高一数学上学期期末复习解答题压轴题十五大题型专练（范围：第四、五章）（解析版）

2024-2025学年高一上学期期末复习解答题压轴题十五大题型专练（范围：第四、五章）【人教A版（2019）】题型1题型1指数式的给条件求值问题1．（24-25高一上·山西·期中）（1）求值：164（2）已知x+x−1=4【解题思路】（1）根据指数的运算即可求出答案；（2）通过x12+【解答过程】（1）原式=1（2）由x1因为x>0，所以x12+所以x2故x12．（2024高一·全国·专题练习）化简并求值．(1)若a=2，b=4，求a+3(2)设a=20231n【解题思路】（1）根据指数的幂的运算可得答案；（2）由a=20231n【解答过程】（1）原式===3当a=2，b=4时，原式=3（2）因为a=20231n所以1+a所以1+a3．（23-24高一上·江苏无锡·期中）（1）计算:14（2）若a+a①a②a【解题思路】（1）利用分数指数幂与根式的关系化简求值即可；（2）①：由a1②：由a12+【解答过程】（1）原式=41（2）①：a12−②：a12+a−4．（23-24高一上·全国·课后作业）求下列各式的值.(1)若3a=2,3(2)已知3a2+b=1，求(3)若a=2−1(4)若a=2.5,b=20，求【解题思路】（1）将32a−b可化成3a2（2）原式9a⋅3b3（3）将a−12⋅bab2（4）化简后可得原式=ba2【解答过程】（1）利用指数运算法则可知32a−b将3a=2,3（2）易知9a⋅3所以9a（3）化简得a−将a=2−1（4）易知a12又a=2.5,b=20，所以题型2题型2指数型复合函数的应用5．（24-25高一上·天津·期中）已知指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图像经过点(1)求函数y=a(2)求函数y=a2x−4ax【解题思路】（1）将点代入指数函数f(x)中求出a的值，然后根据复合函数单调性同增异减求得答案；（2）换元法令t=(【解答过程】（1）∵函数f(x)=ax(a>0且a≠1)∴a2=19，得a=1∴y=ax2y=(13u=x2−4x+3在区间(−∞,2]上单调递减，在区间根据复合函数单调性同增异减可知，函数y=(13)x（2）y=(令t=(13)x，x∈[0则y=t所以y=t2−4t+3故当t=1时，ymin当t=13时，故当x∈[0,1]时，g(x)的值域为[0,166．（24-25高一上·福建福州·期中）已知f(x)=3x+a(1)求a的值；(2)解关于x的方程2f(x)+2(3)若存在区间m,n（m<n），使得函数y=f(x)+t在m,n上的值域为3m,3【解题思路】（1）利用奇函数的性质求出a并验证即可.（2）换元解方程，再解指数方程即可.（3）探讨函数y=f(x)+t的单调性，结合已知构造方程，再利用一元二次方程实根分布求出范围.【解答过程】（1）由f(x)=3x+a3x+1是定义在f(x)=3x−13x所以a=−1.（2）令f(x)+1=λ，则方程2f(x)+2f(x)+1=3化为λ+解得λ=12或λ=2，由（1）知当λ=12时，f(x)=−12，即23当λ=2时，f(x)=1，即23所以原方程的解为x=−1.（3）由（1）知f(x)=3x−13x函数y=f(x)+t在[m,n]上单调递增，依题意，f(m)+t=3mf(n)+t=令3x=u>0，因此3m,3于是Δ=t2所以t的取值范围是227．（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知双曲函数f(x)=2x+(1)证明：f(2)判断函数g(x)的单调性（不用证明），并解关于x的不等式g(9(3)若∀x≥1，不等式a⋅g(x)≥f(x)+12成立，求实数【解题思路】（1）根据给定条件，利用指数运算计算即得.（2）利用指数函数单调性，结合复合函数的单调性判断单调性，再利用单调性解不等式.（3）根据给定条件，分离参数，换元并借助对勾函数的单调性求出最大值即可.【解答过程】（1）双曲函数f(x)=2x+则f2（2）函数y=2−x在R上单调递减，y=−2−x在R上单调递增，而函数所以函数g(x)在R上单调递增，不等式g(9则(3x)2−12⋅所以原不等式的解集为[1,2].（3）不等式a⋅g(x)≥f(x)+1当x≥1时，22x−1>0，则依题意，∀x≥1，a≥1+2x+222x1+2x+222x则当t=4时，ymin=34，因此1+1t+3t−4所以实数a的取值范围是a≥78．（24-25高一上·福建漳州·期中）设函数f（x）=ax−2ka−x（a>0(1)求k和a的值;(2)判断f(x)的单调性（无需证明），并求关于m的不等式f(m+1)+f−m2(3)已知函数g(x)=a2x+【解题思路】（1）利用函数奇偶性以及函数值即可解得k和a的值;（2）由复合函数单调性可判断f(x)在R上单调递增，利用单调性以及奇偶性解不等式可得实数m的取值范围;（3）利用换元法将函数整理成二次函数形式，判断出其单调性，再由二次函数性质可得结果.【解答过程】（1）因为f(x)是R上奇函数，所以f(−x)=−f(x)，即a−x整理得:(1−2k)ax+所以f(x)=a又f(1)=a−1a=解得a=3或a=−1所以k=1（2）由（1）可知f(x)=3易知指数函数y=3x为单调递增，函数利用复合函数单调性可得f(x)在R上单调递增,又因为f(x)为R上的奇函数，所以f(m+1)<−f所以m+1<m2−5解得m<−2或m>3.所以f(x)在R上单调递增，m的取值范围是−（3）g(x)=所以g(x)==令t=3x−3−x，由（2）易知记y=当时t=1,ymin=1；当t=所以g(x)的值域是1,34题型3题型3带附加条件的指、对数问题

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示9．（23-24高一上·上海浦东新·期中）（1）若a+a−1=3（2）已知log32=a，log37=b，试用a，【解题思路】（1）先把已知式子平方得出a2（2）先应用换底公式，再结合对数运算律即可表示.【解答过程】（1）∵a+a∴a（2）log=log10．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）设a>0，b>0，(1)loga(2)loga(3)计算：若xlog23=2【解题思路】（1）直接利用换底公式即可证明结果；（2）直接利用换底公式即可证明结果；（3）根据条件，利用换底公式得到x=log【解答过程】（1）因为logaαb（2）因为logaαb=（3）因为xlog23=2故3x+3−x=11．（23-24高一上·浙江金华·期中）化简或计算下列各式：(1)2(2)已知lg2=a,lg3=b，用a，(3)已知a12+【解题思路】(1)由指数幂的运算性质直接求得答案；(2)利用对数的运算性质以及换底公式将log3125化为lg(3)先求a+a−1=14，再求a【解答过程】（1）2a（2）log3125又lg2=a,lg3=b（3）a1所以a+aa12−a−a12．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）已知2（1）求a2−b（2）求4a+1【解题思路】（1）由2a=3得，（2）由b=log318【解答过程】解：1由2a=3得，所以a=−log2由b=log318所以4a+1×3题型4题型4对数型复合函数的应用

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示13．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知函数fx=logax+1(1)判断fx(2)若a>1，判断fx(3)当fx的定义域为1,a时，fx的值域为1,+∞【解题思路】（1）先判断函数奇偶性，接着按奇偶性判定步骤去判断即可证明；（2）由y=logat为增函数，t=x+1x−1（3）由题意结合（2）得fx在1,a上为减函数，进而得fx>f【解答过程】（1）函数fx由x+1x−1>0得x<−1或x>1，即fx的定义域为{x∣x<−1因为f−x所以fx（2）fx=logax+1当a>1时，y=logat为增函数，t=x+1x−1所以由复合函数的单调性知fx在−∞,−1（3）由题意a>1，所以由（2）可知fx在1,a因为当x∈1,a时，fx>f即a2−2a−1=0，解得因为a>1，所以a=1+214．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知非常数函数f(x)=log19(1)求实数a,b的值；(2)判断并证明函数f(x)的单调性；(3)已知g(x)=m⋅4x−2x+2【解题思路】（1）根据给定条件，利用奇函数的性质求出a,b.（2）由（1）求出函数f(x)，结合对数函数单调性及单调函数的定义判断推理即可.（3）根据给定条件，将不等式转化为[f(x【解答过程】（1）函数f(x)为(−2,2)上的奇函数，则f(−x)+f(x)=0，且f(0)=0，即log19a+x即a2−x2=4−b2当a=−2，b=−1时，f(x)=log19−2−x2−x当a=−2，b=1时，a−x2+bx=−1，函数当a=2，b=−1时，a−x2+bx=1，函数当a=2，b=1时，f(x)=log19所以a=2，b=1.（2）由（1）知，f(x)=log92+x2−x=而函数y=log9x在(0,+∞)∀x1,x2于是0<42−x1−1<因此log9(4所以函数f(x)在(−2,2)上单调递增.（3）由（2）知，函数f(x)在(1,2)上单调递增，则∀x∈(1,2)，f(x)>f(1)=1由∀x1∈(1,2)，∃x2因此∃x∈[−1,1]，g(x)≤1⇔m⋅4当x∈[−1,1]时，12≤2x≤2当且仅当x=0时取等号，于是m≤2，所以m的取值范围是m≤2.15．（24-25高三上·青海西宁·阶段练习）已知函数fx(1)若m=0，求fx(2)若fx的定义域为R，求实数m(3)若fx的值域为R，求实数m【解题思路】（1）根据复合函数单调性“同增异减”的判断法则，即可求解；（2）根据题意，若fx的定义域为R，则根据真数ux=（3）根据题意，若fx的值域为R，只需真数ux=【解答过程】（1）因为当m=0时，函数fx令ux=−1x2∴ux在区间1−52又∵函数y=log12可得fx=log12（2）要使fx的定义域为R，只需真数ux=①当m2−1=0，即若m=1,ux显然，只有x>−12时，才有ux若m=−1，则ux=1>0对一切实数x都成立，②当m2−1≠0时，uxm解得m<−1或m>5综上，实数m的取值范围是−∞（3）要使fx的值域为R，只需真数ux=①当m2−1=0，即若m=1，则ux=2x+1，显然ux若m=−1，则ux=1，不符合题意，②当m2−1≠0即m>1或m<−1,−1≤m≤综上，实数m的取值范围是1,516．（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）已知函数fx(1)若函数fx为奇函数，求实数m(2)求函数fx(3)求函数fx(4)若关于x的不等式fx<lne1【解题思路】（1）将函数解析式化简为fx=lne1（2）分m=0与m≠0两种情况讨论，当m≠0时利用基本不等式求出e1（3）结合指数函数、对勾函数及对数函数的性质计算可得；（4）依题意可得mx<1m≠0，求出不等式的解集，再根据集合的包含关系求出m【解答过程】（1）因为f==ln又fx为奇函数，所以f即lne即lnemx+2+解得emx=1，所以（2）因为fx当m=0时fx当m≠0时e12mx+e所以e12mx综上可得：当m=0时fx的值域为0，当m≠0时fx的值域为（3）因为fx当m=0时fx=0，当m>0时y=e12mx在定义域R上单调递增，且当x<0时0<y=x+1x在0,1上单调递减，在y=lnx在定义域所以fx在−∞,0当m<0时y=e12mx在定义域R上单调递减，且当x<0时e1y=x+1x在0,1上单调递减，在y=lnx在定义域所以fx在−∞,0综上可得：当m=0时fx当m≠0时fx的单调递减区间为−∞,0（4）因为fx=lne1所以fx当m=0时fx<ln当m≠0时不等式fx<ln所以e12mx又y=e12所以mx<1，解得−1m因为A⊆−2023,2026，所以1m≤2023m≠0，所以m≤−所以实数m的取值范围为−∞题型5题型5指数、对数函数的实际应用

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平面向量线性运算的坐标表示17．（24-25高一上·吉林·期中）某水库有a万条鱼，计划每年捕捞一些鱼，假设水库中鱼不繁殖，只会因捕捞而减少鱼的数量，且每年捕捞的鱼的数量的百分比相等.当捕捞的鱼的数量达到原数量的23时，所用时间是6年.为了保证水库的生态平衡，鱼的数量至少要保留原数量的19(1)求每年捕捞的鱼的数量的百分比.(2)到今年为止，该水库已捕捞了多少年?(3)今年之后，为了保证水库的生态平衡，最多还能捕捞多少年?【解题思路】（1）设每年捕捞的鱼的数量的百分比为x，根据题意建立等量关系计算即可；（2）设到今年为止该水库已捕捞t年，根据题意建立方程，解指数方程即可；（3）设今年之后，最多还能捕捞n年，根据题意建立不等式，由指数函数的性质解不等式即可.【解答过程】（1）由题意可得a1−x6=a−23则每年捕捞的鱼的数量的百分比为1−1（2）设到今年为止该水库已捕捞t年，则a1−xt=所以t6=1即到今年为止，该水库已捕捞了3年.（3）设今年之后，最多还能捕捞n年，则n年后，水库里鱼的剩余数量为33题意可得33a1−x所以n6≤3故今年之后，最多还能捕捞9年.18．（24-25高一上·浙江杭州·期中）鸡蛋在冰箱冷藏的环境下，可以有效减缓鸡蛋内部的变化速度，延长其保质期．已知新鲜鸡蛋存储温度x（单位：摄氏度）与保鲜时间t（单位：小时）之间的函数关系式为t(x)=e(1)新鲜鸡蛋在存储温度为7摄氏度的情况下，其保鲜时间约为多少小时；(2)已知新鲜鸡蛋在冰箱里冷藏一般能存30天至45天左右，若某超市希望保证新鲜鸡蛋的保鲜时间不少于40天，则超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于多少摄氏度？（结果保留两位小数）参考数据：lg【解题思路】（1）由题意有e8a+b=432e6a+b=576，则e（2）令eax+b【解答过程】（1）依题意得e8a+b=432e当x=7时，t7即该超市的新鲜鸡蛋在存储温度为7摄氏度的情况下，其保鲜时间约为499小时；（2）由题意令eax+b≥960，得e6a+b则34则lg3即1解得：x≤2.334故超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于2.33摄氏度.19．（24-25高一上·福建三明·期中）金骏眉是红茶代表，产于建宁县，色泽红艳，香气馥郁，口感甜美，营养价值高.在饮用中发现，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用100∘C的水泡制，待茶水温度降至60∘时间/012345水温/1009182.978.3772.5367.27设茶水温度从100∘C经过xmin后温度变为y∘C，现给出以下三种函数模型：①y=cx+b(c<0,x≥0)(1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式；(2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间；(3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少.（参考数据：lg3=0.48,【解题思路】（1）通过表格数据，发现水温随着时间变化逐渐降低，且降低的速度逐渐变慢，所以是第②个函数模型，只需将具体数值代入，即可求得解析式；（2）最佳饮用口感温度为60∘C，代入解析式，利用对数式求得（3）求出y的最小值，即为答案.【解答过程】（1）由表格数据知：函数单调递减且递减速度逐渐变慢，故模型①③不符合，选模型②，则ca0+b=100ca所以y=90×0.9x+10（2）令y=90×0.9x+10=60所以泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间为6.5min.（3）由0.9x∈0,1，即y∈20．（24-25高一上·福建厦门·期中）铁观音是中国十大名茶之一，盛产于福建．经验表明，某种铁观音茶用95°C的水冲泡，等茶水温度降至60°C饮用，口感最佳.某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：°C时间t/分钟012345水温y95.0088.0081.7076.0370.9366.33(1)给出下列三种函数模型：①y=at+b(a<0)，②y=a⋅bt+c(a>0,0<b<1)(2)根据（1）中所求模型，（i）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）；（ii）求刚泡好的铁观音茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）.（参考数据，lg3≈0.477,【解题思路】（1）根据数据的规律结合单调性及相邻数据差不为定值排除①③,代入数据②中求参数得函数解析式；（2）（i）根据指数函数的性质可知稳定在25°C【解答过程】（1）由所给数据可知，函数应该为减函数，故③y=atb+c(a>0,0<b<1)为增增函数，不合题意；又88−95=−7，81⋅7−88=−6.3，76.03−81⋅7=−4.67，不是常数，故①y=at+b(a<0)则a+c=95ab2所以y=70⋅0.9（2）（i）由y=70⋅0.9t+25可知，y>25所以由题意室温为25°C（ii）由题意70⋅0.9t+25=60所以t=log即刚泡好的铁观音茶达到最佳饮用口感的放置时间大约6.5分钟.题型6题型6函数零点（方程根）及其个数问题

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示21．（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·期中）已知函数f（x），对于任意的x,y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，当x>0时，(1)判断并证明函数f(x)的奇偶性；(2)当−8≤x≤10时，求函数f(x)的最大值和最小值；(3)设函数g(x)=fx2−m−2f(|x|)，若方程【解题思路】（1）先后令x=y=0，y=−x可完成判断与证明；（2）由题可证明f(x)在−∞,0,0,+∞（3）g(x)=0有4个不同的解等价于x2【解答过程】（1）f(x)为奇函数，证明如下.证明：令x=y=0，则f(0)=2f(0)⇒f0又令y=−x，则f(0)=fx又fx定义域关于原点对称，且fx不恒为0，则（2）取任意x1则f(=−fx2−x1故f(x)在R上单调递减，则当−8≤x≤10时，f(x)max=f因f(1)=−12，则f10则函数最大值为f−8=4，最小值为（3）由（2）可知fx在−则g(x)=fx又x2=x2，则方程令x=t，当t2−2t−m=0则Δ=4+4m>0x1+x22．（23-24高一上·天津·阶段练习）函数f(x)=(1)当m=−1时，求函数f(x)零点(2)函数f(x)有两个零点，求m的取值范围；(3)函数f(x)在(−1,3)上有两个零点，求m的取值范围；【解题思路】（1）把m=−1代入，求出f(x)零点.（2）利用判别式大于0，解不等式即得.（3）利用一元二次方程实根分布规律，列出不等式组求解即得.【解答过程】（1）当m=−1时，f(x)=x2−2x+1，由f(x)=0所以函数f(x)零点为1.（2）由函数f(x)有两个零点，得方程x2因此Δ=4m2−4(3m+4)>0，解得所以m的取值范围是m<−1或m>4.（3）由函数f(x)在(−1,3)上有两个零点，得Δ=4m2所以m的取值范围是−1323．（2024高一上·江苏·专题练习）已知函数f(x)=ln(1)求函数f(x)的零点；(2)g(x)=f(x)−a若函数g(x)有四个零点，求a的取值范围；(3)在（2）的条件下，记g(x)得四个零点从左到右分别为x1，x2，x3，x【解题思路】（1）讨论当x>0时，当x≤0时，由f(x)=0，解方程即可得到零点；（2）由题意可得f(x)=a有四个不等实根，画出函数y=f(x)的图象，通过图象观察，即可得到a的范围；（3）由二次函数的对称性和对数的运算性质，结合图象即可得到所求和．【解答过程】（1）函数f(x)=ln当x>0时，由|lnx|=0，解得当x≤0时，由x2+4x+1=0，解得x=−2+3可得函数的零点为1，−2+3或−2−（2）g(x)=f(x)−a若函数g(x)有四个零点，即为f(x)=a有四个不等实根，画出函数y=f(x)的图象，由图象可得当0<a≤1时，f(x)的图象和直线y=a有四个交点，故函数g(x)有四个零点时a的取值范围是0<a≤1；（3）由y=x2+4x+1的对称轴为x=−2由|lnx3|=|lnx4故x124．（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知函数f(x)=x−a−3(1)若a=1，求关于x的方程f(x)=1的解；(2)若关于x的方程f(x)=2a有三个不同的正实数根x1，x2，（i）求a的取值范围；（ii）证明：x1【解题思路】（1）根据题意得由x−1=3x，分类讨论x≥1（2）（i）分段讨论f(x)的解析式，结合对勾函数的性质分析得f(x)的单调性，进而得到关于a的不等式，解之即可得解；（ii）利用（i）中结论，分析得x1x2=3与【解答过程】（1）当a=1时，f(x)=x−1则由f(x)=1，得x−1=当x≥1时，则x−1=3x，即x2−x−3=0，解得当x<1时，则1−x=3x，即综上，x=1（2）（i）因为f(x)=x−a当x≤a时，f(x)=−x+a−3当x>a时，f(x)=x−a−3由对勾函数的性质可知，y=2a−x+3x在0,易知y=x−3x在当a≤3a≠0时，则y=2a−x+3x在0,a又当x=a时，2a−x+3x=x−3故方程f(x)=2所以a≥3，则y=2a−x+3x在y=x−3x在故2a−a+3a即a的取值范围为7+（ii）x1､x2是方程2a−x+x3是方程x−3x则x3=1所以x1题型7题型7弧长公式与扇形面积公式的应用

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示25．（24-25高一·上海·随堂练习）已知一扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l．(1)若α=45°，r=10cm，求扇形的弧长l(2)已知扇形的周长为10cm，面积是4【解题思路】（1）由扇形的弧长公式即可求解；（2）由扇形的周长和面积公式即可求解.【解答过程】（1）因为α=45°=π所以l=α⋅r=π（2）由题意得2r+αr=101解得r=1α=8（舍去）或r=4故扇形圆心角为1226．（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）如图，这是一个扇形环面（由扇形OCD挖去扇形OAB后构成）展台，AD=4米．(1)若∠COD=2π3(2)若该扇形环面展台的周长为14米，布置该展台的平均费用为500元/平方米，求布置该扇形环面展台的总费用．【解题思路】（1）利用弧长计算公式计算即可；（2）设∠COD=θ，OA=r米，利用扇形环面的展台周长，表示出θ与r的关系，代入面积公式求出扇形环面展台的面积，最后计算可得.【解答过程】（1）弧AB的长度l1=4π3所以扇形环面展台周长为：l1（2）设∠COD=θ，OA=r米，则弧AB的长度l1=θr，弧CD的长度因为该扇形环面的周长为14米，所以l1+l整理得θr+2θ=3，则该扇形环面展台的面积：S=1所以布置该扇形环面展台的总费用为：12×500=6000元.27．（23-24高一下·江西赣州·阶段练习）已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为L(α>0)．(1)已知扇形的周长为10cm，面积是4(2)若扇形周长为20cm，当扇形的圆心角α【解题思路】（1）根据弧长公式及扇形的面积公式，再结合扇形的周长公式即可求解；（2）根据扇形的周长公式及扇形的面积公式，再结合二次函数的性质即可求解.【解答过程】（1）由题意得{2R+Rα=1012α⋅R所以扇形圆心角12（2）由已知得，l+2R=20．所以S=12lR=所以当R=5时，S取得最大值25，12×α×R当扇形的圆心角α为2多少弧度时，这个扇形的面积最大为25.28．（23-24高一下·山东·阶段练习）如图，点A，B，C是圆O上的点．(1)若∠ACB=π6，AB=4cm，求扇形AOB(2)若扇形AOB的面积为10cm2，求扇形AOB周长的最小值，并求出此时【解题思路】（1）根据扇形的弧长公式和面积公式进行计算即可.（2）根据扇形的弧长公式和面积公式结合基本不等式的应用进行求解.【解答过程】（1）由题意知，设α=∠AOB，所以α=根据扇形弧长l=αR=4扇形面积S=1（2）由S=lR2=10扇形的周长为2R+l=2R+20R≥2所以由l=αR=20R知：题型8题型8同角三角函数的基本关系

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示29．（24-25高三上·河南·期中）（1）已知α是第三象限角，且tanα是方程x2−x−2=0（2）已知sinα−cosα=12【解题思路】（1）根据题意得到tanα的值，将sin2α−2sinαcosα+3（2）先根据完全平方公式得到sinαcosα【解答过程】（1）由x2−x−2=0，得x=−1，或∵tanα是方程x2−x−2=0∴tanα=2∴sin2α−2sin（2）∵sinα−∴(sinα−cos∵α∈(0,π)，所以sinα>0故cosα+1sin30．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知sinα+(1)求tanα(2)求sinα(3)若0<α<π，求sin【解题思路】（1）利用商数关系求解即可；（2）利用平方关系构建齐次式求解即可；（3）将所求式子平方，根据角的范围讨论符号，开平方即可,【解答过程】（1）由sinα+cosα将上式左边分子、分母同除以cosα，得tanα+13（2）由（1）知tanα=所以sinα（3）由0<α<π，得sin又由（1）知，tanα=35>0，故所以cosα>0，于是sin(sinsinα+31．（23-24高一上·河南开封·期中）已知函数f(x)=1+sinx1−(1)求2sin(2)求cos4【解题思路】（1）化简fx=2sinxcosx（2）根据同角三角函数关系化简原式为1−tan【解答过程】（1）f(x)==1+α为第三象限角，故fx=−2tanx，2sin（2）cos=cos32．（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）已知x∈0,(1)若tanxtanx−1(2)若sinx+cosx=【解题思路】（1）根据正余弦函数齐次式化简为正切即可得解；（2）利用同角三角函数的基本关系化简求解.【解答过程】（1）因为tanx所以tanx=2tanx−2所以2sin（2）因为sinx+所以sinx+cos即2sinx∴sinx−cos∵x∈0,π，∴sinx>0∴cosx−sin∴cos2题型9题型9诱导公式的综合应用

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示33．（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）已知α为第二象限角，fα(1)化简fα(2)若sinα=15【解题思路】（1）利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式即可化简得解；（2）利用同角三角函数基本关系式即可求解．【解答过程】（1）f=−（2）若sinα=15所以fα34．（24-25高三上·福建宁德·阶段练习）如图，以Ox为始边作角α与β0<β<π2<α<π，它们的终边分别与单位圆相交于点P,Q

(1)求2cos(2)若OP⊥OQ，求P的坐标.【解题思路】（1）根据三角函数的定义求出tanβ（2）由OP⊥OQ可得sinα=sinβ+【解答过程】（1）因为点Q在单位圆上且0<β<π2，所以x>0且x2即Q2由三角函数定义知，sinβ=故原式=2（2）由题意sinα=cos故P−35．（23-24高一下·辽宁大连·阶段练习）在单位圆中，锐角α的终边与单位圆相交于点Pm,32，连接圆心O和P得到射线OP，将射线OP绕点O按逆时针方向旋转θ后与单位圆相交于点B(1)求4sin(2)记点B的横坐标为fθ，若fθ−π【解题思路】（1）由题意可得cosα=（2）由题意可得：fθ=cos【解答过程】（1）由于点P在单位圆上，且α是锐角，可得m=1所以cosα=所以4=4（2）由（1）可知cosα=12，且α根据三角函数定义可得：fθ因为fθ−π6因此θ+π6所以cos==1536．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）解答下列问题：(1)计算sin−(2)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线2x−y=0上，求sinπ【解题思路】（1）根据诱导公式和特殊角的三角函数值求解；（2）根据题意可知tanα=2【解答过程】（1）sin==（2）根据题意可知tanα=2所以sin=−题型10题型10三角函数的参数问题

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示37．（23-24高一下·湖北恩施·期末）已知函数fx(1)若f5π6(2)若fx在区间0,π3上的值域为1,2【解题思路】（1）根据条件可知函数关于点5π6（2）首先求ωx+π6的范围，再根据三角函数的图象和性质，即可列不等式求【解答过程】（1）因为f5π所以fx的图象关于点5π则ω⋅5π解得ω=−1又ω>0，故当k=1时，ω取得最小值1．（2）当x∈0,π3因为函数fx在区间0,π3上的值域为1,2解得：1≤ω≤2．所以ω的取值范围为1,2．38．（23-24高一下·辽宁·期中）已知函数fx(1)当φ=π6时，函数fx在π(2)若fx的图象关于直线x=π4对称且f−π4=0，是否存在实数ω【解题思路】（1）由单调性可得2π（2）由对称性与单调性可得ω为正奇数且ω≤6【解答过程】（1）2π3−由题，ωx+π注意到，0<ω≤3时，ωπ则必有ωx+π只需2ωπ3+所以ω的取值范围为0,1（2）由题−π4ω+φ=k1π①，②－①得π2ω=k因为k1，k2∈Z，所以ω=2n+1因为fx在7π18,5π9上单调，所以5当ω=5时，−5π4因为φ≤π2，所以φ=令t=5x+π4∈gt在79π36故fx在7当ω=3时，−3π4因为φ≤π2，所以φ=−令t=3x−π4∈11π12,故fx在7当ω=1时，−π4+φ=k因为φ≤π2，所以φ=令t=x+π4∈23π36,故fx在7综上，存在实数ω，使得fx在7π1839．（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知函数fx=2(1)若fx的最小正周期为2π，求(2)若x=−π4是fx的零点，是否存在实数ω，使得fx在【解题思路】（1）由题意，利用正弦函数的周期性和对称性，求出ω和φ，可得函数的解析式；（2）由题意，利用正弦函数的对称性、单调性，求出ω的取值集合.【解答过程】（1）∵最小正周期为2π，则2πω∴ω=1，又∵函数fx=2则π4+φ=kπ+π2，且−π2<φ<故函数fx（2）①若x=−π4是fx的零点，由于f则π4−−π4②根据fx在7π18,5③由题意可得：fx的单调区间为12×故kπω+由①②③可得：ω=2n+1,故ω的取值集合为1,3．40．（2024·全国·模拟预测）已知函数fx(1)若fx的图象经过点A3π4,0，Bπ4,2，且点(2)若f0=−1，且fx在5π9【解题思路】（1）依题意可得函数fx的周期求出ω，又过点B取最值求φ（2）根据f0=−1求φ，由已知条件及正弦函数的性质求【解答过程】（1）依题意可知：T4=3π4又过点Bπ4,2，所以1×又φ≤π2，所以φ=（2）因为f0=2sinφ=−1，且φ≤又当x∈0,3π4时依题意：π<3π又fx在5π9依题意;若5π9ω−π6≥−π若5π9ω−π6≥π2π若5π9ω−综上ω的取值范围为149题型11题型11三角函数的图象与性质的综合应用

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示41．（23-24高一下·辽宁辽阳·期末）已知函数fx=sin(1)求ω的值；(2)求fx(3)若x∈0,m,fx的值域是1,【解题思路】（1）代入最大值点化简函数即可求参；（2）应用正弦函数的单调增区间求解即可；（3）化简得出正弦函数的值域进而确定自变量的取值范围.【解答过程】（1）因为fx=sin可得fπ所以ω=1+6k,k∈Z所以ω=1.（2）x+fx=sin（3）因为x∈0,m又因为fx所以π2≤π42．（23-24高一下·河南南阳·期中）已知fx=sinωx+φω>0,φ<π2在π(1)求fx(2)若函数gx=fx−mm∈R在x∈0,π【解题思路】（1）根据函数的对称性求周期求参，再根据最值求参即可得出解析式；（2）根据零点结合对称性得出参数值，再应用解析式求函数值.【解答过程】（1）由题对任意x∈R，都有fx≤f5π因为fx在π6,5π所以T4=5π又因为函数fx在x=5π12时取得最大值，所以即φ=−π3+2kπ，k∈Z所以：fx（2）因为x∈0,π2，令y=sint在

由题函数gx=fx−m在x∈0,即y=sint与y=m在−π3,数形结合可得：32≤m<1，t1所以fx43．（23-24高一下·江苏·开学考试）已知f(x)=2sin(x+φ)(φ∈(−π2,(1)求φ的值：(2)已知g(x)=2sin(x+φ2)，若对任意x∈[【解题思路】（1）由f(π3−x)=f(x)可得函数f(x)的图象关于直线x=（2）由（1）求出f(x),g(x)，再变形给定的不等式，换元分离参数得a<2【解答过程】（1）对任意x∈R都有f(π3−x)=f(x)，则函数于是π6+φ=π2+2k所以φ=π（2）由（1）知，g(x)=2sin(x+πf(x)=2sin(x+π当x∈[π6,π]时，x−π显然g(−x)=−2t,[f(x)]不等式ag(−x)−f依题意，∀t∈[0,1]，不等式a<显然t+1∈[1,2]，2≥22(t+1)⋅6t+1−4=43−4，当且仅当所以实数a的取值范围是a<4344．（24-25高二上·山东日照·开学考试）设a为常数，函数f(x)=−2sin(1)当a=1时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在区间(0,π)上有两个不同的零点，求实数(3)当−1≤a≤1时，设n为正整数，f(x)在区间(0,nπ)上恰有2024个零点，求所有可能的正整数【解题思路】（1）利用换元法结合三角函数值域，由二次函数性质即可得出函数f(x)的值域；（2）根据零点个数可得函数g(t)=−2t2−at+1在0,1（3）由二次函数根的个数及其符号并对参数a的取值范围分类讨论，利用三角函数图象性质可得不同区间内的零点个数，即可得出结果.【解答过程】（1）由题意f(x)=−2sin令t=sinx,t∈[−1,1]，则当a=1时，g(t)=−2t所以当t=−14时，g(t)取最大值当t=1时，g(t)取最小值−2，所以f(x)的值域为−2,9（2）由题意函数f(x)在区间(0,π即函数g(t)=−2t2−at+1在0,1由零点存在性定理，只需g(1)=−a−1<0，得a>−1；所以实数a的取值范围为−1,+∞（3）因为Δ=a2+8>0，所以g(t)=−2又t1⋅当a=1时，得t1=−1,t2=由三角函数图象性质可知f(x)在(0,2kπ)（k为正整数）内零点个数为3k，在(0,(2k+1)π因为2024=3×674+2，所以n=674×2+1=1349；当a=−1时，t1=−12,t2在(0,(2k+1)π)内零点个数为3k+1，若3k+1=2024，此时不存在当−1<a<1时，则−1<t1<0,0<t2<1，f(x)在因为2024=2×1012，所以n=k=1012；综上n的所有可能值为1012，1349．题型12题型12三角恒等变换的综合应用

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示45．（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知0<β<π2<α<(1)求cosβ+(2)求sinα−7【解题思路】（1）根据已知，可求出π4<α−π4<3π4，π2（2）将sinα转化sinα−π4+π4【解答过程】（1）因为π2<α<π，所以π所以sinα−因为0<β<π2<α<又sinα+β=4所以cos==−3（2）由题意知sin=2又π2<α<π，所以cos所以sinα−746．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知α,β为锐角，且sin2(1)求2sin(2)若cosα+β=1【解题思路】（1）利用诱导公式，结合同角的三角函数关系式进行化简即可；（2）根据（1）的结论，结合两角差的正弦公式进行求解即可.【解答过程】（1）∵sin∴cos∵sin又α为锐角，∴sin∴2sinα+cos（2）由（1）可知sinα=∵cosα+β=∴sin∴==1247．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知π4≤α≤π2，π≤β≤(1)求5sin(2)求角β−α的值.【解题思路】（1）利用二倍角公式、诱导公式化简，再利用商数关系化为关于tanα的式子，再由二倍解公式，同角关系式对已知条件变形求得tan（2）确定α+β的范围，求得sin(α+β)，然后利用(a+β)−2α=β−α，结合两角差的正弦公式求得sin【解答过程】（1）由5=又因为sin2α=45，所以sin解得tanα=2或tanα=12，由于∴原式=−11.（2）又由π≤β≤3π2知则sin(α+β)=−由sin(β−α)=sin[(α+β)−2α]=又因π2≤β−α≤548．（24-25高三上·江苏淮安·开学考试）已知α∈(0,π(1)若cos2β+cosβ=0，sin(2)证明：tanα+β【解题思路】（1）根据二倍角公式求得β，利用平方的方法求得sinα，利用同角三角函数的基本关系式求得cosα，进而求得（2）利用分析法，结合三角恒等变换的知识证得不等式成立.【解答过程】（1）∵cos∵β∈(0,π∵sin∵α∈(0,π∴cos（2）要证tanα+β即证sinα+β即证sinα+β∵α∈(0,即证1cos即证cos2即证1+cos即证1≥cos题型13题型13由部分图象求函数的解析式49．（24-25高三上·北京·期中）设fx=Asinωxcosφ+Acosωxsin

(1)求A，φ；(2)再从以下三个条件中任选其一，使函数fx唯一确定，并求f条件①：MN=5条件②：OM=条件③：f5【解题思路】（1）先化简fx，根据图象的最高点确定出A的值，再根据图像过点0,1求解出φ（2）若选①：根据条件确定出T2的值，则ω的值可求，再根据单调递增区间的公式求解出结果；若选②：根据条件先求出M的坐标，代入fx解析式中可求ω的值，再根据单调递增区间的公式求解出结果；若选③：根据条件得到ω的表示，再根据ω的范围确定出【解答过程】（1）fx由图象可知，A=2，所以fx因为fx=2sin所以1=2sinφ，所以又0<φ<π2，解得综上所述，A=2，φ=π（2）选择条件①：因为MN=5⇔所以T2故fx令−π2+2k有−2+6k≤x≤1+6k，k∈Z，所以fx单调递增区间为−2+6k,1+6k，k∈Z选择条件②：因为OM=所以2=2sinω+π由0<ω<π2，解得故fx令−π2+2k有−2+6k≤x≤1+6k，k∈Z，所以fx单调递增区间为−2+6k,1+6k，k∈Z选择条件③：因为f52=0⇔由0<ω<π2，解得故fx令−π2+2k有−2+6k≤x≤1+6k，k∈Z，所以fx单调递增区间为−2+6k,1+6k，k∈Z50．（24-25高三上·山东青岛·期中）已知函数f(x)=2(1)求函数f(x)的解析，并求出f(x)在0,π(2)若将函数f(x)的图象向右平移θ(θ>0)个单位后所得曲线关于y轴对称.求θ的最小值.【解题思路】（1）代入两点，建立方程，根据ω>0, φ<（2）根据题意得到平移后的函数解析式，结合函数的对称性，得到θ=−3π8−kπ【解答过程】（1）由f(π4)=1又点(π4,1)由f(5π8)=0且上升、下降的两段图象相邻，得5π8联立解得ω=2，φ=−π而|φ|<π2，于是φ=−π当x∈0,π2时，2x−即f(x)在0, π2（2）令将函数f(x)的图象向右平移θ(θ>0)个单位后得到g(x)的图象所以gx由题意g(x)的图象曲线关于y轴对称，即g(x)为偶函数，所以−2θ−π4=因为θ>0，所以当k=−1时，θ取得最小值π851．（24-25高三上·天津河西·期中）已知函数fx

(1)求函数fx(2)若将fx的图象向左平移π3个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短到原来的12（i）求gx的解析式及g（ii）求gx在0,【解题思路】（1）由图可知A=2，34T=5π12+π3，求出周期，再利用周期公式可求出（2）（i）根据三角函数图象变换规律求出gx，进而可求gπ3；（ii）由0,【解答过程】（1）由图可知，A=2，34T=5π12将点5π12,0代入fx=2又φ<π2所以fx（2）（i）将fx的图象向左平移π得y=2cos再将所得图象的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得y=2所以gx所以gπ（ii）因为x∈0,π6，所以0≤4x≤所以cosπ≤所以−1≤cos所以−2≤cos故gx在0,π652．（24-25高三上·辽宁丹东·期中）已知函数f(x)=2cos(1)求f(x)的解析式；(2)若将f(x)图象上每一点的横坐标缩小到原来的12倍，得到函数g(x)，求g(x)在[【解题思路】（1）根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出f(x)的解析式.（2）由（1）的结论，求出函数g(x)，再利用余弦函数的性质求出值域.【解答过程】（1）观察图象知，函数f(x)的最小正周期T=43(由f(13π12)=2，得2×13所以f(x)的解析式是f(x)=2cos（2）由（1）知，f(x)=2cos(2x−π当x∈[π12,π3]，则4x−π因此当4x−π6=π，即x=7π24时，g所以g(x)在[π12,题型14题型14函数y=Asin(ωx+φ)与三角恒等变换的综合应用53．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数f(x)=cos(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)若把y=f(x)的图像先向右平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到y=g(x)的图像，则当x∈[0,2π]时，求使得g(x)=2【解题思路】（1）先根据二倍角公式、辅助角公式化简f(x)=2sin（2）先根据平移的规则求得g(x)=2sin【解答过程】（1）因为f(x)==3所以函数f(x)的最小正周期为T=2令−π2+2k即−π3+k所以函数f(x)的单调递增区间为−π3+k（2）由题意，g(x)=2sin因为x∈[0,2π]，所以由g(x)=2sin2x−π所以2x−π6=π6或5π即x=π6或π2或7π所以x∈π54．（24-25高三上·北京顺义·阶段练习）已知函数fx(1)求函数fx(2)若函数fx向左平移φφ>0个单位后，所得函数gx（ⅰ）求φ的最小值；（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若函数y=gx−mm∈R在区间【解题思路】（1）由三角恒等变换得f(x)=2sin（2）（ⅰ）由题意可得gx=f(x+φ)=2sin(2x+2φ−π（ⅱ）将（ⅰ）中φ值代入，求出函数gx在0,【解答过程】（1）解：因为f=4=2==2sin所以T=2由2kπ解得kπ所以函数的单调递增区间为：[kπ（2）解：（ⅰ）由题意可得gx又因为gx的图象关于x=所以2×π解得φ=k又因为φ>0，所以当k=0时，φmin（ⅱ）令y=gx−m=0，则即y=gx的图象与直线y=m在0,又因为φ=5所以gx=因为x∈0,11π所以sin(2x+π4即g(x)∈[−1,2]，所以m∈[−1,2].55．（24-25高三上·河南·期中）已知函数fx=sinπ2(1)求ω的值及fx(2)将fx图象上的所有点的横坐标向右平移π4个单位长度（纵坐标不变），再向上平移34个单位长度，再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数gx的图象，若函数ℎx【解题思路】（1）先利用诱导公式、正弦的和角公式、二倍角公式及辅助角公式化简函数式，再根据三角函数的图象与性质计算即可；（2）根据三角函数图象的变换求出gx【解答过程】（1）由f==1因为fx图象的一个对称中心到与其相邻的对称轴的距离为π所以其最小正周期为T=4×π则fx令−π解之得x∈−（2）由题意可知将fx图象上的所有点的横坐标向右平移π再向上平移34个单位长度可得y=再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数gx当x∈π6,令t=gx，则条件可化为1−2m=2t2易知y=2t2−3t在0,易知y=2t则1−2m∈−9856．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)+1−2(1)求f(x)的解析式；(2)将函数f(x)的图象向右平移π3个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数y=g(x)的图象，当x∈[−π【解题思路】（1）利用三角恒等变换将函数f(x)化简得f(x)=2sin(ωx+φ−π（2）由三角函数图象变换得g(x)=2sin【解答过程】（1）依题意，函数f(x)=3由函数f(x)为奇函数，得φ−π6=kπ,k∈Z，又φ∈(0,由函数f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为π，得f(x)的周期T=2πω所以函数f(x)的解析式是f(x)=2sin（2）将函数f(x)的图象向右平移π3个单位长度，得y=2再把横坐标缩小为原来的12，得到函数g(x)=2由方程g2(x)+33⋅g(x)+6=0，即sin(2x−π3)=−32，当x∈[−π4,π]时，即原方程有四个实数根，不妨设为x1因此2x解得x1+x题型15题型15三角函数的应用57．（24-25高三上·山东济宁·期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，某摩天轮最高点距离地面高度为100m，转盘直径为90m，均匀设置了依次标号为1～48号的48个座舱．开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动tmin后距离地面的高度为H

(1)求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；(2)若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度