2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷§13.3.1 角的平分线的性质(含答案)-

2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷§13.3.1角的平分线的性质(含答案)-13.3.1角的平分线的性质知识要点1．角的平分线的性质：定理1．在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．定理2．到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上．2．三角形的三条角平分线交于三角形内一点，并且这个点到三角形三边的距离相等．典型例题例：三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什么吗？分析：我们知道两条直线是交于一点的，因此可以想办法证明第三条角平分线通过前两条角平分线的交点．已知：如图，△ABC的角平分线AD与BE交于点I，求证：点I在∠ACB的平分线上．证明：过点I作IH⊥AB、IG⊥AC、IF⊥BC，垂足分别是点H、G、F．∵点I在∠BAC的角平分线AD上，且IH⊥AB、IG⊥AC∴IH=IG（角平分线上的点到角的两边距离相等）同理IH=IF∴IG=IF（等量代换）又IG⊥AC、IF⊥BC∴点I在∠ACB的平分线上（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）即：三角形的三条角平分线交于一点．同步练习（第一课时）一、选择题1．下列说法：①角的内部任意一点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；③角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等；④△ABC中∠BAC的平分线上任意一点到三角形的三边的距离相等，其中正确的（）A．1个B．2个C．3个D．4个2.已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E,且DE=3cm,则点D到AC的距离是()A.2cm;B.3cm;C.4cm;D.6cm3．如图1，已知CE、CF分别是△ABC的内角和外角平分线，则图中与∠BCE互余的角有（）A．4个B．3个C．2个D．1个4．如图2，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，则下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P是∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分线的交点，其中正确的是（）A．①②③④B．①②③C．④D．②③（1）(2)(3)二、填空题5．用直尺和圆规平分已知角的依据是______________．6．角的平分线上的点到_______________相等；到___________________________相等的点在这个角的平分线上．7．如图3，AB∥CD，AP、CP分别平分∠BAC和∠ACD，PE⊥AC于E，且PE=2cm，则AB与CD之间的距离是___________．三、解题题8．请你画一个角，并用直尺和圆规把这个角两等分．9．如图，四边形ABCD中AB=AD，CB=CD，点P是对角线AC上一点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，求证PE=PF．10．如图，四边形ABCD中AB=AD，AB⊥BC，AD⊥CD，P是对角线AC上一点，求证：PB=PC．11．如图，已知CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD交BE于点O．①若OC=OB，求证：点O在∠BAC的平分线上．②若点O在∠BAC的平分线上，求证：OC=OB．答案:1．B2．B3．C4．A5．SSS6．角的两边的距离；角的两边的距离7.4cm8．略9．证明AC平分∠BCD10．先证Rt△ABC≌Rt△ADC，再证△APB≌△APD11．①证明△COE≌△BOD得到OE=OD；②先由角平分线的性质证明OE=OD，再证明△COE≌△BOD§13.3.2角的平分线的性质（第二课时）一、选择题1．如图1，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，则下列结论：①∠3=∠4；②∠1=∠2；③∠5=∠6；④AC垂直且平分BD，其中正确的有（）A．①②③④B．①②③C．①③D．①③④(1)(2)(3)2．如图2，三条公路两两交于点A、B、C，现要修一个货物中转站，要求到三条公路距离相等，则可供选择的地址有（）A．一处B．二处C．三处D．四处二、填空题3．三角形内一点到三角形的三边的距离相等，则这个点是三角形_________的交点．4．△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，且BD：CD=3：2，BC=15cm，则点D到AB的距离是__________．三、解题题5．如图3,在一次军事演习中，红方侦察员发现蓝方指挥部设在S区内，到公路和铁路的距离相等，且离公路和铁路的交叉处800米．如果你是红方的指挥员，请你在如图所示的作战地图中标出蓝方指挥部的位置（比例尺1：2000）．6．如图，已知点P是△ABC中BC边的中点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．①当PD=PE时，求证：AB=AC;②当AB=AC时，求证：PD=PE。7．如图，BE和CD是△ABC的两条高，在BE上截取BF=CA，延长CD至点H，使HC=AB．求证：①AF=AH；②AF⊥AH。8．如图，PB和PC是△ABC的两条外角平分线。①求证：∠BPC=90°-∠BAC.②根据第①问的结论猜想：三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？答案:1．D2．D3．三条角平分线4．6cm5．略6．①连接AP，证明AD=AE和BD=CE；②证明AP平分∠BAC7．证明△ABF≌△HCA8．①略；②锐角三角形§13.4探究与整理知识要点本章主要内容是三角形全等的判定和应用．1．全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．2．三角形全等的条件：（1）一般三角形：①三边对应相等（SSS）；②两边和夹角对应相等（SAS）；③两角和一条边对应相等（ASA或AAS）．（2）直角三角形：除一般三角形的判定方法外，另外：斜边和一条直角边对应相等（HL）．3．角平分线性质定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．角平分线判定定理：到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．典型例题例：如图，已知△ABC中∠BAC=90°，AB=AC，CD垂直于∠ABC的平分线BD于D，BD交AC于E，求证：BE=2CD．分析：要证BE=2CD，想到要构造等于2CD的线段，结合角平分线，利用翻折的方法把△CBD沿BD翻折，使BC重叠到BA所在的直线上，即构造全等三角形（△BCD≌△BFD），然后证明BE和CF（2CD）所在的三角形全等．证明：延长BA、CD交于点F∵BD⊥CF（已知）∴∠BDC=∠BDF=90°（垂直的定义）∵BD平分∠ABC（已知）∴∠1=∠2（角平分线的定义）在△BCD和△BFD中∴△BCD≌△BFD（ASA）∴CD=FD（全等三角形的对应边相等）即CF=2CD∵∠5=∠4=90°，∠BDF=90°∴∠3+∠F=90°，∠1+∠F=90°（直角三角形两锐角互余）∴∠1=∠3（同角的余角相等）在△ABE和△ACF中∴△ABE≌△ACF（ASA）∴BE=CF（全等三角形对应边相等）∴BE=2CD（等量代换）同步练习一、选择题1．到三角形三边的距离相等的点是三角形（）A．三条边上的高的交点B．三个内角平分线的交点C．三边上的中线的交点D．以上结论都不对2．如图1，△ABC中，AC⊥CB，CD平分∠ACB，点E在AC上，且CE=CB，则下列结论：①CD平分∠BDE；②BD=DE；③∠B=∠CED；④∠A+∠CED=90°．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个（1）(2)(3)(4)3．如图2，已知点D是△ABC中AC边一点，点E在AB延长线上，且△ABC≌△DBE，∠BDA=∠A．若∠A：∠C=5：3，则∠DBE的度数是（）A．100°B．80°C．60°D．120°二、填空题4．△ABC中AB=AC，点D是∠BAC平分线上一点，且BD=2cm，则点D与点C之间的距离是___________．5．如图3，∠ABC=∠ADC=90°，要证明△ABC≌△ADC，可补充条件___________或____________（填写两组适合的条件即可）．6．如图4，△DEF由△ABC沿直线BC平移而得到的，则AB=______，CF=_______，∠A=_______．三、解题题7．如图，D、E是△ABC中AB、AC边上的点，且AD=AE，∠1=∠2，求证BD=CE．8．如图，已知AB⊥AC于A，BD⊥DC于D，要想得到AC=BD，你认为需要补充什么条件？请说明你的理由．9．如图，A、B两点分别位于池塘两侧，小亮用下面的方法测量A、B之间的距离：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的C点，连接AC、BC，并分别延长至D、E两点，使DC=AC，EC=BC．那么量出DE的长就是A、B间的距离．请说明一下这样做的道理．10．如图1，AD是△ABC的角平分线，DE和DF分别是△ABD和△ACD的高，求证：AD垂直平分EF．答案:1．B2．D3．A4．2cm5．AB=AD；∠BAC=∠DAC6．DE；BE；∠D7．先证△ABE≌△ACD得到AB=AC，再用等式性质证明BD=CE8．比如：AB=DC或∠ABC=∠DCB或∠ACB=∠DBC9．证△ABC≌△DEC10．证△AEH≌△AFH达标训练一、基础·巩固·达标1.角平分线上的点________.反过来，到角两边距离相等的点在________.2.如图13-3-13，若点P在∠AOB的平分线上，若应用角平分线的性质可得PA＝PB，则必须添加的条件是________.图13-3-13图13-3-143.如图13-3-14，已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB，作法的合理顺序为（）①作射线OC②在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD＝OE③分别以D、E为圆心，大于12DC为半径作弧，两弧交于∠AOB内一点CA.①②③B.②①③C.②③①D.③②①4.如图13-3-15，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）图13-3-15A.一处B.两处C.三处D.四处5.到三角形三边的距离相等的点是（）A.三角形三条高的交点B.三角形三条中线的交点C.三角形三条角平分线的交点D.不存在这个点二、综合·应用·创新6.已知：如图13316，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，若BC＝21cm，且CD∶BD=4∶3.求点D到AB的距离.图13-3-16.7.(用尺规作图，不写作法，只保留作图痕迹)在一次军事演习中，红方侦察员发现蓝方指挥部设在如图13-3-17所示A区内，到公路、铁路的距离相等，且离公路与铁路交叉处B点700m，如果你是红方的指挥员，请你在所示的作战图上标出蓝方指挥部的位置.图13-3-178.在学习“角的平分线”的课堂上，张老师要求同学们练习一道题，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC是∠ABC的平分线.在同学们忙于画图和分析题目时，小明忽然兴奋地大声说：“我有个发现！”原来他感到自己创造了一个在直角三角形中画锐角的平分线的方法，他的方法是这样的：如图13-3-18，在AB上取点E，使BE=BC，然后画DE⊥AB交AC于点D，那么BD就是∠ABC的平分线.有的同学对小明的画法表示怀疑，你认为他的画法对不对，请说明理由.图13-3-189.如图13-3-19，△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上一点，过点P作PE∥AB交BC于E，点F在BC上，连结PF，已知D到PE的距离与D到PF的距离相等.求证：PF∥AC.图13-3-1910.（1）如图13-3-20，AC为∠BAD的平分线，AD＝AE.把△DAC沿AC翻折180°，请结合图形填空：①△DAC______△EAC;②DC与CE的大小关系是____________;③∠D与∠CEB的关系是____________.（2）用你得到的结论解决下面的问题：在四边形ABCD中，已知AB＝a，AD＝b，且BC＝DC，对角线AC平分∠BAD.问a与b大小符合什么条件时，有∠D＋∠B＝180°?请画图并证明你的结论.图13-3-20三、回顾·热身·展望11.浙江宁波模拟如图13-3-21，△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠ACB；过点A作GE∥BC，角平分线BD、CF相交于点H，它们的延长线分别交GE于点E、G.试在图中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明.图13-3-21参考答案一、基础·巩固·达标1.角平分线上的点________.反过来，到角两边距离相等的点在________.答案：到角两边的距离相等在角的平分线上2.如图13-3-13，若点P在∠AOB的平分线上，若应用角平分线的性质可得PA＝PB，则必须添加的条件是________.图13-3-13图13-3-14思路解析：应用角平分线的性质时，一定注意“点到直线的距离”这个条件.答案：PA⊥OA于A，PB⊥OB于B3.如图13-3-14，已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB，作法的合理顺序为（）①作射线OC②在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD＝OE③分别以D、E为圆心，大于12DC为半径作弧，两弧交于∠AOB内一点CA.①②③B.②①③C.②③①D.③②①思路解析：作已知角的平分线是几何基本作图之一.答案：C4.如图13-3-15，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）图13-3-15A.一处B.两处C.三处D.四处思路解析：外角平分线与不相邻内角平分线的交点到三条直线的距离也相等.答案：D5.到三角形三边的距离相等的点是（）A.三角形三条高的交点B.三角形三条中线的交点C.三角形三条角平分线的交点D.不存在这个点答案：C二、综合·应用·创新6.已知：如图13316，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，若BC＝21cm，且CD∶BD=4∶3.求点D到AB的距离.图13-3-16.思路解析：点D到AB的距离和DC的长实际就是角平分线上的点到角两边的距离.过D作DE⊥AB于E，则DE=DC＝BC＝9cm.答案：9cm7.(用尺规作图，不写作法，只保留作图痕迹)在一次军事演习中，红方侦察员发现蓝方指挥部设在如图13-3-17所示A区内，到公路、铁路的距离相等，且离公路与铁路交叉处B点700m，如果你是红方的指挥员，请你在所示的作战图上标出蓝方指挥部的位置.图13-3-17答案：作A区所在公路与铁路夹角的角平分线BM，在BM上截取BN=3.5cm,则N点即为所求.8.在学习“角的平分线”的课堂上，张老师要求同学们练习一道题，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC是∠ABC的平分线.在同学们忙于画图和分析题目时，小明忽然兴奋地大声说：“我有个发现！”原来他感到自己创造了一个在直角三角形中画锐角的平分线的方法，他的方法是这样的：如图13-3-18，在AB上取点E，使BE=BC，然后画DE⊥AB交AC于点D，那么BD就是∠ABC的平分线.有的同学对小明的画法表示怀疑，你认为他的画法对不对，请说明理由.图13-3-18思路解析：因为DE、DC分别是点D到∠ABC两边的距离，可考虑证明DC=DE，从而判断出点D在∠ABC的平分线上.解：小明的画法正确.∵∠C＝∠DEB＝90°,又∵BC=BE,BD=BD,∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL）.∴DC=DE.∴BD平分∠ABC.9.如图13-3-19，△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上一点，过点P作PE∥AB交BC于E，点F在BC上，连结PF，已知D到PE的距离与D到PF的距离相等.求证：PF∥AC.图13-3-19思路解析：证明线段平行常用的方法是证明同位角相等或者内错角相等.根据题意知道点D在∠EPF的平分线上，点D在∠BAC的平分线上，由平行的性质还知道∠EPD=∠BAD，用“等量代换”即可得到∠FPD=∠CAD.证明：∵D到PE的距离等于D到PE的距离,∴点D在∠EPF的平分线上.∴∠EPD=∠FPD.又∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.∵PE∥AB,∴∠EPD=∠BAD.∴∠FPD=∠CAD.∴PF∥AC.10.（1）如图13-3-20，AC为∠BAD的平