中考数学复习特训:几何证明 解答压轴题(十三大题型含六大模型+三大中考热点题型)解析版_第1页
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文档简介

特训06几何证明解答压轴题(十三大题型,含六大模型+三大中考热点题型)

目录

1:垂线模型

型2:一线三等角模型

型3:手拉手模型

型4:旋转模型

型5:倍长中线模型

题6:截长补短模型

题7:线段的垂直平分线的综合应用

题8:角的平分线的综合应用

题9:直角三角形的性质综合应用

题10:勾股定理的综合应用

题11:中考热点题型1—几何中的分类讨论

题12:中考热点题型2—作平行线

13:中考热点题型2—作垂线

题型1:垂线模型

1.如图,已知VABC中,AB=AC,ABAC=90°,分别过8、C向过A的直线作垂线,垂足分别为E、P.

(1)如图1,过A的直线与斜边BC不相交时,直接写出线段所、BE、CP的数量关系是;

(2)如图2,过A的直线与斜边2c相交时,探究线段所、BE、CP的数量关系并加以证明;

(3)在(2)的条件下,如图3,直线2交BC于点延长3E交AC于点G,连接3尸、FG、HG,若

ZAHB=NGHC,EF=CF=6,EH=2FH,四边形A2FG的面积是90,求GHC的面积.

【分析】(1)数量关系为:EF=BE+CF.利用一线三直角得到/BEA=NAFC=90。,ZEBA=ZFAC,再证

△EBA咨AFECCAAS)可得AE=CF即可;

(2)数量关系为:EF=BE-CF.先证尸C=90。,ZEBA+ZEAB=90°,ZEAB+ZFAC==90°,可

得/EBA=NFAC,再证△EBA四△FEC(A4S),可得8E=ARAE=CP即可;

(3)先由(2)结论*BE-CF;EF=CF=6,求出BE=AF=12,由EH=2FH,可求FW=2,EH=4,利

用对角线垂直的四边形面积可求BG=V|^=¥;=15,再求EG=3,AH=10,分别求出SAACF=4

AFFC=36,SAHCF=LHFFC=6,S^AGH=-AH­EG=15,利用面积差即可求出.

22

【详解】解:⑴数量关系为:EF=BE+CF.

■:BE2EF,CFLEF,ZBAC=90°,

:.ZBEA=ZAFC=90°,ZEBA^-ZEAB=90°,ZEAB+ZFAC=1SO°-ZBAC=9O°,

:.ZEBA=ZFAC,

在^£84和4/EC中,

ZAEB=ZCFA

•;lzEBA=ZFAC9

AB=CA

:・XEB器匕FAC(AAS),

・:BE=AF,AE=CF,

:.EF=AF+AE=BE+CF;

(2)数量关系为:EF=BE-CF.

VBE±AF,CF±AF,ZBAC=90°,

:.ZBEA=ZAFC=90°,ZEBA+ZEAB=90°,ZEAB+ZFAC==90°,

:.ZEBA=ZFACf

在^EBAbEC中,

NAEB=ZCFA

•:\AEBA=AFAC,

AB=CA

FAC(AAS),

・:BE=AF,AE=CF,

:.EF=AF-AE=BE-CF;

(3)•;EF=BE-CF;EF=CF=6,

:.BE=AF=EF+CF=6+6=12,

*:EH=2FH,EH+FH=EF=6,

:・2FH+FH=6,

解得FH=2,

;・EH=2FH=4,

S四边形ABFG=|AFBG=90,

:.BG=2=吧=15

AF12

EG=BG-BE=15-12=3,AH=AE+EH=6+4=10,

VSAACF=-AFFC=-X12X6=36,HCF=-HF-FC=-x2x6=6,SAGH=-AH-EG=-xl0x3=15,

22222A2

SAGHC=SAACF-SAHCF-SAAGH=36-6-15=15.

【点睛】本题考查图形变换探究线段和差问题,感知,探究以及应用,三角形全等判定与性质,三角形面

积,四边形面积,与三角形高有关的计算,掌握图形变换探究线段和差问题,感知,探究以及应用,三角

形全等判定与性质,三角形面积,四边形面积,与三角形高有关的计算是解题关键.

题型2:一线三等角模型

证:BC=AE.

[模型应用]如图2,钻_£48且松=48,BCLCD且请按照图中所标注的数据,计算图中实线

所围成的图形的面积为.

[深入探究]如图3,ZBAD=ZCAE=90°,AB=AD,AC=AE,连接BC,DE,且5CLAF于点RDE

与直线■交于点G.若3C=21,AF=12,则△AZ)G的面积为.

【答案】[模型呈现]见解析;[模型应用]50;[深入探究]63

【分析】[模型呈现]证明A4BC9根据全等三角形的对应边相等得到5c=他;

[模型应用]根据全等三角形的性质得到AP=BG=3,AG=EP=6,CG=DH=4,CG=BG=3,根据梯形

的面积公式计算,得到答案;

[深入探究]过点。作加,AG于尸,过点E作石Q,AG交AG的延长线于。根据全等三角形的性质得到

DP=AF=12,EQ=AF=12,AP=BF,AQ=CF,证明一。尸Gg/EQG,得到PG=G。.,进而求出AG,根

据三角形的面积公式计算即可.

【解析】[模型呈现]证明:・・・NB4D=90。,

・•・ABAC+ZDAE=90°,

•:BC±AC,DE,LAC,

:.ZACB=ZDEA=90°,

:.ABAC-^-ZABC=90°,

:.ZABC=ZDAE,

在,ABC和-DIE1。

ZABC=ZDAE

<ZACB=/DAE,

BA=AD

:.ABC^DAE(AAS),

:.BC=AE-

[模型应用]解:由[模型呈现]可知,「AEPWBAGQCBG'DCH,

:.AP=BG=3,AG=EP=6,CG=DH=4,CG=BG=3,

贝US实线围成的图形=—(4+6)x(3+6+4+3)——x3x6——x3x6——x3x4——x3x4=50,

乙乙乙乙乙

故答案为:50;

[深入探究]过点。作OP,AG于P,过点E作石Q,AG交AG的延长线于Q,

由[模型呈现]可知,AFB”DPA,.AFC冬..EQA,

DP=AF=12,EQ=AF=12,AP=BF,AQ=CF,

在ADPG和二EQG中,

ZDPG=ZEQG

<ZDGP=ZEGQ,

DP=EQ

:.DPGAEQG(AAS),

.・・PG=GQ,

・.•BC=21,

:.AQ+AP=21f

:.AP+AP+PG+PG=21,

・•・AG=AP+PG=10.5,

S=gx10.5x12=63,

故答案为:63.

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算,熟记三角形确定的判定定理是解题

的关键.

题型3:手拉手模型

3.已知:△ABC与△8OE都是等腰三角形.BA=BC,BD=BE(AB>BD)且有

(1)如图1,如果A、B、D在一直线上,且NABC=60。,求证:△是等边三角形;

(2)在第(1)问的情况下,直线AE和C。的夹角是。;

(3)如图2,若A、B、。不在一直线上,但NABC=60。的条件不变则直线AE和C。的夹角是°;

(4)如图3,若/AC8=60。,直线AE和CD的夹角是°.

【答案】(1)证明见解析;(2)60;(3)60;(4)60;

【分析】(1)根据题意,得/ABC=NDBE=60。,从而得ZABE=ZDBC;通过证明,ASE乌,C8D,得

ZBAE=ZBCD;通过证明BAM-BCN,得BM=BN,根据等边三角形的性质分析,即可完成证明;

(2)结合题意,通过证明VABC为等边三角形,得NA4C=NBC4=60。;结合(1)的结论,根据三角形

外角性质,推导得NA8=120。,从而完成求解;

(3)同理,通过证明VABC为等边三角形,得/瓦IC=NBG4=6O。;通过证明ABE-CBD,得

ZBAE=/BCD;根据三角形外角性质,推导得48=120。,从而完成求解;

(4)根据题意,通过证明VABC为等边三角形,推导得NABE=NCB。,通过证明ABE”CBD,得

NBAE=NBCD,结合三角形外角的性质计算,即可得到答案.

【详解】(1)ZABC=ZDBE=60°

:.ZMBN=1SO°-ZABC-ZDBE=6O°,ZABE=AABC+ZMBN,NDBC=NDBE+ZMBN

:.ZABE=ZDBC

*:BA=BC,BD=BE

..ABE和△CBD中

BA=BC

</ABE=NDBC

BE=BD

:.ABE^-CBD

:.ZBAE=ZBCD

和ABCN中

-/BAE=/BCD

<AB=BC

/ABC=/MBN=60°

・•・BAM均BCN

:.BM=BN

・•・BMN为等边三角形;

(2)VZABC=ZDBE=60°,BA=BC

・•・VA5C为等边三角形;

ZBAC=ZBCA=60°

根据题意,AE和。。相交于点O

•;/BAE=ZBCD

:.ZAOD=AOAC+ZACO=/OAC+/BCA+/BCD=ZOAC+ZBC4+/BAE

■:/OAC+/BAE=/BAC

:.ZAOD=NBAC+NBCA=120°

JZAOC=180°-ZAOD=60°,即直线AE和CD的夹角是60。

故答案为:60;

(3)VZABC=ZDBE=60°,BA=BC

・・・VABC为等边三角形;

・•・ZBAC=ZBCA=60°

VZABE=ZABC+ZMBN,/DBC=/DBE+ZMBN,ZABC=ZDBE=6Q°

:.ZABE=ZDBC

*:BA=BC,BD=BE

石和△CBD中

'BA=BC

<NABE=ZDBC

BE=BD

:.ABE-CBD

:.ZBAE=ZBCD

如图,延长AE,交CO于点。

・•・ZAOD=AOAC+ZACO=ZQ4C+ZBC4+/BCD=ZQ4C+ZBG4+ZBAE

•・•ZOAC+ZBAE=ZBAC

:.ZAOD=/BAC+NBCA=120°

・•・ZAOC=180°-ZAOD=60°,即直线AE和CD的夹角是60。

故答案为:60;

(4)*:BA=BC,

:.ZACB=ZCAB

ZACB=60°

:.ZACB=ZCAB=60°

・•・VABC为等边三角形

•:BD=BE,ZABC=ZDBE

:.ZDBE=60°

VZABE=ZABC-ZCBE,ZCBD=ZDBE-ZCBE

:.ZABE=ZCBD

A5E1和△CBD中

BA=BC

</ABE=NDBC

BE=BD

:.,ABEMCBD

:.NBAE=ZBCD

分别延长CD、AE,相较于点O,如下图:

ZAOF=AOAC+ZACO=ZOAC+ZBCA+/BCD=ZOAC+ZBCA+ZBAE

•••ZOAC+ZBAE=ABAC

:.ZAOF=ZBAC+ZBCA=120°

ZAOC=180°-ZAOF=60。,即直线AE和CO的夹角是60°

故答案为:60.

【点睛】本题考查了等腰三角形、等边三角形、全等三角形、补角、三角形外角的知识;解题的关键是熟

练掌握等边三角形、全等三角形、三角形外角的性质,从而完成求解.

题型4:旋转模型

4.如图,等边VA3C中,DE7/BA分别交BC、AC于点E.

(1)求证:,.CDE是等边三角形;

(2)将CDE绕点C顺时针旋转,(0。<6<360。),设直线AE与直线8£>相交于点尸.

①如图,当0。<。<180。时,判断N/aB的度数是否为定值,若是,求出该定值;若不是,说明理由;

②若AB=7,CD=3,当B,D,E三点共线时,求5。的长.

A

【答案】(1)见解析;(2)①/4FB的度数是定值,为60。;②5。=5或8.

【分析】(1)根据等边三角形的性质,可得NB4C=NABC=NACB=60。,再由DE〃血,可得到

ZEDC=ZABC=60。,ZDEC=ZBAC=60°f从而得到NXDC=NDEC=NC,即可求证;

(2)根据题意,可证得"CDmACE,从而得到NCBD=NC4E,再根据三角形的内角和等于180。,即

可求解;

(3)分两种情况讨论:当B,D,E三点共线,且。石在5。上方时,当5,D,E三点共线,且。石在

3C下方时,即可求解.

【详解】证明:(1)ABC是等边三角形,

・•・ZBAC=ZABC=ZACB=60°,

•.・DE//BA,

ZEDC=ZABC=6O°,ZDEC=ZBAC=60°,

ZEDC=ZDEC=ZC,

・•・CD石是等边三角形;

(2)解:①“B的度数是定值,理由如下:

AABC,ACDE是等边三角形,

:.BC=AC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,

:.ZBCD=ZACE,

在△5CD和ZVICE1中,

BC=AC

</BCD=/ACE,

CD=CE

:.BCDwACE(SAS),

・•・ZCBD=ZCAE,

又•:Z1=Z2,

:.ZAFB=ZACB=60°,

即/位中的度数是定值,为60。;

②当3,D,E三点共线,且OE在8C上方时,过点C作CFLDE,

A

:CDE是等边三角形,CFLDE,

13

DF=-CD=~,

22

在Rt^a年中,由勾股定理得:

CF=YJCD2-DF2

2

133

:.BD=BF-FD=-----=5;

22

当B,D,E三点共线,且。E在3c下方时

A

综上所述,3£)=5或8.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定,全等三角形的判定和性质,图形的旋转,熟练掌握相

关知识点是解题的关键.

题型5:倍长中线模型

5.(1)如图1,在AABC中,AB=4,AC=6,是BC边上的中线,延长到点E使。E=A。,连接

CE,把AB,AC,2A。集中在AACE中,利用三角形三边关系可得A。的取值范围是;

(2)如图2,在AABC中,是边上的中线,点、E,尸分别在AB,AC上,5.DE1DF,求证:BE

+CF>EF;

(3)如图3,在四边形4BC。中,/A为钝角,/C为锐角,ZB+ZADC=180°,DA=DC,E,尸分

别在BC,A8上,且NEDF=g/AOC,连接EF,试探索线段AF,EF,CE之间的数量关系,并加以证

2

明.

【答案】(1)1<AZ)<5:(2)见解析;(3)AF+EC=EF,见解析

【分析】⑴证明「CDE空皮推出CE=AB=4,在八40£中,利用三角形的三边关系解决问题即

可.

(2)如图2中,延长ED到使得DH=DE,连接DH,FH.证明BDEqCDH(SAS),推出BE=CH,

再证明EF=FH,利用三角形的三边关系即可解决问题.

(3)结论:AF+EC=EF.延长BC到H,使得CH=AF.提供两次全等证明AF=CE,£F=EH即可解决问题.

【详解】(1),:CD=BD,AD=DE,ZCDE=ZADB,

:..CDE^ABOA(SAS),

:.EC=AB=4,

V6-4cAE<6+4,

:.2<2AD<10,

:.1<AD<5,

故答案为:

(2)如图2中,延长ED到H,使得。H=Z)E,连接DH,FH.

ABDE^/XCDH(SAS),

:.BE=CH,

':FD±EH,又DE=DH,

:.EF=FH,在中,CH+CF>FH,

":CH=BE,FH=EF,

:・BE+CF>EF;

(3)结论:AF+EC=EF.理由:延长8C到“,使得CH=AF.

VZB+ZAZ)C=180°,

JZA+ZBC£>=180°,

•;/DCH+NBCD=180。,

NA=/DCH,

•:AF=CH,AD=CD,

:.AFD^CHD(SAS),

:.DF=DH,ZADF=ZCDH,

:.ZADC=ZFDH,

*:ZEDF=-NA。。,

2

ZEDF=-/FDH,

2

・•・/EDF=/EDH,

•:DE=DE,

/\FDF^/\FDH(SAS),

:・EF=EH,

EH=EC+CH=EC+AF,

:.EF=AF+EC.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,三角形的中线的性质,三角形的三边关系等知识,解题的

关键是学会倍长中线,构造全等三角形解决问题,属于中考常考题型.

题型6:截长补短模型

6.问题背景:

如图1:在四边形A5CD中,AB=AD.ZBAD=120°.ZB=ZADC=90°.E,尸分别是3C.CD上的点,且

NE4尸=60。,探究图中线段3瓦EF,尸。之间的数量关系.

(1)小王同学探究此问题的方法是:延长阳到点G.使。G=BE.连接AG,先证明△ABEgAAOG,再证

明AAEF丝AAG凡可得出结论,他的结论应是_;(直接写结论,不需证明)

探索延伸:

⑵如图2,若在四边形ABC。中,AB=AD,ZB+ZADF=180°.E,尸分别是8C,CD上的点,且NEAP=;

/BAD,(1)中结论是否仍然成立,并说明理由;

⑶如图3,在四边形ABCD,AB=AD,ZB+ZADC=180°,E、尸分别是边BC、CD延长线上的点,且/014

^ZBAD,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明:若不成立,请直接写出它们之间的数量关系.

【答案】{V)EF=BE+FD

(2)(1)中的结论EF=8E+FD仍然成立.证明见解析;

⑶结论EF=8E+ED不成立,结论是:EF=BE-FD.证明见解析.

【分析】(1)延长加到点G.使。G=BE.连接AG,利用全等三角形的性质解决问题即可;

(2)延长CB至使BM=DF,连接AM.证明△ABM^AAZ)F(SAS),由全等三角形的性质得出AF=AM,

Z2=Z3.AAME^/\AFE(SAS),由全等三角形的性质得出EF=BE+BM,则可得出结论;

(3)在8E上截取BG,使BG=OF,连接AG.证明△ABG经△AD尸(SAS).由全等三角形的性质得出

ZBAG=ZDAF,AG=AF.证明△AEGgAAEP(SAS),由全等三角形的性质得出结论.

【详解】(1)解:EF=BE+FD.

延长尸。到点G.使。G=8E.连接AG,

ZABE=ZADG=ZADC=9Q°,AB=AD,

:.^ABE^^ADG(SAS).

:.AE=AG,ZBAE=ZDAG.

:.ZBAE+ZDAF=ZDAG+ZDAF=ZEAF=60°.

:.ZGAF=ZEAF=6Q°.

^L':AF=AF,

:.^AGF^^AEF(SAS).

:.FG=EF.

,:FG=DF+DG.

:・EF=BE+FD.

故答案为:EF=BE+FD;

(2)解:(1)中的结论石尸=88+尸。仍然成立.

证明:如图②中,延长C3至使忆连接AM.

VZABC+Z£>=180°,Z1+ZABC=18O°,

.\Z1=ZZ),

在△与△A。/中,

AB=AD

<Z1=ZD,

BM=DF

:.AABM^AADF(SAS).

:.AF=AM,Z2=Z3.

9:ZEAF=-ZBAD,

2

Z2+Z4=-ZBAD=ZEAF.

2

AZ3+Z4=ZEAF,^ZMAE=ZEAF,

在△AME与△A尸E中,

'AM=AF

</MAE=ZEAF,

AE=AE

:.AAME^AAFE(SAS).

:.EF=ME,即

:.EF=BE+DF;

(3)解:结论不成立,结论:EF=BE-FD.

证明:如图③中,在3E上截取BG,使BG=DF,连接AG.

VZB+ZAZ)C=180°,ZADF+ZADC=180°f

ZB=ZADF.

在△A8G与△A。/中,

'AB=AD

<ZABG=ZADF,

BG=DF

:.AABG^AADF(SAS).

:.ZBAG=ZDAF,AG=AF.

:.ZBAG+ZEAD=ZDAF^-ZEAD=ZEAF=-ZBAD.

2

:.ZGAE=ZEAF.

\'AE=AE,

:.AAEG^AAEF(SAS),

:.EG=EF,

•:EG=BE-BG,

:.EF=BE-FD.

【点睛】本题是三角形综合题,考查了三角形全等的判定和性质等知识,解题的关键是添加辅助线,构造

全等三角形解决问题.

题型7:线段的垂直平分线的综合应用

7.如图,在,ABC中,AB=AC,ABAC=90°.

(1)如图1,B。平分NABC交AC于点。,歹为BC上一点,连接AR交BD于点E.

①若AB=BF,求证:BD垂直平分AF;

②若AF_LfiD,求证:AD=CF.

(2)如图2,BD平分/A3C交AC于点£>,CE1BD,垂足E在BD的延长线上.试判断线段CE和BD的数量

关系,并说明理由.

(3)如图3,尸为BC上一点,NEFC=;NB,CE1EF,垂足为E,E户与AC交于点。.写出线段CE和

即的数量关系(不要求写出过程).

【答案】(1)①见解析;②见解析

(2)BD=2CE,理由见解析

⑶CE=;FD

【分析】(1)①由等腰三角形的性质可得出答案;

②过点C作CM,A尸交A尸的延长线于点“,证明ABE^.C4M(AAS),由全等三角形的性质得出

AE=CM,证明AAED之一CMF(ASA),则可得出AD=CF;

(2)延长54、CE相交于点尸,利用“角边角”证明.3CE和一段E全等,根据全等三角形对应边相等可得

CE=EF,根据等角的余角相等求出/ABD=NACF,然后利用“角边角”证明和ACF全等,根据

全等三角形对应边相等可得30=CF,然后求解即可.

(3)过点下作PG〃区4,交AC于H,交CE的延长线于点G.证明CEF均GEF(ASA),由全等三角形

的性质得出CE=GE,证明LCG“四AFD"(ASA),得出CG=O7<则可得出结论.

【详解】⑴①证明:AB=BF,BD平分ZABC,

:.BE±AF,AE=EF,

即BD垂直平分AF;

②证明:过点C作CMLAF交A尸的延长线于点Af,

:.ZCAM^ZABE,

在.ABE和CAM4>,

ZAEB=ZAMC

</ABE=ZCAM,

AB=AC

ABE咨CW(AAS),

:.AE=CM,

AF±BD,AF1CM,

BD//CMf

:"FCM=/CBD,

3。平分ZA5C,

:.ZABD=/CBD,

.\ZFCM=ZABDf

:"FCM=/EAD,

在AA£D和CMF中,

/EAD=ZFCM

<ZAED=ZCMF,

AE=CM

AED^CMF(ASA),

:.AD=CF;

(2)解:BD=2CE.

理由如下:如图2,延长B4、CE相交于点尸,

3。平分ZA3C,

:.ZABD=/CBD,

在一BCE和二瓦芯中,

ZCBE=ZFBE

<BE=BE

ZBEF=/BEC=90°

BCEWBFE(ASA),

;.CE=EF,

ABAC=90°,CE上BD,

/.ZACF+ZF=90°,ZABD+ZF=90°,

:.ZABD=ZACFf

在[ABD和ACF中,

ZABD=ZACF

<AB=AC,

ABAC=ZCAF=90°

,ABD^ACF(ASA),

:.BD=CFf

CF=CE+EF=2CE,

:.BD=2CE.

(3)解:CEJFD.过点尸作尸G〃区4,交AC于H,交CE的延长线于点G.

2

;./EFC=/GFE,

又CELFE,

:.ZCEF=ZGEF=90°,

在/CEF和GEF中,

ZCFE=ZGFE

<FE=FE,

ZFEC=ZFEG

:qCEF务GEF(ASA),

:.CE=GE,即C£」cG,

2

FG//AB,ZA=90°fAB=ACf

:"CHG=/DHF=90°,CH=FH.

又Z.GCH=ZDFH,

.hCGH-FDH(ASA),

:.CG=DF.

:.CE=LFD.

2

【点睛】本题是三角形综合题,考查了全等三角形的判定与性质,平行线的性质,等腰三角形的性质,等

角的余角相等的性质,熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键.

8.如图,四边形OACB中,OA±OB,联结OC,SLOA=OB=OC,分别作AC于点E,OF_L3c于

点、F,垂足分别为E、

图1图2备用图

(1)如图1,当OC为ZAO3的平分线时,试说明:OC1EF;

(2)如图2,延长昉、OE交于点。,

①直接写出线段C。、OF、M之间的数量关系

②联结AD,若=8,求四边形Q4O3的面积.

【答案】(1)见解析

(2)@OF=DC+BF;@64

【分析】(1)利用AOC咨,BOC(SAS)和OEC也;ORC(AAS)得至〕JOE=O尸,CE=CF即可得出结论;

(2)①利用三角形内角和性质得到,ECD的度数,从而得出△“已是等腰直角三角形,由

OF=DF=DC+CF=DC+BF即可得到结果;

②根据S四边形AOBD=S&AOD+S^COD+$AOFC+SAOFB即可求解・

【详解】(1)证明:・・・。。是—AO5是平分线,

ZAOC=/BOC,

OA=OB

在△AOC和.30。中,<ZAOC=/BOC,

OC=OC

:.AOC^BOC(SAS),

NOCA=/OCB,

VOELAC,OF±BC,

:.ZOEC=ZOFC=90°,

ZOEC=/OFC

在△OEC和△QFC中,</OCE=NOCF,

OC=OC

:.OFC(AAS),

AOE=OF,CE=CF,

・•・oc垂直平分斯,

・・・OC.LEF;

(2)解:®OF=DC+BF^

•:OA=OC=OB,

.yMNAOC,ZOCB=i^-ZBOC

22

.360°-(ZAOC+ZBOC)

..ZOCA+ZOCB=-------------------------------二

2

360°-ZAOB360°-90°…。

------------------=--------------=135,

22

/ECD=180°-(ZOC4+ZOCB)=45°,

丁OE1AC,ZOEC=90°,

ZD=ZOEC-ZECD=45°,

*:OB=OC,OFIBC,

:.ZOFC=9009CF=BF9

・・・△OED是等腰直角三角形,

OF=DF=DC+CF=DC+BF,

:.OF=DC+BF;

②由①知△OQ尸是等腰直角三角形,

D

oB

;.OF=DF=8,ZOFD=90°f

*:OF±BGOB=OC,

:.ZOFC=ZOFB=90°,CF=BF,

OF=OF

在△。尸。和△。尸B中,</OFC=/OFB,

CF=BF

:.OFC^OFB(SAS),

•Q—V

,,UAOFC一屋OFB,

':OA=OC,OELAC,

・,・OE垂直平分AC,

:.DA=DC,

OA=OC

在△AOD和△CQD中,\DA=DC,

OD=OD

AOD^cor>(sss),

,•S"QO-S^COD,

,•S四边形AO3D=^^AOD+S^COD+^AOFC+ZoFB=2(SMO0+2OFc)

=2se)尸=2x—x8x8=64.

lA\ULJr2

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理,熟练掌握全等三

角形的判定定理是解题的关键.

题型8:角的平分线的综合应用

9.【发现】如图1,ZABC=ZC=90°,E为BC的中点,OE平分/ADC,过点E作EF2AD,垂足为

F,连接AE.

(1)求证:AE是N7MB的平分线;

【拓展】如图2,AB//DC,44D和NADC的平分线AE和DE相交于点E,过点E的直线与A5,DC分

别相交于点8,C(点8,C在的同侧).

(2)判断E是否为线段BC的中点,并说明理由;

(3)若四边形ABCD的面积为16,ABE的面积为2,则「CDE的面积是.

【答案】(1)见解析;(2)E为线段BC的中点,理由见解析;(3)6

【分析】本题主要考查角平分线性质定理与判定定理、线段垂直平分线的性质及全等三角形的判定和性质,

正确作出辅助线是解决此题的关键.

(1)由题意得砂=EC和EB=EC,根据角平分线的判定定理即可判定;

(2)过点E作AB的垂线,交的延长线于点/,交于点G,有FGLCD.作即LAD于点尸,由角

平分线的性质可得即=EG,证得△3£F0Z\CEG,即可求证;

(3)因为▲入£?四一AEF和有%防+SAOEG=;$四边形AR®,根据43跖四△CEG,得到

^△ABE+SADCE=]S四边形ABCD即可.

【详解】(1)证明:NC=90。,

:.ECLCD.

又・EFLAD,DE平分NADC,

:.EF=EC.

E为8C的中点,

/.EB=EC,

:.EF=EB.

ZABC=90°,

:.EB.LAB.

又石尸_LAZ),

.:AE1是mm的平分线;

(2)解:石为线段BC的中点;

理由:过点E作A3的垂线,交A5的延长线于点尸,交于点G,如图,

,ABCD,

:.FG±CD.

作于点尸,由角平分线的性质可得£F=EP=£G.

在AB石厂与二CEG中,

ZEFB=ZEGC=90°

<EF=EG,

NBEF=NCEG

Z.BEF^fCEG(ASA),

:.BE=CE,

为线段BC的中点;

(3)解:在△%£尸和ZkAE尸中,

ZEAP=ZEAF

<ZAPE=ZAFE,

EP=EF

:.AEF(AAS),

则SAEP—SAEF,

同理可证△OEPg/XDEG,则SVOEP=SYDEG,

…S^AEF+S^DEG=5S四边形A产GO•

又.&BEF学ACEG,

一SBEF=SCEG,

一^AABE+S/\DCE=]S四边形Ageo=,

•・SCDE=8—2=6.

10.如图,△CAB与.CDE中,ZACB=ZDCE=90°,CA=CB,CD=CE,ZCAB=ZCBA=45°,

ZCDE=ZCED=45°,连接AD、BE.

图l图2图3

(1)如图1,若NC4r>=20。,ZDCB=26。,求NDEB的度数;

(2)如图2,若CE〃AB,AD平分ZR4C,求证:CD+AC=AB;

(3)如图3,BE与AC的延长线交于点G,若CDLAD,延长C。与AB交于点N,在BC上有一点Af,且

BM=CG,连接M0,请猜想CN、NM、3G之间的数量关系并证明你的猜想.

【答案】(1)51。

(2)见解析

e)CN+MN=BG,证明见解析

【分析】本题是三角形综合题,考查了等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质等知识,解题的

关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题.

(1)先证明,ACD组3CE(SAS),可得/ADC=/BEC,由NOCB=26。,ZCAD20°,得

ZACD=ZACB-ZDCB=64°,Z.BEC=ZADC=180°-ZACD-ACAD=96°,再结合

/DEB=ZBEC-ACED即可求解;

(2)延长CO交AB于尸,在AB上取AG=AC,连接DG,由题意可得/BFC=90。,ZBCE=ZCBA=45°,

ZBCF=AACF=45°=ZCBA,进而可得班'=由AD平分/BAC,可知NG4。=NG4D,易证

ADG^.AZ)C(SAS),可得ZAGD=ZACF=45。,则NFDG=45°,可知。尸=GF,可证3G=CD,由

AB=AG+BG=AC+CD,即可证明结论;

(3)如图,结论:OV+肱V=3G.如图过点3作BTLBC交CN的延长线于T.证明一CBT空BCG(ASA),

BW^BAT(SAS),利用全等三角形的性质,可得结论.

【详解】(1)解:ZACB=ZDCE=90°,即ZACD+ZBCDuNBCD+NBCEngO。,

ZACD=ZBCE,

XVCA=CB,CD=CE,

_AC由一fiCE(SAS)

:./ADC=/BEC,

':"CB=26。,

ZACD=ZACB-ZDCB=90°-26°=64°,

ZC4D=20°,

:.々£。=/4£2=180。-/48-/。1£>=96。,

又,:ZCED=45°,

:.NDEB=ZBEC-ZCED=51。;

(2)证明:延长CD交AB于歹,在AB上取AG=AC,连接£>G,

:CE〃AB,ZACB=ZDCE=90°,ZCAB=ZCBA=45°,

:.NBCE=NCBA=45°,ZBFC=90°,

贝I]ZBCF=ZACF=45°=ZCBA,

:.BF=CF,

':A£>平分/A4C,

ZGAD=ZCAD,

VAG^AC,AD^AD,

ADgADC(SAS),

/.ZAGD=ZACF=45°,贝!|ZFDG=45°,

DF=GF,

VBF=CF,BG+GF=CD+DF,

:.BG=CD,

贝(JAB=AG+3G=AC+CD;

即:CD+AC=AB;

(3)结论:CN+MN=BG.

理由:如图过点B作BTLBC交CN的延长线于T,

,?/CBA=45°,

/.ZNBT=45°,

':AD±CD,

:.ZAZ)C=90°,

由(1)可知VACC^VBCE,

ZADC=ZBEC=90°,

ZBCT+ZECB=90°,ZECB+ZCBG=90°,

ZBCT=ZCBG,

ZCBT=ZBCG=9O°,BC=CB,

CBT空BCG(ASA),

BT=CG,CT=BG,

BM=CG,

BM=BT,

ZNBM=ZNBT=45°,BN=BN,

BNM-BNTg网,

MN=NT,

CN+MN=CN+NT=CT=BG.

题型9:直角三角形的性质综合应用

11.如图,在四边形ABCD中,AC平分ZA4。,且N3+"=180。.

(1)求证:CB=CD;

(2)如图2,其余条件不变,若448=90。,43=8,/。=。.

(3)如图3,其余条件不变,若4AD=120。,判断AB,AC的数量关系,并说明理由.

【答案】(1)见解析

(2)60

O)AB+AD=AC,见解析

【分析】(1)过点C作CE人于点E,CFLAD交AO延长线于点孔角平分线的性质,得到CE=CF,

证明CBEMCDF(AAS),即可得证;

(2)延长AB,£>C交于点E,证明iACE^..ACD(ASA),得到CE=C£>,/E=/。,证明ZEBC=NE=ZECB,

进而求出NE=60。,即可得出结果;

(3)过点C作CE1AB交AB延长线于点E,于点区先证明RtACE丝RtACD(HL),得到

AE=AF,ZAEC=ZD,再证明CBE^,CDF(AAS),得到BE尸,根据线段的和差关系,以及含30

度角的直角三角形的性质,即可得出结论.

【详解】(1)证明:如图,过点C作CE1AB于点E,CFLAD交AD延长线于点足

;AC平分N&LD,

CE=CF,

・.・ZB+ZADC=180°,ZCDF+ZADC=180。,

:.ZB=ZCDFf

丁ZCEB=ZCFD=90°,

・•・CBE^CDF(AAS)f

:.CB=CD;

(2)解:如图,延长AB,DC交于点及

:.ZEAC=ZDAC,

;^ACD=9Q°,

・•・NACE=90。,

ZACE=ZACD=90°f

■:AC=AC,

:.ACE^ACD(ASA),

CE=CD,NE=ND,

•:AB=CD,

:.CE=CD=AB,

・.・ZABC+ZD=180°,ZABC+Z.EBC=180。,

NEBC=ND,

:.NEBC=NE,

:.CE=CB,

:.CE=CB=AB,

/BCA=/BAC,

9:ABAC=ADAC,

:.ZBCA=ZDACf

:.BC//AD,

ZBCE=ZD,

:.ZEBC=ZE=ZECB,

Z£BC+ZE+ZECB=180°,

・•・/EBC=AE=NECB=60°,

:.ZD=60°,

故答案为:60;

(3)解:AB^AD=AC,理由如下:

如图,过点。作CE1AB交A3延长线于点E,C尸,AD于点凡

C

・・•AC平分

CE=CF,ABAC=ADAC=-ABAD=-xl20°=60°,

22

•:AC=AC,

ARtACE^RtACD(HL),

AE=AF,ZAEC=ZDf

,/ZABC+Z£)=180°,ZABC+NEBC=180°,

ZEBC=ZD,

:NCEB=NCFD=90°,

:...CBE^CDF(AAS),

/.BE=DF,

:.AB+AD=AE-BE+AF+DF=AE+AF=2AE,

•:ZEAC=60°,ZCEB=90°,

/.NACE=30。,

•\AC=2AE,

:.AB+AD=AC.

【点睛】本题考查角平分线的性质,全等三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,含30度角的

直角三角形等知识点,熟练掌握相关知识点,添加辅助线构造特殊图形和全等三角形,是解题的关键.

12.如图1,等腰三角形ABC和等腰三角形ADE共顶点A,AB=AC,AD=AE,连接B。、CE.利用

所学知识解决下列问题:

(1)^ABAC=ZDAE,求证:BD=CE;

(2)连接8E,当点。在线段8E上时:

①如图2,若/区4C=NZME=60。,则/3EC的度数为一,线段2£)与CE之间的数量关系是二

②如图3,若N54C=ND4E=90。,40为VADE中。E边上的中线,请判断N3EC的度数及线段

AM.BE、CE之间的数量关系,并说明理由.

【答案】⑴见解析;

(2)①60°,BD=CE;®ZBEC=90°,BE=CE+2AM

【分析】(1)利用SAS证明汪△ACE即可得证;

(2)①利用SAS证明叵△ACE得出BD=CE,ZADB=ZAEC,然后证明VADE是等边三角形即

可求解;

②利用SAS证明△ABD^ACE得出,然后利用等腰三角形的性质求解即可.

【详解】(1)证明:VZBAC=ZDAE,

:.ZBAD=ZCAE,

在△ABD和/VICE1中

AB=AC

<NBAD=NCAE,

AD=AE

・・・ABD竺AC石(SAS),

:.BD=CE:

(2)解:①・・・ZBAC=NZME=60。,

.\ZBAD=ZCAE,

在△ABD和△ACE中

AB=AC

</BAD=/CAE,

AD=AE

・・..ABD空AC石(SAS),

:.BD=CE,ZADB=ZAECf

VAD=AE,ZZME=60°,

**•VAD£是等边三角形,

:.ZADE=ZAED=60°,

:.ZADB=ZAEC=1SO°-ZADE=120°=ZAEC,

:.Z.BEC=ZAEC-ZAED=60°.

故答案为:60°,BD=CE;

②NBECugOoiEuCE+ZAM,理由如下:

*:ABAC=ZDAE=90°,

:.ZBAD=ZCAE,

在△ABD和△ACE中

AB=AC

<ABAD=/CAE,

AD=AE

:.ABD^ACE(SAS),

;・BD=CE,ZADB=ZAEC,

AD=AE,ZDAE=900,

/.VADE是等腰直角三角形,

ZADE=ZAED=45°,

ZADB=1800-ZADE=135°=ZAEC,

:.Z.BEC=ZAEC-ZAED=90°.

•­•ZDAE=90°,AAf为V">E中DE边上的中线,

/.AM=-DE,即DE=2AM,

2

又BE=BD+DE,BD=CE,

:.BE=CE+2AM.

【点睛】本题是结合了直角三角形的性质,等腰三角形的性质,等边三角形的判定与性质,全等三角形的

性质与判定等知识的综合问题,熟练掌握知识点,由简入难,层层推进是解答关键.

题型10:勾股定理的综合应用

13.在VABC中,AC=BC,。为AB的中点,E、尸分别为AC、3C上的动点.

(1)若NC=90。,当ED=£D时,是否成立?若成立,结合图1给出证明;若不成立,在图1中举

出反例;

(2)如图2,当/C+/£Z/=180。时,求证:DE=DF;

(3)若/C=120。,NEDF=60。,AB=4,直接写出所,的长度的范围为一

【答案】(1)不成立,见解析

(2)证明见解析

(3)1<£F2<-

【分析】(1)连接C。,过点。作AC和的垂线,垂足分别为G、H,利用HL证明RtAEDG丝RtAEDH

和RtZ\EDG^Rt/\F'DH,得到ZEDF=90°或ZEDF'H90°;

(2)在BC上取点G,使BG=AE,连接DG,证明一ADE空BDG(SAS),推出DE=DG,ZDEA=ZDGB,

再利用四边形内角和以及邻补角的性质得到NDEC=NDFG=NDGC,根据等角对等边即可证明DE=DF;

(3)连接CD,作。G,3c于点G,求得C。和DG的长,先证明乃是等边三角形,得到£F=D尸,

当点尸与点G重合时,EF=。产有最小值为1,当点厂与点C重合时,尸有最大值为空,据此

3

即可求解.

【详解】(1)解:如图,连接8,过点。作AC和3C的垂线,垂足分别为G、H,

VZC=90°,AC=BC,。为AB的中点,

・・・CO是NACB的平分线,ZGDH=90°,

:・DG=DH,

,:ED=FD,

:.RtEDG^RtFDH(HL),

・•・NEDG=ZFDH,ZEDF=ZFDH+Z.EDH=ZEDG+ZEDH=ZGDH=90°;

同理RtEDG@LFDH(明,显然/EDF'w90。,

£D_LFD不一定成立;

(2)证明:如图,在上取点G,使5G=AE,连接。G,

VAC=BC,。为AB的中点,

:・AD=BD,ZA=ZB,

.」ADEWABDG(SAS),

:,DE=DG,/DEA=/DGB,

:・NDEC=ZDGC,

ZC+ZEDF=180°,

:.ZDEC+NDFC=180°,

Z£)FG+Z£)FC=180°,

:./DEC=ZDFG=ZDGC,

JDG=DF,

:.DE=DF;

(3

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