中考数学专项复习：二次函数函数综合的压轴题训练（解析版）

挑战2023年中考数学选择、填空压轴真题汇编

专题05二次函数函数综合的压轴真题训练

一.二次函数的图象

1.（2022•株洲）已知二次函数>="2+区-c（aWO）,其中6>0、c>0,则

该函数的图象可能为（）

【答案】C

【解答】Vc>0,

-c<0,

故Z,。选项不符合题意;

当a>0时，

•”>0,

对称轴x=上VO,

2a

故B选项不符合题意；

当a<0时，b>Q,

，对称轴x=上>0,

2a

故C选项符合题意，

故选：C

二.二次函数的性质

2.（2022•陕西）已知二次函数y=N一2x-3的自变量修，如右对应的函数值

分别为为，>2，J3-当-1<必<2,叼>3时，yi>yi,为三者之间

的大小关系是（）

A.V1<J2<J3B.y2<y3<yic.y3<yi<y2D.yi<y\<yz

【答案】D

【解答】解：•.•抛物线歹=N-2X-3=（x-1）2-4,

对称轴x=l,顶点坐标为（1,-4）,

当y=0时，（x-1）2-4=0,

解得x=-1或x=3,

.,.抛物线与x轴的两个交点坐标为：（-1,0）,（3,0）,

.,.当-1<修<0,1<X2<2,》3>3时，y2V为〈为，

故选：D.

3.（2022•岳阳）已知二次函数y=加N-4机2%-3（机为常数，机W0）,点尸

（%,%）是该函数图象上一点，当0W%W4时，-3,则机的取值范围

是（）

A.机21或机<0B.机》1C.mW-1或机>0D.mW-1

【答案】A

【解答】解：•.,二次函数-4刃2》-3,

对称轴为x=2加，抛物线与y轴的交点为（0,-3）,

•点尸（x,%）是该函数图象上一点，当0Wx〃W4时，为W-3,

二①当机>0时，对称轴x=2%>0,

此时，当x=4时，yW-3,即血⑷-4以2・4-3W-3,

解得根21；

②当机<0时，对称轴x=2加<0,

当0WxW4时，y随x增大而减小，

则当0WxPW4时，-3恒成立；

综上，加的取值范围是：加三1或机<0.

故选：A.

4.(2022•衢州)已知二次函数y=a(x-1)2-a(aWO),当-1WXW4时,

J的最小值为-4,则a的值为（）

A.工或4B.-1C.-%或4D.-1^4

23232

【答案】D

【解答】解：了=。（x-1）2的对称轴为直线x=l,

顶点坐标为（1,-a）,

当a>0时，在-14W4,函数有最小值-a,

的最小值为-4,

••_CL=-4,

.•.a=4；

当aVO时，在-1WXW4,当x=4时，函数有最小值,

••9a-a=-4,

解得a=--；

2

综上所述：a的值为4或-工

2

故选：D.

x2-2x+3（x2）

5.（2022•荆门）如图，函数y=.oq的图象由抛物线的一部分和

《xV（x》2）

一条射线组成，且与直线>=机（机为常数）相交于三个不同的点N（修,

J1）,B（》2，>2），C（招，>3）（X1<X?<X3）.设/=、/1~丝丝，则/的

X3y3

5

【解答】解：由二次函数y=N-2x+3（x<2）可知：图象开口向上，对称轴

为x=l，

当x=l时函数有最小值为2,修+必=2,

由一次函数-3什9（x»2）可知当x=2时有最大值3,当;；=2时x=

42

-1-0，

3

.直线y=m（能为常数）相交于三个不同的点Z（羽，乃），B（X2，了2）,C

（》3，为）（X1<X2<%3），

・・乃=处=n=掰，2V加V3,

.,.2<X<—

33

x+x

•z_i2_2

x3x3

5

故答案为：

5

三.二次函数图象与系数的关系

6.（2022•南充）已知点Af（xi，ji）,N（》2，/）在抛物线^=加X2-2切2%+〃

（mW0）上，当修+必>4且修<M时，都有刃<丝，则m的取值范围为（）

A.0<m<2B.-2<m<0C.m>2D.m<-2

【答案】A

【解答】解：方法一：,抛物线y=mx2-2m2》+〃（机关0）,

...该抛物线的对称轴为直线x=-21=%，

2m

当XI+X2>4且Xi<X2时，都有为<歹2，

J当加>0时，

0V2加W4,

解得0V加W2；

当加V0时，

2m>4,

此时m无解；

由上可得，m的取值范围为0V加W2,

故选：A.

方法二：由为〈及可得，

（m%22-2加2%2+几）-（mxi2-2m2xi+n）>0,

整理，得：m（%2-xi）（X2+X1-2m）>0,

•.•修+》2>4且%1<%2>

当m>0时，则必+%1-2m>0,

即2加W4,

解得mW2,

.•.0V加W2；

当m<0时，则必+修-2m<0,此时无解；

由上可得，0〈加W2,

故选：A.

7.（2022•凉山州）已知抛物线y=aN+&+c经过点（1,0）和点（0,-3）,

且对称轴在y轴的左侧，则下列结论错误的是（）

A.。>0

B.a+b=3

C.抛物线经过点（-1,0）

D.关于x的一元二次方程ax^+bx+c=-1有两个不相等的实数根

【答案】C

【解答】解：由题意作图如下：

由图知，a>0,

故Z选项说法正确，不符合题意，

・••抛物线^="2+乐+。经过点（1,0）和点（0,-3）,

a+b+c=Q,c=-3,

a+b—3,

故3选项说法正确，不符合题意，

・••对称轴在y轴的左侧，

，抛物线不经过（-1,0）,

故C选项说法错误，符合题意，

由图知，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=-1有两个交点，故关于x的一元二

次方程办2+云+°=-1有两个不相等的实数根，

故。选项说法正确，不符合题意，

故选：C.

8.（2022•广安）已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=l,与x轴正半轴的交

点为/（3,0）,其部分图象如图所示，有下列结论：®abc>0-,②2c-

3&<0；（3）5a+b+2c=Q；④若8（X加）、C（Xy2）、。（为）是

—333

抛物线上的三点，则为<”<为.其中正确结论的个数有（）

【答案】B

【解答】解：：抛物线开口向上,

•\a>0,

..•抛物线的对称轴是直线x=l,

且，

2a

••-2a,

：.b<Q,

•••抛物线交y轴于负半轴，

.,.c<0,

/.abc>0,故①正确，

•・•抛物线y=aN-2"+c经过(3,0),

***9a-6a+c=0,

•・c=-3a，

2c-36=-6a+6a=0,故②错误，

5a+b+2c=5a-2a-6a~-3a<0,故③错误,

9.（2022•恩施州）已知抛物线y=-云+c,当x=l时，j<0；当x=2时,

y<0.下列判断：

①〃>2c；②若c>l,则6>着；③已知点Z（机1，勺），B（根2,〃2）在抛

物线>=工：2-bx+c上，当机1<加2<b时，«!>«?；④若方程冬2-bx+c=0的

22

两实数根为羽，X2，则苞+》2>3.其中正确的有（）个.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解答】解：•.％=』>（）,

2

抛物线开口向上，

当x=l时，y<0；当x=2时，y<0,

抛物线与X轴有两个不同的交点，

A=b2-4ac=b2-2c>0,故①正确；

•当x=l时，yVO；当x=2时，y<0,

—-A+cVO；

2

.,.b>—+c,

2

当c>l时，则6>亳，故②正确；

抛物线的对称轴为直线x=b,且开口向上，

当xVZ）时，歹的值随x的增大而减小，

.,.当％<机2Vb时，故③正确；

,方程-bx+c=O的两实数根为%i，x）

22

・・修+%2=26,

由②可知，当C>1时，则方>_1,

...X1+X2不一定大于3,故④错误；

综上，正确的有①②③，共3个，

故选：C.

10.（2022•呼和浩特）在平面直角坐标系中，点C和点。的坐标分别为（-1,

-1）和（4,-1）,抛物线天=加工2-2mx+2（加W0）与线段CD只有一个公

共点，则加的取值范围是.

【答案】m=3或-1V加W-—

8

【解答】解：抛物线的对称轴为：X=-NSL=I,

2m

当x=0时，y=2,

・••抛物线与y轴的交点坐标为（0,2）,顶点坐标为（1,2-m）,直线CD

的表达式歹=-1,

当加>0时，且抛物线过点。（4,-1）时，

16m-8m+2=-1,

解得：机=-3（不符合题意，舍去），

8

当抛物线经过点（-1,-1）时，

m+2m+2=-1,

解得：m=-1（不符合题意，舍去），

当m>0且抛物线的顶点在线段CD上时，

2-m=-1,

解得：加=3,

当加V0时，且抛物线过点。（4,-1）时，

16m-8加+2=-1,

解得：m=-—>

8

当抛物线经过点（-1,-1）时，

m+2m+2=-1,

解得：m=-1,

综上，根的取值范围为掰=3或-1〈根w-3,

8

故答案为：m—3或-1<掰W-—.

8

11.（2022•遂宁）抛物线>="2+区+。（a,b,c为常数）的部分图象如图所示,

,/抛物线对称轴在J轴左侧,

...-±_<0,

2a

：.b>0,

•抛物线经过（0,-2）,

••c=-2,

••,抛物线经过（1,0）,

a+b+c=0,

♦•a+Z?=2,b='2~a,

：.m=a~b+c—a~（2-a）+（-2）—la-4,

.".y=ax2+（2-a）x-2,

当x=-1时，y=a+a-2-2=2a-4,

*：b=2-a>0,

.\0<a<2,

-4<2a-4<0,

故答案为：-4<%<0.

12.（2022•随州）如图，已知开口向下的抛物线y=ax2+fec+c与x轴交于点（-

1,0）,对称轴为直线x=l.则下列结论正确的有（）

①abc>0；

②2a+b=0；

③函数y=ax2+bx+c的最大值为-4a；

④若关于x的方程ax2+bx+c=a+\无实数根，则-A<a<0.

【答案】C

【解答】解：抛物线开口向下,

.*.a<0,

•.•抛物线交V轴于正半轴，

.,.c>0,

:--L>o,

2a

.•北>0,

abc<0,故①错误.

•••抛物线的对称轴是直线x=L

二--L=i,

2a

：.2a+b=0,故②正确.

•抛物线交x轴于点(-1,0),(3,0),

•••可以假设抛物线的解析式为y=a(x+l)(x-3),

当x=l时，y的值最大，最大值为-4a,故③正确.

"Jax2+bx+c=a+\无实数根，

:.a(x+1)(x-3)=a+l无实数根，

ax1-2ax-4。-1=0,A<0>

：.4a2-4a(-4a-1)<0,

'.a(5(/+l)<0,

-A<a<0,故④正确，

5

故选：c.

13.(2022•广元)二次函数了="2+区+cQW0)的部分图象如图所示，图象过

点(-1,0),对称轴为直线x=2,下列结论：(1)abc<0；(2)4a+c>

2b；(3)3b-2c>0；(4)若点Z(-2,%)、点8(-工，为)、点C

2.

(―,为)在该函数图象上，则Vi<y3〈y2；(5)4a+26三加Cam+b')(机为

2

常数).其中正确的结论有()

D.2个

【答案】C

【解答】解：•.•抛物线的开口向下，

••ci0,

•.•抛物线的对称轴为直线x=-且=2,

2a

：.b>0,

•••抛物线交y轴的正半轴，

/.c>0,

/.abc<0,所以（1）正确；

•・•对称轴为直线x=2,

-2=2,

2a

:.b=-4a,

...6+4a=0,

・・b=^~4a,

•・•经过点（-1,0）,

:.a~b+c=0,

-4a-q=-5a,

・・4〃+c-2Z?=4a-5a+8a=7a,

*£Z<0,

・4a+c-2bVO,

1.4a+c<2b,故（2）不正确;

,：3b-2c=-12a+10a=-2a>0,故(3)正确;

V|-2-2|=4,|-1-2|=1,l^-2|=^

2222

...方〈歹2V为，故(4)错误；

当x=2时，函数有最大值4a+2b+c,

4a+2b+c^am2+bm+c,

4a+2b^mQam+b)(%为常数)，故(5)正确；

综上所述：正确的结论有(1)(3)(5),共3个，

故选：C.

14.(2022•巴中)函数了=|"2+公+&(°>0,b2-4ac>0)的图象是由函数>=

ax2+bx+c(a>0,b--4tzc>0)的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向

上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是()

①2a+b=0；

②c=3；

@abc>Q；

④将图象向上平移1个单位后与直线了=5有3个交点.

A.①②B.①③C.②③④D.①③④

【答案】D

【解答】解：•••图象经过(7,0),(3,0),

抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=l,

：.-_L=i,

2a

'.b~-2a,即2a+b=0,①正确.

由图象可得抛物线y=ax2+bx+c与y轴交点在x轴下方，

：.c<0,②错误.

由抛物线y=ax2+bx+c的开口向上可得a>0,

:.b=-2a<0,

abc>0,③正确.

设抛物线^="2+乐+。的解析式为y=a（x+1）（x-3）,

代入（0,3）得：3=-3a,

解得：a=-1,

'-y="（x+1）（x-3）=-N+2X+3=-（x-1）2+4,

•••顶点坐标为（1,4）,

•••点（1,4）向上平移1个单位后的坐标为（1,5）,

•••将图象向上平移1个单位后与直线了=5有3个交点，故④正确；

故选：D.

15.（2022•黄石）已知二次函数>="2+区+。的部分图象如图所示，对称轴为

直线x=-1,有以下结论：

@abc<0；②若/为任意实数，则有。-从W。户+力；③当图象经过点（1,3）

时，方程aN+bx+c-3=0的两根为修，X2（xi<X2）,则修+3%2=0，其中，

正确结论的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解答】解：•.•抛物线开口向上，

.".a>Q,

•••抛物线的对称轴为直线x=-L

即--L=-1,

2a

♦♦b=2a>0,

..•抛物线与j轴的交点在x轴下方,

.,.c<0,

abc<0,所以①正确；

Vx=-1时，y有最小值，

.,.a-b+c^at2+bt+c（/为任意实数），

即a-btWaP+b,所以②正确；

,图象经过点（1,3）时，得aN+bx+c-3=0的两根为xi，x2（修〈必），

.,.二次函数y=a%2+bx+c与直线y=3的一个交点为（1,3）,

..•抛物线的对称轴为直线x=-L

.,.二次函数了="2+区+。与直线了=3的另一个交点为（-3,3）,

即尤］=-3,》2=1，

.".XI+3X2=-3+3=0,所以③正确.

故选：D.

16.（2022•济南）抛物线y=-/+2皿-祖2+2与y轴交于点0,过点C作直线/

垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线/翻折，其余部分保持不变,

组成图形G,点〃（机-1,为），N（m+1,j2）为图形G上两点，若外<

以，则m的取值范围是（）

A.m<-1或机>0B._A<m<—C.0^m<^2D.-1<m<1

22

【答案】D

【解答】解在y—~x2+2mx-m2+2中，令x—m-1,得y=-（m-1）2+2m

（m-1）-m2+2=1,

令》=机+1,得y=-（m+1）2+2m（m+1）-m2+2=1,

（m-1,1）和（m+1>1）是关于抛物线y=--4+2对称轴对称

的两点，

①若m-1^0,即（加-1,1）和（%+1,1）在y轴右侧（包括（机-1,1）

在y轴上），

贝U点（m-1,1）经过翻折得河（m-1,为），点（m+1,1）经过翻折得N

（m+1,竺），

如图：

V

咪*L

由对称性可知，%=”，

此时不满足刃〈了2；

②当机+1W0,即（加-1,1）和（机+1,1）在歹轴左侧（包括（机+1,1）

在y轴上），

则点（m-1,1）即为河（机-1,川），点（加+1,1）即为N（机+1,”），

=歹2'

，此时不满足为〈乃；

③当机-1<0+1,即（机-1,1）在y轴左侧，（机+1,1）在y轴右侧

此时Af（m-1,1）,（m+1,1）翻折后得N,满足为〈力

由掰-1<0<机+1得：-

故选：D.

17.（2022•荆门）抛物线;；=加+乐+0（a,b,c为常数）的对称轴为x=-2,

过点（1,-2）和点Go,外），且c>0.有下列结论：①。<0;②对任意

实数机都有：am2+bm^4a-2b；③16a+c>4b；④若沏>-4,则为>（?.其

中正确结论的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解答】解：•••抛物线了=依2+区+。b,。为常数）的对称轴为x=-2,

过点（1,-2）,且c>0,

•••抛物线开口向下，则。<0,故①正确；

•••抛物线开口向下，对称轴为x=-2,

•••函数的最大值为4a-2b+c,

I.对任意实数m都有：am2+bm+c^：4a-2b+c,即am2+bm^：4a-2b,故②错

误；

•对称轴为x=-2,c>0.

...当x=-4时的函数值大于0,即16a-46+c>0,

16a+c>4&,故③正确；

•对称轴为x=-2,点（0,c）的对称点为（-4,c）,

•••抛物线开口向下，

...若-4<沏<0,则y（）>c,故④错误；

故选：B.

四.二次函数图象上点的坐标特征

18.（2022•常德）我们发现：V6+3=3»46+V6+3=3,勺=

3,…，，6+/6+诟—+76+7^^=3,一般地，对于正整数a,b,如果满足

Jb+Jb+\/b+…+NbWb=二♦时,称（a，b）为一■组完美方根数对.如上面

（3,6）是一组完美方根数对，则下面4个结论：①（4,12）是完美方根

数对；②（9,91）是完美方根数对；③若（a,380）是完美方根数对，则

«=20；④若（x,j）是完美方根数对，则点尸（x,y）在抛物线y=x2-x上,

其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

［解答］解将（4,12）代入"12+4=4,V12+V12+4=4,J12+J12W12+4

=4,•

A（4,12）是完美方根数对；故①正确；

将（9,91）代入491+9=1029,弋乂m1+9

•••（9,91）不是完美方根数对，故②错误；

③；（a,380）是完美方根数对,

...将（a,380）代入公式，V380+a=a-V380+V380+a=a,

解得。=20或。=-19（舍去），故③正确；

④若（X,V）是完美方根数对，则GG=x，［y+Vy+x=x，

整理得y=N-x,

点尸（x,y）在抛物线歹=N-x上，故④正确；

故选：C.

19.（2022•成都）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于Z（-1,

0）,8两点，对称轴是直线x=l,下列说法正确的是（）

A.«>0

B.当x>-1时，y的值随x值的增大而增大

C.点8的坐标为（4,0）

D.4a+2b+c>0

【答案】D

【解答】解：A,由图可知：抛物线开口向下，«<0,故选项Z错误，不符合

题意；

8、•••抛物线对称轴是直线x=l,开口向下，

...当时y随x的增大而减小，x<l时y随x的增大而增大，故选项8错

误，不符合题意；

C、由Z（-1,0）,抛物线对称轴是直线x=l可知，8坐标为（3,0）,故

选项C错误，不符合题意；

D、抛物线y=ax2+fec+c过点（2,4a+2A+c）,由8（3,0）可知：抛物线上

横坐标为2的点在第一象限，

/.4a+2b+c>Q,故选项。正确，符合题意；

故选：D.

20.（2022•贵港）已知二次函数丁="2+区+。（aWO）图象的一部分如图所示,

该函数图象经过点（-2,0）,对称轴为直线x=-L.对于下列结论：①

2

abc<0；②〃-4。。>0；③。+6+。=0；@am2+bm<^-2Z））（其中加W

3）；⑤若Z（卬乃）和5"3均在该函数图象上，且修>X2〉1，

则加>为.其中正确结论的个数共有一个.

【答案】3

【解答】解：•.•抛物线的对称轴为直线x=-上，且抛物线与x轴的一个交点

2

坐标为（-2,0）,

...抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1,0）,

把（-2,0）（1,0）代入y=aN+bx+c（〃W0）,可得：

（4a-2b+c=0

1a+b+c=O

解得［b=a,

（c=-2a

・・a+Z?+c=a+a-2a=0,故@正确；

•・•抛物线开口方向向下，

.e.a<0,

c~~-2a>0,

abc>0,故①错误；

•••抛物线与x轴两个交点，

.•.当y=0时，方程ax2+bx+c=Q有两个不相等的实数根，

.,.b2-4ac>0,故②正确；

am2+bm—am2+am-a(m+—)2-Aa,

24

(a-2b)=—(a-2a)=--A/z,

444

/.am2+bm-ACa-2b)—a(m+A)2,

42

又,.,a<0,mW-

2

'.a(m+—)2c0,

2

即am2+bm<—(a-26)(其中mW--),故④正确；

42

•.•抛物线的对称轴为直线x=-上，且抛物线开口朝下，

2

.•.可知二次函数，在x>-工时，y随x的增大而减小，

2

•；修>必>1>-A,

2

，

..y1<y2>故⑤错误，

正确的有②③④，共3个，

故答案为：3.

21.(2022•达州)二次函数>=仆2+区+0的部分图象如图所示，与了轴交于

CO,-1),对称轴为直线x=l.下列结论：①abc>0；②③对于

任意实数机，都有机(am+b)成立；④若(-2,月)，,”)，

2

(2,y3)在该函数图象上，则y3<N2<刃；⑤方程|办2+云+°|=左(左》0,左为

常数)的所有根的和为4.其中正确结论有()个.

y

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【解答】解：•.•抛物线开口向上，

.••抛物线与y轴交于点（0,-1）,

'.c=-1,

V-±-=1,

2a

:・b=-2a<0,

/.abc>0,故①正确，

*/y=ax2-2ax-1,

当x=-1时，y>0,

a+2a-1>0,

：.a>l,故②正确，

当机=1时，m（am+b）—a+b,故③错误，

•••点（-2,乃）到对称轴的距离大于点（2,为）到对称轴的距离，

•,•乃〉乃，

•.•点（_1,K）到对称轴的距离小于点（2,心）到对称轴的距离，

•••乃〉歹2,

.,>y2<y3<yi>故④错误，

•.•方程|"2+区+。尸左&N0,左为常数）的解，是抛物线与直线^=土左的交点,

当有3个交点时，方程依2+bx+c尸左（左>0,左为常数）的所有根的和为3,

当有4个交点时，方程|aN+bx+c尸左（左20,左为常数）的所有根的和为4,

当有2个交点时，方程|"2+乐+°|=左（左三0,左为常数）的所有根的和为2,

故⑤错误，

22.（2022•徐州）若二次函数y=N-2x-3的图象上有且只有三个点到x轴的

距离等于m,则m的值为.

【答案】4

【解答】解：-2x-3=（x-1）2-4,

抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=l,顶点为（1,-4）,

••・顶点到x轴的距离为4,

：函数图象有三个点到x轴的距离为m,

/.m=4,

故答案为：4.

五.二次函数的最值

23.（2022•舟山）已知点Z（a,b）,B（4,c）在直线y=fcc+3（左为常数，k

W0）上，若乃的最大值为9,则。的值为（）

A.AB.2C.3D.1

22

【答案】B

【解答】解：：点N（a,b）,B（4,c）在直线y=fcc+3上，

.[ak+3=b①

4k+3=c②’

由①可得：ab=a（ak+3）=ka2+3a=k（a+上_）2-

2k4k

,.Zb的最大值为9,

.•"<0,-J_=9,

4k

解得左=-L

4

把左=-2■代入②得：4X(-A)+3=c,

44

••c==2,

故选：B.

24.(2022•嘉兴)已知点Z(a,b),B(4,c)在直线y=fcc+3(左为常数，k

力0)上，若仍的最大值为9,则c的值为()

A.1B.2C.2D.A

22

【答案】C

【解答】解：,点/(a,b),B(4,c)在直线y=fcc+3上，

.[ak+3=b①

・14k+3=c②’

由①可得：ab—a(ak+3)=ka2+3a=k(a+—)2--,

2k4k

,•Zb的最大值为9,

.,"<0,-2=9,

4k

解得人=-L

4

把左=-■代入②得：4X(-A)+3=c,

44

•・c=2,

故选：C

六.二次函数图象与几何变换

25.(2022•湘西州)已知二次函数y=-N+4x+5及一次函数y=-x+A,将该二

次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得

到一个新图象(如图所示)，当直线y=-x+b与新图象有4个交点时，b的

取值范围是.

x

［答案］-空<|<-1

一4

【解答】解：如图，当y=0时，-N+4X+5=0,解得勺=-1,切=5,贝!J/

(-1,0),8(5,0),

将该二次函数在X轴上方的图象沿X轴翻折到X轴下方的部分图象的解析式为

y=(x+1)(x-5),

即y=x2-4x-5(-1WxW5),

当直线y=-x+b经过点/(-1,0)时，1+6=0,解得b=-1；

当直线y=-x+b与抛物线了=N-4x-5(-1WxW5)有唯一公共点时，方程

x2-4x-5=-x+b有相等的实数解，解得b=-29,

4

所以当直线y=-x+A与新图象有4个交点时，b的取值范围为-聋-

1.

26.(2022•荆州)规定：两个函数外，”的图象关于y轴对称，则称这两个函

数互为“y函数”.例如函数》=2x+2与及=-2x+2的图象关于了轴对称，

则这两个函数互为“y函数”.若函数了=丘2+2(左-i)x+左-3(左为常数)

的“y函数”图象与X轴只有一个交点，则其“y函数”的解析式

为.

［答案］y=2x-3或尸-N+4x-4

【解答】解：•••函数了=必+2(左-1)x+k-3(左为常数)的“丫函数”图象

与x轴只有一个交点，

函数y=^2+2(左-l)x+左-3(左为常数)的图象与x轴也只有一个交点，

当左=0时，函数解析式为y=-2x-3,它的“V函数”解析式为了=2x-3,

它们的图象与x轴只有一个交点，

当上关0时，此函数是二次函数，

•.•它们的图象与X轴都只有一个交点，

•••它们的顶点分别在x轴上，

4k（k-3）-[2（k-l）]2=Q,

4k

解得:k=-1,

，原函数的解析式为歹=---©-4=-（x+2）2,

・••它的“丫函数”解析式为了=-（x-2）2=-x2+4x-4,

综上，"y函数"的解析式为了=2x-3或尸--+4X-4,

故答案为：y=2x-3或^=-x2+4x-4.

七.抛物线与x轴的交点

27.（2022•内蒙古）如图，抛物线y=ax2+fec+c（aWO）与x轴的一个交点坐标

为（-1,0）,抛物线的对称轴为直线x=l,下列结论：①欣＜0；②3a+c

=0；③当歹＞0时，x的取值范围是-lWx＜3；④点（-2,入），（2,处）

都在抛物线上，则有为＜0＜为.其中结论正确的个数是（）

【解答】解：根据函数的对称性，抛物线与x轴的另外一个交点的坐标为（3,

0）；

①函数对称轴在歹轴右侧，则仍＜0,而C已经修改＞0,故。秘＜0,

故①正确，符合题意；

②*/x=--=L即b=-2a,

2a

而x=-1时，y=0,即a-6+c=0,

**•a+2a+c=0,

.•・3a+c=0・

.•.②正确，符合题意；

③由图象知，当y>0时，x的取值范围是-

③错误，不符合题意；

④从图象看，当x=-2时，h<0,

当x=2时，y2>0,

•••有y1<0<歹2，

故④正确，符合题意；

故选：C.

28.（2022•枣庄）小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结.如图，

二次函数y=ax2+bx+c（aWO）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1,

0）,对称轴为直线x=-1,结合图象他得出下列结论①而>0且c>0；②

a+b+c=O；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（aWO）的两根分别为-3

和1;④若点（-4,以），（-2,以），（3,乃）均在二次函数图象上，

则为〈竺〈乃；⑤3a+c<0,其中正确的结论有.（填序号，多选、少

选、错选都不得分）

［答案］①②⑶

【解答】解：•.•抛物线对称轴在y轴的左侧，

...ab>0,

,：抛物线与y轴交点在x轴上方，

①正确；

•抛物线经过（1,0）,

♦♦a+b+c=0,（2）.

•••抛物线与x轴的一个交点坐标为（1,0）,对称轴为直线x=-l,

•••另一个交点为（-3,0）,

.,•关于x的一元二次方程。/+云+C=0（aWO）的两根分别为-3和1,③正

确；

-1-（-2）<-1-（-4）<3-（-1）,抛物线开口向下，

•••”>为>为，④错误.

•••抛物线与x轴的一个交点坐标为（1,0）,

**.a+6+c=0,

--L=-1,

2a

••Z?=2a,

...3a+c=0,⑤错误.

故答案为：①②③.

29.（2022•福建）已知抛物线产N+2X-〃与％轴交于2,8两点，抛物线尸

9-2x-〃与X轴交于C,。两点，其中〃>0.若AD=2BC,则"的值

为—.

【答案】8

【解答】方法1、解：针对于抛物线产一+2厂〃，

令y=0,则X2+2X-〃=0,

••x=-1iVn+1，

针对于抛物线y=x2-2x-n,

令y=0,贝UN-2x-〃=0,

♦•x=1±Vn+1，

,抛物线y=N+2x-n—(x+1)2-n-1,

抛物线y=N+2x-〃的顶点坐标为(-1,

,抛物线y=N-2x-n=(x-1)2-n-1,

，抛物线y=N-2x-〃的顶点坐标为(1,-«-1),

，抛物线y=x2+2x-〃与抛物线y=x2-2x-n的开口大小一样，与y轴相交于

同一点，顶点到x轴的距离相等，

：.AB=CD,

•：AD=2BC,

...抛物线y=N+2x-n与x轴的交点A在左侧，B在右侧，抛物线y=N-2x-

〃与x轴的交点。在左侧，。在右侧，

A(-1-7n+1，0),B(-1+Vn+1»0),C(1_个n+1，0),D

(l+Vn+1>0)，

AD=1+Vn+1-(*1-Vn+1)=2+21n+1,BC—~1+Vn+l-(1-7n+1)

—~2+25/n+1，

••2+2^/n+1=2(i2+2、n+1)，

故答案为：8.

方法2^y—x2+2x-n—(x+1)2-n-1,

，抛物线y=N+2x-〃的对称轴为直线x=-1,顶点坐标为(-1,-«-1),

"."y=x2-2x-n=(x-1)2-n-1,

...抛物线y=N-2x-〃的对称轴为直线x=l,顶点坐标为(1,-w-1),

...抛物线y=x2-2x-〃的图象可由y=N+2x-〃的图象向右平移两个单位得到，

V«>0,

-72-1<-1,

两函数的图象如图所示：

由平移得，AC=BD