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文档简介
特训06几何证明解答压轴题(十三大题型,含六大模型+三大中考热点题型)
目录
型
题
1:垂线模型
型
题
型2:一线三等角模型
题
型3:手拉手模型
题
型4:旋转模型
题
型5:倍长中线模型
题
型
题6:截长补短模型
型
题7:线段的垂直平分线的综合应用
型
题8:角的平分线的综合应用
型
题9:直角三角形的性质综合应用
型
题10:勾股定理的综合应用
型
题11:中考热点题型1—几何中的分类讨论
型
题12:中考热点题型2—作平行线
13:中考热点题型2—作垂线
题型1:垂线模型
1.如图,已知VABC中,AB=AC,ABAC=90°,分别过8、C向过A的直线作垂线,垂足分别为E、P.
(1)如图1,过A的直线与斜边BC不相交时,直接写出线段所、BE、CP的数量关系是;
(2)如图2,过A的直线与斜边2c相交时,探究线段所、BE、CP的数量关系并加以证明;
(3)在(2)的条件下,如图3,直线2交BC于点延长3E交AC于点G,连接3尸、FG、HG,若
ZAHB=NGHC,EF=CF=6,EH=2FH,四边形A2FG的面积是90,求GHC的面积.
【分析】(1)数量关系为:EF=BE+CF.利用一线三直角得到/BEA=NAFC=90。,ZEBA=ZFAC,再证
△EBA咨AFECCAAS)可得AE=CF即可;
(2)数量关系为:EF=BE-CF.先证尸C=90。,ZEBA+ZEAB=90°,ZEAB+ZFAC==90°,可
得/EBA=NFAC,再证△EBA四△FEC(A4S),可得8E=ARAE=CP即可;
(3)先由(2)结论*BE-CF;EF=CF=6,求出BE=AF=12,由EH=2FH,可求FW=2,EH=4,利
用对角线垂直的四边形面积可求BG=V|^=¥;=15,再求EG=3,AH=10,分别求出SAACF=4
AFFC=36,SAHCF=LHFFC=6,S^AGH=-AHEG=15,利用面积差即可求出.
22
【详解】解:⑴数量关系为:EF=BE+CF.
■:BE2EF,CFLEF,ZBAC=90°,
:.ZBEA=ZAFC=90°,ZEBA^-ZEAB=90°,ZEAB+ZFAC=1SO°-ZBAC=9O°,
:.ZEBA=ZFAC,
在^£84和4/EC中,
ZAEB=ZCFA
•;lzEBA=ZFAC9
AB=CA
:・XEB器匕FAC(AAS),
・:BE=AF,AE=CF,
:.EF=AF+AE=BE+CF;
(2)数量关系为:EF=BE-CF.
VBE±AF,CF±AF,ZBAC=90°,
:.ZBEA=ZAFC=90°,ZEBA+ZEAB=90°,ZEAB+ZFAC==90°,
:.ZEBA=ZFACf
在^EBAbEC中,
NAEB=ZCFA
•:\AEBA=AFAC,
AB=CA
FAC(AAS),
・:BE=AF,AE=CF,
:.EF=AF-AE=BE-CF;
(3)•;EF=BE-CF;EF=CF=6,
:.BE=AF=EF+CF=6+6=12,
*:EH=2FH,EH+FH=EF=6,
:・2FH+FH=6,
解得FH=2,
;・EH=2FH=4,
S四边形ABFG=|AFBG=90,
:.BG=2=吧=15
AF12
EG=BG-BE=15-12=3,AH=AE+EH=6+4=10,
VSAACF=-AFFC=-X12X6=36,HCF=-HF-FC=-x2x6=6,SAGH=-AH-EG=-xl0x3=15,
22222A2
SAGHC=SAACF-SAHCF-SAAGH=36-6-15=15.
【点睛】本题考查图形变换探究线段和差问题,感知,探究以及应用,三角形全等判定与性质,三角形面
积,四边形面积,与三角形高有关的计算,掌握图形变换探究线段和差问题,感知,探究以及应用,三角
形全等判定与性质,三角形面积,四边形面积,与三角形高有关的计算是解题关键.
题型2:一线三等角模型
证:BC=AE.
[模型应用]如图2,钻_£48且松=48,BCLCD且请按照图中所标注的数据,计算图中实线
所围成的图形的面积为.
[深入探究]如图3,ZBAD=ZCAE=90°,AB=AD,AC=AE,连接BC,DE,且5CLAF于点RDE
与直线■交于点G.若3C=21,AF=12,则△AZ)G的面积为.
【答案】[模型呈现]见解析;[模型应用]50;[深入探究]63
【分析】[模型呈现]证明A4BC9根据全等三角形的对应边相等得到5c=他;
[模型应用]根据全等三角形的性质得到AP=BG=3,AG=EP=6,CG=DH=4,CG=BG=3,根据梯形
的面积公式计算,得到答案;
[深入探究]过点。作加,AG于尸,过点E作石Q,AG交AG的延长线于。根据全等三角形的性质得到
DP=AF=12,EQ=AF=12,AP=BF,AQ=CF,证明一。尸Gg/EQG,得到PG=G。.,进而求出AG,根
据三角形的面积公式计算即可.
【解析】[模型呈现]证明:・・・NB4D=90。,
・•・ABAC+ZDAE=90°,
•:BC±AC,DE,LAC,
:.ZACB=ZDEA=90°,
:.ABAC-^-ZABC=90°,
:.ZABC=ZDAE,
在,ABC和-DIE1。
ZABC=ZDAE
<ZACB=/DAE,
BA=AD
:.ABC^DAE(AAS),
:.BC=AE-
[模型应用]解:由[模型呈现]可知,「AEPWBAGQCBG'DCH,
:.AP=BG=3,AG=EP=6,CG=DH=4,CG=BG=3,
贝US实线围成的图形=—(4+6)x(3+6+4+3)——x3x6——x3x6——x3x4——x3x4=50,
乙乙乙乙乙
故答案为:50;
[深入探究]过点。作OP,AG于P,过点E作石Q,AG交AG的延长线于Q,
由[模型呈现]可知,AFB”DPA,.AFC冬..EQA,
DP=AF=12,EQ=AF=12,AP=BF,AQ=CF,
在ADPG和二EQG中,
ZDPG=ZEQG
<ZDGP=ZEGQ,
DP=EQ
:.DPGAEQG(AAS),
.・・PG=GQ,
・.•BC=21,
:.AQ+AP=21f
:.AP+AP+PG+PG=21,
・•・AG=AP+PG=10.5,
S=gx10.5x12=63,
故答案为:63.
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算,熟记三角形确定的判定定理是解题
的关键.
题型3:手拉手模型
3.已知:△ABC与△8OE都是等腰三角形.BA=BC,BD=BE(AB>BD)且有
(1)如图1,如果A、B、D在一直线上,且NABC=60。,求证:△是等边三角形;
(2)在第(1)问的情况下,直线AE和C。的夹角是。;
(3)如图2,若A、B、。不在一直线上,但NABC=60。的条件不变则直线AE和C。的夹角是°;
(4)如图3,若/AC8=60。,直线AE和CD的夹角是°.
【答案】(1)证明见解析;(2)60;(3)60;(4)60;
【分析】(1)根据题意,得/ABC=NDBE=60。,从而得ZABE=ZDBC;通过证明,ASE乌,C8D,得
ZBAE=ZBCD;通过证明BAM-BCN,得BM=BN,根据等边三角形的性质分析,即可完成证明;
(2)结合题意,通过证明VABC为等边三角形,得NA4C=NBC4=60。;结合(1)的结论,根据三角形
外角性质,推导得NA8=120。,从而完成求解;
(3)同理,通过证明VABC为等边三角形,得/瓦IC=NBG4=6O。;通过证明ABE-CBD,得
ZBAE=/BCD;根据三角形外角性质,推导得48=120。,从而完成求解;
(4)根据题意,通过证明VABC为等边三角形,推导得NABE=NCB。,通过证明ABE”CBD,得
NBAE=NBCD,结合三角形外角的性质计算,即可得到答案.
【详解】(1)ZABC=ZDBE=60°
:.ZMBN=1SO°-ZABC-ZDBE=6O°,ZABE=AABC+ZMBN,NDBC=NDBE+ZMBN
:.ZABE=ZDBC
*:BA=BC,BD=BE
..ABE和△CBD中
BA=BC
</ABE=NDBC
BE=BD
:.ABE^-CBD
:.ZBAE=ZBCD
和ABCN中
-/BAE=/BCD
<AB=BC
/ABC=/MBN=60°
・•・BAM均BCN
:.BM=BN
・•・BMN为等边三角形;
(2)VZABC=ZDBE=60°,BA=BC
・•・VA5C为等边三角形;
ZBAC=ZBCA=60°
根据题意,AE和。。相交于点O
•;/BAE=ZBCD
:.ZAOD=AOAC+ZACO=/OAC+/BCA+/BCD=ZOAC+ZBC4+/BAE
■:/OAC+/BAE=/BAC
:.ZAOD=NBAC+NBCA=120°
JZAOC=180°-ZAOD=60°,即直线AE和CD的夹角是60。
故答案为:60;
(3)VZABC=ZDBE=60°,BA=BC
・・・VABC为等边三角形;
・•・ZBAC=ZBCA=60°
VZABE=ZABC+ZMBN,/DBC=/DBE+ZMBN,ZABC=ZDBE=6Q°
:.ZABE=ZDBC
*:BA=BC,BD=BE
石和△CBD中
'BA=BC
<NABE=ZDBC
BE=BD
:.ABE-CBD
:.ZBAE=ZBCD
如图,延长AE,交CO于点。
・•・ZAOD=AOAC+ZACO=ZQ4C+ZBC4+/BCD=ZQ4C+ZBG4+ZBAE
•・•ZOAC+ZBAE=ZBAC
:.ZAOD=/BAC+NBCA=120°
・•・ZAOC=180°-ZAOD=60°,即直线AE和CD的夹角是60。
故答案为:60;
(4)*:BA=BC,
:.ZACB=ZCAB
ZACB=60°
:.ZACB=ZCAB=60°
・•・VABC为等边三角形
•:BD=BE,ZABC=ZDBE
:.ZDBE=60°
VZABE=ZABC-ZCBE,ZCBD=ZDBE-ZCBE
:.ZABE=ZCBD
A5E1和△CBD中
BA=BC
</ABE=NDBC
BE=BD
:.,ABEMCBD
:.NBAE=ZBCD
分别延长CD、AE,相较于点O,如下图:
ZAOF=AOAC+ZACO=ZOAC+ZBCA+/BCD=ZOAC+ZBCA+ZBAE
•••ZOAC+ZBAE=ABAC
:.ZAOF=ZBAC+ZBCA=120°
ZAOC=180°-ZAOF=60。,即直线AE和CO的夹角是60°
故答案为:60.
【点睛】本题考查了等腰三角形、等边三角形、全等三角形、补角、三角形外角的知识;解题的关键是熟
练掌握等边三角形、全等三角形、三角形外角的性质,从而完成求解.
题型4:旋转模型
4.如图,等边VA3C中,DE7/BA分别交BC、AC于点E.
(1)求证:,.CDE是等边三角形;
(2)将CDE绕点C顺时针旋转,(0。<6<360。),设直线AE与直线8£>相交于点尸.
①如图,当0。<。<180。时,判断N/aB的度数是否为定值,若是,求出该定值;若不是,说明理由;
②若AB=7,CD=3,当B,D,E三点共线时,求5。的长.
A
【答案】(1)见解析;(2)①/4FB的度数是定值,为60。;②5。=5或8.
【分析】(1)根据等边三角形的性质,可得NB4C=NABC=NACB=60。,再由DE〃血,可得到
ZEDC=ZABC=60。,ZDEC=ZBAC=60°f从而得到NXDC=NDEC=NC,即可求证;
(2)根据题意,可证得"CDmACE,从而得到NCBD=NC4E,再根据三角形的内角和等于180。,即
可求解;
(3)分两种情况讨论:当B,D,E三点共线,且。石在5。上方时,当5,D,E三点共线,且。石在
3C下方时,即可求解.
【详解】证明:(1)ABC是等边三角形,
・•・ZBAC=ZABC=ZACB=60°,
•.・DE//BA,
ZEDC=ZABC=6O°,ZDEC=ZBAC=60°,
ZEDC=ZDEC=ZC,
・•・CD石是等边三角形;
(2)解:①“B的度数是定值,理由如下:
AABC,ACDE是等边三角形,
:.BC=AC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,
:.ZBCD=ZACE,
在△5CD和ZVICE1中,
BC=AC
</BCD=/ACE,
CD=CE
:.BCDwACE(SAS),
・•・ZCBD=ZCAE,
又•:Z1=Z2,
:.ZAFB=ZACB=60°,
即/位中的度数是定值,为60。;
②当3,D,E三点共线,且OE在8C上方时,过点C作CFLDE,
A
:CDE是等边三角形,CFLDE,
13
DF=-CD=~,
22
在Rt^a年中,由勾股定理得:
CF=YJCD2-DF2
2
133
:.BD=BF-FD=-----=5;
22
当B,D,E三点共线,且。E在3c下方时
A
综上所述,3£)=5或8.
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定,全等三角形的判定和性质,图形的旋转,熟练掌握相
关知识点是解题的关键.
题型5:倍长中线模型
5.(1)如图1,在AABC中,AB=4,AC=6,是BC边上的中线,延长到点E使。E=A。,连接
CE,把AB,AC,2A。集中在AACE中,利用三角形三边关系可得A。的取值范围是;
(2)如图2,在AABC中,是边上的中线,点、E,尸分别在AB,AC上,5.DE1DF,求证:BE
+CF>EF;
(3)如图3,在四边形4BC。中,/A为钝角,/C为锐角,ZB+ZADC=180°,DA=DC,E,尸分
别在BC,A8上,且NEDF=g/AOC,连接EF,试探索线段AF,EF,CE之间的数量关系,并加以证
2
明.
【答案】(1)1<AZ)<5:(2)见解析;(3)AF+EC=EF,见解析
【分析】⑴证明「CDE空皮推出CE=AB=4,在八40£中,利用三角形的三边关系解决问题即
可.
(2)如图2中,延长ED到使得DH=DE,连接DH,FH.证明BDEqCDH(SAS),推出BE=CH,
再证明EF=FH,利用三角形的三边关系即可解决问题.
(3)结论:AF+EC=EF.延长BC到H,使得CH=AF.提供两次全等证明AF=CE,£F=EH即可解决问题.
【详解】(1),:CD=BD,AD=DE,ZCDE=ZADB,
:..CDE^ABOA(SAS),
:.EC=AB=4,
V6-4cAE<6+4,
:.2<2AD<10,
:.1<AD<5,
故答案为:
(2)如图2中,延长ED到H,使得。H=Z)E,连接DH,FH.
ABDE^/XCDH(SAS),
:.BE=CH,
':FD±EH,又DE=DH,
:.EF=FH,在中,CH+CF>FH,
":CH=BE,FH=EF,
:・BE+CF>EF;
(3)结论:AF+EC=EF.理由:延长8C到“,使得CH=AF.
VZB+ZAZ)C=180°,
JZA+ZBC£>=180°,
•;/DCH+NBCD=180。,
NA=/DCH,
•:AF=CH,AD=CD,
:.AFD^CHD(SAS),
:.DF=DH,ZADF=ZCDH,
:.ZADC=ZFDH,
*:ZEDF=-NA。。,
2
ZEDF=-/FDH,
2
・•・/EDF=/EDH,
•:DE=DE,
/\FDF^/\FDH(SAS),
:・EF=EH,
EH=EC+CH=EC+AF,
:.EF=AF+EC.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,三角形的中线的性质,三角形的三边关系等知识,解题的
关键是学会倍长中线,构造全等三角形解决问题,属于中考常考题型.
题型6:截长补短模型
6.问题背景:
如图1:在四边形A5CD中,AB=AD.ZBAD=120°.ZB=ZADC=90°.E,尸分别是3C.CD上的点,且
NE4尸=60。,探究图中线段3瓦EF,尸。之间的数量关系.
(1)小王同学探究此问题的方法是:延长阳到点G.使。G=BE.连接AG,先证明△ABEgAAOG,再证
明AAEF丝AAG凡可得出结论,他的结论应是_;(直接写结论,不需证明)
探索延伸:
⑵如图2,若在四边形ABC。中,AB=AD,ZB+ZADF=180°.E,尸分别是8C,CD上的点,且NEAP=;
/BAD,(1)中结论是否仍然成立,并说明理由;
⑶如图3,在四边形ABCD,AB=AD,ZB+ZADC=180°,E、尸分别是边BC、CD延长线上的点,且/014
^ZBAD,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明:若不成立,请直接写出它们之间的数量关系.
【答案】{V)EF=BE+FD
(2)(1)中的结论EF=8E+FD仍然成立.证明见解析;
⑶结论EF=8E+ED不成立,结论是:EF=BE-FD.证明见解析.
【分析】(1)延长加到点G.使。G=BE.连接AG,利用全等三角形的性质解决问题即可;
(2)延长CB至使BM=DF,连接AM.证明△ABM^AAZ)F(SAS),由全等三角形的性质得出AF=AM,
Z2=Z3.AAME^/\AFE(SAS),由全等三角形的性质得出EF=BE+BM,则可得出结论;
(3)在8E上截取BG,使BG=OF,连接AG.证明△ABG经△AD尸(SAS).由全等三角形的性质得出
ZBAG=ZDAF,AG=AF.证明△AEGgAAEP(SAS),由全等三角形的性质得出结论.
【详解】(1)解:EF=BE+FD.
延长尸。到点G.使。G=8E.连接AG,
ZABE=ZADG=ZADC=9Q°,AB=AD,
:.^ABE^^ADG(SAS).
:.AE=AG,ZBAE=ZDAG.
:.ZBAE+ZDAF=ZDAG+ZDAF=ZEAF=60°.
:.ZGAF=ZEAF=6Q°.
^L':AF=AF,
:.^AGF^^AEF(SAS).
:.FG=EF.
,:FG=DF+DG.
:・EF=BE+FD.
故答案为:EF=BE+FD;
(2)解:(1)中的结论石尸=88+尸。仍然成立.
证明:如图②中,延长C3至使忆连接AM.
VZABC+Z£>=180°,Z1+ZABC=18O°,
.\Z1=ZZ),
在△与△A。/中,
AB=AD
<Z1=ZD,
BM=DF
:.AABM^AADF(SAS).
:.AF=AM,Z2=Z3.
9:ZEAF=-ZBAD,
2
Z2+Z4=-ZBAD=ZEAF.
2
AZ3+Z4=ZEAF,^ZMAE=ZEAF,
在△AME与△A尸E中,
'AM=AF
</MAE=ZEAF,
AE=AE
:.AAME^AAFE(SAS).
:.EF=ME,即
:.EF=BE+DF;
(3)解:结论不成立,结论:EF=BE-FD.
证明:如图③中,在3E上截取BG,使BG=DF,连接AG.
VZB+ZAZ)C=180°,ZADF+ZADC=180°f
ZB=ZADF.
在△A8G与△A。/中,
'AB=AD
<ZABG=ZADF,
BG=DF
:.AABG^AADF(SAS).
:.ZBAG=ZDAF,AG=AF.
:.ZBAG+ZEAD=ZDAF^-ZEAD=ZEAF=-ZBAD.
2
:.ZGAE=ZEAF.
\'AE=AE,
:.AAEG^AAEF(SAS),
:.EG=EF,
•:EG=BE-BG,
:.EF=BE-FD.
【点睛】本题是三角形综合题,考查了三角形全等的判定和性质等知识,解题的关键是添加辅助线,构造
全等三角形解决问题.
题型7:线段的垂直平分线的综合应用
7.如图,在,ABC中,AB=AC,ABAC=90°.
(1)如图1,B。平分NABC交AC于点。,歹为BC上一点,连接AR交BD于点E.
①若AB=BF,求证:BD垂直平分AF;
②若AF_LfiD,求证:AD=CF.
(2)如图2,BD平分/A3C交AC于点£>,CE1BD,垂足E在BD的延长线上.试判断线段CE和BD的数量
关系,并说明理由.
(3)如图3,尸为BC上一点,NEFC=;NB,CE1EF,垂足为E,E户与AC交于点。.写出线段CE和
即的数量关系(不要求写出过程).
【答案】(1)①见解析;②见解析
(2)BD=2CE,理由见解析
⑶CE=;FD
【分析】(1)①由等腰三角形的性质可得出答案;
②过点C作CM,A尸交A尸的延长线于点“,证明ABE^.C4M(AAS),由全等三角形的性质得出
AE=CM,证明AAED之一CMF(ASA),则可得出AD=CF;
(2)延长54、CE相交于点尸,利用“角边角”证明.3CE和一段E全等,根据全等三角形对应边相等可得
CE=EF,根据等角的余角相等求出/ABD=NACF,然后利用“角边角”证明和ACF全等,根据
全等三角形对应边相等可得30=CF,然后求解即可.
(3)过点下作PG〃区4,交AC于H,交CE的延长线于点G.证明CEF均GEF(ASA),由全等三角形
的性质得出CE=GE,证明LCG“四AFD"(ASA),得出CG=O7<则可得出结论.
【详解】⑴①证明:AB=BF,BD平分ZABC,
:.BE±AF,AE=EF,
即BD垂直平分AF;
②证明:过点C作CMLAF交A尸的延长线于点Af,
:.ZCAM^ZABE,
在.ABE和CAM4>,
ZAEB=ZAMC
</ABE=ZCAM,
AB=AC
ABE咨CW(AAS),
:.AE=CM,
AF±BD,AF1CM,
BD//CMf
:"FCM=/CBD,
3。平分ZA5C,
:.ZABD=/CBD,
.\ZFCM=ZABDf
:"FCM=/EAD,
在AA£D和CMF中,
/EAD=ZFCM
<ZAED=ZCMF,
AE=CM
AED^CMF(ASA),
:.AD=CF;
(2)解:BD=2CE.
理由如下:如图2,延长B4、CE相交于点尸,
3。平分ZA3C,
:.ZABD=/CBD,
在一BCE和二瓦芯中,
ZCBE=ZFBE
<BE=BE
ZBEF=/BEC=90°
BCEWBFE(ASA),
;.CE=EF,
ABAC=90°,CE上BD,
/.ZACF+ZF=90°,ZABD+ZF=90°,
:.ZABD=ZACFf
在[ABD和ACF中,
ZABD=ZACF
<AB=AC,
ABAC=ZCAF=90°
,ABD^ACF(ASA),
:.BD=CFf
CF=CE+EF=2CE,
:.BD=2CE.
(3)解:CEJFD.过点尸作尸G〃区4,交AC于H,交CE的延长线于点G.
2
;./EFC=/GFE,
又CELFE,
:.ZCEF=ZGEF=90°,
在/CEF和GEF中,
ZCFE=ZGFE
<FE=FE,
ZFEC=ZFEG
:qCEF务GEF(ASA),
:.CE=GE,即C£」cG,
2
FG//AB,ZA=90°fAB=ACf
:"CHG=/DHF=90°,CH=FH.
又Z.GCH=ZDFH,
.hCGH-FDH(ASA),
:.CG=DF.
:.CE=LFD.
2
【点睛】本题是三角形综合题,考查了全等三角形的判定与性质,平行线的性质,等腰三角形的性质,等
角的余角相等的性质,熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键.
8.如图,四边形OACB中,OA±OB,联结OC,SLOA=OB=OC,分别作AC于点E,OF_L3c于
点、F,垂足分别为E、
图1图2备用图
(1)如图1,当OC为ZAO3的平分线时,试说明:OC1EF;
(2)如图2,延长昉、OE交于点。,
①直接写出线段C。、OF、M之间的数量关系
②联结AD,若=8,求四边形Q4O3的面积.
【答案】(1)见解析
(2)@OF=DC+BF;@64
【分析】(1)利用AOC咨,BOC(SAS)和OEC也;ORC(AAS)得至〕JOE=O尸,CE=CF即可得出结论;
(2)①利用三角形内角和性质得到,ECD的度数,从而得出△“已是等腰直角三角形,由
OF=DF=DC+CF=DC+BF即可得到结果;
②根据S四边形AOBD=S&AOD+S^COD+$AOFC+SAOFB即可求解・
【详解】(1)证明:・・・。。是—AO5是平分线,
ZAOC=/BOC,
OA=OB
在△AOC和.30。中,<ZAOC=/BOC,
OC=OC
:.AOC^BOC(SAS),
NOCA=/OCB,
VOELAC,OF±BC,
:.ZOEC=ZOFC=90°,
ZOEC=/OFC
在△OEC和△QFC中,</OCE=NOCF,
OC=OC
:.OFC(AAS),
AOE=OF,CE=CF,
・•・oc垂直平分斯,
・・・OC.LEF;
(2)解:®OF=DC+BF^
•:OA=OC=OB,
.yMNAOC,ZOCB=i^-ZBOC
22
.360°-(ZAOC+ZBOC)
..ZOCA+ZOCB=-------------------------------二
2
360°-ZAOB360°-90°…。
------------------=--------------=135,
22
/ECD=180°-(ZOC4+ZOCB)=45°,
丁OE1AC,ZOEC=90°,
ZD=ZOEC-ZECD=45°,
*:OB=OC,OFIBC,
:.ZOFC=9009CF=BF9
・・・△OED是等腰直角三角形,
OF=DF=DC+CF=DC+BF,
:.OF=DC+BF;
②由①知△OQ尸是等腰直角三角形,
D
oB
;.OF=DF=8,ZOFD=90°f
*:OF±BGOB=OC,
:.ZOFC=ZOFB=90°,CF=BF,
OF=OF
在△。尸。和△。尸B中,</OFC=/OFB,
CF=BF
:.OFC^OFB(SAS),
•Q—V
,,UAOFC一屋OFB,
':OA=OC,OELAC,
・,・OE垂直平分AC,
:.DA=DC,
OA=OC
在△AOD和△CQD中,\DA=DC,
OD=OD
AOD^cor>(sss),
,•S"QO-S^COD,
,•S四边形AO3D=^^AOD+S^COD+^AOFC+ZoFB=2(SMO0+2OFc)
=2se)尸=2x—x8x8=64.
lA\ULJr2
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理,熟练掌握全等三
角形的判定定理是解题的关键.
题型8:角的平分线的综合应用
9.【发现】如图1,ZABC=ZC=90°,E为BC的中点,OE平分/ADC,过点E作EF2AD,垂足为
F,连接AE.
(1)求证:AE是N7MB的平分线;
【拓展】如图2,AB//DC,44D和NADC的平分线AE和DE相交于点E,过点E的直线与A5,DC分
别相交于点8,C(点8,C在的同侧).
(2)判断E是否为线段BC的中点,并说明理由;
(3)若四边形ABCD的面积为16,ABE的面积为2,则「CDE的面积是.
【答案】(1)见解析;(2)E为线段BC的中点,理由见解析;(3)6
【分析】本题主要考查角平分线性质定理与判定定理、线段垂直平分线的性质及全等三角形的判定和性质,
正确作出辅助线是解决此题的关键.
(1)由题意得砂=EC和EB=EC,根据角平分线的判定定理即可判定;
(2)过点E作AB的垂线,交的延长线于点/,交于点G,有FGLCD.作即LAD于点尸,由角
平分线的性质可得即=EG,证得△3£F0Z\CEG,即可求证;
(3)因为▲入£?四一AEF和有%防+SAOEG=;$四边形AR®,根据43跖四△CEG,得到
^△ABE+SADCE=]S四边形ABCD即可.
【详解】(1)证明:NC=90。,
:.ECLCD.
又・EFLAD,DE平分NADC,
:.EF=EC.
E为8C的中点,
/.EB=EC,
:.EF=EB.
ZABC=90°,
:.EB.LAB.
又石尸_LAZ),
.:AE1是mm的平分线;
(2)解:石为线段BC的中点;
理由:过点E作A3的垂线,交A5的延长线于点尸,交于点G,如图,
,ABCD,
:.FG±CD.
作于点尸,由角平分线的性质可得£F=EP=£G.
在AB石厂与二CEG中,
ZEFB=ZEGC=90°
<EF=EG,
NBEF=NCEG
Z.BEF^fCEG(ASA),
:.BE=CE,
为线段BC的中点;
(3)解:在△%£尸和ZkAE尸中,
ZEAP=ZEAF
<ZAPE=ZAFE,
EP=EF
:.AEF(AAS),
则SAEP—SAEF,
同理可证△OEPg/XDEG,则SVOEP=SYDEG,
…S^AEF+S^DEG=5S四边形A产GO•
又.&BEF学ACEG,
一SBEF=SCEG,
一^AABE+S/\DCE=]S四边形Ageo=,
•・SCDE=8—2=6.
10.如图,△CAB与.CDE中,ZACB=ZDCE=90°,CA=CB,CD=CE,ZCAB=ZCBA=45°,
ZCDE=ZCED=45°,连接AD、BE.
图l图2图3
(1)如图1,若NC4r>=20。,ZDCB=26。,求NDEB的度数;
(2)如图2,若CE〃AB,AD平分ZR4C,求证:CD+AC=AB;
(3)如图3,BE与AC的延长线交于点G,若CDLAD,延长C。与AB交于点N,在BC上有一点Af,且
BM=CG,连接M0,请猜想CN、NM、3G之间的数量关系并证明你的猜想.
【答案】(1)51。
(2)见解析
e)CN+MN=BG,证明见解析
【分析】本题是三角形综合题,考查了等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质等知识,解题的
关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题.
(1)先证明,ACD组3CE(SAS),可得/ADC=/BEC,由NOCB=26。,ZCAD20°,得
ZACD=ZACB-ZDCB=64°,Z.BEC=ZADC=180°-ZACD-ACAD=96°,再结合
/DEB=ZBEC-ACED即可求解;
(2)延长CO交AB于尸,在AB上取AG=AC,连接DG,由题意可得/BFC=90。,ZBCE=ZCBA=45°,
ZBCF=AACF=45°=ZCBA,进而可得班'=由AD平分/BAC,可知NG4。=NG4D,易证
ADG^.AZ)C(SAS),可得ZAGD=ZACF=45。,则NFDG=45°,可知。尸=GF,可证3G=CD,由
AB=AG+BG=AC+CD,即可证明结论;
(3)如图,结论:OV+肱V=3G.如图过点3作BTLBC交CN的延长线于T.证明一CBT空BCG(ASA),
BW^BAT(SAS),利用全等三角形的性质,可得结论.
【详解】(1)解:ZACB=ZDCE=90°,即ZACD+ZBCDuNBCD+NBCEngO。,
ZACD=ZBCE,
XVCA=CB,CD=CE,
_AC由一fiCE(SAS)
:./ADC=/BEC,
':"CB=26。,
ZACD=ZACB-ZDCB=90°-26°=64°,
ZC4D=20°,
:.々£。=/4£2=180。-/48-/。1£>=96。,
又,:ZCED=45°,
:.NDEB=ZBEC-ZCED=51。;
(2)证明:延长CD交AB于歹,在AB上取AG=AC,连接£>G,
:CE〃AB,ZACB=ZDCE=90°,ZCAB=ZCBA=45°,
:.NBCE=NCBA=45°,ZBFC=90°,
贝I]ZBCF=ZACF=45°=ZCBA,
:.BF=CF,
':A£>平分/A4C,
ZGAD=ZCAD,
VAG^AC,AD^AD,
ADgADC(SAS),
/.ZAGD=ZACF=45°,贝!|ZFDG=45°,
DF=GF,
VBF=CF,BG+GF=CD+DF,
:.BG=CD,
贝(JAB=AG+3G=AC+CD;
即:CD+AC=AB;
(3)结论:CN+MN=BG.
理由:如图过点B作BTLBC交CN的延长线于T,
,?/CBA=45°,
/.ZNBT=45°,
':AD±CD,
:.ZAZ)C=90°,
由(1)可知VACC^VBCE,
ZADC=ZBEC=90°,
ZBCT+ZECB=90°,ZECB+ZCBG=90°,
ZBCT=ZCBG,
ZCBT=ZBCG=9O°,BC=CB,
CBT空BCG(ASA),
BT=CG,CT=BG,
BM=CG,
BM=BT,
ZNBM=ZNBT=45°,BN=BN,
BNM-BNTg网,
MN=NT,
CN+MN=CN+NT=CT=BG.
题型9:直角三角形的性质综合应用
11.如图,在四边形ABCD中,AC平分ZA4。,且N3+"=180。.
(1)求证:CB=CD;
(2)如图2,其余条件不变,若448=90。,43=8,/。=。.
(3)如图3,其余条件不变,若4AD=120。,判断AB,AC的数量关系,并说明理由.
【答案】(1)见解析
(2)60
O)AB+AD=AC,见解析
【分析】(1)过点C作CE人于点E,CFLAD交AO延长线于点孔角平分线的性质,得到CE=CF,
证明CBEMCDF(AAS),即可得证;
(2)延长AB,£>C交于点E,证明iACE^..ACD(ASA),得到CE=C£>,/E=/。,证明ZEBC=NE=ZECB,
进而求出NE=60。,即可得出结果;
(3)过点C作CE1AB交AB延长线于点E,于点区先证明RtACE丝RtACD(HL),得到
AE=AF,ZAEC=ZD,再证明CBE^,CDF(AAS),得到BE尸,根据线段的和差关系,以及含30
度角的直角三角形的性质,即可得出结论.
【详解】(1)证明:如图,过点C作CE1AB于点E,CFLAD交AD延长线于点足
;AC平分N&LD,
CE=CF,
・.・ZB+ZADC=180°,ZCDF+ZADC=180。,
:.ZB=ZCDFf
丁ZCEB=ZCFD=90°,
・•・CBE^CDF(AAS)f
:.CB=CD;
(2)解:如图,延长AB,DC交于点及
:.ZEAC=ZDAC,
;^ACD=9Q°,
・•・NACE=90。,
ZACE=ZACD=90°f
■:AC=AC,
:.ACE^ACD(ASA),
CE=CD,NE=ND,
•:AB=CD,
:.CE=CD=AB,
・.・ZABC+ZD=180°,ZABC+Z.EBC=180。,
NEBC=ND,
:.NEBC=NE,
:.CE=CB,
:.CE=CB=AB,
/BCA=/BAC,
9:ABAC=ADAC,
:.ZBCA=ZDACf
:.BC//AD,
ZBCE=ZD,
:.ZEBC=ZE=ZECB,
Z£BC+ZE+ZECB=180°,
・•・/EBC=AE=NECB=60°,
:.ZD=60°,
故答案为:60;
(3)解:AB^AD=AC,理由如下:
如图,过点。作CE1AB交A3延长线于点E,C尸,AD于点凡
C
・・•AC平分
CE=CF,ABAC=ADAC=-ABAD=-xl20°=60°,
22
•:AC=AC,
ARtACE^RtACD(HL),
AE=AF,ZAEC=ZDf
,/ZABC+Z£)=180°,ZABC+NEBC=180°,
ZEBC=ZD,
:NCEB=NCFD=90°,
:...CBE^CDF(AAS),
/.BE=DF,
:.AB+AD=AE-BE+AF+DF=AE+AF=2AE,
•:ZEAC=60°,ZCEB=90°,
/.NACE=30。,
•\AC=2AE,
:.AB+AD=AC.
【点睛】本题考查角平分线的性质,全等三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,含30度角的
直角三角形等知识点,熟练掌握相关知识点,添加辅助线构造特殊图形和全等三角形,是解题的关键.
12.如图1,等腰三角形ABC和等腰三角形ADE共顶点A,AB=AC,AD=AE,连接B。、CE.利用
所学知识解决下列问题:
(1)^ABAC=ZDAE,求证:BD=CE;
(2)连接8E,当点。在线段8E上时:
①如图2,若/区4C=NZME=60。,则/3EC的度数为一,线段2£)与CE之间的数量关系是二
②如图3,若N54C=ND4E=90。,40为VADE中。E边上的中线,请判断N3EC的度数及线段
AM.BE、CE之间的数量关系,并说明理由.
【答案】⑴见解析;
(2)①60°,BD=CE;®ZBEC=90°,BE=CE+2AM
【分析】(1)利用SAS证明汪△ACE即可得证;
(2)①利用SAS证明叵△ACE得出BD=CE,ZADB=ZAEC,然后证明VADE是等边三角形即
可求解;
②利用SAS证明△ABD^ACE得出,然后利用等腰三角形的性质求解即可.
【详解】(1)证明:VZBAC=ZDAE,
:.ZBAD=ZCAE,
在△ABD和/VICE1中
AB=AC
<NBAD=NCAE,
AD=AE
・・・ABD竺AC石(SAS),
:.BD=CE:
(2)解:①・・・ZBAC=NZME=60。,
.\ZBAD=ZCAE,
在△ABD和△ACE中
AB=AC
</BAD=/CAE,
AD=AE
・・..ABD空AC石(SAS),
:.BD=CE,ZADB=ZAECf
VAD=AE,ZZME=60°,
**•VAD£是等边三角形,
:.ZADE=ZAED=60°,
:.ZADB=ZAEC=1SO°-ZADE=120°=ZAEC,
:.Z.BEC=ZAEC-ZAED=60°.
故答案为:60°,BD=CE;
②NBECugOoiEuCE+ZAM,理由如下:
*:ABAC=ZDAE=90°,
:.ZBAD=ZCAE,
在△ABD和△ACE中
AB=AC
<ABAD=/CAE,
AD=AE
:.ABD^ACE(SAS),
;・BD=CE,ZADB=ZAEC,
AD=AE,ZDAE=900,
/.VADE是等腰直角三角形,
ZADE=ZAED=45°,
ZADB=1800-ZADE=135°=ZAEC,
:.Z.BEC=ZAEC-ZAED=90°.
••ZDAE=90°,AAf为V">E中DE边上的中线,
/.AM=-DE,即DE=2AM,
2
又BE=BD+DE,BD=CE,
:.BE=CE+2AM.
【点睛】本题是结合了直角三角形的性质,等腰三角形的性质,等边三角形的判定与性质,全等三角形的
性质与判定等知识的综合问题,熟练掌握知识点,由简入难,层层推进是解答关键.
题型10:勾股定理的综合应用
13.在VABC中,AC=BC,。为AB的中点,E、尸分别为AC、3C上的动点.
(1)若NC=90。,当ED=£D时,是否成立?若成立,结合图1给出证明;若不成立,在图1中举
出反例;
(2)如图2,当/C+/£Z/=180。时,求证:DE=DF;
(3)若/C=120。,NEDF=60。,AB=4,直接写出所,的长度的范围为一
【答案】(1)不成立,见解析
(2)证明见解析
(3)1<£F2<-
【分析】(1)连接C。,过点。作AC和的垂线,垂足分别为G、H,利用HL证明RtAEDG丝RtAEDH
和RtZ\EDG^Rt/\F'DH,得到ZEDF=90°或ZEDF'H90°;
(2)在BC上取点G,使BG=AE,连接DG,证明一ADE空BDG(SAS),推出DE=DG,ZDEA=ZDGB,
再利用四边形内角和以及邻补角的性质得到NDEC=NDFG=NDGC,根据等角对等边即可证明DE=DF;
(3)连接CD,作。G,3c于点G,求得C。和DG的长,先证明乃是等边三角形,得到£F=D尸,
当点尸与点G重合时,EF=。产有最小值为1,当点厂与点C重合时,尸有最大值为空,据此
3
即可求解.
【详解】(1)解:如图,连接8,过点。作AC和3C的垂线,垂足分别为G、H,
VZC=90°,AC=BC,。为AB的中点,
・・・CO是NACB的平分线,ZGDH=90°,
:・DG=DH,
,:ED=FD,
:.RtEDG^RtFDH(HL),
・•・NEDG=ZFDH,ZEDF=ZFDH+Z.EDH=ZEDG+ZEDH=ZGDH=90°;
同理RtEDG@LFDH(明,显然/EDF'w90。,
£D_LFD不一定成立;
(2)证明:如图,在上取点G,使5G=AE,连接。G,
VAC=BC,。为AB的中点,
:・AD=BD,ZA=ZB,
.」ADEWABDG(SAS),
:,DE=DG,/DEA=/DGB,
:・NDEC=ZDGC,
ZC+ZEDF=180°,
:.ZDEC+NDFC=180°,
Z£)FG+Z£)FC=180°,
:./DEC=ZDFG=ZDGC,
JDG=DF,
:.DE=DF;
(3
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