工程力学 第5版 课件 第11章 应力状态和强度理论

第十一章应力状态和强度理论本章简述应力状态的概念，重点讨论平面应力状态及其求解的解析法和应力圆方法。本章还将介绍广义胡克定律、讨论强度理论及其应用。第十一章应力状态和强度理论11.1应力状态的概念11.2平面应力状态分析11.3三向应力状态和广义胡克定律11.4强度理论简介11.5应变电测简介第十一章应力状态和强度理论11.1应力状态的概念第十一章应力状态和强度理论11.1应力状态的概念受力构件在同一截面上的不同的点，应力一般不相同。即使是同一个点，若截取的截面方位不同，其应力也不相同。轴向拉伸或压缩构件任意一点处截面上的应力随着截面方位变化。低碳钢在单向拉伸状态下沿45°斜截面滑移而产生屈服，它与45°斜截面上的切应力最大有关。而铸铁在纯剪切情况下沿着45°斜截面断裂，就与该方向的截面上存在最大拉应力有关。从以上可知，讨论一点的应力，需要明确哪个截面上的哪个点，以及哪一个点的哪个方位。过一点不同方向面上的应力的集合，称为一点的应力状态。11.1应力状态的概念应力的点的概念考虑中性层上的点A正应力等于0，切应力最大考虑梁边缘上的点B

同一面上不同点的应力各不相同11.1应力状态的概念应力的面的概念

即使同一点在不同方位截面上，它的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。11.1应力状态的概念应力哪一个面上？

哪一点？哪一点？

哪个方向面？指明过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态。11.1应力状态的概念单元体

为了分析受力构件内一点处的应力状态，可围绕该点截取各边长均为无穷小的正六面体，称为单元体。微元单元体(1)在它的每个面上，应力都是均匀的(2)单元体相互平行的截面上，应力都是相同的，且都等于通过所研究的点的平行面上的应力。因此，单元体的应力状态就可以代表一点的应力状态。11.1应力状态的概念主单元体、主应力与主平面

主单元体各侧面上切应力均为零的单元体。

主平面切应力为零的截面。

主应力主平面上的正应力。

主应力排列规定：按代数值大小，11.1应力状态的概念主单元体、主应力与主平面主应力排列规定：按代数值大小，若11.1应力状态的概念单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态三个主应力中仅有一个主应力不为零

单向应力状态11.1应力状态的概念单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态三个主应力中仅有一个主应力为零

二向（平面）应力状态纯剪切应力状态11.1应力状态的概念单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态三个主应力均不为零

三向（空间）应力状态11.2平面应力状态分析第十一章应力状态和强度理论11.2平面应力状态分析斜截面上的应力正应力只有一个下标，表示正应力的方向，例如sx表示是作用在垂直于x的面上，沿着x

方向作用的正应力。切应力有两个下标，第一个下标表示作用面垂直于哪个坐标轴，第二个下标表示作用方向沿着哪个坐标轴。

例如txy是垂直于x

轴的面上而沿着y轴方向作用的切应力。11.2平面应力状态分析斜截面上的应力关于应力的正负约定材料力学约定：(1)正应力以拉应力为正，压应力为负；(2)切应力对单元体内任一点取矩，顺时针转向为正，反之为负。图中各应力皆为正11.2平面应力状态分析斜截面上的应力通过截面外法线的方位定义截面的位置11.2平面应力状态分析斜截面上的应力通过截面外法线的方位定义截面的位置11.2平面应力状态分析斜截面上的应力根据切应力互等,txy和tyx在数值上相等，化简得11.2平面应力状态分析应力圆两式取平方和若以sa，ta

为变量，则为圆方程圆心:半径:

圆周上的每一个点的横纵座标分别代表所研究的单元体某截面的正应力和切应力，故称应力圆，或摩尔圆。应力圆的概念11.2平面应力状态分析应力圆ChristianOttoMohr(1835-1918)Mohr1835年生于德国北海岸的Wesselburen，16岁入Hannover技术学院学习。他是19世纪欧洲最杰出的土木工程师之一。与此同时，Mohr也一直在进行力学和材料强度方面的理论研究工作。

Mohr出版过一本教科书并发表了大量的结构及强度材料理论方面的研究论文，其中相当一部分是关于用图解法求解一些特定问题的。他提出了用应力圆表示一点应力的方法（所以应力圆也被成为Mohr圆），并将其扩展到三维问题。Mohr对结构理论也有重要的贡献，如计算梁挠度的图乘法、应用虚位移原理计算超静定结构的位移等。11.2平面应力状态分析应力圆应力圆的作法1.确定点D(sx,txy)2.确定点D'(sy,tyx)tyx=－txy3.连接DD'与s

轴交于点C4.以C为圆心，CD（CD'）为半径画圆。11.2平面应力状态分析应力圆应力圆的作法圆心:半径:11.2平面应力状态分析应力圆利用应力圆求斜截面上的应力D点代表的是以x轴为斜面外法线的面上的应力（2倍角关系）11.2平面应力状态分析主应力和极值切应力注意A1,A2两点这两点的切应力为0

主应力11.2平面应力状态分析主应力和极值切应力

通过上式可以求出相差p/2的两个角度a0，它们确定两个相互垂直的面，其中一个是极大正应力所在的平面，另一个是极小正应力所在平面。11.2平面应力状态分析主应力和极值切应力结论:1)切应力为

0

的平面上，正应力为极大或极小值；2)切应力为0的平面是主平面，主平面上的正应力是主应力，所以主应力就是极大或者极小的正应力。11.2平面应力状态分析主应力和极值切应力极值切应力注意G1,G2两点这两点的切应力为极值在二向应力状态平面内的单元体的切应力最大值切应力极值所在的方位和主应力所在的方位成45°角11.2平面应力状态分析特殊应力圆单向应力状态下的应力圆:11.2平面应力状态分析特殊应力圆纯剪切应力状态的应力圆:11.2平面应力状态分析特殊应力圆二向等拉（压）应力状态下的应力圆11.2平面应力状态分析【例题】用图解法求如图所示单元体斜截面上的正应力和切应力(应力单位MPa)11.2平面应力状态分析【解答】确定比例尺按比例尺量得11.2平面应力状态分析【例题】用图解法求如图所示单元体主应力的大小和方向以及极值切应力

(应力单位MPa)11.2平面应力状态分析比例尺11.2平面应力状态分析【例题】

圆轴扭转如图所示，计算截面周边点A的主应力大小和方向。11.2平面应力状态分析【解答】纯剪切状态，其应力圆11.2平面应力状态分析【解答】

圆截面铸铁试件扭转时，表面各点smax所在平面联成倾角为45°的螺旋面。由于铸铁抗拉强度较低，试件将沿这一螺旋面因拉伸而发生断裂破坏。11.3三向应力状态与广义胡克定律第十一章应力状态和强度理论11.3三向应力状态与广义胡克定律平行于s1的截面平行于s2的截面平行于s3的截面三组特殊截面的应力状态11.3三向应力状态与广义胡克定律三向应力圆与最大切应力(1)三组特殊截面上的应力都落在相应的应力圆圆周上。(2)对于不平行于任一主应力的任意截面，其截面上的应力都落在三个应力圆之间的部分(图示绿色区域)11.3三向应力状态与广义胡克定律三向应力圆与最大切应力最大切应力对于平行于主应力s1的截面对于平行于主应力s3的截面可见，最大切应力tmax作用面与s2平行对于平行于主应力s2的截面11.3三向应力状态与广义胡克定律广义胡克定律一般应力状态下的线应变和切应变单向拉压,线弹性范围内的应力应变关系同时引起的横向应变:纯剪切,线弹性情况下:11.3三向应力状态与广义胡克定律广义胡克定律=++++11.3三向应力状态与广义胡克定律广义胡克定律

利用同样的方法可以求得y和z方向上的线应变。最后可得:切应变和切应力之间，

与正应力无关，因此:以上被称为一般应力状态下的广义胡克定律。11.3三向应力状态与广义胡克定律广义胡克定律主应力状态下的线应变

对于单元体的面皆为主平面的应力状态，三个主应力方向上的线应变为：e1、e2、e3为主应变。主应变和主应力的方向是重合的。11.4强度理论第十一章应力状态和强度理论11.4强度理论强度理论的概念

当构件的应力达到材料的某一极限状态时将会引起构件的破坏。对于单向应力状态（如轴向拉伸、压缩），极限应力完全可以通过简单的拉伸、压缩试验来测定。对于复杂的应力状态，如三向应力状态，三个主应力之间的比值有无穷多种组合，要对每一种组合情况都由试验来确定材料的极限应力状态，显然是不可能做到的。因此，有必要深入分析材料破坏的原因。经过长期的生产实践和试验研究，人们将材料的破坏归纳为脆性断裂和塑性屈服两种类型，并对每种类型的破坏原因都提出了相应的假说，称之为强度理论。11.4强度理论四种常见的强度理论断裂强度理论1.最大拉应力理论(第一强度理论)Lame,Rankin1858

此理论认为：材料脆性断裂的主要原因是由于最大拉应力引起的。断裂准则强度条件

铸铁等脆性材料，无论是在单向拉伸、扭转或双向、三向应力状态下，断裂都发生于拉应力最大的截面上，与这一理论相符。但这一理论没有考虑其它两个主应力对断裂的影响，对没有拉应力的状态（如单向、三向压缩等）也无法应用。11.4强度理论四种常见的强度理论2.最大拉应变理论(第二强度理论)Mariotte17世纪SaintVenant19世纪

此理论认为，无论什么应力状态，最大拉应变是引起材料断裂的主要因素。

拉应变的极限值，可由单向拉伸确定。设脆性材料在单向拉伸到断裂时，仍可用胡克定律计算应变强度条件最大拉应变断裂准则11.4强度理论四种常见的强度理论屈服强度理论1.最大切应力理论(第三强度理论)Tresca屈服准则1864

这一理论认为，无论什么应力状态，最大切应力是引起屈服破坏的主要因素。按照这一理论，当最大切应力tmax达到某一极限值tu时，材料就发生屈服。

三向应力状态的最大切应力：

最大切应力的极值可由单向应力状态确定强度条件屈服准则11.4强度理论四种常见的强度理论对于塑性材料,其破坏的主要形式为塑性屈服。1.最大切应力理论(第三强度理论)

这一强度理论可以较为满意地解释塑性材料的屈服现象，例如低碳钢拉伸屈服时，沿着与轴线成45°方向出现滑移线，而这一方向斜面上的切应力也是最大。由于这一理论形式简单，概念明确，且计算结果偏于安全，故在工程中广泛应用。但是这一强度理论没有考虑中间主应力s2

对屈服的影响。

11.4强度理论四种常见的强度理论2.形状改变应变能密度理论(第四强度理论)VonMises应力-1913年

这一理论认为，形状改变应变能密度是引起材料屈服的主要因素。

畸变能密度（形状改变变形能密度）

畸变能密度的极值可由单向应力状态确定11.4强度理论四种常见的强度理论2.畸变能密度理论(第四强度理论)强度条件屈服准则

化简得11.4强度理论四种常见的强度理论强度条件的统一形式11.4强度理论四种常见的强度理论

但是，必须指出材料的失效形式还与其所处的应力状态、强度等有关。例如，低碳钢在三向拉伸时，呈现脆性断裂，应用第一强度理论；铸铁在三向压缩时，呈现屈服，应用第三或第四强度理论。即无论是塑性或脆性材料，在三向拉应力相近的情况下，呈现断裂失效，应用第一强度理论；而在三向压应力相近的情况下，呈现屈服失效，应用第三或第四强度理论。因此，即使同一种材料，在不同的应力状态，也不能采用同一种强度理论。11.4强度理论四种常见的强度理论【例题】转轴边缘上某点的应力状态如图。用第三和第四强度理论建立其强度条件。11.4强度理论四种常见的强度理论【解答】通过应力状态分析，得到其三个主应力分别为求相当应力所以强度条件分别为(11-17)11.4强度理论四种常见的强度理论【例题】

如图所示工字型钢梁，F=210kN，许用应力[s]=160MPa，[t]=70MPa，截面高度h=250mm，宽度b=113mm，腹板与翼缘的厚度分别为t=10mm与d=13mm，截面的惯性矩Iz=5.25×10-5m4，试按第三强度理论校核梁的强度。11.4强度理论(1)画出内力图(2)最大弯曲正应力校核11.4强度理论(3)最大切应力校核11.4强度理论(4)在腹板和翼缘交界处(点a)的校核11.4强度理论(4)在腹板和翼缘交界处(点a)的校核单元体的应力状态主应力第三强度理论11.4强度理论复杂形状零部件的强度与刚度分析(11-17)一般力学模型单元体模型应力状态分析主单元体（主应力）失效分析脆性断裂材料屈服第一（第二）强度理论第三（第四）强度理论11.4强度理论复杂形状零部件的强度与刚度分析(11-17)现代有限元方法的工程应用11.4强度理论复杂形状零部件的强度与刚度分析(11-17)现代有限元方法的工程应用11.4强度理论复杂形状零部件的强度与刚度分析(11-17)现代有限元方法的工程应用11.4强度理论复杂形状零部件的强度与刚度分析(11-17)现代有限元方法的工程应用11.4强度理论复杂形状零部件的强度与刚度分析(11-17)现代有限元方法的工程应用结构优化技术尺寸优化形状优化拓扑优化11.4强度理论复杂形状零部件的强度与刚度分析(11-17)现代有限元方法的工程应用11.5应变电测简介第十一章应力状态和强度理论11.5应变电测简介实验应力分析概述(11-17)对工程中的实际构件进行应力分析时，理论分析方法往往都做了一定的简化，还需要通过实验对结果进行验证；有些工程问题难以直接进行理论分析，需要通过实验方法对实际结构或模型进行应力测定，再辅以理论分析来解决。这种通过实验来研究和分析构件应力大小及分布规律的方法，称为实验应力分析。常用的实验应力分析方法有电测法、光测法、全息光弹性法、云纹法和涂层法等。由于电测法具有灵敏度高、传感元件小和适应性强等优点，在工程中应用广泛，是工程技术人员常用的一种实验测量手段。11.5应变电测简介电测法的基本原理(11-17)1、应变电阻效应及电阻应变片金属丝的电阻公式:电阻电阻率金属丝长度金属丝截面积若该金属丝沿轴向伸长DL

，则电阻相应改变DR

，两者之间存在关系Ks被称为金属丝的灵敏系数。11.5应变电测简介电测法的基本原理(11-17)2、应变电阻原理

将金属丝绕成栅状以增大电阻值，这样制成的元件称为电阻应变片。常见的电阻应变片有丝绕式和箔式，并用康铜作为丝材。实测现场贴应变片11.5应变电测简介电测法的基本原理(11-17)3、电阻应变片测量电路

将电阻应变片牢固的粘贴在被测构件表面某一测点处，则随着构件沿应变片轴向发生变形，应变片电阻值也产生相应变化。测量该电阻值的改变量，可得测点处沿应变片方向的线应变值。由于测点的应变量较小，引起应变片和相应电阻的变化量也很小，通常采用桥式电路来测量。

R1R2R4R3若R1、R2为应变片，而R3、R4为标准电阻，称为半桥，若R1、R2、R3、R4均为应变片，则称为全桥。11.5应变电测简介电测法的基本原理(11-17)3、电阻应变片测量电路R1R2R4R3当电路满足关系：UBD=0

当某一个电阻发生变化，电桥失去平衡，UBD不为零。通过对其大小的分析，可以推算出相应的电阻变化量以及相应的线性变的大小。

具体请参考课程的实验指导书11.5应变电测简介电测法的基本原理(11-17)4、电阻应变仪

电阻应变仪的作用是将电阻应变片接入其电桥电路，将应变的变化信号转化为电压信号，经放大器放大后由检测仪器指示出应变数值的专用仪器。应变仪可按其频率响应范围及指示形式，分为静态、动态两大类。静态应变仪适用于测量不随时间变化或变化极缓慢的信号，对于要将数据信号记录下来的情形，一般需用动态应变仪将信号放大输出，并配上相应的记录仪器。11.5应变电测简介电测法的基本原理(11-17)11.5应变电测简介电测法的基本原理(11-17)5、电桥接法

在实际测量中，经常采用半桥接法，其中R1为被测点的应变片，R2为温度补偿片。温度补偿片是贴在与被测构件材料相同但不受力的试件上的应变片，该片是充当温度补偿电阻用的。在测量过程中，补偿片应放在被测构件附近，以保证当环境温度改变时，测量片和补偿片的电阻R1和R2将发生相同的变化而不至于影响电桥的平衡。R1R2R4R311.5应变电测简介电测法的基本原理(11-17)6、应变片的布置

1）当被测构件处于单向应力状态时，只需