中考数学模型专项突破：几何中等分面积问题（含答案及解析）

大招几何中等分面积问题

模型介绍

线段分三角形面积问题.

团当三角形具有公共顶点，并且底边共线时，三角形面积比等于底边边长比.

例题精讲

【例如图，△ABC三边的中线A。，BE,C尸的公共点为G,且AG：GD=2：1,若S

△ABC=12,则图中阴影部分的面积是

A变式训练

【变式17].如图，在AABC中，点D、E、尸分别是BC、A。、CE的中点，且SAABC=8C7层,

则SABEF的面积是（）

A

C.2cm2D.1cm2

【变式1-2].如图，在直角坐标系中，平行四边形0A8C的顶点坐标2(17,6),C(5,6),

【例2]如图，在平面直角坐标系尤Oy中，长方形OA8C的顶点8的坐标为(6,4),直

线y=-x+b恰好将长方形OABC分成面积相等的两部分，那么b=.

A变式训练

【变式27].如图，在菱形48CD中，AB=6,ZB=60°，点E在边4。上，S.AE=2.若

直线I经过点E,将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F,则线段EF的长

为.

ED

【变式2-2].如图，△ABC的面积为1,D、E分别为A3、AC的中点，F、G是8C边上

的三等分点.那么△。所的面积是多少？△OOE的面积是多少？

【变式2-3].如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形0A8CL比的顶点坐标分别是

O(0,0),A(0,6),B(4,6),C(4,4),D(6,4),E(6,0).

若直线I经过点M(2,3),且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，求直线/

的函数表达式.

1.如图，长方形ABCD的面积为3667??,E,F,G分别为AB,BC,C。的中点，H为

上任一点，则图中阴影部分的面积为()

A.18cm2B.16cm2C.20cm2D.24cm2

2.已知梯形ABC。的四个顶点的坐标分别为A(-1,0),B(5,0),C(2,2),D(0,2),

直线y=fcv+2将梯形分成面积相等的两部分，则左的值为()

A.上B.上C.上D.上

3977

3.如图，在△ABC中，ZBAC=9Q°,是高，BE是中线，CF是角平分线，B交A。

于点G,交BE于点H.

①△ABE的面积=ZkBCE的面积；②AF=FB；

③/FAG=2/ACF.以上说法正确的是()

D.①②③

4.如图，在△ABC中，已知点。、E、尸分别为BC、AD,CE的中点，若阴影部分的面积

为14,则△ABC的面积为.

5.如图，已知在平面直角坐标系中，平行四边形顶点A(0,0),C(10,4),直线

y=ax-2a-1将平行四边形ABCD分成面积相等的两部分，求a的值.

6.如图，在平面直角坐标系中，四边形A8C。是正方形，点8的坐标为(4,4),直线y

=mx-2恰好把正方形ABC。的面积分成相等的两部分，则m=.

7.已知平面上四点A(0,0),B(10,0),C(14,6),D(4,6),若直线y=g-3机-1

将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则m的值为.

8.在△ABC中，BC=5,AC^12,AB=13,在AB、AC上分别取点。、E,使线段。E将

△ABC分成面积相等的两部分，则这样线段的最小值是.

9.如图，在直角坐标系中，矩形OA8C的顶点8的坐标为(15,6),直线y」x+b恰好将

3

矩形045。分成面积相等的两部分，那么b=

10.如图，△ABC中，A£）是中线，延长到£,使Z）E=AD,。下是△DCE的中线.已

知△ABC的面积为2,求：△C。尸的面积.

A

11.正方形ABC。的边长为4,将此正方形置于平面直角坐标系中，使A8边落在X轴的正

半轴上，且A点的坐标是（1,0）.

（1）直线y=名无生经过点C,且与无轴交于点E,求四边形AECD的面积；

33

（2）若直线/经过点E,且将正方形A8CD分成面积相等的两部分，求直线I的解析式；

（3）若直线/1经过点尸（-尚，0）,且与直线y=3x平行，将（2）中直线/沿着y轴向

上平移2个单位交轴x于点交直线/1于点N,求△△〃厮的面积.

3

12.如图，直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△OA8绕点0顺时针旋转90°

得到△OCD

(1)求经过A、B、。三点的抛物线的解析式；

(2)在所求的抛物线上是否存在一点P,使直线CP把△08分成面积相等的两部分?

如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.

13.已知菱形0ABe在坐标系中的位置如图所示，。是坐标原点，点C(l,2),点A在x

轴上.点M(0,2).

备用图1备用图2

(1)点P是直线OB上的动点，求PM+PC最小值.

(2)将直线y=-X-1向上平移，得到直线＞=丘+6.

①当直线〉=代+6与线段OC有公共点时，结合图象，直接写出b的取值范围.

②当直线将四边形0ABe分成面积相等的两部分时，求％,b.

14.已知，丫=办2+法-3过(2,-3),与X轴交于4(-1,0),8(X2,0),交y轴于C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)过点C作CD〃x轴，交抛物线于D,是否存在直线y^kx+1将四边形ACDB分成

面积相等的两部分，若存在，请求上的值；若不存在，请说明理由；

(3)若直线(-3<772<O)与线段AC、8c分别交于。、E两点，则在x轴上是否

存在点P,使得△。尸E为等腰直角三角形，若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说

明理由.

15.如图，在RtZXABC中，NC=90°,AB=50,AC=30,矩形。EPG的顶点G与aABC

的顶点C重合，边GD、GF分别与AC,8C重合.GD=12,GF=16,矩形。EFG沿射

线CB的方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，点Q从点B出发沿BA方向以每秒5

个单位长的速度匀速运动,过点。作射线QKLAB,交折线BC-CA于点X,矩形DEFG、

点。同时出发，当点Q到达点A时停止运动，矩形OEPG也随之停止运动.设矩形。EFG、

点。运动的时间是f秒G>0).

(1)求线段的长；

(2)求运动过程中，矩形。EFG与Rt^ABC重叠部分的面积s与f的函数关系式(写出

自变量的取值范围)；

(3)射线QK能否把矩形。EFG分成面积相等的两部分？若能，求出f值；若不能，说

明理由；

(4)连接。H,当时，请直接写出r值.

16.已知m,n是方程尤2-6x+5=0的两个实数根，且m<n.如图，若抛物线I：y=-r+bx+c

的图象经过点A(m,0),B(0,n).

(1)求抛物线的解析式；

(2)设(1)中的抛物线与无轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为D,求C,。的坐标

和△BCD的面积；

(3)己知尸是线段OC上一点，过点尸作轴，交抛物线于点H,若直线8。把4

尸”分成面积相等的两部分，求尸点的坐标.

17.【数学经验】三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分.

【经验发展】面积比和线段比的联系：如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于

对应底边的比.

如图1,△ABC的边A3上有一点请证明：上小=迎.

^ABCMBM

【结论应用】如图2,△COE的面积为1,型=工，丝=」，求AABC的面积.

AC4CB3

【拓展延伸】如图3,△ABC的边AB上有一点。为CM上任意一点，请利用上述结

论，证明：:.=细.

2ABDCBM

【迁移应用】如图4,△ABC中，M是AB的三等分点N是BC的中点,

3

若△ABC的面积是1,请直接写出四边形BMDN的面积

c

CCC

D.

图1图2图3图4

18.已知抛物线y=-jC+bx+c的图象经过点ACm,0)、B(0,"),其中m、n是方程x2

-6x+5=0的两个实数根，且根

(1)求抛物线的解析式；

(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为。，求C、。点的坐

标和△BCD的面积；

(3)尸是线段OC上一点，过点尸作尸打，尤轴，交抛物线于点X,若直线BC把

分成面积相等的两部分，求尸点的坐标.

19.【背景知识】研究平面直角坐标系，我们可以发现一条重要的规律：若平面直角坐标系

上有两个不同的点A(X4,%)、3(尤B,yB),则线段AB的中点坐标可以表示为(上立且

【简单应用】如图1,直线AB与〉轴交于点A(0,3),与x轴交于点3(4,0),过原

点O的直线L将△48。分成面积相等的两部分，请求出直线L的解析式；

【探究升级】小明发现“若四边形一条对角线平分四边形的面积，则这条对角线必经过

另一条对角线的中点”

如图2,在四边形A8CD中，对角线AC、3。相交于点。，SAABD=S^BCD.试说明A。

=C。；

【综合运用】如图3,在平面直角坐标系中A(1,4),B(3,-2),C(2m,-m+5),

若OC恰好平分四边形04CB的面积，求点C的坐标.

大招几何中等分面积问题

模型介绍

线段分三角形面积问题.

团当三角形具有公共顶点，并且底边共线时，三角形面积比等于底边边长比.

例题精讲

【例1】.如图，△ABC三边的中线A。，BE,C尸的公共点为G,且AG：GD=2：1,若S

△ABC=12,则图中阴影部分的面积是^

解：:△ABC的三条中线A。、BE,交于点G,AG：GD=2：1,

：.AE=CE,

•••S^CGE=S/\AGE=---S^ACFtS/\BGF=S^\BGD=---S^BCFt

33

VSACF=SABCF=—SABC=—X12=6,

A2A2

/.S^CGE=—S^ACF=-X6=2,S^BGF=­S^BCF=—X6=2,

3333

•••S阴影

故答案为：4.

A变式训练

2

【变式1-11.如图，在△ABC中，点D、E、尸分别是BC、AD.CE的中点，且SAABC=8c/n,

则SABEF的面积是（）

2

A.4c加2B.3cm2C.2cm2D.1cm

解：:,。是BC的中点，

••S^\ABD=S/^ACD=—S/\ABC>

2

是A。的中点，

S/\ABE=S^BDE——SAABD,S/\AEC=S/^CDE=—S/\ADC>

22

•.•产是EC的中点,

••S/^BEF=SABCF=—S/^BCEJ

2

S^ABC=Scrr^,

•>S^BCE=4cm,

1.S^BCF=2crr^,故选：C.

【变式1-2].如图，在直角坐标系中，平行四边形0A8C的顶点坐标2(17,6),C(5,6),

J.BC//OA,DB=OD,DC=DA,

：.NMCD=/DAN,ZCMD=ZDNA,

：.△CMD/LAND,

.•.过。的任意直线都能把平行四边形的面积分成面积相等的两部分.

过。作DFLx轴于F,过2作BELx轴于E.

;平行四边形OCBA,B(17,6),C(5,6),

：.DO=BD,DF//BE,

：.OF=EF,

：.DF=3,OF=-lx17=8.5,

2

：.D(8.5,3),

代入y=Lx+b得：3=」X8.5+Zb

-22

4

【例2].如图，在平面直角坐标系xOy中，长方形0A3C的顶点8的坐标为(6,4),直

线y=-x+b恰好将长方形0A2C分成面积相等的两部分，那么b=5.

解：：直线y=-x+b恰好将长方形0ABe分成面积相等的两部分

直线y=-x+b要经过矩形的中心

•.•矩形的中心为（3,2）

把点（3,2）代入y=-x+6,解得：b=5.

A变式训练

【变式2-1].如图，在菱形ABC。中，AB=6,ZB=60°,点E在边上，且AE=2.若

直线/经过点E,将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点E则线段EF的长为

2A/7_.

解：如图，过点A和点E作AGLBC,于点G和”,

得矩形AGHE,

:在菱形ABC。中，43=6,ZB=60°,

：.BG=3,AG=3M=EH,

:.HC=BC-BG-GH=6-3-2=1,

平分菱形面积，EF经过菱形对角线交点，

：.FC=AE=2,

：.FH=FC-HC=2-1=1,

在中，根据勾股定理，得

£F=22

VEH+FH=。27+1=26.

故答案为：2。

【变式2-2].如图，AABC的面积为1,D、£分别为A3、AC的中点，F、G是BC边上

的三等分点.那么△DEF的面积是多少？△QOE的面积是多少？

A

解：①如图，过点A作AQL8C于。，过点。作OML8C于M,

是8。的中点，

：.DM=^AQ,

2

/.三角形ABC的面积是=48CXAQ=1,

：.BCXAQ=2,

：£>、E分别为A8、AC的中点，

：.DE=-^BC,

2

三角形。口的面积为=<£>EXZ)M=工X•!X2CX工XAQ=1•；

22224

②生，FG=—,

23

•.•DE_3-~,

FG2

；.三角形DOE面积=三角形£>所面积*s=a.

520

【变式2-3].如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形042CDE的顶点坐标分别是

O(0,0),A(0,6),B(4,6),C(4,4),D(6,4),E(6,0).

若直线I经过点M(2,3),且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，求直线I

的函数表达式.

解：如图，延长BC交x轴于点尸，连接08,AF,DF,CE,OF和CE相交于点N,

V0(0,0),A(0,6),B(4,6),C(4,4),D(6,4),E(6,0).

...四边形OABF为矩形，四边形CDEF为矩形，

...点M(2,3)是矩形048尸对角线的交点，即点M为矩形尸。的中心，

直线/把矩形ABFO分成面积相等的两部分

又：点N(5,2)是矩形CDEF的中心，

过点N(5,2)的直线把矩形CDEP分成面积相等的两部分.

直线即为所求的直线L

设直线/的解析式为

则2%+b=3,54+6=2,

解得左=」，6=旦

33

因此所求直线I的函数表达式是：>=-工x+旦.

33

n实战演练

1.如图，长方形ABCD的面积为3667??,E,F,G分别为AB,BC,C。的中点，H为AD

上任一点，则图中阴影部分的面积为()

A.18cm2B.16cm2C.20cm2D.24cm2

解：设长方形ABC。中，AD=a,AB=b,

则AE=^/J=GC,BF=^a,

22

•'•S阴=5长方形A3CO-S^AEH-S^HFC-SAHCG,

=36--AE'AH-—FC-AB--HD'CG,

222

=36-^AD-AE-^-FC-AB,

22

=36--ab,

2

=18c根.2

故选：A.

2.已知梯形ABC。的四个顶点的坐标分别为A(-1,0),B(5,0),C(2,2),D(0,2),

直线y=fcv+2将梯形分成面积相等的两部分，则上的值为()

A.上B.上C.二D.上

3977

解：：梯形A8CD的四个顶点的坐标分别为A(-1,0),B(5,0),C(2,2),D(0,

2),

.•.梯形的面积为：⑸2)乂2=8,

2

..•直线y=E+2将梯形分成面积相等的两部分，

.,.直线＞=日+2与A。、A3围成的三角形的面积为4,

设直线与x轴交于点(x,0),

(尤+1)X2=4,

2

，x=3,

・••直线产区+2与x轴的交点为(3,0)

・・・0=3%+2

解得k=-2

3

故选：A.

BE是中线，CF是角平分线，CF交AD

于点G,交BE于点H.

①AABE的面积=的面积；②AF=FB；

@ZFAG=2ZACF.以上说法正确的是（）

D.①②③

：.AE=EC,

：.△ABE的面积=2\8。石的面积,

故①符合题意；

若AF=FB,则尸是AB的中点，

尸是NACB的平分线，

BC=AC与BOAC矛盾,

故②不符合题意；

VZBAC=90°,

：.ZFAG+ZCAD=90°,

"：AD±BC,

：.ZCAD+ZACB=9Q°,

：.ZFAG=ZACD,

平分/ACB,

ZACD=2ZADF,

ZFAG=2ZACF,

故③符合题意；

故选：A.

4.如图，在△ABC中，己知点。、E、尸分别为BC、AD,CE的中点，若阴影部分的面积

为4,则△ABC的面积为」

*"■5AABE=—SAABD,S/\ACE=--S/\ADCi

22

S^ABE+S/^ACE=—S^ABC,

2

SABCE=—5AABC,

2

:点尸是CE的中点，

SABEF=工SABCE,

2

S^ABC=4sABEF=4X4=16.

故答案为：16.

5.如图，已知在平面直角坐标系中，平行四边形A8CD顶点A(0,0),C(10,4),直线

y=ax-2a-1将平行四边形ABCD分成面积相等的两部分，求a的值.

解：连接AC、BD,AC与3。相交于点过点M作轴于点E,过点C作CF

J_x轴于点F,

.•.AF=10,CF=4,…（2分）

•/四边形ABCD为平行四边形，

：.AM=CM,即&1=工

AC2

无轴，b」_x轴，

AZMEA=ZCE4=90°,

J.ME//CF,

：.ZAME=ZACF,ZAEM=ZAFC,

：.AAME^AACF,

=A,即E为AP的中点，

ACAF2

为的中位线，…（4分）

.*.A£=AAF=5,ME=^CF=2,

22

•\M（5,2）,（6分）

•・,直线2〃-1将平行四边形A3CZ）分成面积相等的两部分，

，直线y=ox-2〃-1经过点M,…（8分）

将M（5,2）代入y=〃x-2〃-1得：。=1.…（9分）

6.如图，在平面直角坐标系中，四边形A5C0是正方形，点8的坐标为（4,4）,直线y

=mx-2恰好把正方形ABCO的面积分成相等的两部分，则m=2.

解：:直线y=mx-2恰好把正方形ABCO的面积分成相等的两部分

...直线必经过正方形的中心

:点2的坐标为(4,4)

中心为(2,2),代入直线中得：2=2m-2,m=2

7.已知平面上四点A(0,0),B(10,0),C(14,6),D(4,6),若直线>=3-3加-1

将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则m的值为1.

解：：点A(0,0),B(10,0),C(14,6),D(4,6),

四边形ABCD为平行四边形，

直线y=mx-3m-1四边形ABCD分成面积相等的两部分，

，直线-3机-1过矩形的对角线的交点，

而平行四边形的对角线的交点坐标为(7,3),

Im-3m-1=3,

••7721.

故答案为：1.

8.在△ABC中，BC=5,AC=12,AB=13,在A8、AC上分别取点。、E,使线段OE将

△ABC分成面积相等的两部分，则这样线段的最小值是_jV3_.

解：VBC2+AC2=AB2,

.♦.△ABC为直角三角形，

过。作DF_LAC于尸，设。广=彳，则三=鲤，

512

：.AF=^X,

5

S^ADE=—X*AE=—SAABC=15,

22

.•.AE=毁，斯=9-卫x,

xx5

：2221(殁-22)

.DE=DF+EF=X+£X)=-^ix+-^--144=302+12^12J

X525x25X

故可得。炉最小值是12,

.•.DE最小值为2a.

故答案为：2如.

9.如图，在直角坐标系中，矩形048c的顶点2的坐标为(15,6),直线y1x+b恰好将

3

矩形0ABe分成面积相等的两部分，那么b=_l_.

解：由B的坐标（15,6）,得到矩形中心的坐标为（7.5,3）,

直线y=lx+b恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，

将（7.5,3）代入直线y=§x+b得：

3=」X7.5+6,

3

解得：6=工.

2

故答案为：-1.

2

10.如图，ZkABC中，A。是中线，延长到E,使。E=AD,OF是△OCE的中线.已

知△ABC的面积为2,求：△C。尸的面积.

解：是△ABC的中线，

SAACD=—SABC=—X2=l,

22A

：CO是△ACE的中线，

SACDE=SAACD=L

•/DF是△COE的中线，SKDF=—S^CDE=—X1=」.

222

.•.△CO尸的面积为工.

2

11.正方形ABC。的边长为4,将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB边落在X轴的正

半轴上，且A点的坐标是（1,0）.

(1)直线y=&无望经过点C,且与无轴交于点E,求四边形AECD的面积；

33

(2)若直线/经过点E,且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线I的解析式；

(3)若直线/1经过点尸(-尚，0),且与直线y=3x平行，将(2)中直线/沿着y轴向

上平移2个单位交轴尤于点交直线/1于点N,求的面积.

3

令>=4,即9X卫=4,

33

解得：x=5,则3的坐标是（5,0）；

令y=0,即4x卫=0,

,33

解得：尤=2,则E的坐标是（2,0）.

贝ijOB=5,OE=2,BE=OB-OA=5-2=3,

：.AE^AB-BE=4-3=1,

S四边形AECD=^CAE+CD>AD=^-（4+1）X4=10；

22

(2)经过点E且将正方形ABC。分成面积相等的两部分，则直线与CO的交点R必有

CF=AE=1,则/的坐标是(4,4).

设直线的解析式是y=fcc+b,则

(4k+b=4

l2k+b=0'

解得：产.

lb=-4

则直线/的解析式是：y=2x-4；

(3)"经过点0)且与直线尸力平行,

设直线Z1的解析式是y\=kx+b,

则：k=3,

代入得：0=3X(-2)+b,

2

解得：b=，,

2

,2

已知将(2)中直线/沿着y轴向上平移个单位，则所得的直线的解析式是尸2厂4+全

即：y—2.x-3—,

3

当y=0时，x=-1-,

：.M（旦，0）,

3

y=3x1,5

-

解方程组，得一X=-7T6,

y=2x-3—

oy=-19

即：N（-7立,-19）,

6

SAWF=—X[-§-（-旦）]X|-19|=361

232IT

答：△可“的面积是-^1.

12

12.如图，直线y=2无+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△042绕点。顺时针旋转90°

得到△0CD

(1)求经过A、B、。三点的抛物线的解析式；

(2)在所求的抛物线上是否存在一点P,使直线CP把△08分成面积相等的两部分?

如果存在，求出点尸的坐标；如果不存在，请说明理由.

解：（1）在>=级+4中，分别令y=0和x=0来得到：A（-2,0）、8（0,4）、

。点是因为旋转，OD=OB,所以，D点（4,0）；

C点也是因为旋转，OA=OC,所以，C点（0,2）；

设经过A、B、。的抛物线解析式为>=/+版+。，

则有：4a-2b+c=0①，c=4②，16a+4b+c=0③（3分）

解①②③得：a=-^",6=1,c=4,

2

抛物线的解析式为：y=-^x2+x+4-（4分）

（2）若存在点尸满足条件，则直线CP必经过。。的中点E（2,0）；（5分）

易知经过C、E的直线为y=-x+2,（6分）

于是可设点P的坐标为P（m,-m+2）；

X各P（771,-帆+2）彳弋y=―x乙+x+4

得：1m2tm+4=-m+2，（7分）

整理，得：m2-4m-4=0,

?

解得：mi=2+2&，m2=2-2V2

所以满足条件的点尸有两个：P1（2+2&,-2&）,P2（2-2^2,2^）・（9分）

13.已知菱形0A8C在坐标系中的位置如图所示，。是坐标原点，点C(l,2),点A在x

轴上.点M(0,2).

B

备用图1各用图2

(1)点P是直线。8上的动点，求PM+PC最小值.

(2)将直线y=-尤-1向上平移，得到直线尸质+6.

①当直线与线段OC有公共点时，结合图象，直接写出6的取值范围.

②当直线y=kt+b将四边形。1BC分成面积相等的两部分时，求上b.

解：(1)由已知，OA=OC=<^22+12=-75,连接AC、AM,如图1所示.

•.•四边形。48c是菱形，

：.PC=PA,

：.PC+PM=PM+PA^AM,

即PC+PMWVOM2-K)A2=V22+(V5)2=3-

(2)•；y=fcc+b为y=-x-1平移得来的，

:.k=-1.

①依照题意画出图形，如图2所示.

结合函数图象可知，当点0在直线y=-x+6上时，6最小，止匕时b=0；

当点C在直线y=-尤+6上时，6值最大，

•.•点C（1,2）,

；.2=-1+b,解得：6=3.

故0W6W3.

②连接AC、OB,设AC与的交点为D,当直线y=-x+b过点。时，直线y=-x+b

将四边形0ABe分成面积相等的两部分，如图3所示.

V0A=0C=V5>

.,.点A（V5>o）.

:四边形。4BC为菱形，C（1,2）,A（疾,0）,

点。（止区，1）.

2

直线y=-x+b过点D,

.-.1=解得：/,=3+75_

22

当直线y=fcc+b将四边形048c分成面积相等的两部分时，k=-\,6=之算.

(2)过点C作CO〃x轴，交抛物线于。，是否存在直线>=息+1将四边形ACDB分成

面积相等的两部分，若存在，请求上的值；若不存在，请说明理由；

(3)若直线(-3<m<0)与线段AC、BC分别交于。、£两点，则在x轴上是否

存在点P,使得为等腰直角三角形，若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说

.[4a+2b-3=-3

"la-b-3=0'

解得a=l,b=-2,

所以抛物线的解析式为：y=/-2x-3；

(2)设直线y=fcc+l与x轴交于点E,于CD交于点F,

A(-1,0),B(3,0),

E(二，0),F(-A,-3);

kk

s四边形ACFE=」CCF+AE>OC=^-(1上)；

22K

s四边形EFOB=2(DF+BE)・OC=3(5金)；

22K

即(1R)=(53),k=卫

KK2

(3)存在点尸.直线y=机与y轴交点为F(0,m),

①当OE为腰时，分别过。、E作。Pi_Lx轴于Pi,

作EP2，x轴于尸2；如图，

则△OP1E和△OEP2均为等腰直角三角形，

又DPi=DE=EPz=OF=-m,又-XA=3+1=4,

又XECDsXBCA,即口盘也，

43

即m=P\(&,0),尸2(―,0)；

777

②当。E为底时，过尸3作GP3LOE于G,如图，

又DG=GE=GP3=OF=-m,由△ECOs^BCA,

43

即m=力；P3(―,0)

55

15.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,AB=50,AC=30,矩形。EFG的顶点G与AABC

的顶点C重合，边GD、GF分别与AC,8C重合.GD=12,GF=16,矩形。EEG沿射

线CB的方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，点。从点2出发沿BA方向以每秒5

个单位长的速度匀速运动，过点Q作射线QKLA8,交折线BC-CA于点”，矩形DEFG、

点。同时出发，当点Q到达点A时停止运动,矩形OEPG也随之停止运动.设矩形DEFG,

点。运动的时间是f秒G>0).

(1)求线段。厂的长；

(2)求运动过程中，矩形QEFG与Rt^ABC重叠部分的面积s与/的函数关系式(写出

自变量的取值范围)；

(3)射线。K能否把矩形。E/G分成面积相等的两部分？若能，求出f值；若不能，说

明理由；

解：(1)如图1：连接。凡在Rt/XCQ尸中，CD=\2,CF=16,

根据勾股定理：

DF—d122+162=20；

(2)•.•在RtZXABC中，ZC=90°,AB=50,AC=30,

.•皿=、研2-A，2=4°,

根据题意得：当/=强=10时，停止运动；

5

如图2：当点E在A5上时，

VZC=90°,ZEFG=90°,

：.EF//AC,

：.△BEFs/\BAC,

：.EF：AC=BF：BC,

A12：30=8人40,

・・・8尸=16,

ACG=BC-BF-GF=40-16-16=8,

此时，/=8+4=2；

如图3：当尸与5重合时，

CG=BC-8G=40-16=24,

止匕时，/=24+4=6,

：tanNABC=£=g，tanZGBD=^-=^,

BC4BG4

此时，点。在直线AB上；

①当0<7W2时，s=S矩形DEFG=12X16=192,

②如图4：当2<fW6时，设矩形AEFG的边交BC于点边DE交AB于点、N

"：BF=24-4ftanB=典用

404

；.MF=^-(24-4f)=18-3r,

4

：.EM=EF-FM=12-(18-3f)=3f-6,

：.NE=^EM^4t-S,

3

；.s=S矩形。EFG-SAEMN=192-工EA/*EN=192-6(r-2)2,

2

③如图5：当6<fW10时，设。G与AB交于点M,BG=40-4r,

则MG=^BG=3Q-3f,

4

贝IS=SABMG=2BG・MG=」义(40-4f)(30-3力=6(10-Z)2；

22

(3)能，

如图6：当QK经过矩形。EFG的对称中心。时，就可以把矩形DEPG分成面积相等的

两部分；

:在Rt/XGO尸与RtZkCAB中，tan/GOF=^=&=g，tanZB=-^=-^-,

GF164BC4

:・/GFD=/B,

：.DF//AB,

•・•—OF——HF,

QBBH

•.3=20,

：.OF=lO,

'：BF=24-4t,HF=-1-0F=-y-,QB=5t,

；.BH=BF+FH=24-4t+—,

2

25

.io_~T

解得：f=口;

41

(4)如图7：过点。作MALLAB于N,交BC于

VZGMD+ZB=90°,ZGMD+ZGDM=9Q°,

：.ZGDM=ZB,

：.GM=GO•tanZGDM=旦X12=9,

4

DM=22

VDG-K；M=15，

VBG=40-At,

：.BM=BG+GM=4Q-4f+9=49-4t,

：.MN=BM-cosZB=^~(49-4?),

5

:.DN=MN-DM=3(49-40-15,

5

,/QH=与X5f=生3

444

'JDH//AB,

:.QH=DN,

则21r=3(49-4f)-15,

45

解得片明

41

故”直为生.

41

图6图7

16.已知m,w是方程/-6x+5=0的两个实数根，且〃z<〃.如图，若抛物线/：y=-x2+bx+c

的图象经过点A（m,0）,B（0,"）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为D,求C,。的坐标

和△BC。的面积；

（3）已知尸是线段OC上一点，过点P作PHLx轴，交抛物线于点H,若直线8。把4

PC”分成面积相等的两部分，求尸点的坐标.

D»

解：⑴由方程7-6x+5=0得xi=l,x2=5,

•：m<n,

••Z21=1,〃=5,

.e.A(1,0),B(0,5).

把A(1,0),B(0,5)代入y=-/+6x+c得：J-1+b+c=0

Ic=5

解得修4,

Ic=5

抛物线的解析式y=-/-4x+5；

(2)C(-5,0),D(-2,9),

过。作DELx轴于E,

,:易得E(-2,0).

15+qi

.".SABCD^SACDE+S梯彩OBDE-SAOBC=-x3X9-H-y-X2aX5X5=15；

(3)设尸(a,0),则H(a,-a2-4a+5),由于直线3C把分成面积相等的两

部分，

2

须且只须BC等分线段尸打，亦即尸X