高一数学上学期期末复习【第二章 一元二次函数、方程和不等式】八大题型归纳（基础篇）（解析版）

高一上学期期末复习第二章八大题型归纳（基础篇）【人教A版（2019）】题型1题型1不等关系的建立1．（2023上·甘肃酒泉·高一统考期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过72000cm3，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（A．a+b+c<130且abc<72000 B．a+b+c>130且abc>72000C．a+b+c≤130且abc≤72000 D．a+b+c≥130且abc≥72000【解题思路】根据数量关系列不等式，“不超过”不等号为“小于等于”.【解答过程】由长、宽、高之和不超过130cm得a+b+c≤130，由体积不超过72000cm3得故选：C.2．（2023上·贵州遵义·高一统考阶段练习）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共40km，其中靠近灭火前线5km的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为60kmh，设需摩托车运送的路段平均速度为xkmh，为使物资能在A．4060+x>1 BC．3560+5【解题思路】根据总时长小于1列不等式，即汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时即得．【解答过程】由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即3560故选：D．3．（2023·全国·高一专题练习）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于216m2，靠墙的一边长为xm【解题思路】根据题意结合矩形菜园的边长和面积列出不等关系即可.【解答过程】解：因为矩形菜园靠墙的一边长为xm，而墙长为18m，所以0<x≤18，则菜园的另一条边长为30-x2所以菜园面积S=x⋅(15-x根据题意有S≥216，即x⋅(15-x故不等关系可用不等式表示为0<x≤18x(15-4．（2023上·广东·高一统考期末）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．设某所公寓的窗户面积与地板面积分别为am2，(1)若这所公寓的窗户面积与地板面积的总和为220m(2)若同时增加窗户面积和地板面积各nm【解题思路】（1）设公寓窗户面积与地板面积分别为am2,bm2（2）设a和b分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，n表示窗户和地板所增加的面积，再比较a+nb+n和ab【解答过程】（1）设公寓窗户面积与地板面积分别为am2,b所以b≤a10%=10a，所以所以这所公寓的窗户面积至少为20平方米.（2）设a和b分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，n表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同），由题意得：0<a<b,n>0，则a+nb+n因为b>0,n>0，所以b(b+n)>0.又因为a<b，所以n(b-a)>0.因此a+nb+n-a所以窗户和地板同时增加相等的面积，住宅的采光条件变好了.题型2题型2利用不等式的性质判断正误1．（2023下·上海宝山·高一统考期末）如果a<b<0，那么下列式子中一定成立的是（

）A．1a<1b B．a2<【解题思路】根据不等式的性质判断即可.【解答过程】因为a<b<0，所以1a>1因为a<b<0，所以a>b，所以a2因为a<b<0，所以ab>1，故因为a<b<0，所以a2>ab，故D故选：D.2．（2023下·云南玉溪·高一统考期末）下列说法正确的是（

）A．若a>b>0，则ac>bc B．若a>b，则aC．若a<b<0，则a2>ab D．若a>b>c【解题思路】根据不等式的性质，结合举反例的方法，可得答案.【解答过程】对于A，若c=0，则ac=bc，故A错误；对于B，若a=1，b=-2，则a<b，故对于C，若a<b<0，a<0，可得a2>ab对于D，若a=3，b=2，c=-1，则ab=32故选：C．3．（2023·全国·高一随堂练习）判断下列命题的真假，并说明理由：(1)若a>b，则ac(2)若ac2>b(3)若a>b，c>d，则ac>bd；(4)若a>b，则1a【解题思路】（1）取c=0即可判断，（2）根据不等式的性质即可求解，（3）（4）举反例即可求解.【解答过程】（1）若a>b，当c=0时，则ac2（2）由于ac2>bc2，故c2（3）若a=2,b=1，c=-2,d=-3，则ac=-4,bd=-3，此时满足a>b，c>d，但是无法得到ac>bd，故为假命题；（4）若a>b，不妨取a=1,b=0，则1b无意义，故无法得到1a4．（2022·高一课时练习）下列结论是否成立？若成立，试说明理由；若不成立，试举出反例．(1)如果c-a>c-b，那么a<b；(2)若ab>c，b>0，则a>c(3)若ac>bc，则a>b；(4)若a>b，c>d，则a-c>b-d．【解题思路】由不等式的性质判断（1）（2）成立，取特殊值判断（3）（4）不成立.【解答过程】（1）∵c-a>c-b，∴-a>-b，∴a<b，故成立.（2）∵ab>c，b>0,∴ab⋅1即a>c（3）取a=1,b=2,c=-1时，满足ac>bc，但是a>b不成立.（4）取a=1,b=0,c=3,d=-1，满足a>b，c>d，但是a-c>b-d不成立.题型3题型3由基本不等式比较大小1．（2023下·安徽马鞍山·高一统考期中）若0<a<1，0<b<1，且a≠b，则a+b，2ab，2ab，a2+A．a2+bC．2ab D．a+b【解题思路】首先利用均值不等式比较a2+b2与2ab的大小和a+b【解答过程】∵0<a<1，0<b<1，且a≠b，∴a2+b2>2ab，∴a+b>a故选：D.2．（2023上·上海宝山·高一校考阶段练习）某城市为控制用水，计划提高水价，现有以下四种方案，其中提价最多的方案是（其中0<q<p<1）（

）A．先提价p%，再提价q% B．先提价qC．分两次，都提价p2+q【解题思路】求出每个选项中提价后的水价，结合基本不等式比较大小可得合适的选项.【解答过程】设原来的水价为a，AB选项中，两次提价后的水价为a1+pC选项中，两次提价后的水价为a1+D选项中，两次提价后的水价为a1+因为0<q<p<1，则p2+q所以，p2+q即a1+由基本不等式可得a1+p所以，a1+故选：C.3．（2023·上海·高一专题练习）已知0<a<1，0<b<1，则a+b，2ab，a2+【解题思路】先利用基本不等式判断最大数为a+b或a2+【解答过程】因为a>0，b>0，所以a+b≥2ab，a所以四个数中最大的数应为a+b或a2又因为0<a<1，0<b<1，所以a所以a2+b24．（2023·高一课时练习）已知a,b,c∈(0,+∞)且a+b+c=1，试比较a2+b2+【解题思路】首先利用综合法，结合基本不等式，证得2a2+b2+c2⩾2ab+2ac+2bc，由此两边加上a【解答过程】∵a2+b2⩾2ab,∴a2+b2①式两边分别加上a2+b2+c②式两边分别加上2ab+2ac+2bc，得3(ab+bc+ca)⩽a2+b综上，a2+b题型4题型4利用基本不等式求最值（无条件）1．（2023下·广东揭阳·高一统考期末）设x>0，则函数y=x2+x+25A．6 B．7 C．11 D．12【解题思路】先化简为y=x2【解答过程】∵x>0，∴y=x当且仅当x=25x，即所以函数y=x2+x+25故选：C.2．（2022上·湖南长沙·高一长沙一中校考阶段练习）以下说法正确的是（

）A．x+1xB．x2+C．x2+2+D．若正实数a，b满足a+b=1，则(a+1a【解题思路】利用基本不等式可判断BD的正误，根据反例及取等条件可判断AC的正误.【解答过程】对于A，取x=-1，则x+1x=-2，故x+1x对于B，x2+1|x|=|x|+1对于C，x2+2+1故x2+2+1x2+2对于D，(a+1若(a+1a)(b+1b)的最小值为即ab+1ab=2而a+b=1，故1≥2ab即ab≤14故ab=1不成立即(a+1a故选：B.3．（2023上·江苏连云港·高一校考阶段练习）已知0<x<3，求：(1)x3-x(2)x3-2x【解题思路】利用基本不等式计算即可.【解答过程】（1）∵0<x<3，∴x3-x当且仅当x=3-x，即x=3所以x3-x的最大值为9（2）∵0<x<3，∴x3-2x当且仅当2x=3-2x，即x=3所以x3-2x的最大值为94．（2023上·新疆阿克苏·高一校考阶段练习）（1）已知0<x<1，求2x(1-2x)的最大值；（2）已知x>54，求4x-2+【解题思路】（1）利用二次函数的性质即可求解最大值；（2）对4x-2+14x-5【解答过程】（1）记fx=2x(1-2x)，则fx所以当x=14时，函数fx所以2x(1-2x)的最大值为14（2）因为x>54，所以所以4x-2+1当且仅当4x-5=14x-5即x=32时等号成立，所以题型5题型5利用基本不等式求最值（有条件）1．（2023上·重庆·高一统考期末）若正实数x，y满足2x+8y-xy=0，则2x+y的最大值为（

A．25 B．16 C．37【解题思路】根据等式计算得出1，再结合常值代换求和的最值，计算可得最大值.【解答过程】∵x>0,y>0,2x+8y-xy=0,∴x+y=∴2故选:D.2．（2023上·北京·高一校考期末）已知实数x，y满足x>0，y>0，且3x+1y=1A．8 B．10 C．12 D．14【解题思路】利用1的妙用，结合基本不等式求解最值即可．【解答过程】因为x>0，y>0，且3x所以x+3y=x+3y当且仅当9yx=x则x+3y的最小值为12．故选：C．3．（2023上·福建泉州·高一泉州五中校考期中）已知实数a＞0，b＞0，a＋2b＝2(1)求1a(2)求a2＋4b2＋5ab的最大值.【解题思路】(1)利用1a(2)a2+4b2+5ab=(a+2b)2+ab=4+ab，根据a＋【解答过程】（1）1∵a>0,b>0，∴12当且仅当2ba=2ab∴1a+2（2）∵a2又a+2b=2≥22ab，∴ab≤12当且仅当a=2b，即a=1,b=12故a2+4b4．（2023上·浙江·高一校联考期中）已知x>0,y>0，且2（1）求xy的最大值；

（2）求x1+【解题思路】（1）利用基本不等式求xy的最大值；（2）首先构造∵x1+y【解答过程】（1）∵2∴xy≤当且仅当x=3∴xy的最大值是32（2）∵x当且仅当2x2=1+∴x1+y2题型6题型6一元二次不等式的解法1．（2023·全国·高三专题练习）已知不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-1<x<2}，则不等式2A．{x|-1<x<12} B．{x|x<-1或C．x|-2<x<1 D．x|x<-2【解题思路】根据不等式ax2+bx+2>0的解集求出a【解答过程】解：因为不等式ax2+bx+2>0ax2+bx+2=0的两根为-1，2，且a<0，即-1+2=-ba，(-1)×2=则不等式可化为2x2+x-1<0，解得-1<x<12故选：A.2．（2023上·山东菏泽·高一校考期末）若t>1，则关于x的不等式t-xx-1tA．x|1t<x<t B．x|x<1t或x>t C．x|x<t【解题思路】首先根据不等式的性质可得1t<t，进而将不等式转化为x-t【解答过程】因为t-1t=t+1t-1t，原不等式t-xx-1t>0可化为所以所以，不等式t-xx-1t故选：A.3．（2023上·内蒙古赤峰·高一统考期末）解下列不等式：(1)2x(2)-3x(3)x+5x-3(4)x-1【解题思路】（1）先因式分解，然后直接求解即可；（2）利用求根公式即可求解不等式；（3）分类讨论，将分式不等式变为整式不等式求解；（4）先整理，然后直接求解即可.【解答过程】（1）∵2x∴2x-1∴-3<x<1即不等式的解集为-3,1（2）∵-3x∴3x解得x≤1-33或即不等式的解集为-∞（3）∵x+5∴x+5≤1解得-13≤x<3，即不等式的解集为-13,3；（4）∵x-1整理得x2解得x≠1，即不等式的解集为-∞4．（2023上·河北承德·高一校考期中）已知不等式ax(1)若a=-2，解不等式ax(2)当a≥0时，求关于x的不等式ax【解题思路】根据十字相乘，对不等式进行因式分解，计算对应方程的根，通过根的大小比较，确定解的范围即可.【解答过程】（1）当a=-2时，代入不等式得-2x整理式子-2x+1x所以不等式的解集为：-∞（2）当a=0时，代入不等式得x+2<0，解得当a>0时，不等式整理得ax+1x+2<0，对应得方程ax+1x+2所以对两根大小进行讨论：当-2<-1a，即a>1当-2=-1a，即a=1当-2>-1a，即0<a<1综上所述：当a=0时，不等式的解集为：-∞当0<a<12时，不等式的解集为：当a=12时，不等式的解集为：当a>12时，不等式的解集为：题型7题型7三个“二次”关系的应用1．（2023·全国·高一课堂例题）不等式ax2-bx+c>0的解集为x-2<x<1，则函数A．

B．

C．

D．

【解题思路】根据题意，可得方程ax2-bx+c=0的两个根为x=-2和x=1，且a<0，结合二次方程根与系数的关系得到a、【解答过程】因为ax2-bx+c>0所以方程ax2-bx+c=0的两根分别为-2和1则-2+1=ba故函数y=ax且与x轴的交点坐标为1,0和-2,0，故A选项的图象符合.故选：A.2．（2023上·河南·高二校联考阶段练习）二次方程ax2+bx+c=0a>0的两根为2，-3，那么关于x的不等式A．x|x>3或x<-2 B．x|x>2或x<-3C．x-2<x<3 D．【解题思路】根据a>0，确定二次函数y=ax2+bx+c的图象开口方向，再由二次方程ax2+bx+c=0【解答过程】因为二次方程ax2+bx+c=0a>0的两根为又二次函数y=ax所以不等式ax2+bx+c>0的解集为x|x>2或故选：B.3．（2023上·山西临汾·高一校联考阶段练习）已知二次函数y=x2-a-1x-a-1的图象与x轴交于(1)当a=3时，求x1(2)求关于x的不等式y+1≥0的解集.【解题思路】（1）根据根与系数的关系得x1+x（2）讨论两根大小求解一元二次不等式.【解答过程】（1）当a=3时，y=x由题意可知x1,x2是方程x2故x1（2）不等式y+1≥0可转化为x-ax+1当a>-1时，不等式y≥1的解集是xx≤-1当a=-1时，不等式y≥1的解集是xx∈当a<-1时，不等式y≥1的解集是xx≤a4．（2023上·江西萍乡·高一统考期末）已知二次函数fx满足f0=0，请从下列①和①fx+2=fx+1+2x+1；②不等式(1)求fx(2)若fx在-1,m上的值域为-1,3，求实数m的取值范围【解题思路】（1）若选择①，设fx=ax2+bx+ca≠0（2）由二次函数的性质求解即可.【解答过程】（1）设fx=ax2+bx+ca≠0，由若选择①：则ax+2即2ax+3a+b=2x+1，则2a=2，3a+b=1，解得a=1，b=-2，即fx若选择②：则不等式ax2+b-1x-4<0的解集为-1,4，即a>0，且方程a则-1+4=-b-1a，-1×4=-4a，解得（2）由（1）知，函数fx对称轴为直线x=1，且f1=-1，若fx在-1,m上的值域为-1,3，则m≥1令x2-2x=3，解得x=-1综上所述：实数m的取值范围为1,3.题型8题型8一元二次不等式的实际应用1．（2022上·高一校考单元测试）某小型雨衣厂生产某种雨衣，售价P（单位：元/件）与月销售量x（单位：件）之间的关系为P=160-2x，生产x件的成本（单位：元）R=500+30x.若每月获得的利润y（单位：元）不少于1300元，则该厂的月销售量x的取值范围为（）A．20,45 B．20,45C．20,45 D．20,45【解题思路】根据题意，建立利润函数，列出不等式，可得答案.【解答过程】由题意，得y=xP-R=x160-2x-500+30x令y≥1300，得-2x2+130x-500≥1300∴x-20x-45≤0故选：D.2．（2023上·山西吕梁·高三统考阶段练习）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，参赛的各国运动员在比赛、训练之余，都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式.某商店售卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价x（单位：元）的取值范围是（

）A．10,20 B．15,20 C．16,20 D．15,25【解题思路】根据题中条件列出不等式，解出即可.【解答过程】由题意，得x45-3即x2-30x+200<0，∴解得10<x<20.又每枚的最低售价为15元，∴15≤x<20.故选：B.3．（2023上·陕西宝