高一数学上学期期末复习解答题压轴题二十一大题型专练（范围：第一、二、三章）（解析版）

2024-2025学年高一上学期期末复习解答题压轴题二十一大题型专练（范围：第一、二、三章）【人教A版（2019）】题型1题型1集合中元素的个数问题1．（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合A=x(1)当a=2时，A中只有一个元素，求b的值；(2)当b=2时，A中至多有一个元素，求a的取值范围.【解题思路】（1）借助根与系数的关系计算即可得；（2）分a=0及a≠0进行讨论，若a=0，可计算出结果，若a≠0，则需借助根与系数的关系计算.【解答过程】（1）当a=2时，A=x由A中只有一个元素，则有Δ1=b（2）当b=2时，A=x由A中至多有一个元素，故A中可能没有元素或1个元素，当a=0时，A=x当a≠0时，对axΔ2=4−4a≤0，解得综上所述：a=0或a≥1.2．（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）设数集A由实数构成，且满足：若x∈A（x≠1且x≠0），则11−x(1)若2∈A，则A中至少还有几个元素？(2)集合A是否为双元素集合？请说明理由；(3)若A中元素个数不超过8，所有元素的和为143，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A【解题思路】（1）利用给定的定义，依次计算即得.（2）由x∈A，求得A中其它元素，再判断不相等即可.（3）由（2）中信息，可得x∈A,m∈A，再结合已知列出方程求解即得.【解答过程】（1）由2∈A，得11−2=−1∈A，则1所以A中至少还有两个元素为−1，12（2）不是双元素集合．理由如下：由x∈A，得11−x∈A，则而x≠1且x≠0，x2−x+1=(x−12于是x≠11−x，由x2−2x+1≠−x，得因此集合A中至少有3个元素，所以集合A不是双元素集合．（3）由（2）知A中有三个元素为x、11−x、x−1x（x≠1且x≠0），且依题意，A中除上述3个元素外，还有其它元素，设A中有一个元素为m，则11−m∈A，m−1m于是A中的元素为x,11−x,x−1x由A中有一个元素的平方等于所有元素的积，设(11−x)2=1或(此时2∈A，−1∈A，12∈A，依题意，整理得6m3−19m2+m+6=0，即m−32m+1所以集合A中的元素为123．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合A中的元素全为实数，且满足：若a∈A，则1+a1−a(1)若a=−3，求出A中其他所有元素．(2)0是不是集合A中的元素？请你取一个实数a∈Aa≠−3，再求出A【解题思路】（1）根据定义直接计算即可得到A中其他所有元素；（2）先假设0∈A，依定义判断即可；取a=3，根据定义直接计算即可得到A中其他所有元素．【解答过程】（1）由题意可知：−3∈A，则1+(−3)1−(−3)=−12∈A，1+(−所以A中其他所有元素为−12，（2）假设a=0∈A，则1+01−0而当1∈A时，1+a1−a所以0不是A的元素，取a=3，则1+31−3=−2∈A，1+(−2)1−(−2)=−1所以当3∈A，A中的元素是：3，−2，−13，4．（23-24高三上·山东潍坊·期末）已知集合x|ax(1)若集合A是空集，求a的取值范围；(2)若集合A中只有一个元素，求a的取值范围；(3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围．【解题思路】（1）根据空集转化为一元二次方程根的情况求解．（2）根据a分类讨论，从而解决问题．（3）根据至多一个分为一个和没有一个情况即可解决．【解答过程】（1）当a=0时，集合A=x|−3x+2=0因为A是空集，所以a≠0且Δ=所以a>9所以a的取值范围是a|a>9（2）因为A中只有一个元素，当a=0时，集合A=x|−3x+2=0当a≠0时，要使A中只有一个元素，所以且Δ=所以a=9综上所述，a的取值范围是a=0或9（3）因为A中至多只有一个元素，所以A为空集或A只有一个元素，由（1）、（2）可知a=0或a≥9所以a的取值范围是：a=0或a≥9题型2题型2根据集合间的关系求参数5．（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）设集合A=xx2(1)若B⊆A，求实数a的取值范围；(2)若A⊆B，求实数a的取值范围【解题思路】（1）由B⊆A，对集合B进行分类讨论：①若B=∅，②若B为{0}，{−4}，③若B=A=−4,0，由此求得a（2）先化简集合A，B，再由A⊆B，能求得a的值．【解答过程】（1）集合A={x|x2B⊆A，①若B=∅，则Δ则a<−1；②若B={0}或{−4}，则Δ解得：a=−1，将a=−1代入方程x2+2(a+1)x+a2−1=0得：x③若B=A={−4,0}，则Δ=8a+8>0，即即x2+2(a+1)x+a则有a2−1=0且则a=1综上所述，实数a的取值范围是{a|a≤−1或a=1}．（2）∵A⊆B，∴B=A={0,−4}，则Δ=8a+8>0，即即0和−4是方程x2∴0−4=−2(a+1)=−40×(−4)=解得：a=1或a=−1（舍去）故a=1．6．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）已知集合A=(1)若a=5，请写出集合A的所有子集；(2)若集合B=xx2+2x=0，且【解题思路】（1）当a=5时，求出集合A，即可写出集合A的所有子集；（2）对集合A中的元素个数进行分类讨论，结合A⊆B可得出关于实数a的等式或不等式，综合可得出实数a的取值范围.【解答过程】（1）解：当a=5时，A=x所以，集合A的所有子集有：∅、−5、1、−5,1.（2）解：因为B=x①当A=∅时，对于方程x2+4x−a=0，Δ=16+4a<0②当集合A只有一个元素时，对于方程x2+4x−a=0，Δ=16+4a=0此时，A=xx2③当集合A有两个元素时，因为A⊆B，则A=B，即A=−2,0即关于x的方程x2+4x−a=0的两根分别为−2、所以，4−8−a=0−a=0综上所述，实数a的取值范围是aa≤−47．（23-24高一上·吉林四平·阶段练习）已知集合P=x∈(1)若b=4，存在集合M使得P为M的真子集且M为Q的真子集，求这样的集合M；(2)若集合P是集合Q的一个子集，求b的取值范围.【解题思路】（1）确定P=∅，并求出集合Q，写出Q的真子集即得；（2）分类讨论，P=∅时满足题意，P≠∅时，由集合Q中的元素属于集合P，分别代入求出参数b，得集合P检验即可．【解答过程】（1）当b=4时，方程x2−3x+b=0的根的判别式Δ=又Q=x∈Rx+1由已知，得M应是一个非空集合，且是Q的一个真子集，用列举法可得这样的集合M共有6个，分别为−4,（2）当P=∅时，P是Q的一个子集，此时对于方程x2有Δ=9−4b<0，所以b>当P≠∅时，因为Q=−4,−1,1，所以当−1∈P−12−3×−1+b=0，即因为4∉Q，所以P不是Q的子集；同理当−4∈P时，b=−28，P=7,−4，也不是Q当1∈P时，b=2，P=1,2，也不是Q综上，满足条件的b的取值范围是bb>8．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知集合A={x|0<ax+1≤5},B={x|−(1)若A⊆B,求实数a的取值范围.(2)是否存在实数a，使得A=B?若存在求出a的值；若不存在，请说明理由.【解题思路】（1）分a=0，a<0，a>0得到集合A，再利用A⊆B求解；（2）分a=0，a<0，a>0得到集合A，再利用A=B求解；【解答过程】（1）当a=0时，A=R，A⊆B当a<0时，A=x|4a≤x<−1a，因为当a>0时，A=x|−1a<x≤4a，因为综上：实数a的取值范围是a<−8或a≥2；（2）当a=0时，A=R，A=B当a<0时，A=x|4a当a>0时，A=x|−1a<x≤4a，因为综上：实数a的值是2.题型3题型3交、并、补集的混合运算及其含参问题9．（24-25高一上·贵州·期中）已知集合A=x−3≤x≤4，(1)当a=2时，求，A∪B，A∩B；(2)若A∩B=B，求a的取值范围.【解题思路】（1）当a=2时，写出集合B，利用并集和交集的定义可得出集合A∪B、A∩B；（2）由题意可得B⊆A，分B=∅、B≠∅两种情况讨论，在B=∅时，可得出关于实数a的不等式；在B≠∅时，根据集合的包含关系可得出关于实数a的不等式组，综合可得出实数a的取值范围.【解答过程】（1）当a=2时，B=x3<x≤5，且则A∪B=x−3≤x≤5，（2）因为A∩B=B，所以B⊆A.当B=∅时，2a−1≥a+3，解得a≥4；当B≠∅时，则2a−1<a+32a−1≥−3a+3≤4，解得综上，a的取值范围是a−1≤a≤1或a≥410．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知全集U=R，集合A=x2<x<9(1)求B∪∁(2)已知集合M=xa<x<2a−2，若M⊆∁【解题思路】（1）化简集合B，根据集合的交并补运算求解；（2）要分M等于空集和不等于空集两种情况讨论．再根据已知求出a的取值范围．【解答过程】（1）B=x集合A=x2<x<9，故∁U则B∪∁（2）∁UB=x当M=∅时，a≥2a−2，∴a≤2，合题意；当M≠∅时，a>22a−2≤−2或a>2所以a≥5，综上可得，a的取值范围为−∞11．（24-25高一上·江西南昌·期中）设全集为U=R，集合A=xx(1)当a=6时，求A∪B和A∩(2)在①B∩∁RA=∅；②A∩B=B；③A∪B=A【解题思路】（1）首先解二次不等式求得集合A，然后将a代入确定集合B，最后根据集合的交、并、补运算法则进行求解即可；（2）首先根据集合间运算的结果可得B⊆A，然后分B=∅和B≠∅两种情况分类讨论求解参数取值范围即可【解答过程】（1）由不等式x2−7x−8>0，解得：x<−1或x>8，因此可得：A=x|x<−1将a=6代入集合B中可得：B=x|7<x<9因此A∪B=x|x<−1或x>7又∁RB=x|x≤7或x≥9，得：A∩（2）选①由B∩∁RA=∅当B=∅时，a+1≥2a−3，解得：a≤4；当B≠∅时，可得：a+1<2a−32a−3≤−1，无解，或a+1<2a−3a+1≥8，解得：综上所述a∈−选②由A∩B=B，可知B⊆A，当B=∅时，a+1≥2a−3，解得：a≤4；当B≠∅时，可得：a+1<2a−32a−3≤−1，无解，或a+1<2a−3a+1≥8，解得：综上所述a∈−选③由A∪B=A，可知B⊆A，当B=∅时，a+1≥2a−3，解得：a≤4；当B≠∅时，可得：a+1<2a−32a−3≤−1，无解，或a+1<2a−3a+1≥8，解得：综上所述a∈−12．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）设集合A=xx2(1)若A∩B=2，求实数a(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围；(3)若全集U=R，A∩∁UB【解题思路】（1）由A∩B=2，得2∈B，由此可得关于a（2）由A∪B=A得B⊆A，按集合B中元素的个数分类讨论即可求；（3）由A∩∁UB=A得A∩B=∅，转化为【解答过程】（1）A=xx2∵A∩B=2，∴2∈B，则2即a2+4a−5=0，解得a=1或验证：当a=1时，B=x则A∩B=2当a=−5时，B=x则A∩B=2,6综上可知，若A∩B=2，则a=1（2）若A∪B=A，则B⊆A，又A=2,6①当B=∅时，则关于x的方程x2则Δ=4(a+1)2故当a<−7时，B=∅⊆A满足题意；②当B≠∅，即a≥−7时，若集合B中只有一个元素，则Δ=8(a+7)=0即当a=−7时，B=xx2若集合B中有两个元素，则Δ=8(a+7)>0即当a>−7时，要使B⊆A，则B=A=2,6所以2和6是方程x2则由韦达定理得2+6=−2(a+1)2×6=a2−13，解得综上所述，a≤−7或a=−5.所以，若A∪B=A，则实数a的取值范围为−∞（3）若全集U=R，A∩∁UB=A，则A=xx2故2∉B，且6∉B，则22+4a+1解得a≠1且a≠−5且a≠−7.若A∩∁UB=A，则实数题型4题型4集合的新定义问题

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示13．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）定义两种新运算“⊕”与“⊗”，满足如下运算法则：对任意的a,b∈R，有a⊕b=ab，a⊗b=ab+1.设全集U=xx=a⊕b+a⊗b,0<a≤b<3且a∈Z,(1)求集合U；(2)求集合A；(3)集合A,B是否能满足∁UA∩B=∅【解题思路】（1）根据新定义运算可得U=xx=ab+ab+1,0<a≤b<3,a,b∈Z，分（2）根据新定义运算可得4a⊕b+a⊗b（3）易知∁UA=3,4，假设集合A,B能满足∁UA∩B=∅，则【解答过程】（1）因为对任意的a,b∈R，有a⊕b=ab，a⊗b=a全集U=xx=a⊕b+a⊗b,0<a≤b<3所以U=因为0<a≤b<3,a,b∈Z，所以a=1,b=1，或a=1,b=2，或a=2,b=2.当a=1,b=1时，ab+a当a=1,b=2时，ab+a当a=2,b=2时，ab+a所以U=3,4,9（2）4a⊕b因为0<a<b<3且a∈Z,b∈Z，所以a=1,b=2，所以4所以A=9（3）因为U=3,4,9，A=9，所以假设集合A,B能满足∁U则B=∅，或3∉B且4∉B.又B=x当B=∅时，Δ=−32当3∈B时，32−3×3+m=0，解得当4∈B时，42−3×4+m=0，解得所以若3∉B且4∉B，则m≠0且m≠−4.综上所述，实数m的取值范围为mm>所以集合A,B能满足∁UA∩B=∅，实数m14．（24-25高一上·内蒙古包头·阶段练习）设正整数n≥4，若由实数组成的集合A=a1,a2,⋅⋅⋅,an满足：对A中任意四个不同的元素a，b，c，(1)判断集合A1=0,12(2)若集合A=0,x,y,z为H4集合，求【解题思路】（1）由H4（2）由题意可得x,y,z=xy,yz,xz，不妨设x<y<z，分类讨论x<y<z<0，x<y<0<z，x<0<y<z和【解答过程】（1）集合A1={0,1当{{a,b},{c,d}}={{0,12},{1,2}}当{{a,b},{c,d}}={{0,1},{12,2}}当{{a,b},{c,d}}={{0,2},{12,1}}集合A2={1取{{a,b},{c,d}}={{13,1},{2,3}}（2）当{{a,b},{c,d}}={{0,z},{x,y}}时，ab+cd=xy∈A，当{{a,b},{c,d}}={{0,x},{y,z}}时，ab+cd=yz∈A当{{a,b},{c,d}}={{0,y},{z,x}}时，ab+cd=xz∈A，因此{x,y,z}={xy,yz,xz}，不妨设x<y<z，①当x<y<z<0时，显然yz>0，则yz∉A，与yz∈A矛盾；②当x<y<0<z时，则xz<yz<xy，此时xz=x,yz=y,xy=z，则z=1,xy=1，经验证，此时A={x,1x,0,1}是H③当x<0<y<z时，则xz<xy<0，与x,y,z=④当0<x<y<z时，则xy<xz<yz，xy=x,xz=y,yz=z，于是y=1,z=1经验证，此时A={0,x,1,1x}是H所以A中大于1的元素的可能个数为0或1.15．（24-25高一上·浙江·期中）对于数集M，定义M的特征函数：fM(x)=1,x∉M−1,x∈M，对于两个数集(1)已知集合A={1,3,7,9},B={2,3,7,8}，（i）求fA(1)的值，并用列举法表示（ii）若用card(M)表示有限集合M所包含的元素个数，已知集合X是正整数集的子集，求card(2)证明：fA⊗B【解题思路】（1）分析可知当元素x与数集M、N的关系相同时，x∉M⊗N，不同时x∈M⊗N.①结合题意直接运算即可；②根据给定的定义分析得出取最小值的条件，即可求得答案；（2）结合（1）中结论分析证明即可.【解答过程】（1）对于两个数集M、N，若x∈M,x∈N，则fM(x)=fNx若x∈M,x∉N，则fM(x)=−1,fNx若x∉M,x∈N，则fM(x)=1,fNx若x∉M,x∉N，则fM(x)=fNx综上所述：当元素x与数集M、N的关系相同时，x∉M⊗N，不同时x∈M⊗N.①因为集合A={1,3,7,9},B={2,3,7,8}，且1∈A，所以fA又因为A∩B={3,7}，所以A⊗B=1,2,8,9②对任意x∈X，若元素x与数集M、N的关系相同时，x∉X⊗M且x∉X⊗N；若元素x与数集M、N的关系不相同时，x∈X⊗M或x∈X⊗N；若card(X⊗A)+card(X⊗B)当X为1,2,8,9的子集与3,7的并集时，此时card(X⊗A)+（2）由（1）可知：对于两个数集M、N，综上所述：当元素x与数集M、N的关系相同时，则x∉M⊗N，可得fA⊗B当元素x与数集M、N的关系不同时，则x∈M⊗N，可得fA⊗B综上所述：fA⊗B16．（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）对于给定的非空集合A，定义集合A+=xx=a+b,a∈A,b∈A(1)判断集合A=0,4(2)设集合C=xn≤x≤2025,x∈Nn∈N且n≤2025，若(3)设集合D=x1,x2【解题思路】（1）直接根据集合的孪生性质可判断结果；（2）求出C+（3）求出D−中的可能元素，结合D【解答过程】（1）由题意可得：A+={0,4,8}，A−B+={2,6,7,10,11,12}，B−而A+∩A−={0所以A不具有孪生性质，B具有孪生性质．（2）由题意可得：C−={0,1,2，…,C+={2n,2n+1,…,n+2025，…，因为C+∩C−=∅又因为n∈N，所以n（3）集合D=x则0，x2−x1，x3−x1，x4又因为0<x2−由于0一定是D−中的元素，且为最小元素，结合D−=D此时D=0,x2,x3,x4，故0，x2，x3由于D−=D，且0<x2<x3<x4，故必然x3又因为0<x4−x3<x4−x2,x3−x2<x因此只能x4−所以x1题型5题型5充分条件与必要条件

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示17．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知集合U为实数集，A=xx≤−5或x≥8，(1)若a=5，求∁U(2)设命题p：x∈A；命题q：x∈B，若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.【解题思路】（1）由题意可得B=x（2）由题意可得集合B是集合A的真子集，再分B=∅及B≠∅讨论并计算即可得.【解答过程】（1）当a=5时，B=x4≤x≤11，且故∁U（2）∵命题p是命题q的必要不充分条件，∴集合B是集合A的真子集，当B=∅，即a−1>2a+1，即a<−2时，此时满足题意；当B≠∅，即a−1≤2a+1，即a≥−2时，只需2a+1≤−5或a−1≥8，即a≤−3或a≥9，又a≥−2，所以a≥9；综上所述，实数a的取值范围为−∞18．（24-25高一上·四川达州·阶段练习）已知集合A=x|(1)若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数m的取值范围；(2)若A∩B≠∅，求实数m的取值范围.【解题思路】（1）由若x∈A是x∈B的必要不充分条件得到BA，再分B是否为空集时讨论即可；（2）分B是否为空集时讨论得到A∩B=∅的范围，最后取其补集即可；【解答过程】（1）A=x|−3≤x≤4∵若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则BA，①当B=∅时，有m+1≤2m−1，解得②当B≠∅时，有−3≤2m−1m+1≤42m−1<m+1且等号不同时成立，解得综上得m≥−1.（2）当A∩B=∅时①当B=∅时，有m+1≤2m−1，解得②当B≠∅时，有2m−1<m+1，解得m<2.有m+1≤−3或2m−1≥4，解得m≤−4或m≥52，即得所以当A∩B=∅时，m≤−4或m≥2，则A∩B≠∅时，−4<m<2.19．（24-25高一上·广东珠海·阶段练习）已知p：x>3或x<−12，q：x>a，r：(1)若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围；(2)若¬p是r的必要条件，求m的最大值．【解题思路】（1）根据充分条件与必要条件的定义列不等式，即可得参数范围；（2）写出¬p，再结合必要条件的定义列不等式，即可得参数最值.【解答过程】（1）设命题p与q表示的集合分别为A和B，即A=xx<−12或又p是q的必要不充分条件，则A⫋所以a≥3，即a∈3,+（2）设命题r表示的集合为C，则C=x又命题¬p表示的集合为∁R¬p是r的必要条件，所以C⊆∁则−m≥−1又m>0，所以0<m≤1即m的最大值为1420．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知集合A=xx2(1)若A∩B=∅，求实数m的取值范围；(2)设命题p：x∈A；命题q：x∈B，是否存在实数m，使得命题q是命题p的必要不充分条件？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．【解题思路】（1）分B=∅、B≠∅讨论，根据交集的运算和空集的定义结合不等式即可求解；（2）命题q是命题p的必要不充分条件可得集合A是集合B的真子集，再列出相应不等式组，即可求解.【解答过程】（1）由题意可得A=x−1≤x≤6，由当B=∅时，则m+1>2m−1，解得m<2；当B≠∅时，则m+1≤2m−1m+1>6或m+1≤2m−12m−1<−1，解得综上所述：实数m的取值范围为−∞,2（2）不存在，理由如下：假设存在m使得命题q是命题p的必要不充分条件，则命题q是命题p的必要不充分条件，可得集合A是集合B的真子集，则m+1≤2m−12m−1≥6所以假设不成立，即不存在m.故不存在m使得命题q是命题p的必要不充分条件.题型6题型6全称量词与存在量词中的含参问题

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示21．（24-25高一上·湖北黄冈·期中）已知命题p:关于x的方程mx2+2x−1=0有实数根.命题q:∀x∈(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围;(2)若命题p与命题q一真一假，求实数m的取值范围.【解题思路】（1）p为真命题，则方程mx2+2x−1=0有实数根，分m=0（2）由一元二次不等式恒成立求得当命题q为真命题时m的范围，利用交集运算求解即可.【解答过程】（1）若命题p为真命题，则关于x的方程mx当m=0时，2x−1=0有实数根，当m≠0时，则Δ=4+4m≥0，解得m≥−1且m≠0综上，实数m的取值范围为−1（2）命题q为真命题，则∀x∈1，4当x∈1，4则m2−4m≤−3当p真q假时，有{m≥−1m>3或m<1，则当p假q真时，有m<−11≤m≤3，则解集为：综上，−1≤m<1或m>3，故实数m的取值范围为−122．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知命题p:∀x∈[1,+∞),a−2x(1)写出两个命题p,q的否定；(2)若两个命题都是真命题，求实数a的取值范围．【解题思路】（1）结合含有量词的命题的否定即可求解；（2）结合含有量词的命题的真假，列出不等式即可求解．【解答过程】（1）因为p:∀x∈[1,+∞所以非p:∃x∈[1,+∞因为q:∃x∈{x∣1≤x≤3}, 所以¬q:∀x∈{x∣1≤x≤3}, （2）因为p:∀x∈[1,+∞),a−2x又x≥1，故2x2≥2命题q:∃x∈{x∣1≤x≤3}, 即∃x∈{x∣≤x≤3}, a≥−x，又−3≤−x≤−1，故综上，当两个命题都是真命题时，a的取值范围为{a∣−3≤a≤2}．23．（24-25高一上·天津·阶段练习）设命题p:∀x∈R，不等式mx2(1)若p为真命题，求实数m的取值范围；(2)若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围．【解题思路】（1）对m进行分类讨论，由此列不等式来求得m的取值范围.（2）根据p真q假或p假q真，列不等式来求得m的取值范围.【解答过程】（1）对于命题p:∀x∈R，不等式m当m=0时，12当m≠0时，则需m>0Δ=m综上所述，m的取值范围是0≤m<2.（2）由m+13−m≥1得所以2m−23−m≥03−m≠0若p真q假，则“0<m<2”且“m<1或m≥3”，则0<m<1.若p假q真，则“m≤0或m≥2”且“1≤m<3”，则2≤m<3.综上所述，m的取值范围是0<m<1或2≤m<3.24．（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知集合A=x|1≤x≤7，B=x|−3m+1≤x≤m−1，且(1)若命题p:∀x∈A，x∈B是真命题，求实数m的取值范围；(2)若命题q:∀x∈B，x∉A是假命题，求实数m的取值范围.【解题思路】（1）由命题p为真命题可得A⊆B，且B≠∅，再根据子集列不等式求解范围即可；（2）由q:∀x∈B，x∉A是假命题，则q:∃x∈B，x∈A是真命题，即A∩B≠∅，再列不等式求解即可.【解答过程】（1）由命题p为真命题可得A⊆B，且B≠∅则−3m+1≤m−1−3m+1≤1m−1≥7，解得即实数m的取值范围为8,+∞（2）∵q:∀x∈B，x∉A是假命题∴q:∃x∈B，x∈A是真命题，即A∩B≠∅∴−3m+1≤m−1−3m+1≤7m−1≥1即实数m的取值范围为2,+∞题型7题型7利用作差法、作商法比较大小

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示25．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）（1）已知x∈R，比较3x2（2）已知x∈R，比较3x3【解题思路】（1）利用作差法可比较两数的大小.（2）利用作差法可得出3x【解答过程】（1）根据作差法有：3x所以3x（2）根据作差法有：3x3−(3当x>1时，x−1>0，则3x当x=1时，x−1=0，则3x当x<1时，x−1<0，则3x综上所述，当x>1时，3x当x=1时，3x当x<1时，3x26．（24-25高一上·广西来宾·阶段练习）从下列三组式子中选择一组比较大小：(1)设x>1，M=x−x−1，N=x+1−(2)设a，b均为正实数，M=a3+b3，N=(3)设a>b>0，M=a2−b2a2【解题思路】（1）化简可得M=1x+（2）借助作差法作差后因式分解即可得；（3）借助作差法比较即可得.【解答过程】（1）M=xN=x+1由x>1，x+1+故x+1>x−1，即有（2）M−N==a由a，b均为正实数，故a+ba−b2≥0（3）M−N====2ab由a>b>0，故a−b>0，a+b>0，ab>0，a2即M−N>0，故M>N.27．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：yx(1)证明糖水不等式；(2)已知a，b，c是三角形的三边，求证：1<a【解题思路】（1）由作差法证明；（2）由糖水不等式变形证明．【解答过程】（1）y+mx+m因为x>y>0,m>0，所以x+m>0,x−y>0，所以mx−yxx+m（2）因为a,b,c是三角形的三边，所以b+c>a>0，由（1）知ab+c同理ba+c所以ab+c又ab+c>所以a所以原不等式成立．28．（24-25高一·全国·课后作业）试比较下列组式子的大小：(1)x+1−x与x−(2)M=a1+a+b1+b与N=(3)a2−b2a【解题思路】(1)通过比较1x+1+x与1x+(2)通过作差法来比较M,N的大小；(3)通过作差法或作商法比较a2−b【解答过程】（1）解：x+1−x=因为x+1+所以1x+1即x+1−（2）解：M−N==a−b因为a>0，b>0，所以1+a1+b>0，所以M−N≤0，即M≤N；（3）方法一（作差法）a=a−b因为a>b>0，所以a+b>0，a−b>0，2ab>0，a2所以2aba−b所以a2方法二（作商法）因为a>b>0，所以a2−b2a所以a2所以a2题型8题型8利用不等式的性质求取值范围

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平面向量线性运算的坐标表示29．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知实数a，b满足1≤a+b≤8，3≤a−b≤4．(1)求实数a，b的取值范围；(2)求2a−5b的取值范围．【解题思路】（1）用已知式子a+b,a−b表示a,b，利用不等式的性质求解范围即可；（2）用已知式子a+b,a−b表示2a−5b，利用不等式的性质求解范围即可.【解答过程】（1）由1≤a+b≤8，3≤a−b≤4，所以4≤a+b即4≤2a≤12，所以2≤a≤6，即实数a的取值范围为2,6．因为b=1由3≤a−b≤4，所以−4≤b−a≤−3，又1≤a+b≤8，所以−3≤a+b所以−3即−3即实数b的取值范围为−3（2）设2a−5b=ma+b则m+n=2m−n=−5，解得m=−∴2a−5b=−3∵1≤a+b≤8，3≤a−b≤4．∴−12≤−32(a+b)≤−∴−3即2a−5b的取值范围为−330．（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）已知实数a,b满足：(1)2<a<3，1<b<6，求a−2b，ba(2)1<a−b<3，1<3a+2b<5，求2a+3b的取值范围.【解题思路】（1）根据同向不等式的可加性及同向不等式的可乘性即可求解范围；（2）利用待定系数法，结合不等式的性质即可求解.【解答过程】（1）因为1<b<6所以−12<−2b<−2又因为2<a<3，所以−10<a−2b<1；因为2<a<3所以13<1a<（2）令2a+3b=ma−b则m+3n=2−m+2n=3，解得m=−1又因为1<a−b<3，1<3a+2b<5,所以−3<−a−b所以−2<2a+3b<4.31．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知实数a,b满足1≤a+b≤8，3≤a−b≤4.(1)求实数a,b的取值范围；(2)求a−4b的取值范围.【解题思路】用已知式子a+b,a−b表示所求式子，利用不等式的性质求解范围即可．【解答过程】（1）由1≤a+b≤8，3≤a−b≤4，所以4≤a+b由a=1所以2≤12a+b即实数a的取值范围为2,6．因为b=1由3≤a−b≤4，所以−4≤b−a≤−3，又1≤a+b≤8，所以−3≤a+b所以−3∴−3即实数b的取值范围为−3（2）设a−4b=ma+b则m+n=1m−n=−4，解得m=−∴a−4b=−3∵1≤a+b≤8，3≤a−b≤4．∴−12≤−32(a+b)≤−∴−9即a−4b的取值范围为−932．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）已知实数a,b满足：(1)1<a<2,2<b<6，求2a+b的取值范围；(2)1<a<2,2<b<6，求ba(3)1<a+b<3,3<2a+b<5，求2a−b的取值范围.【解题思路】（1）根据同向不等式的可加性即可求解；（2）根据同向不等式的可乘性即可求解范围；（3）利用整体法，结合不等式的性质即可求解.【解答过程】（1）因为1<a<2,所以2<2a<4,又因为2<b<6，所以4<2a+b<10；（2）因为1<a<2,所以12<1a<1（3）令2a−b=m(a+b)+n(2a+b)=(m+2n)a+(m+n)b，则m+2n=2m+n=−1，解得m=−4又因为1<a+b<3,3<2a+b<5，所以−12<(−4)(a+b)<−4,9<3(2a+b)<15，所以−3<2a−b<11.题型9题型9利用基本不等式求最值

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示33．（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知x>0,y>0,xy=x+2y+a．(1)当a=0时，求xy的最小值；(2)当a=6时，求x+2y的最小值．【解题思路】（1）利用基本不等式即可求出最小值；（2）根据已知化简求出得x=2+8【解答过程】（1）当a=0时，由x>0,y>0,xy=x+2y，则xy=x+2y≥22xy即xy≥22，可得当且仅当x=2y，即x=4，y=2时xy取最小值8.（2）当a=6时，由x>0,y>0,xy=x+2y+6，由xy=x+2y+6得x=2y+6则x+2y=2+8y−1故可知当y=3,x=6时，x+2y取得最小值为12．34．（24-25高一上·山西·期中）已知a>b>1．(1)证明aa−1(2)若a+b=5，求1a−1【解题思路】(1)通过作差法判断即可；（2）由1a−1【解答过程】（1）证明：a因为a>b>1，所以b−a<0，a−1b−1则b−aa−1b−1<0（2）解：因为a+b=5，所以1a−1=1因为a>b>1，所以4a−1当且仅当a=83，故1a−1+435．（24-25高一上·福建莆田·期中）（1）若a>0，b>0，且满足a+b=4，求ab的最大值；（2）求函数y=1（3）已知x>0，y>0，且x+y=1，求1x【解题思路】（1）利用基本不等式可求得ab的最大值；（2）将函数解析式变形为y=1（3）将代数式1x+9y与【解答过程】（1）因为a>0，b>0，且满足a+b=4，由基本不等式可得ab≤a+b当且仅当a=ba+b=4时，即当a=b=2故ab的最大值为4；（2）因为x>3，则x−3>0，所以，y=1当且仅当x−3=1x−3x>3故函数y=1x−3+x（3）因为x>0，y>0，且x+y=1，则1x当且仅当9xy=y故1x+936．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）若正数x，y满足9x+y=xy，(1)求xy的最小值.(2)求2x+3y的最小值.【解题思路】（1）应用均值不等式将9x+y转化为xy，再解关于xy的不等式即可；（2）将条件转化为9y+1【解答过程】（1）因为正数x，y满足9x+y=xy，所以xy=9x+y≥29xy=6xy，当且仅当9x=y所以xy≥6，即xy≥36，当且仅当x=2所以当x=2y=18时，xy的最小值为36（2）因为正数x，y满足9x+y=xy，所以9y所以2x+3y=(2x+3y)(9当且仅当18xy=3y所以当x=362+1y=9+题型10题型10基本不等式的恒成立、有解问题

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示37．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知x,y>0满足x+y=6.(1)求yx(2)若x2+4y【解题思路】（1）变形后，利用基本不等式“1”的代换求出最小值；（2）先求出0<y<6，参变分离得到m≤x2+4y2x+4y，变形得到x2【解答过程】（1）y≥1当且仅当2yx=x即yx+3（2）由x>0,y>0,x+y=6，得x=6−y>0，即0<y<6，不等式x2+4yx=5当且仅当y+2=16y+2，即因此当x=4,y=2时，x2+4y2x+4y所以m的取值范围mm≤38．（24-25高一上·四川达州·阶段练习）已知正数x，y满足2x+y−xy=0.(1)求4xx−1(2)若xy+2−42【解题思路】（1）由已知等量关系化简代数值并转化“1”，然后利用基本不等式解得最小值；（2）不等式恒成立等价于求最值问题，先利用等量代换和基本不等式求出左边最小值，再解不等式即可得出范围.【解答过程】（1）∵2x+y−xy=0，∴2y+1x=1∴4xx−1当且仅当18xy=2yx，即所以4xx−1（2）∵y=xy−2x=xy−2，∴x=∴xy+2∵x=yy−2>0且y>0∴xy+2=y−2+8y−2+6≥4∴xy+2∴6>m2+5m恒成立，即m所以实数m的取值范围为−6,1.39．（23-24高一上·江苏连云港·期中）已知正实数x，y，满足x+2y−xy=0．(1)求xy的最小值；(2)若关于x的方程x(y+1)−42【解题思路】(1)利用基本不等式将x＋2y转化为xy形式，解不等式即可；(2)结合已知条件对x(y+【解答过程】（1）∵x，y为正实数，x+2y−xy=0，∴x+2y=xy≥2解得：xy≥8，当且仅当x=2y，即x＝4，y＝2时，等号成立，则xy的最小值为8．（2）由x+2y−xy=0得：x+2y=xy，则2x∴x(y+1)−4=2(x+y)−42xy+当且仅当x=2y，即x=2+∴m2−m≥6，解得：m≥3或40．（23-24高一上·湖北武汉·期中）已知x，y都是正数，且2x(1)求2x+y的最小值；(2)已知不等式λx+2y≤3x+2y【解题思路】（1）应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，并确定取值条件.（2）将问题化为λ≤3x+2y【解答过程】（1）2x+y=2x+y当且仅当2xy=2yx2（2）解法一：由题意知λ≤3x+2y因为y=xx−2，x−2>0=3当且仅当9x−2=4x−2，即所以λ≤24．解法二：由2x+1y=1所以λ≤3x+2y2=9x当且仅当x+2y=xy>0，且9xy=4yx，即x=8题型11题型11由一元二次不等式的解确定参数

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示41．（24-25高一上·山东·期中）已知a,b,c∈R，关于x的一元二次不等式−x2+bx+6>0(1)求b，c的值；(2)解关于x的不等式ax【解题思路】先根据已知不等式的解集，结合韦达定理，求出b和c的值，再将其代入后面的不等式，分类讨论进行求解.【解答过程】（1）因为不等式−x2+bx+6>0所以−2和c是方程−x根据韦达定理，可得−2+c=−b−1=b解得c=3，b=1.（2）由（1）知b=1，c=3，则不等式为ax2−(3a+1)x+3a<0当a=0时，不等式化为−x+3<0，解得x>3.当a<0时，(ax−1)(x−3)<0的解为x<1a或当0<a<13时，1a当a=13时，不等式化为(1当a>13时，1a<3综上所得，当a=0时，解集为{x|x>3}；当a<0时，解集为{x|x<1a或当0<a<13时，解集为当a=1当a>13时，解集为42．（24-25高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数fx(1)若关于x的不等式fx<0的解集为−1,3，求不等式(2)若b=1，求关于x的不等式fx【解题思路】（1）根据题意可得a>0，且−1，3是方程ax2−(a+1)x+b=0的两个实数根，利用韦达定理得到方程组，求出a，b，进一步可得不等式bx2（2）当b=1时，不等式等价于(ax−1)(x−1)>0，从而分类讨论即可求出不等式所对应的解集．【解答过程】（1）若关于x的不等式fx<0的解集为则−1和3是方程ax2−由韦达定理得a+1a=2b所以不等式bx解得x<−43或所以不等式bx2−ax+4<0（2）若b=1，则fx1）当a=0时，由−x−1>0解得2）当a≠0时，方程ax−1x−1=0的两根为当a<0时，1a<1，解不等式ax−1x−1当0<a<1时，1a>1，解不等式ax−1x−1>0得当a>1时，1a<1，解不等式ax−1x−1>0得当a=1时，由(x−1)2>0得综上，当a=0时，不等式解集为−∞当a<0时，不等式解集为1a当0<a<1时，不等式解集为−∞当a>1时，不等式解集为−∞当a=1时，不等式解集为−∞43．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）已知关于x的不等式kx2−2k+1x+2<0(1)若A=x1<x<2，求(2)求不等式的解集A；(3)是否存在实数k，使上述不等式的解集A中恰有3个整数?若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由.【解题思路】（1）分析可知，关于x的方程kx2−2k+1x+2=0的两根分别为1（2）对实数k的取值进行分类讨论，结合一次不等式或二次不等式的解法可求得集合A；（3）由（2）可知，0<k<12或k>12，然后分情况讨论，求出集合A，根据题意可得出关于实数【解答过程】（1）解：当A=x1<x<2时，则关于x的方程kx2−由韦达定理可得1×2=2k1+2=（2）解：原不等式即为kx−1x−2当k=0时，原不等式即为x−2>0，解得x>2，此时，A=x当k≠0时，方程kx−1x−2=0的解为x1若k<0，解不等式kx−1x−2<0可得x<1k或若1k=2，即k=12，则原不等式即为若0<1k<2，即k>12，解不等式kx−1若1k>2，即0<k<12，解不等式kx−1x−2综上所述，当k<0时，A=x当k=0时，A=x当0<k<12时，当k=12时，当k>12时，（3）解：由（2）可知，若集合A恰有三个整数，则0<k<12或当0<k<12时，A=x2<x<1k，则集合A中的三个整数分别为所以，5<1k≤6当k>12时，则0<1k<2综上所述，实数k的取值范围是k144．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知关于x的不等式ax2−(1)若3∉A，求实数a的取值范围；(2)当a<0时，集合A中有且仅有两个整数，求实数a的取值范围；(3)若集合B=xx<1或x>12，满足【解题思路】（1）因为3∉A，所以将x=3代入不等式不成立；（2）当a<0时，二次函数y=ax2−(a+3)x+3（3）A=B意味着两个集合中的不等式等价.解集一样，构造方程即可.【解答过程】（1）因为3∉A，所以当x=3时，ax将x=3代入得9a−3(a+3)+3≤0，即9a−3a−9+3≤0，解得a≤1.（2）由ax2−(a+3)x+3>0因为a<0，所以3a<1，不等式的解为因为集合A中有且仅有两个整数，这两个整数只能是−1，0.所以−2≤3当−2≤3a时，−2a≥3，解得当3a<−1时，3>−a，解得所以−3<a≤−3（3）因为B={x|x<1或x>12}，A=B，由ax2−(a+3)x+3>0因为A=B，所以方程ax2−(a+3)x+3=0将x=12代入方程ax144a−12(a+3)+3=0，144a−12a−36+3=0，即132a−33=0，132a=33，解得a=1题型12题型12一元二次不等式恒成立问题

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示45．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数f(x)=ax2+(a−2)x−2(1)若不等式fx≥0的解集为(−∞(2)若不等式f(x)≥ax−3对x∈R恒成立，求实数a【解题思路】（1）根据给定的解集，结合一元二次方程求出a的值.（2）利用一元二次不等式恒成立，列式求解.【解答过程】（1）依题意，−1,2是方程ax2+(a−2)x−2=0则−1+2=−a−2a且−1×2=−2所以实数a的值是1.（2）不等式f(x)≥ax−3⇔ax依题意，不等式ax2−2x+1≥0当a=0时，−2x+1≥0对x∈R因此a>0，且Δ=4−4a≤0，解得a≥1所以实数a的取值范围是a≥1.46．（24-25高一上·甘肃金昌·期中）已知函数f(x)=−x(1)若关于x的不等式f(x)>0的解集为(−3,1)，求a，b的值；(2)当a=1时，若关于x的不等式f(x)≤0在R上恒成立，求b的取值范围.【解题思路】（1）根据不等式的解集得出一元二次方程的根，从而求得a,b值；（2）由判别式Δ≤0【解答过程】（1）由题意可知，−3，1是方程−x所以−3+1=−a(b−a)，−3×1=b，解得a=−1，b=−3或a=−2，b=−3.故a，b的值分别为−1，−3，或−2，−3.（2）当a=1时，f(x)=−x若f(x)<0在R上恒成立，即f(x)的图象与x轴至多有一个交点，则Δ=即b2−6b+1≤0，解得故b的取值范围是[3−2247．（24-25高一上·湖南湘西·期中）已知函数f(1)若不等式fx≥−mx在R上恒成立，求实数(2)若fx≥0在0,1上恒成立，求实数【解题思路】（1）移项后转化为x2−mx+2−m≥0在R上恒成立，利用（2）根据对称轴和区间0,1在数轴上的位置关系进行分类讨论，转化为最值问题即可解决.【解答过程】（1）fx≥−mx即为x2则Δ=−m2所以m的取值范围是−2−23（2）fx=x若0≤m≤1，函数在0,1先减后增，则fxmin=fm若m<0，函数在0,1单调递增，则fxmin=f0=2−m≥0若m>1，函数在0,1单调递减，则fxmin=f综上所述，实数m的取值范围是−∞48．（24-25高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知函数fx(1)若不等式fx≥0恒成立，求(2)解不等式fx(3)对任意的x∈−1,1，不等式fx≥【解题思路】（1）由不等式fx≥0恒成立，转化为（2）由不等式fx≥m−1，得到（1）由不等式fx≥x2在x∈−1,1【解答过程】（1）解：由函数fx因为不等式fx≥0恒成立，即不等式当m=0时，不等式即为x−2≥0，显然不成立，舍去；当m≠0时，要使得fx≥0恒成立，则满足即m>03m2−6m−1≥0，解得m≥3+2（2）解：由不等式fx≥m−1，可得即mx若m=0时，不等式即为x−1≥0，解得x≥1，不等式的解集为[1,+∞若m≠0时，不等式可化为(x−1)(mx+1)=m(x−1)(x+1①当m>0时，不等式等价于(x−1)(x+1m)≥0，解得x≤−不等式的解集为(−∞②当m<0时，不等式等价于(x−1)(x+1当−1m>1时，即−1<m<0时，解得1≤x≤−当−1m=1时，即m=−1时，解得x=1当−1m<1时，即m<−1时，解得−综上可得：当m<−1时，不等式的解集为[−1当m=−1时，不等式的解集为1；当−1<m<0时，不等式的解集为[1,−1当m=0时，不等式的解集为[1,+∞当m>0时，不等式的解集为(−∞（3）解：由不等式fx≥x即(m−1)x2−(m−1)x+m−2≥0即(m−1)(x2−x+1)≥1因为x2则可转化为不等式(m−1)≥1x2设gx=x所以1x2−x+1的最大值为43，所以所以实数m的取值范围为[7题型13题型13一元二次不等式有解问题

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示49．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知函数fx(1)当m<0时，解关于x的不等式fx(2)若存在x∈0,2，使得不等式fx≤【解题思路】（1）先把二次不等式化为m+1x（2）参变分离，把能成立问题转化为x+1x【解答过程】（1）由fx得m+1x2−若m+1=0，即m=−1，上式可化为：x−1≤0，解得x≤1；若m+1<0，即m<−1，上式可化为：x−1[x−1m+1若m+1>0，即−1<m<0，上式可化为：x−1[x−因为−1<m<0，所以0<m+1<1，所以1m+1所以：x≤1或x≥1综上可知：当m<−1时，原不等式的解集为[1当m=−1时，原不等式的解集为(−∞当−1<m<0时，原不等式的解集为(−∞（2）不等式fx≤x所以m(x因为x2−x+1>0恒成立，所以：问题转化为：存在x∈0,2，使得m≤x+1x设g(x)=x+1x2−x+1，令因为t+3t≥2t×3所以g(x)=x+1x2所以综上可知：m的取值范围为(−∞50．（24-25高一上·海南·阶段练习）已知函数y=mx(1)若m>0，求不等式y>0的解集；(2)若m∈R，关于的x不等式mx2【解题思路】（1）不等式化为x−2mx−1>0，讨论（2）不等式化为mx2−mx−3>0，讨论m=0,m>0和m<0【解答过程】（1）不等式y>0即为mx2−(m+2)x+2>0由m>0，得x−2若m=2，则不等式为x−12>0，解得若0<m<2，则2m>1，解不等式得x<1或若m>2，则2m<1，解不等式得x<2综上，m=2时，不等式的解集为x∣x≠1；0<m<2时，不等式的解集为{x∣x<1或x>2m>2时，不等式的解集为x∣x<2m或（2）不等式mx2−m=0时，不等式为−3>0，不成立；m>0时，不等式mxm<0时，应满足Δ=m2−4m×−3>0，解得综上，实数m的取值范围是−∞51．（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知函数fx(1)若m>0，解关于x的不等式fx(2)若不等式fx≤x−4在x∈R【解题思路】（1）对两根2和1m（2）分m<0，m=0，m>0进行分类讨论，再根据题设条件即可求出结果.【解答过程】（1）由fx<0，得mx2−当0<m<12，即2<1当m=12时，解集为当m>12，即2>1综上，当0<m<12时，解集为当m=12时，解集为当m>12时，解集为（2）fx≤x−4在R上有解，即当m<0时，函数y=mx显然在R上存在x满足mx当m=0时，上式为−2x+6≤0，符合题意；当m>0时，有Δ≥0，即2m+2解得m≤2−3或m≥2+∴0<m≤2−3或m≥2+综上，实数m的取值范围为−∞52．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）已知不等式2x−1>mx(1)若∀x∈R，使不等式恒成立，求m(2)若∃x>1，使不等式能成立，求m的取值范围；(3)是否存在实数x，使不等式对−1≤m≤1恒成立．若存在，求出x取值范围；若不存在，请说明理由．【解题思路】（1）讨论m=0和m≠0两类情况即可；（2）将不等式化为m<2x−1x2（3）将不等式化为mx【解答过程】（1）当m=0时，不等式为2x−1>0，可得x>1将不等式化为：mx2−2x+2m+1<0所以m<0Δ=−8m所以m的取值范围是m<−1.（2）因为∃x>1，使不等式能成立，也即∃x>1，使得m<2x−1令2x−1=t>1，则x=t+1则2x−1x2+2当t=3时取等号，所以m<（3）2x−1>mx2+2若不等式对−1≤m≤1恒成立，因为x2所以x2+2−2x+1<0也即故不存在.题型14题型14函数的定义域、值域问题53．（23-24高一上·辽宁大连·期中）求下列函数的定义域：(1)f(x)=x(2)已知函数f(x+3)的定义域为(−1,0)，则函数f(2x+1)的定义域.【解题思路】（1）根据二次根式的被开方数是非负数以及分母非零即得不等式组，解出即得；（2）正确理解函数的定义域的含义以及抽象函数中的变量范围的整体替换，即可求得.【解答过程】（1）要使函数有意义，只需x2−3x−4≥0|x+1|−2≠0,解得:x≤−1或所以函数定义域为xx≤−1且x≠−3或x≥4（2）由题意知−1<x<0，所以2<x+3<3，即f(x)的定义域为(2,3)，所以2<2x+1<3，解得12故函数f(2x+1)的定义域是1254．（23-24高一上·浙江杭州·期中）求下列函数的值域：(1)y=(2)y=3x−(3)f(x)=3x+1+【解题思路】（1）（3）根据题意结合基本不等式求值域；（2）换元令t=x+1【解答过程】（1）因为x>1，则x−1>0，可得y=x当且仅当x−1=1x−1，即所以函数的值域为0,+∞（2）令t=x+1≥0，则可得y=3t当t=1所以函数的值域为−37（3）因为x<23，则可得−fx当且仅当2−3x=92−3x，即即fx≤−3，所以函数的值域为55．（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知f((1)若a=4时，求f(2)函数g(x)=x2+1f【解题思路】（1）根据函数解析式，采用分离常数项的方法，结合不等式性质，可得答案；（2）根据二次根式的定义，结合二次函数的性质，可得答案.【解答过程】（1）由a=4，则f由不等式性质，则x2≥0，1+x2≥1，0<故fx∈−2,4，即f（2）由题意，gx由函数ℎ(x)=g(x)当a=0当a≠0时，根据二次函数的性质，可得a其中a−42−2a≥0，a2−8a+16−2综上，故a∈56．（23-24高三上·天津河西·期中）已知函数fx(1)当a=0时，求fx(2)若fx的定义域为−2,1，求实数a(3)若fx的定义域为R，求实数a【解题思路】（1）配方求解值域；（2）得到-2和1是方程1−a（3）考虑a=1，a=−1和1−a2≠0【解答过程】（1）当a=0时，fx所以fx的值域为15（2）因为fx的定义域为−2,1所以-2和1是方程1−a故−2+1=3a−11−a2（3）当a=1时，fx=6当a=−1时，fx=6x+6当1−a2≠0时，由题意，1−令1−a2>0综上所述，实数a的取值范围−5题型15题型15函数的单调性问题57．（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知二次函数fx=ax(1)若fx在区间1,2上是单调递减，求a(2)若函数fx在区间1,2的最小值为2，求a【解题思路】（1）根据二次函数在区间上的单调性可得2≤1（2）分类讨论当12a≥2、1<12a<2【解答过程】（1）二次函数f(x)图象为开口向上的抛物线，对称轴为x=1所以f(x)在(−∞,1又f(x)在区间[1,2]上单调递减，则2≤12a，解得所以实数a的取值范围为0<a≤1（2）因a>0，二次函数f(x)的图象对称轴为x=1当12a≥2即0<a≤14时，函数f(x)=ax2−x+2a−1当1<12a<2即14<a<12f(x)min=f(当0<12a≤1即a≥f(x)min=f(1)=3a−2=2综上，a=4所以当函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为2时，实数a=458．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数f(x)=(1)求实数a值；(2)判断函数f(x)在(1,+∞(3)求函数f(x)的单调区间．【解题思路】（1）代入f2（2）根据函数单调性的定义，作差fx（3）根据（2）的过程和结果，再分区间讨论.【解答过程】（1）由条件可知，f2=4+a（2）fx设1<xfx=x因为1<x1<x2，所以x1−所以x1所以fx1−f所以函数f(x)在(1,+∞（3）由（2）可知，fx1−f当0<x1<x2<1时，x1所以x1+x2−所以函数f(x)在(0,1)上单调递减，当x1<x2<0，x1−所以x1+x2−所以函数f(x)在(−∞综上可知，函数的增区间是1,+∞，单调递减区间是−∞,059．（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知函数f(1)求ff(2)若gx=3fx+5【解题思路】（1）先根据函数解析式求出f1的值，代入f（2）根据函数单调性的定义证明即可.【解答过程】（1）因为fx=7所以ff（2）由题意可得gx∀x1,gx2−g因为0<x1<x2<1，所以所以gx2−g因此函数gx在0,160．（23-24高一下·陕西安康·阶段练习）设函数fx(1)求fx(2)求fx(3)求fx在区间1,5【解题思路】（1）根据定义域的定义和一元二次不等式的解法求解即可（2）根据复合函数的单调性求解即可（3）根据函数单调性求最值即可【解答过程】（1）由−x所以fx的定义域（2）由（1）知fx的定义域−1,6令ux=−x根据复合函数的单调性可知，fx的单调递增区间是−1,5（3）由（2）知fx在1,52fx在区间1,5的最大值为f5所以fx在区间1,5的最小值为f故fx在区间1,5的最大值为72，最小值为题型16题型16利用函数的性质解不等式61．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数fx(1)用定义法证明函数fx在区间1,+(2)若fa2<f【解题思路】（1）利用函数的单调性的定义证明函数的单调性.（2）根据函数的单调性，结合函数定义域，把函数不等式转化成代数不等式求解.【解答过程】（1）设1≤x则fx2=x因为1≤x1<x2，所以x2−x1所以x2+x即fx2−fx1所以函数fx在区间1,+（2）因为函数fx在区间1,+所以fa2<f2a+3⇒a2所以实数a的取值范围是：1,3.62．（24-25高一上·福建福州·期中）已知定义在R上的函数fx，f1=3，对∀x，y∈R，都有fx+f(1)求f2(2)判断fx在R(3)若a<0，求关于x的不等式fa【解题思路】（1）根据所给关系式利用赋值法计算可得；（2）构造f(x（3）依题意可得fax2+a−2x>f2，结合（2）的单调性得到ax【解答过程】（1）因为∀x，y∈R，都有fx+fy所以f1+f1f2+f2所以f2（2）fx在R因为∀x，y∈R，都有fx+fy在R上任取x1,x2且x1>x又f(x所以函数fx在R（3）不等式fax2即fa即fa又函数fx在R上单调递增，所以不等式fax即ax−2x+1>0，又a<0，所以不等式ax−2x+1当2a=−1，即a=−2时，不等式等价于x+12当2a>−1a<0，即a<−2时，解得−1<x<当2a<−1a<0，即−2<a<0时，解得2综上可得，当a=−2时，不等式的解集为∅；当a<−2时，不等式的解集为−1,2当−2<a<0时，不等式的解集为2a63．（24-25高一上·广东清远·期中）已知函数f(1)用定义法证明函数fx在区间1,+(2)函数fx的定义域为1,+∞，若fm【解题思路】（1）根据条件，利用函数单调性的定义，即可证明结果；（2）根据条件和（1）结果，得到不等式组m2【解答过程】（1）任取x1<x则fx又x1<x2，x1得到fx1−f(x2)<0，即（2）因为函数fx的定义域为1,+∞，且在区间由fm2−m−1<f11−2m，得到m所以实数m的取值范围为−4<m≤−1或2≤m<3.64．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知定义在区间−1,1上的函数fx(1)求函数fx(2)判断函数fx在区间−1,1(3)解关于t的不等式f2t−1【解题思路】（1）由题意得f0（2）由单调性定义证明即可.（3）结合奇函数的单调性即可求.【解答过程】（1）因为定义在区间−1,1上的函数fx则f0=a=0，所以f−x=−xx2故f（2）fx=x证明如下：设−1<x则fx其中x1x2−1<0,x故fx=x（3）由f2t−1+ft所以f2t−1又fx=xx2+1在则不等式的解集为0,1题型17题型17抽象函数的性质综合65．（24-25高一上·河北邯郸·期中）已知定义在R上的函数fx满足fa+b=fa+fb+2(1)求f5(2)证明：gx(3)若关于x的不等式fax2【解题思路】（1）根据赋值法可得到结果；（2）利用奇函数的定义可得到结果；（3）根据函数的单调性得到有关x的不等式，再根据题意求解取值范围即可.【解答过程】（1）在fa+b令a=b=1，得f2令a=b=2，得f4令a=4，b=1，得f4+1=f4（2）证明：令a=b=0，得f0=f0令b=−x，a=x，得fx+f−xg−x所以gx（3）由fax2即fa又fx在R上是增函数，即a所以ax2−当a=0时，不等式的解集为{x∣x>3}，解集中有无数个正整数，不满足题意，当a<0时，不等式等价于x−1ax−3当a>0时，不等式等价于x−1若1a<3，即a>13，则不等式的解集为x 若1a=3，则不等式的解集为若1a>3，即0<a<13，则不等式的解集为即16综上所述，a的取值范围为16≤a<166．（24-25高一上·黑龙江·期中）已知函数fx满足fx+y=fx+f(1)证明：函数gx(2)若当x>0时，fx<−1，判断fx(3)在（2）的条件下，f1=−2对于任意的x1∈−1,2，存在x【解题思路】（1）根据题意结合奇函数的定义分析证明；（2）根据题意结合单调性的定义分析证明；（3）根据题意结合单调性分析可得x1【解答过程】（1）因为fx+y令x=y=0，可得f0=f0令y=−x，可得f0=fx因为gx=fx则gx即gx=−g−x（2）因为fx+y令x=x2,y=可得fx1=f令x1>x2，则则fx1−f所以fx在R（3）因为fx+y令x=−1,y=1，则f0即−1=f−1−2+1，可得对于fx又因为fx在R上单调递减，则x因为Fx=x可知Fx=x2−2x对于任意的x1∈−1,2可得3<mx2−1原题意等价于存在x2∈−1,2则G2=2m−4>0或G−1=−m−4>0，解得所以m的取值范围为−∞67．（24-25高一上·广西·期中）已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y+2)=f(x+1)+f(y+1)，当x>0时，f(x)>0.(1)若f(1)=2，求f(−4)的值.(2)证明：f(x)是奇函数且在R上为增函数.(3)解关于x的不等式f(x【解题思路】（1）由题意可知：f(x+y)=f(x)+f(y)，利用赋值法求函数值；（2）根据题意结合奇函数和单调性的定义分析证明；（3）根据题意可得f(x2−3x)<f(ax−3a)【解答过程】（1）由f(x+y+2)=f(x+1)+f(y+1)，可得f(x+y)=f(x)+f(y).令x=y=0，得f(0)=0，令x=1，y=−1，得f(0)=f(1)+f(−1)，得f(−1)=−2，令x=y=−1，得f(−2)=−4；令x=y=−2，得f(−4)=−8.（2）由（1）知f(0)=0，令x=−y，得f(0)=f(x)+f(−x)=0，所以f(−x)=−f(x)，则f(x)是奇函数.任取x1，x2，且x1则f(x因为当x>0时，f(x)>0，所以f(x2−所以f(x)在R上为增函数.（3）由（2）可知，f(x即f(x2)+f(−3x)<f(ax)+f(−3a)因为f(x)在R上为增函数，则x2−3x<ax−3a，即因式分解得(x−3)(x−a)<0.当a<3时，不等式的解集为(a,3)；当a=3时，不等式变为(x−3)2当a>3时，不等式的解集为(3,a).综上所述：当a<3时，不等式的解集为(a,3)；当a=3时，不等式的解集为∅；当a>3时，不等式的解集为(3,a).68．（24-25高一上·北京·期中）定义在(−1,1)上的函数f(x)满足：①对任意x,y∈(−1,1)，都有f(x)+f(y)=fx+y1+xy；②当x∈(−1,0)时，都有(1)求证f(x)是奇函数；(2)求证f(x)在(−1,1)上单调递减；(3)若f12=−1且f(x)≤t2【解题思路】（1）利用赋值法及奇函数的定义证明；（2）由已知条件及函数单调性的定义证明；（3）由条件得f(x)在−12,12上最大值为1，从而t2−2at≥0对所有a∈−1,1恒成立，令【解答过程】（1）令x=y=0，则有f(0)+f(0)=f0，所以f(0)=0对任意x∈(−1,1)，令y=−x，则f(x)+f(−x)=f0所以f(x)是奇函数.（2）对任意x1,xf(x由于x1,x又因为x2−x因此f(x所以函数f(x)在(−1,1)上单调递减.（3）由于f(x)在(−1,1)上单调递减且为奇函数，所以f(x)在−12,由于f(x)≤t2−2at+1所以t2−2at+1≥1对所有即t2−2at≥0对所有令g(a)=t2−2t⋅a由题意得g(−1)≥0且g(1)≥0，即t2+2t≥0且解得t∈(−∞即实数t的范围是(−∞题型18题型18函数性质的综合应用69．（24-25高一上·浙江·期中）已知f(x)=bx+c4+x2是定义在[−2,2]上的函数，若满足(1)求f(x)的解析式；(2)判断f(x)的单调性，并利用定义证明你的结论；(3)设函数g(x)=x2−2mx+4(m∈R)，若对∀【解题思路】（1）根据奇函数定义和函数值求得c=0，b=5，即可得解析式；（2）根据题意结合函数单调性的定义分析证明；（3）根据题意分析可知g(x2)min【解答过程】（1）因为f(x)+f(−x)=0，可知f(x)为奇函数，则f(0)=c4=0且f(1)=b5=1则f(x)=5x4+x可知f(x)为奇函数，即c=0，b=5符合题意，所以f(x)=5x（2）函数fx=5x对任意x1,x则fx因为−2≤x1<x2可得fx2−f所以函数fx=5x（3）对∀x1∈[1,2],∃x2由（2）可知f(x)在[1,2]单调递增，则f(x)可得gx=x2−2mx+4<1在1,2因为ℎx=x+3x在且ℎ3=23，可知ℎx=x+可得2m>23，解得m>3，即实数m的取值范围为70．（24-25高一上·山东淄博·期中）已知函数fx=2x+bx2(1)求函数fx(2)判断函数fx(3)设gx=kx+1−4k，若对任意的x1∈−2,2，存在x【解题思路】（1）利用f(0)=0，f1=25，求得（2）利用定义法判断出f(x)在区间−2,2上的单调性；（3）将问题转化为f(x)max≤g(x)max【解答过程】（1）依题意函数fx=2x+bx2f1=2所以fx（2）f(x)在−2,2上递增，证明如下：任取x1，x2，使得则f(x因为−2≤x1<x2≤2，所以即f(x1)−f(所以f(x)在−2,2上递增；（3）若对任意的x1∈−2,2，存在x2由（2）得f(x)在−2,2上递增，所以f(x)存在x2∈−2,2，若k>0，则gx在−2,2上为增函数，∴gx若k=0，则gx=1，此时若k<0，则gx在−2,2上为减函数，∴gx综上可知：k≤14．即实数k的取值范围是：71．（24-25高一上·山东·期中）已知函数fx=x+a+b(1)求出fx(2)判断fx在区间−1,1(3)解不等式f1【解题思路】（1）由奇函数的定义域关于原点对称和f0（2）利用定义法证明,当−1<x1<（3）利用奇函数和减函数解抽象函数不等式，再配合分式不等式的解法求出即可；【解答过程】（1）由奇函数的定义域关于原点对称，所以a=1，又f0=0，所以所以fx（2）f(x)在(−1,1)上为减函数；证明如下：证明：设−1<xf又由−1<x1<x2<1，则则有fx1−fx2（3）f1t+f因为f(x)是定义域为−1,1的奇函数，所以f1又函数f(x)在(−1,1)上为减函数，所以−1<1t<1所以不等式的解集为t|1<t<1+372．（24-25高一上·河北邯郸·期中）已知fx=bx+c9+x2是定义在−3,3上的函数，(1)求b，c的值；(2)判断fx在−3,3(3)若对任意x∈−3,3，都存在a∈1,2，使得fx【解题思路】（1）根据题意得到该函数为奇函数，再根据奇函数的性质求得结果；（2）由（1）可得解析式，根据定义法可证明出该函数的单调性；（3）根据单调性得到最大值，再根据恒成立问题以及能成立问题求解不等式.【解答过程】（1）因为∀x∈−3,3，都有f则fx是定义在−3,3上的奇函数，得f0=所以fx由f2=−213，可得此时fx=−x所以b=−1，c=0；（2）证明：由（1）知fx=−x则fx因为−3≤x1<x2所以fx1−f故函数fx=−x（3）由（2）知fx=−x所以fx在−3,3上的最大值为1因为对任意x∈−3,3，使得f所以fxmax≤a因为存在a∈1,2，使得at2又因为t2+1>0，所以y=at所以a