中考数学专项复习：最值模型之将军饮马（遛马、过桥）模型（原卷版）

专题02最值模型之将军饮马（遛马、过桥）模型

将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型是将军饮马的姊妹篇，它是在将军饮马的基础上加入了平移的

思想，主要还是考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就将军遛马模型

和将军过桥（造桥）模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

在解决将军遛马和将军过桥（造桥），不管是横向还是纵向的线段长度（定长），只要将线段按照长

度方向平移即可，即可以跨越长度转化为标准的将军饮马模型，再依据同侧做对称点变异侧，异侧直接连

线即可。利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型就简单容易多了，从此将军遛马和将军过桥（造

桥）再也不是问题！

模型1.将军遛马模型

【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。

【模型解读】已知/、3是两个定点，P、0是直线加上的两个动点，P在。的左侧，且尸0间长度恒定，在

直线加上要求尸、0两点，使得P/+PQ+Q5的值最小。（原理用平移知识解）

(1)点/、8在直线加两侧：（2）点/、8在直线同侧：

AC

-*~~~NteT

••

BB

如图1如图2

（1）如图1,过/点作/CII%,且NC长等于尸。长，连接3c，交直线机于0,。向左平移PQ长，即为P点,

此时P、。即为所求的点。（2）如图2,过N点作/£||私且NE长等于长，作8关于加的对称点夕，连接

8'£,交直线加于。，。向左平移长，即为尸点，此时P、。即为所求的点。

【最值原理】两点之间线段最短。

例1.（2023•黑龙江•九年级校考期中）问题背景（1）如图（1）,在公路/的一侧有A,3两个工厂，A,B

到公路的垂直距离分别为1km和3km,A,3之间的水平距离为3km.现需把A厂的产品先运送到公路上然

后再转送到8厂，则最短路线的长是km.

问题探究（2）如图（2）,和“郎是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，

ZACB=ZDEF=90°,点A,。重合，点、B,尸重合，将△/C8沿直线48平移，得到△HCZ',连接

A'E,CE.试探究在平移过程中，/'E+GE是否存在最小值.若存在，求出这个最小值；若不存在，请说

明理由.

问题解决（3）如图（3）,A,B分别是河岸心一侧的两个旅游景点，它们到河岸的垂直距离分别是2km和

4km,A,B的水平距离是13km.游客在景点A游览完后，乘坐大巴先到河岸上的码头甲处，改乘游轮沿

河航行5km到达码头乙，再乘坐大巴到达景点请问码头甲，乙建在何处才能使从A到3的旅游路线最短,

并求出最短路线的长.

例2.（2023•陕西•模拟预测）如图，菱形/BCD的边长为3,乙8/。=60。，点£、/在对角线NC上（点E

在点尸的左侧），且斯=1,则。E+AF最小值为

例3.Q022•四川自贡•中考真题）如图，矩形48CD中，48=4,BC=2,G是4D的中点，线段E尸在边

上左右滑动；若EF=\,则GE+CF的最小值为

例4.（2023•黑龙江牡丹江•校考模拟预测）如图，在等腰直角三角形/8C中，NABC=9Q°,AB=6,线段

尸。在斜边/C上运动，且尸0=2.连接AP,BQ.贝阳5尸0周长的最小值是.

例5.（2023秋•河南南阳•九年级校联考期末）如图，在边长为4的正方形/3C。中将A48A沿射线8。平移,

得到MG尸，连接EC、GC.求EC+GC的最小值为.

例6.（2023•贵州黔东南•统考一模）如图，在菱形/BCD中，对角线NC,AD的长分别为6,4,将“8C

沿射线C4的方向平移得到AGEE,分别连接DE,FD,AF,则以'+OE的最小值为.

E

D

模型2.将军过桥（造桥）模型

【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。

【模型解读】

【单桥模型】已知，如图1将军在图中点N处，现要过河去往8点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：

桥建在何处能使路程最短？

考虑九W长度恒定，只要求最小值即可.问题在于NN、N8彼此分离,所以首先通过平移，使

与NB连在一起，将/〃向下平移使得〃、N重合，此时/点落在/'位置（图2）.

问题化为求最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图3）.

将军A将军A将军A

_____________________

11

河A加J河

\

\

------------------------------

、B军营'B军营'B军营

图1图2图3

【双桥模型】已知，如图4,将军在图中点4处,现要过两条河去往5点的军营，桥必须垂直于河岸建造,

问：桥建在何处能使路程最短？

「，，

•、P

工--------------p/।A-

M

-------------------------------X----

1，,----------Q\

JM/

*XW/w/.//

二〜ZA-

图4图5图6

考虑P。、MV均为定值，所以路程最短等价于NP+QM+NB最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移

使其连接到一起.4P平移至NB平移至MB',化4P+QARNS为NQ+QM+M51（如图5）

当/、0、M、V共线时，/Q+0M+M5取到最小值，再依次确定尸、N位置.（如图6）

【最值原理】两点之间线段最短。

例：1.（2023•西湖区八年级月考）如图直线4，b表示一条河的两岸，且"〃/2,现要在这条河上建一座

桥.桥建在何处才能使从村庄4经过河到村庄B的路线最短？画出示意图，并说明理由.

B.

---------------------4

---------------------4X

A

例2.（2022上,湖北襄阳•九年级联考自主招生）如图有一条直角弯道河流，河宽为2,A、8两地到河岸边

的距离均为1,AH=BF=\,AD=7,BE=9,现欲在河道上架两座桥儿W、PQ,使

AM+MN+NP+PQ+QB最小,则最小值为（）

FB

A.V130B.V145+2C.14D.12

例3.（2023•江苏•八年级校联考期末）如图，已知直线°||6,a,b之间的距离为4,点P到直线。的距离为

4,点。到直线b的距离为2,PQ=2屈.在直线a上有一动点力,直线6上有一动点3,满足N216,且

PA+AB+BQ最小,此时PA+BQ=

例4.（2023・陕西西安•校考模拟预测）如图，Y48CD中，AB=3,AD=2,ADAB=60°,DF工AB,

8ELCD；垂足分别为点尸和E.点G和X分别是。下和BE上的动点，GH//AB,那么/G+GH+C”的

最小值为.

例6.（2022•山东滨州•统考中考真题）如图，在矩形/BCD中，AB=5,AD=10.若点£是边ND上的一个

动点，过点E作跖1/C且分别交对角线NC,直线5c于点。、尸，则在点E移动的过程中，AF+FE+EC

的最小值为

课后专项训练

1.（2023.山东九年级一模）如图，已知A（3,1）与B（1,0）,PQ是直线y=x上的一条动线段且PQ=J2

（Q在P的下方），当AP+PQ+Q8最小时，Q点坐标为（）

C.(0,0)D.(1,1)

2.（2023•重庆•一模）如图，在边长为4的菱形4BCD中，乙42。=60。，将八42。沿射线2。方向平移，得

至lAEFG,连接EC、GC.则EC+GC的最小值为（）

A.273B.473C.276D.476

3.（2023•陕西西安•八年级校考期末）如图，在边长为2的菱形48。中，乙42c=60。，将△BCD沿直线

AD平移得到VB'C'D',连接/C',/。，则NC+4D，的最小值为.

4.（2023•陕西西安•校考模拟预测）如图，在菱形/BCD中，BC=4,ZABC=60。,在8C边上有一线段E尸

由3向C运动，点尸到达点C后停止运动，E在尸的左侧，E尸=1,连接AF,则△力斯周长的最小

值为.

5.（2023•山东泰安•模拟预测）如图，在菱形48。中，AB=5,/C=8,点N在4C上，且儿W=l,

连接卸/,DN,则即/+£W的最小值为.

6.（2023•山东•八年级专题练习）如图，四边形N8CD是平行四边形，AB=4,BC=12,ZABC=60°,点

E、尸是ND边上的动点，且斯=2,则四边形BMC周长的最小值为.

7.（2023上・浙江•八年级周测）如图，08c为等腰直角三角形，/4BC=90。，点尸在NC的延长线上，且

/c=CP=4,将。8C沿48方向平移得到A/2'C',连接PH,PC'，则"的周长的最小值

8.（2023・陕西西安•校考二模）如图，矩形4BCZ）中，AB=3,BC=5,点E是4B的中点，线段血W在边8c

上左右滑动，若儿W=l,则EM+DV的最小值为

9.(2023•聊城)如图，在直角坐标系中，矩形CM8C的顶点。在坐标原点，顶点C分别在x轴，y轴

上，B,。两点坐标分别为8(-4,6),D(0,4),线段所在边。4上移动，保持EF=3,当四边形3OE尸的

周长最小时，点E的坐标为.

10.(2023上•广东深圳•九年级校考期中)如图，在菱形/BCD中，对角线NC,AD的长分别为6,4,将

沿射线C4的方向平移得到AGEE,分别连接。E,FD,AF,则。尸+DE的最小值为.

11.(2023.广东深圳九年级期中)如图1,已知平行四边形ABCO,以点。为原点，OC所在的直线为x轴,

建立直角坐标系，AB交y轴于点D,AD=2,OC=6,ZA=60°,线段EF所在的直线为OD的垂直平分线，点P

为线段EF上的动点，PM1X轴于点M点，点E与F关于X轴对称，连接BP、EZM.(1)请直接写出点A的

坐标为，点B的坐标为；(2)当BP+PM+ME，的长度最小时，请直接写出此时点P的坐标为

12.（成都市2022-2023学年八年级期末）如图，在平面直角坐标系中有4（0,3）,。（5,0）两点.将直线生

y=x向上平移2个单位长度得到直线4,点B在直线4上，过点8作直线4的垂线，垂足为点C,连接48,

BC,CD,则折线/BCD的长/8+3C+C。的最小值为.

13.（2023・江苏盐城•统考三模）如图，在Y48CD中，AB=4,AD=9,M、N分别是40、3C边上的动

点，且N4BC=NMNB=60°,则+MN+ND的最小值是.

14.（2023,四川成都•模拟预测）如图，菱形的3c边在x轴上，顶点C坐标为（-4,0）,顶点。坐标为

（0,3）,点£在了轴上，线段E尸〃x轴，且点尸坐标为（8,6）,若菱形48CD沿x轴左右运动，连接/E、

DF,则运动过程中，四边形NOEE周长的最小值是.

15.（2023.广东八年级专项训练）如图所示，某条护城河在CC'处角转弯，河宽相同，从A处到达3处，须

经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北走向的，恰当地造桥可使A到

B的路程最短，请确定两座桥的位置.

16.（2023•陕西咸阳•校考一模）【问题提出】（1）如图1,点/、8在直线/的同侧，点/到直线/的距离

/C=2,点2到直线/的距离BD=4,A、B两点的水平距离CD=8,点P是直线I上的一个动点，则AP+BP

的最小值是;

【问题探究】（2）如图2,在矩形48CD中，AB=4,BC=2,G是4D的中点，线段E尸在边48上左右

滑动，若EF=1,求GE+CF的最小值；

【问题解决】（3）如图3,某公园有一块形状为四边形/BCD的空地，管理人员规划修两条小路NC和AD

（小路的宽度忽略不计，两条小路交于点P）,并在/。和8c上分别选取点M、N,沿PM、/W和九W修

建地下水管，为了节约成本，要使得线段尸〃、PN与九W之和最小.

已测出//C8=45。，NADB=60°,ZCPD=75°,PD=40m,PC=50拒m，管理人员的想法能否实现，若

能，请求出PM+PN+AW的最小值，若不能，请说明理由.

17.（2023上,陕西西安•九年级校考阶段练习）（1）问题提出如图①，在。3C中,

AB^AC^6,ZBAC=120°,点。，£分别是4瓦/。的中点.若点跖N分别是和8C上的动点，贝U

AM+MN的最小值是.

（2）问题探究：如图②，/和8两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（与河床垂直），桥造在何处,

才能使从/到8的路径N-8最短.博琳小组针对该问题展开讨论，小旭同学认为：过/作河

岸的垂线，使44'=MV,血W为河宽，连接48与河的一岸交于点N,此时在点N处建桥，可使从/

到8的路径/fMfNf5最短.你认为小旭的说法正确吗？请说明理由.（3）问题解决：如图③，在

矩形N8CD中，AB=60,BC=80.E、尸分别在/瓦。上，且满足Ek〃8C,BE=20.若边长为10的正

方形MVP。在线段EF上运动，连接员W、DP,当BM+DP取值最小时，求EN的长.

18.（2023•广东深圳•八年级统考期末）如图1,在平面直角坐标系xQy中，己知平行四边形0/8C的顶点。

为坐标原点，顶点/在x轴的正半轴上，B、。在第一象限内，且CM=6,0c=3皿，Z^OC=45°.

（1）顶点8的坐标为,顶点C的坐标为;（2）设对角线/C、08交于点£,在y轴上有一点。

（0,-1）,无轴上有一长为1个单位长度的可以左右平移的线段MV,点〃在点N的左侧，连接DM、

EN,求。M+EN的最小值；（3）如图2,若直线/：y=fcc+b过点尸（0,-2）,且把平行四边形O42C的面

积分成1：2的两部分，请直接写出直线/的函数解析式.

19.（2023•江苏南京•模拟预测）【模型介绍】

古希腊有一个著名的“将军饮马问题"，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营

48.他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查8营.如图①，他时常想，怎么走才能使每天走的

路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题.如图②，作点B关于直线/的对

称点？，连结与直线/交于点尸，连接尸8,贝UP+B尸的和最小.请你在下列的阅读、理解、应用的过

程中，完成解答.理由：如图③，在直线/上另取任一点P,连结/尸'，BP',B'P',•.•直线/是点8,B'

的对称轴，点尸，P在/上，

在A4P®中，：

AB'<AP'+P'B',：.AP+PB<AP'+P'B',即AP+8P最d、.

【归纳总结】在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点43在直线同侧的问题转化为在直线

的两侧，从而可利用"两点之间线段最短"，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点

P为/夕与/的交点，即A,P,夕三点共线）.由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距

离和的最小值”问题的数学模型.

【模型应用】（2）如图④，正方形N