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文档简介
陕西省煤炭建设公司第一中学2025届高三下学期第五次调研考试数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合,,,则的子集共有()A.个 B.个 C.个 D.个2.在中,为边上的中点,且,则()A. B. C. D.3.函数的最小正周期是,则其图象向左平移个单位长度后得到的函数的一条对称轴是()A. B. C. D.4.已知双曲线的右焦点为为坐标原点,以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点及点,则双曲线的方程为()A. B. C. D.5.已知非零向量、,若且,则向量在向量方向上的投影为()A. B. C. D.6.在复平面内,复数z=i对应的点为Z,将向量绕原点O按逆时针方向旋转,所得向量对应的复数是()A. B. C. D.7.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合,则双曲线的离心率为()A. B. C.3 D.48.已知三棱锥的外接球半径为2,且球心为线段的中点,则三棱锥的体积的最大值为()A. B. C. D.9.已知等差数列的前项和为,且,则()A.45 B.42 C.25 D.3610.在平面直角坐标系中,已知角的顶点与原点重合,始边与轴的非负半轴重合,终边落在直线上,则()A. B. C. D.11.已知,为两条不同直线,,,为三个不同平面,下列命题:①若,,则;②若,,则;③若,,则;④若,,则.其中正确命题序号为()A.②③ B.②③④ C.①④ D.①②③12.已知实数,满足,则的最大值等于()A.2 B. C.4 D.8二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.记数列的前项和为,已知,且.若,则实数的取值范围为________.14.现有5人要排成一排照相,其中甲与乙两人不相邻,且甲不站在两端,则不同的排法有____种.(用数字作答)15.已知函数函数,则不等式的解集为____.16.已知命题:,,那么是__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设函数.(1)时,求的单调区间;(2)当时,设的最小值为,若恒成立,求实数t的取值范围.18.(12分)已知数列,其前项和为,满足,,其中,,,.⑴若,,(),求证:数列是等比数列;⑵若数列是等比数列,求,的值;⑶若,且,求证:数列是等差数列.19.(12分)团购已成为时下商家和顾客均非常青睐的一种省钱、高校的消费方式,不少商家同时加入多家团购网.现恰有三个团购网站在市开展了团购业务,市某调查公司为调查这三家团购网站在本市的开展情况,从本市已加入了团购网站的商家中随机地抽取了50家进行调查,他们加入这三家团购网站的情况如下图所示.(1)从所调查的50家商家中任选两家,求他们加入团购网站的数量不相等的概率;(2)从所调查的50家商家中任取两家,用表示这两家商家参加的团购网站数量之差的绝对值,求随机变量的分布列和数学期望;(3)将频率视为概率,现从市随机抽取3家已加入团购网站的商家,记其中恰好加入了两个团购网站的商家数为,试求事件“”的概率.20.(12分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=2a,bsinB﹣asinA=asinC.(Ⅰ)求sinB的值;(Ⅱ)求sin(2B+)的值.21.(12分)某超市在节日期间进行有奖促销,规定凡在该超市购物满400元的顾客,均可获得一次摸奖机会.摸奖规则如下:奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的4个球(红、黄、黑、白).顾客不放回的每次摸出1个球,若摸到黑球则摸奖停止,否则就继续摸球.按规定摸到红球奖励20元,摸到白球或黄球奖励10元,摸到黑球不奖励.(1)求1名顾客摸球2次摸奖停止的概率;(2)记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额,求随机变量X的分布列和数学期望.22.(10分)如图,已知在三棱台中,,,.(1)求证:;(2)过的平面分别交,于点,,且分割三棱台所得两部分几何体的体积比为,几何体为棱柱,求的长.提示:台体的体积公式(,分别为棱台的上、下底面面积,为棱台的高).
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
根据集合中的元素,可得集合,然后根据交集的概念,可得,最后根据子集的概念,利用计算,可得结果.【详解】由题可知:,当时,当时,当时,当时,所以集合则所以的子集共有故选:B【点睛】本题考查集合的运算以及集合子集个数的计算,当集合中有元素时,集合子集的个数为,真子集个数为,非空子集为,非空真子集为,属基础题.2、A【解析】
由为边上的中点,表示出,然后用向量模的计算公式求模.【详解】解:为边上的中点,,故选:A【点睛】在三角形中,考查中点向量公式和向量模的求法,是基础题.3、D【解析】
由三角函数的周期可得,由函数图像的变换可得,平移后得到函数解析式为,再求其对称轴方程即可.【详解】解:函数的最小正周期是,则函数,经过平移后得到函数解析式为,由,得,当时,.故选D.【点睛】本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换,属基础题.4、C【解析】
根据双曲线方程求出渐近线方程:,再将点代入可得,连接,根据圆的性质可得,从而可求出,再由即可求解.【详解】由双曲线,则渐近线方程:,,连接,则,解得,所以,解得.故双曲线方程为.故选:C【点睛】本题考查了双曲线的几何性质,需掌握双曲线的渐近线求法,属于中档题.5、D【解析】
设非零向量与的夹角为,在等式两边平方,求出的值,进而可求得向量在向量方向上的投影为,即可得解.【详解】,由得,整理得,,解得,因此,向量在向量方向上的投影为.故选:D.【点睛】本题考查向量投影的计算,同时也考查利用向量的模计算向量的夹角,考查计算能力,属于基础题.6、A【解析】
由复数z求得点Z的坐标,得到向量的坐标,逆时针旋转,得到向量的坐标,则对应的复数可求.【详解】解:∵复数z=i(i为虚数单位)在复平面中对应点Z(0,1),
∴=(0,1),将绕原点O逆时针旋转得到,
设=(a,b),,则,即,
又,解得:,∴,对应复数为.故选:A.【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题.7、A【解析】
根据题意,由抛物线的方程可得其焦点坐标,由此可得双曲线的焦点坐标,由双曲线的几何性质可得,解可得,由离心率公式计算可得答案.【详解】根据题意,抛物线的焦点为,则双曲线的焦点也为,即,则有,解可得,双曲线的离心率.故选:A.【点睛】本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程,关键是求出抛物线焦点的坐标,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8、C【解析】
由题可推断出和都是直角三角形,设球心为,要使三棱锥的体积最大,则需满足,结合几何关系和图形即可求解【详解】先画出图形,由球心到各点距离相等可得,,故是直角三角形,设,则有,又,所以,当且仅当时,取最大值4,要使三棱锥体积最大,则需使高,此时,故选:C【点睛】本题考查由三棱锥外接球半径,半径与球心位置求解锥体体积最值问题,属于基础题9、D【解析】
由等差数列的性质可知,进而代入等差数列的前项和的公式即可.【详解】由题,.故选:D【点睛】本题考查等差数列的性质,考查等差数列的前项和.10、C【解析】
利用诱导公式以及二倍角公式,将化简为关于的形式,结合终边所在的直线可知的值,从而可求的值.【详解】因为,且,所以.故选:C.【点睛】本题考查三角函数中的诱导公式以及三角恒等变换中的二倍角公式,属于给角求值类型的问题,难度一般.求解值的两种方法:(1)分别求解出的值,再求出结果;(2)将变形为,利用的值求出结果.11、C【解析】
根据直线与平面,平面与平面的位置关系进行判断即可.【详解】根据面面平行的性质以及判定定理可得,若,,则,故①正确;若,,平面可能相交,故②错误;若,,则可能平行,故③错误;由线面垂直的性质可得,④正确;故选:C【点睛】本题主要考查了判断直线与平面,平面与平面的位置关系,属于中档题.12、D【解析】
画出可行域,计算出原点到可行域上的点的最大距离,由此求得的最大值.【详解】画出可行域如下图所示,其中,由于,,所以,所以原点到可行域上的点的最大距离为.所以的最大值为.故选:D【点睛】本小题主要考查根据可行域求非线性目标函数的最值,考查数形结合的数学思想方法,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
根据递推公式,以及之间的关系,即可容易求得,再根据数列的单调性,求得其最大值,则参数的范围可求.【详解】当时,,解得.所以.因为,则,两式相减,可得,即,则.两式相减,可得.所以数列是首项为3,公差为2的等差数列,所以,则.令,则.当时,,数列单调递减,而,,,故,即实数的取值范围为.故答案为:.【点睛】本题考查由递推公式求数列的通项公式,涉及数列单调性的判断,属综合困难题.14、36【解析】
先优先考虑甲、乙两人不相邻的排法,在此条件下,计算甲不排在两端的排法,最后相减即可得到结果.【详解】由题意得5人排成一排,甲、乙两人不相邻,有种排法,其中甲排在两端,有种排法,则6人排成一排,甲、乙两人不相邻,且甲不排在两端,共有(种)排法.所以本题答案为36.【点睛】排列、组合问题由于其思想方法独特,计算量庞大,对结果的检验困难,所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则,如特殊元素、位置优先原则、先取后排原则、先分组后分配原则、正难则反原则等,只有这样我们才能有明确的解题方向.同时解答组合问题时必须心思细腻、考虑周全,这样才能做到不重不漏,正确解题.15、【解析】,,所以,所以的解集为。点睛:本题考查绝对值不等式。本题先对绝对值函数进行分段处理,再得到的解析式,求得的分段函数解析式,再解不等式即可。绝对值函数一般都去绝对值转化为分段函数处理。16、真命题【解析】
由幂函数的单调性进行判断即可.【详解】已知命题:,,因为在上单调递增,则,所以是真命题,故答案为:真命题【点睛】本题主要考查了判断全称命题的真假,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)的增区间为,减区间为;(2).【解析】
(1)求出函数的导数,由于参数的范围对导数的符号有影响,对参数分类,再研究函数的单调区间;(2)由(1)的结论,求出的表达式,由于恒成立,故求出的最大值,即得实数的取值范围的左端点.【详解】解:(1)解:,当时,,解得的增区间为,解得的减区间为.(2)解:若,由得,由得,所以函数的减区间为,增区间为;,因为,所以,,令,则恒成立,由于,当时,,故函数在上是减函数,所以成立;当时,若则,故函数在上是增函数,即对时,,与题意不符;综上,为所求.【点睛】本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用,求解本题关键是根据导数研究出函数的单调性,由最值的定义得出函数的最值,本题中第一小题是求出函数的单调区间,第二小题是一个求函数的最值的问题,此类题运算量较大,转化灵活,解题时极易因为变形与运算出错,故做题时要认真仔细.18、(1)见解析(2)(3)见解析【解析】试题分析:(1)(),所以,故数列是等比数列;(2)利用特殊值法,得,故;(3)得,所以,得,可证数列是等差数列.试题解析:(1)证明:若,则当(),所以,即,所以,又由,,得,,即,所以,故数列是等比数列.(2)若是等比数列,设其公比为(),当时,,即,得,①当时,,即,得,②当时,,即,得,③②①,得,③②,得,解得.代入①式,得.此时(),所以,是公比为1的等比数列,故.(3)证明:若,由,得,又,解得.由,,,,代入得,所以,,成等差数列,由,得,两式相减得:即所以相减得:所以所以,因为,所以,即数列是等差数列.19、(1);(2)从而的分布列为012;(3).【解析】
(1)运用概率的计算公式求概率分布,再运用数学期望公式进行求解;(2)借助题设条件运用贝努力公式进行分析求解:(1)记所选取额两家商家加入团购网站的数量相等为事件,则,所以他们加入团购网站的数量不相等的概率为.(2)由题,知的可能取值分别为0,1,2,,,从而的分布列为012.(3)所调查的50家商家中加入了两个团购网站的商家有25家,将频率视为概率,则从市中任取一家加入团购网站的商家,他同时加入了两个团购网站的概率为,所以,所以事件“”的概率为.20、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)根据条件由正弦定理得,又c=2a,所以,由余弦定理算出,进而算出;(Ⅱ)由二倍角公式算出,代入两角和的正弦公式计算即可.【详解】(Ⅰ)bsinB﹣asinA=asinC,所以由正弦定理得,又c=2a,所以,由余弦定理得:,又,所以;(Ⅱ),.【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用,运用二倍角公
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