高三校联考期末）已知正数a，b满足a+b=3，若a5+b5≥λabA．-∞,812 B．(-∞,【解题思路】先参变分离得a4b+b4a【解答过程】依题意，a4又a+b=3，而a≥≥a当且仅当a=b，即a=32，前后两个不等号中的等号同时成立，所以λ的取值范围为-故选：B3．（2023上·湖北宜昌·高一校考阶段练习）（1）已知a>0，b>0，若不等式3a+1（2）若关于x的不等式3x2+bx+3≥0在[0,2]上恒成立，求实数【解题思路】（1）分离变量，利用基本不等式求解；（2）当x=0时，不等式显然成立；当0<x≤2时，分离变量，利用基本不等式求解.【解答过程】（1）因为a>0，b>0，则3a而(3当且仅当9ba=a依题意，不等式m≤(3a+所以m的最大值为12；（2）当x=0时，不等式3x2+bx+3≥0当0<x≤2时，3x又因为3(x+1x)≥3×2x⋅1所以-b≤6，即b≥-6，即实数b的取值范围为{b|b≥－4．（2023·高一课时练习）已知x>0，y>0．(1)若xy=2，x>y，不等式x2+y(2)若不等式1x+1(3)若x+y=1．且1x+a【解题思路】（1）将x2+y2-4mx+4my≥0恒成立，转化为（2）将1x+1y+m（3）根据x+y=1，a>0，利用基本不等式求解.【解答过程】（1）解：∵x>y>0，∴x-y>0，∴x2+y又xy=2，∴x2当且仅当x-y=4x-y，即x-y=2，即x=3∴4m≤4，∴m≤1．故实数m的取值范围是-∞,1．（2）∵x>0，y>0，∴1x+1又x+y1x+1y∴-m≤4，即m≥-4．∴实数m的最小值为－4．（3）∵x+y=1，a>0，∴1x+ay=又1x∴a+1∴a+1≥3或a∴a≥4．故正实数a的最小值为4．题型6题型6基本不等式的有解问题1．（2023上·广东深圳·高二校考期末）若两个正实数x，y满足4x+y=xy且存在这样的x，y使不等式x+y4<m2A．(-1,4) B．(-4,1) C．(-∞,-4)∪(1,+∞【解题思路】依题意可得4y+1x=1，再利用乘“1”法及基本不等式求出【解答过程】解：因为x>0，y>0且4x+y=xy，所以4y所以x+y当且仅当4xy=y所以m2+3m>4，即(m+4)(m-1)>0，解得m<-4或所以m的取值范围是(-∞故选：C.2．（2023上·河北沧州·高一校联考阶段练习）若存在正实数x，y满足于4y+1x=1，且使不等式x+A．-4,1 B．-1,4C．-∞,-4∪【解题思路】利用乘“1”法及基本不等式求出x+y4的最小值，即可得到m【解答过程】因为x>0，y>0且4y所以x+y当且仅当4xy=y所以m2-3m>4，即m-4m+1>0，解得所以m的取值范围是-∞故选：D．3．（2023上·江苏南通·高二校考阶段练习）已知函数fx=ax（1）若关于x的不等式fx>x-2在1,+∞有解，求（2）解关于x的不等式fx【解题思路】（1）利用分离常数法将fx>x-2转化为a>x+2x（2）将不等式fx≥1转化为a-1x+1x-1≥0且x≠1，然后对【解答过程】（1）fx>x-2在1,+∞有解，即axx-1因为x>1,x-1>0，所以ax>x-1x-2，因为x+2当且仅当x=2所以a>22（2）axx-1≥1，a-1x+1x-1≥01）a=1时，不等式化为x-1>0，解得x>1，即原不等式的解集为1,+∞；当a≠1时，方程a-1x+1x-1=0的两个根为12）a>1时，-1a-1<1，所以原不等式解得x>1或x≤-3）0<a<1时，-1a-1>1，所以原不等式解得1<x≤-4）a=0时，-15）a<0时，-1a-1<1，所以原不等式解得-4．（2023上·辽宁丹东·高一校考阶段练习）关于x的不符式-x(1)若a=2，求不等式的解集．(2)若∃x∈3,+∞时，不等式-x【解题思路】（1）利用一元二次不等式的解法直接求解即可，（2）将问题转化为当x>3时，a≥(x-3)+4x-3+3有解，然后利用基本不等式求出(x-3)+【解答过程】（1）当a=2时，-x2+5x-6>0(x-2)(x-3)<0，解得2<x<3，所以不等式的解集为(2,3)；（2）由-x2+a(x-3)≥x因为∃x∈3,+∞时，不等式所以当x>3时，a≥x因为x>3，所以x-3>0，所以x-3+4x-3+3≥2x-3所以a≥7，即实数a的取值范围为[7,+∞题型7题型7由一元二次不等式的解确定参数1．（2023上·辽宁沈阳·高一沈阳市第四十中学校考期末）已知函数fx=x2+ax+ba,b∈R的值域为0,+∞，若关于x的不等式fA．9 B．8 C．0 D．6【解题思路】由题意可得b=a24，然后求出不等式fx<c的解，结合已知条件可得出关于【解答过程】由题意知fx因为函数fx的值域为0,+∞，所以，b-a由fx<c可知c>0，且有x+a所以，m=-a2-所以，6=m+6-m=2c故选：A.2．（2023下·江苏南通·高一统考期末）关于x的不等式x2-2m+1x+4m≤0的解集中恰有4个正整数，则实数A．52,3 B．52,3 C．【解题思路】不等式化为(x-2)(x-2m)⩽0，讨论2m⩽2和2m>2时，求出不等式的解集，从而求得m的取值范围．【解答过程】原不等式可化为(x-2)(x-2m)⩽0，若m⩽1，则不等式的解是[2m，2]，不等式的解集中不可能有4个正整数，所以m>1，不等式的解是[2，2m]；所以不等式的解集中4个正整数分别是2，3，4，5；令5⩽2m<6，解得52所以m的取值范围是[52，故选：B．3．（2023上·山东潍坊·高一统考期末）已知二次函数fx=x2+bx+c(1)求函数fx(2)解关于x的不等式a+1x2+3ax>f【解题思路】（1）由一元二次不等式的性质结合根与系数的关系得出函数fx（2）分类讨论a的值，结合一元二次不等式的解法求解即可.【解答过程】（1）由题意知，在fx=x2∴x2+bx+c=0∴-2+3=-b,-2×3=c，解得：b=-1,c=-6∴f（2）由题意得，a∈将fx=xa+1∴a即ax+1x+3当a=0时，不等式化为：x+3>0，解集为：{x∣x>-3}，当a<0时，-1a>0即x+1a当a>0时，-1a<0，不等式化为a若-1a=-3，即a=1若-1a<-3，即0<a<13，则不等式x+若-1a>-3，即a>13，则不等式x+综上所述：当a<0时，不等式的解集为x∣-3<x<-1当a=0时，不等式的解集为{x∣x>-3}；当0<a<13时，不等式的解集为{x∣x<-1当a=13时，不等式的解集为当a>13时，不等式的解集为x∣x<-3或4．（2022上·江苏南京·高一校考阶段练习）已知f(x)=2x2+bx+c，不等式f(x)<-12(1)求f(x)的解析式；(2)不等式组f(x)>0f(x+k)<0的正整数解仅有2个，求实数k(3)若对于任意x∈[-1，1]，不等式t⋅f(x)⩽2恒成立，求t的取值范围.【解题思路】（1）结合根与系数关系求得b，c；（2）根据不等式组f(x)>0f(x+k)<0的正整数解仅有2个，可得到7<5-k⩽8（3）对t进行分类讨论，结合函数的单调性求得t的取值范围.【解答过程】（1）因为f(x)=2x2+bx+c，不等式f(x)<-12所以2，3是一元二次方程2x可得2+3=-b22×3=c+122（2）不等式f(x)>0f(x+k)<0，即2解得x>5,x<0-k<x<5-k，因为正整数解仅有2个，可得该正整数解为6､7可得到7<5-k⩽8，解得-3⩽k<-2，则实数k取值范围是[-3，-2)；（3）因为对于任意x∈[-1，1]，不等式t⋅f(x)⩽2恒成立，所以tx当t=0时，-1<0恒成立；当t>0时，函数y=tx2-5tx-1在x∈[-1，1]上单调递减，所以只需满足f(-1)=t⋅当t<0时，函数y=tx2-5tx-1在x∈[-1，1]上单调递增，所以只需满足f（1）=t⋅综上，t的取值范围是[-1题型8题型8一元二次不等式恒成立问题1．（2022上·内蒙古包头·高一统考期末）若不等式2kx2+kx-38<0对一切实数A．-3<k≤0 B．-3<k<0C．k≤-3或k≥0 D．k<-3或k≥0【解题思路】由2kx2+kx-38<0对一切实数x【解答过程】2kx2+kx-①k=0时，-3②k≠0时，k<0Δ=k综上可得，-3<k≤0.故选：A.2．（2023上·安徽马鞍山·高一统考期末）已知对一切x∈[2,3]，y∈[3,6]，不等式mx2-xy+y2A．m≤6 B．-6≤m≤0C．m≥0 D．0≤m≤6【解题思路】令t=yx，分析可得原题意等价于对一切t∈1,3，【解答过程】∵x∈[2,3]，y∈[3,6]，则1x∴yx又∵mx2-xy+可得m≥y令t=yx∈1,3，则原题意等价于对一切∵y=t-t2的开口向下，对称轴则当t=1时，y=t-t2取到最大值故实数m的取值范围是m≥0.故选：C.3．（2023·全国·高三专题练习）函数f(x)=x（1）当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；（2）当x∈-2,2时，f(x)≥a恒成立，求实数a（3）当a∈4,6时，f(x)≥0恒成立，求实数x【解题思路】（1）当x∈R时，x2+ax+3-a≥0恒成立，利用判别式（2）当x∈-2,2时，f(x)≥a恒成成立，令g(x)=x2+ax+3-a，该二次函数对称轴为x=-a2，属于轴动区间定的问题，需分三种情况讨论：当-a2≤-2（3）令h(a)=xa+x2+3，f(x)≥0恒成立，即h(a)≥0恒成立，函数h(a)是关于a的一次函数，只需h(4)≥0h(6)≥0【解答过程】（1）当x∈R时，f(x)=x2+ax+3≥a则Δ=a2-4所以实数a的取值范围是-6,2．（2）当x∈-2,2时，f(x)≥a恒成成立，令g(x)=x2+ax+3-a，即①当-a2≤-2，即a≥4时，函数g(x)在-2,2上单调递增，g②当-2<-a2<2，即-4<a<4时，函数g(x)在-2,-a2上单调递减，在-a2③当-a2≥2，即a≤-4时，函数g(x)在-2,2上单调递减，g(x)min综上可知，实数a的取值范围是-7,2．（3）令h(a)=xa+x2+3，当a∈4,6时，函数h(a)是关于a的一次函数，其图像在x∈R上是单调的，所以要h(a)≥0，只需h(4)≥0h(6)≥0，即x2+4x+3≥0x2+6x+3≥0所以实数x的取值范围是-∞,-3-64．（2023上·浙江台州·高一校联考期中）已知函数fx=2x2(1)当a=1时，解不等式fx(2)若任意x>0，都有fx>gx(3)若∀x1∈0,1，∃x2【解题思路】（1）作差后解一元二次不等式即可.（2）解法一：构造函数，分类讨论求解二次函数最小值，然后列不等式求解即可；解法二：分离参数，构造函数k=x+15（3）把问题转化为fxmin【解答过程】（1）当a=1时，fx=2所以fx-gx=x2+（2）若对任意x>0，都有fx>gx成立，即x解法一：设hx=x2+1-ax+①当a-12≤0，即a≤1时，hx在0，+②当a-12>0，即a>1时，hx在0,所以hx>ha-12=-所以1<a<1+15综上，a<1+15解法二：不等式可化为a-1x<x2+154，即由题意，只须a-1<kxmin，当且仅当x=154x即x=15所以a-1<15，即a<1+（3）若对任意x1∈0,1，存在x即只需满足fxmin>ggx=x2-x+a2-31gxmin=g12=a①a4≤0即a≤0时，fx在0,1②0<a4<1即0<a<4时，fx在fxmin=fa4=7③a4≥1即a≥4时，fx在0,1递减，f所以a2-a-2>a综上：a∈-题型9题型9一元二次不等式有解问题1．（2023上·山东青岛·高三统考期末）若命题“∃x∈R，1-ax2+1-2ax+1≥0A．a≤1 B．a>1C．a≤-32或a≥3【解题思路】利用一元二次不等式能成立以及存在量词命题的概念求解.【解答过程】因为命题“∃x∈R，1-ax若1-a=0，即a=1，则∃x∈R，-x+1≥0若1-a<0，即a>1，要使得命题为真命题，则Δ=即4a2-3≥0，解得a≤-又因为a>1，所以此时a>1；若1-a>0，即a<1，则满足命题“∃x∈R，1-ax综上，a∈R故选:D.2．（2022上·广东佛山·高一校考阶段练习）若关于x的不等式x2-6x+11-a≤0在区间2,5内有解，则实数a的取值范围是（A．6,+∞ B．C．2,+∞ D．【解题思路】由关于x的不等式x2-6x+11-a≤0在区间(2,5)内