最大角米勒角问题（学生版）-2024年中考数学二次函数压轴题

最大角米勒角问题

一、知识导航

【问题描述】

1471年，德国数学家米勒向诺德尔提出这样一个问题：

如图，点A、B直线/的同一侧，在直线/上取一点尸，使得/AP2最大，求尸点位置.

【问题铺垫】

圆外角：如图，像NAPB这样顶点在圆外，两边和圆相交的角叫圆外角.

相关结论：圆外角等于这个角所夹两条弧的度数差（大减小）的一半.

4口图，ZP=ZACB-ZPBC=AB~CD.

换句话说，对同一个圆而言，圆周角>圆外角.

【问题解决】

结论：当点尸不与A、B共线时，作△出^的外接圆，当圆与直线/相切时，NAPB最大.

证明：在直线/上任取一点M（不与点尸重合），连接AM、BM,

/AMB即为圆。的圆外角，

NAPB>/AMB,AAPB最大.

二当圆与直线/相切时，/AP8最大.

特别地，若点A、8与P分别在一个甭的两边，如下图，则有OP2=Q4-O3.(切割线定理)

证明：:NPOA=NBOP,NOB4=NO8P(弦切角定理)

.,.△AOPSAPOB,

,OAOP

•丽一砺’

OP2=OAOB.

即可通过0A、。8线段长确定。尸长，便知尸点位置.

二、典例精析

如图，在平面直角坐标系中，A(1,0)、B(5,0)直线/经过点C(-1,2),点P是直线/上的动点，若

/AP8的最大值为45°,求直线/的解析式.

【分析】

考虑到直线/未知但NAPB的最大值已知为45°,故构造圆.

记△A3P外接圆圆心为M点，则NAM3=2/AP3=90°,

故可确定Af点位置.

根据A(1,0)、B(5,0),不难求得M点坐标为(3,2),

连接MC、MP,考虑到圆M与直线CP相切，故MP^CP,△CPM是直角三角形.

\MC=4,MP=MA=2yf2,

:.CP=2垃,即△CPM是等腰直角三角形，

易求产点坐标为(1,4),

又C点坐标为(-1,2),

可求直线I的解析式为j=x+3.

三、中考真题演练

1.如图，抛物线》=以2+法+3与x轴交于A(-1,0)^B两点,与y轴交于点C,过点。作CD_Ly轴交抛

物线于另一点。，作。EJ_尤轴，垂足为点E,双曲线y=9(x>0)经过点。，BD.

(1)求抛物线的表达式；

(2)动点尸从点。出发，以每秒1个单位长度的速度沿0C方向运动，运动时间为r秒，当r为何值时,

ZBPD的度数最大？(请直接写出结果)

备用图

2.(2023・四川宜宾・中考真题)如图,抛物线工加+法+c与x轴交于点A(TO)、3(2,0),且经过点C(-2,6).

(1)求抛物线的表达式；

(2)在尤轴上方的抛物线上任取一点N,射线AN、3N分别与抛物线的对称轴交于点尸、Q,点。关于x轴

的对称点为。'，求△APQ'的面积；

⑶点〃是y轴上一动点，当—4WC最大时，求M的坐标.

(4)点。是抛物线对称轴上一动点，当NOQA的值最大时，点。的坐标为：(直接填空)

4.(2019•山东淄博・一模)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=a(x-1)(尤-5)(a>0)的图象与x

轴交于A、8两点(点A在点8的左侧)，与y轴交于P点，过其顶点C作直线轴于点H.

(1)若NAPB=30。，请直接写出满足条件的点尸的坐标；

(2)当/APB最大时，请求出a的值；

5.(2018•浙江宁波•一模)已知，如图1,。是坐标原点，抛物线y="2+Zzx+c((#0)经过A、B、C三点,

轴于点A,AB=2,A0=4,OC=5,点D是线段A。上一动点，连接C。、BD.

(1)求出抛物线的解析式;

6.(2015・福建泉州•一模)如图，。是坐标原点，过点A(-l,0)的抛物线y=f-a-3与x轴的另一个交点

为B，与J轴交于点C，其顶点为。点.

（2）连结皮）、CD，动点。的坐标为（也1）.

②连结。2、CO,当NCQ。最大时，求出点2的坐标.

7.（2023・广东深圳•一模）船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁.如图1,A,B

表示灯塔，暗礁分布在经过A,8两点的一个圆形区域内，优弧A3上任一点C都是有触礁危险的临界点，

—4CB就是“危险角”.当船尸位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角与“危险角”/ACS有怎样的大小

（1）数学小组用已学知识判断/。与“危险角”/ACS的大小关系，步骤如下：如图2,AP与。。相交于点

连接8。，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可知？ACB1ADB,

NADS是△&）尸的外角，

:.ZAPBZADB（填“>”，"=”或“<”），

.-.Z6Z/ACB（填“>”，"=”或“<”）；

（2）如图3,已知线段A3与直线/,在直线/上取一点尸，过A、8两点，作。。使其与直线/相切，切点为尸,

不妨在直线上另外任取一点。，连接A。、BQ,请你判断/"B与NAQ8的数量关系，并说明理由；

（3）一位足球左前锋球员在某场赛事中有一精彩进球，如图4,他在点P处接到球后，沿PQ方向带球跑动，

球门A3=8米，。尸=8米，比>=16米，ZADC=90°,tanNQPC=l.该球员在射门角度（NWB）最大

时射门，球员在PQ上的何处射门？（求出此时PM的长度.）

8.（2023•广东深圳•一模）【问题发现】

船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁.如图1,A,B表示灯塔，暗礁分布在经

过48两点的一个圆形区域内，优弧A3上任一点C都是有触礁危险的临界点，/ACB就是“危险角”.当

船P位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角/口与“危险角”NACB有怎样的大小关系？

【解决问题】

（1）数学小组用已学知识判断与“危险角”NACB的大小关系，步骤如下：

如图2,AP与。。相交于点。，连接30,由同弧或等弧所对的圆周角相等，可知？ACB?ADB,

,/XADB是ABDP的外角，

:.NAPBNADB（填“>”，"=”或“<”），

Za/ACB（填“>”，"=”或“<”）；

【问题探究】

（2）如图3,已知线段AB与直线/,在直线/上取一点P,过A、8两点，作。。使其与直线/相切，切点

为P,不妨在直线上另外任取一点。，连接AQ、BQ,请你判断/A/喏与NAQ3的数量关系，并说明理由；

【问题拓展】

（3）一位足球左前锋球员在某场赛事中有一精彩进球，如图4,他在点尸处接到球后，沿PQ方向带球跑动,

3

球门AB=7米，DP=7.5米，应>=15.5米，NADC=90。，tanZQPC=~.该球员在射门角度最大

时射门，球员在PQ上的何处射门？（求出此时的长度.）

9.（22-23九年级上•江苏泰州・期末）【生活问题】2022年卡塔尔世界杯比赛中，某球员P带球沿直线接

近球门AB,他在哪里射门时射门角度最大？

【操作感知】小米和小勒在研究球员P对球门A2的张角时，在上取一点。，过A、B、。三点

作圆，发现直线"N与该圆相交或相切.如果直线与该圆相交，如图1,那么球员P由M向N的运动

过程中，NAP3的大小：（填序号）

①逐渐变大；②逐渐变小；③先变大后变小；④先变小后变大

【猜想验证】小米和小勒进一步探究发现，如果直线与该圆相切于点。，那么球员尸运动到切点。时

NAPB最大,如图2,试证明他们的发现.

'要证乙4PB最大，就是要证MN上异于P点的其它所有点对4B的张角都小>>

MW