北师版九年级数学上册期末复习考点 清单07 二次函数（13个考点梳理+题型解读+提升训练）

清单07二次函数（13个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】次函数的概念一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数【清单02】二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．（3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．【清单03】二次函数的图象及性质解析式二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）对称轴x=–顶点（–，）a的符号a>0a<0图象开口方向开口向上开口向下最值当x=–时，y最小值=当x=–时，y最大值=最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小【清单04】抛物线的平移二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．【清单05】二次函数与一元二次方程的关系1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．3）（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；（3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．【清单06】用二次函数的性质解决实际问题利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是：（1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围（2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值【清单07】用二次函数图象解决几何问题二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的【考点题型一】二次函数的概念

【典例1-1】下列函数中属于二次函数的是（

）A．y=3x−1 B．y=ax2+bx+c C．y=2【典例1-2】关于x的函数y=(m−1)xm2+1+5【变式1-1】下列属于二次函数的是（

）A．y=−2x2+3 B．y=2x C．y=【变式1-2】若y=(m−4)x2−5x+3表示y是x的二次函数，则m【变式1-3】若y=m−2xm2−2+3x是关于

【考点题型二】特殊二次函数的图像和性质

【典例2】对于抛物线y=−2x−12+3A．函数最小值是3 B．当x>1时，y随x的增大而增大C．抛物线的顶点坐标是−1,3 D．对称轴为直线x=1【变式2-1】若二次函数y=x2+3的图象经过点−1,y1，3,y2A．y1=y2 B．y1【变式2-2】抛物线y=x−12−2A．−1,−2 B．1,−2 C．−1,2 D．1,2【变式2-3】设A(−5,y1)，B(1,y2)，C(2,y3)是抛物线y=−A．y2>y3>y1 B．【变式2-4】已知关于x的二次函数y=−x−52+1，当2<x<6时，【考点题型三】与特殊二次函数有关的几何知识

【典例3】如图，抛物线C1:y=x2−4x的对称轴为直线x=a，将抛物线C1向上平移5个单位长度得到抛物线C2【变式3-1】如图，已知抛物线y1=−12x2+4，−2≤x≤2，将【变式3-2】如图，抛物线y=13x2−3与x轴交于A，B两点，F是以点C0,4为圆心，1为半径的圆上的动点，D是线段AF的中点，连接OD，【变式3-3】将抛物线y=−x2向右平移后，所得新抛物线的顶点是B，新抛物线与原抛物线交于点A（如图所示），联接OA、AB如果△AOB是等边三角形，那么点B的坐标是【变式3-4】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为1,1、1,4、4,4．若抛物线y=ax2的图象与正方形ABCD有公共点，则a的取值范围是

【考点题型四】二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质

【典例4】已知二次函数y=2x2−x+1A．顶点坐标为12,7C．当x≤1时，y随x的增大而减小 D．若1<x1【变式4-1】下列关于二次函数y=−3x+1x−2的图象和性质的叙述中，正确的是（A．点0,2在函数图象上 B．开口方向向上C．对称轴是直线x=1 D．与直线y=3x有两个交点【变式4-2】已知二次函数y=−mx2+2mx+4m>0经过点A−2,y1A．y1<y2<y3 B．【变式4-3】二次函数y=ax2+x−6的图象与x轴交于A−3,0、A．它的对称轴为直线x=1 B．顶点坐标为−C．点B的坐标为2,0 D．当x<−1时，y随x的增大而增大【变式4-4】抛物线y=ax2+bx+ca≠0，y与x−2012my−5343−5A．开口向下 B．顶点坐标为1,4 C．当x<0时，y随x的增大而减小 D．m=4

【考点题型五】二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题

【典例5】已知二次函数y=x2−2ax+a2−1，当A．1或0 B．1或2−3 C．2−3或3−1【变式5-1】已知二次函数y=x2−bx+1，当−32≤x≤12时，函数A．−2或32 B．−116或32 C．±【变式5-1】已知二次函数y=mx2−4mx+1，其中m>0．若当0≤x≤4时，对应的y的整数值有6个，则mA．12<m<34 B．1<m≤54【变式5-2】已知抛物线y=x²+2a−1x−3，若当−1≤x≤3时，函数的最大值为1，则a的值为【考点题型六】根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息

【典例6】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc<0；②2a+b=0；③m为任意实数，则a+b≤m(am+b)；④a−b+c>0；⑤若ax12+bA．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式6-1】在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象如图所示，现给以下结论：①abc<0；②c+2a<0；③9a−3b+c=0；④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式6-2】如图，已知顶点为−3,−6的抛物线y=ax2+bx+c过−1,−4，则下列结论：①abc<0；②对于任意的x，均有am2+bm+c+6>0；③−5a+c=−4；④若A．2 B．3 C．4 D．5【变式6-3】如图，已知二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象与x轴交于点A−1,0，与y轴的交点在0,−2和0,−1之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1，下列结论：①4a+2b+c>0；②4ac−A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式6-4】如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为12,1，下列结论：①abc<0；②b2−4ac>0A．1 B．2 C．3 D．4【考点题型七】二次函数的平移变换

【典例7】将抛物线y=x2向上平移2个单位长度，再向左平移5个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（A．y=x+52+2C．y=x+52−2【变式7-1】将抛物线y=3xA．y=3(x+1)2+2C．y=3(x−2)2+1【变式7-2】要得到二次函数y=−x−22+1A．向左平移2个单位，再向下平移1个单位B．向右平移2个单位，再向上平移1个单位C．向左平移1个单位，再向上平移2个单位D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位【变式7-3】在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+1A．y=x−32−1C．y=x+32−1【考点题型八】二次函数的交点问题

【典例8】抛物线y1=−x2+4x和直线yA．x<0 B．0<x<4 C．0<x<2 D．2<x<4【变式8-1】二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，当函数值y<0时，自变量x【变式8-2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bxa>0和直线y=kxk>0交于点O和点A，则关于x【变式8-3】如图，已知二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m的图象相交于点A(−5,−3)，B(3,4)【考点题型九】二次函数应用-类抛物线问题

【典例9】【综合与实践】为响应国家“双减”政策号召，落实“五育并举”举措，我县各校开展了丰富多彩的社团活动．球类运动课上，甲乙两人打乒乓球，让乒乓球沿着球台的中轴线运动，从侧面看乒乓球台如图所示，MN为球台，EF为球网，点E为MN中点，MN=28dm，EF=1.5dm，甲从M正上方的A处击中球完成发球，球沿直线撞击球台上的B处再弹起到另一侧的C处，从C处再次弹起到P，乙再接球．以MN所在直线为x轴，M为原点作平面直角坐标系，xdm表示球与M的水平距离，ydm表示球到球台的高度，将乒乓球看成点，两次弹起的路径均为抛物线，BC段抛物线的表达式为y1(1)①点F的坐标为______；②用含t的式子表示：点B的坐标为______；点C的坐标为______；(2)当球在球网EF正上方时到达最高点，求此时球与F的距离；(3)若球第二次的落点C在球网右侧5dm处，球再次弹起最高为1.25dm，乙的球拍在N处正上方如线段GH，GH=1.5dm，【变式9-1】如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=−0.2x2+3.5A．3m B．3.5m C．4m 【变式9-2】“一河诗画，满城烟花”，每逢过年过节，人们会在美丽的浏阳河边上手持网红烟花加特林进行燃放，当发射角度与水平面成45度角时，烟花在空中的高度y（米）与水平距离x（米）接近于抛物线y=−0.5x2+10x−38【变式9-3】图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡OA的底部点O处，石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，已知石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是50,25，OC=5．(1)求抛物线的表达式；(2)在斜坡上的点A建有垂直于水平线OD的城墙AB，且OD=75，AD=12，AB=9，点D，A，B在一条直线上．通过计算说明石块能否飞越城墙AB．【变式9-4】某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48m方案一，抛物线型拱门的跨度ON=12m，拱高PE=4m其中，点N在x轴上，PE⊥ON，方案二，抛物线型拱门的跨度ON′=8m，拱高P′E′=6m要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架ABCD的面积记为S1，点A、D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架A′B′C′D′的面积记为S2，点A′

(1)求方案一中抛物线的函数表达式；(2)在方案一中，当AB=3m时，求矩形框架ABCD的面积S1并比较S1【考点题型十】二次函数应用-面积问题

【典例10】以农业和农村为载体的生态农业观光园，不仅具有生产性功能，还具有改善生态环境质量，为人们提供观光、休闲、度假的生活性功能．数学探究小组以“设计矩形生态农业观光园”为主题开展数学实践活动．如图，△ABC是一块用篱笆围出的直角三角形田地，其中∠C=90°，AB=500m，BC=300m，数学探究小组准备继续用篱笆在该田地中围出“矩形生态农业观光园”．该观光园为矩形DEFG，E、F落在BA边上，D在BC边上，G在AC边上，（其中(1)若DE=204m，请求出矩形生态农业观光园DG(2)因材料限制，新添加的篱笆总长最多只能为485m【变式10-1】如图1，用一段长为33米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩形ABCD菜园，墙长为12米．设AB的长为x米，矩形ABCD菜园的面积为S平方米，(1)分别用含x的代数式表示BC与S；(2)若S=54，求x的值；(3)如图2，若在分成的两个小矩形的正前方各开一个1.5米宽的门（无需篱笆），当x为何值时，S取最大值，最大值为多少？【变式10-2】综合与实践在综合实践课上，小明想做一些矩形木板零件，他找到了一些木板余料：(1)如图1，已知三角形小木块△ABC，边BC=120cm，高AD=80cm，小明要利用它做一个正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．求加工成的正方形零件(2)如图2，已知三角形小木块△ABC，边BC=a，高AD=ℎ，小明要利用它做一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．求加工成的矩形零件PQMN面积的最大值是多少？（用含a，ℎ的代数式表示）(3)如图3，已知四边形的小木块ABCD，测得AB=60cm，BC=100cm，CD=70cm，∠B=∠C=60°，小明要利用它做一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，CD【变式10-3】如图，四边形ABCD中，AD=CD,AB=BC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．(1)如果筝形的两条对角线长分别为6cm、8(2)已知筝形ABCD的对角线AC,BD的长度为整数值，且满足AC+BD=6．试求当AC,BD的长度为多少时，筝形ABCD的面积有最大值，最大值是多少？

【考点题型十一】二次函数应用-利润问题

【典例11】某款网红产品很受消费者喜爱，每个产品的进价为40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天的销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．(1)直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围．(2)将产品的销售单价定为多少元时，商家每天销售产品获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？(3)该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润等于2200元，求销售单价x的值．【变式11-1】某商店销售一种进价60元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如下表：售价x/（元/件）80100销售量y/件10060(1)求销售量y关于售价x的函数关系式．(2)①设商店销售该商品每天获得的利润为W（元），求W与x之间的函数关系式．②若规定售价高于进价且不超过进价的1.5倍，问当售价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？【变式11-2】某超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y（千克）与销售单价x（元）x≥30存在如下图所示的一次函数关系．(1)试求出y与x的函数关系式；(2)设该超市销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？(3)根据市场调查，该超市经理要求每天利润不得低于4320元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x的范围（直接写出）．【变式11-3】著名作家史铁生用他积极乐观的人生态度影响着无数的读者，他是当之无愧的“时代巨人”．近日华南书苑直播平台直播带货史铁生散文集《病隙碎笔》，赢得了众多粉丝的青睐．已知这本书的成本价为每本10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．通过前几天的销售发现，当销售定价为15元时，每天可售出700本，销售单价每上涨10元，每天销售量就减少200本．设每天的销售量为y（本），销售单价为x（元/本）(1)直接写出y关于x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)若销售该书每天的利润为7500元，求该书的销售单价；(3)甘肃地震牵动着全国人民的心，该主播决定，每销售一本书就捐赠a元a>0给灾区，当每天销售最大利润为6000元时，求a的值．【考点题型十二】二次函数与几何综合应用

【典例12】如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴分别交于点A(−1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C(0,3)，点P是坐标平面内一点，点P(1)求抛物线的解析式；(2)连接OP，若点D在抛物线上且∠DBO+∠POB=90°，求点D的坐标；(3)如图2，将抛物线y=ax2+bx+c当−1≤x≤4时的函数图象记为l1，将图象l1在x轴上方的部分沿x轴翻折，图象l1的其余部分保持不变，得到一个新图象l2．若经过点P【变式12-1】如图，抛物线y=−x2+bx+c与轴交于点A，与x轴交于点B、C，已知A(1)求抛物线的表达式，并求出点C的坐标．(2)点M是抛物线（第一象限内）上的一个动点，连接MA，MB，当△MAB面积最大时，求M点的坐标．(3)若点M坐标固定为1,6，Q是抛物线上除M点之外的一个动点，当△ABM与△ABQ的面积相等求出点Q的坐标．【变式12-2】如图，抛物线y=−x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A(1)求抛物线的表达式；(2)点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，△CBF的面积最大？求出△CBF的最大面积及此时E点的坐标；(3)在坐标平面内是否存在点P，使得以A，C，D，P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．【变式12-3】如图，二次函数y=ax2+bx+ca<0的图象与x轴交于A(−1,0)，B两点，与y轴交于点C，已知(1)求该二次函数的表达式；(2)连接AC，P为第一象限内抛物线上一点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，连接PA，若△PDA与△COA相似，请求出满足条件的P点坐标；若没有满足条件的P点，说明理由．【变式12-4】如图，点C为二次函数y=x2+2x+1的顶点，直线y=−x+m与该二次函数图象交于A(−3,4),B两点（点B在y(1)求m的值及点C坐标；(2)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围；(3)连接AC、BC，求△ABC的面积；(4)在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．【变式12-5】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+3分别交x轴，y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线y=−x2+bx+c与x(1)求抛物线的解析式；(2)点D在第二象限的抛物线上，且△AOD与△ABC面积相等，求D点坐标；(3)若P为线段AB上一点，∠APO=∠ACB，求AP的长；(4)在（3）的条件下，设M是y轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【考点题型十三】二次函数与其他实际应用综合【典例13】【综合探究】运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况在大自然里，有很多数学的奥秘.图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．【探究一】确定心形叶片的形状（1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数y=−ax2+4ax+4a+1【探究二】研究心形叶片的宽度：（2）如图3，心形叶片的对称轴直线y=x+2与坐标轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于另一点C，点C，C1是叶片上的一对对称点，CC1交直线AB于点G【探究三】探究幼苗叶片的长度（3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数y=−ax2+4ax+4a+1图象的一部分；如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应任务1中的二次函数．已知直线PD（点P为叶尖）与水平线的夹角为45°【变式13-1】综合与实践：设计公交车停靠站的扩建方案．【素材1】图1为某公交车停靠站，顶棚截面由若干段形状相同的抛物线拼接而成．图2为某段结构示意图，C1，C2皆为轴对称图形，且关于点

【素材2】图3为停靠站部分截面示意图，两根长为2.5米的立柱M1N1，M2N2竖直立于地面并支撑在对称中心M1，M【素材3】将顶棚扩建，要求截面为轴对称图形，且水平宽度为27米．计划在顶棚两个末端到地面之间加装垂直于地面的挡风板．【任务】(1)确定中心：求图2中点M到该结构最低点的水平距离l．(2)确定形状：在图3中建立合适的直角坐标系，求C1(3)确定高度：求挡风板的高度．【变式13-2】图1为某公园的抛物线型拱桥，图2是桥拱的横截面示意图，测得水面宽度AB=24米，拱顶离水面的距离为CD=4米．

(1)在图2中建立合适的直角坐标系后，求这条抛物线的函数表达式．(2)拟在公园里投放游船供游客乘坐，载重最少时，游船的横截面如图3所示，露出水面的船身为矩形GHIJ，船顶为等腰三角形EFK．测得相关数据如下：EF=EK=1.7米，FK=3米，FG=JK=0.4米，GH=JI=1.26米．为确保安全，拟在石拱桥下面的P，Q两处设安置航行警戒线，要求如下：①游船底部HI在P，Q之间通行；②当载重最少通过时，游船顶部E与拱桥的竖直距离至少为0.5米．求PQ的最大值．

清单07二次函数（13个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】次函数的概念一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数【清单02】二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．（3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．【清单03】二次函数的图象及性质解析式二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）对称轴x=–顶点（–，）a的符号a>0a<0图象开口方向开口向上开口向下最值当x=–时，y最小值=当x=–时，y最大值=最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小【清单04】抛物线的平移二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．【清单05】二次函数与一元二次方程的关系1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．3）（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；（3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．【清单06】用二次函数的性质解决实际问题利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是：（1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围（2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值【清单07】用二次函数图象解决几何问题二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的【考点题型一】二次函数的概念

【典例1-1】下列函数中属于二次函数的是（

）A．y=3x−1 B．y=ax2+bx+c C．y=2【答案】C【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义．根据形如y=ax【详解】解：A、y=3x−1是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；B、y=ax2+bx+cC、y=2xD、y=x故选：C．【典例1-2】关于x的函数y=(m−1)xm2+1+5【答案】−1【分析】本题考查了二次函数的概念：关于自变量的二次三项式，一般形式为y=ax2+bx+c(a≠0)，a、b、c是常数；根据概念得m−1≠0【详解】解：由题意得：m−1≠0，m2解得：m=−1；故答案为：−1．【变式1-1】下列属于二次函数的是（

）A．y=−2x2+3 B．y=2x C．y=【答案】A【分析】本题主要考查二次函数的定义，一般地，把形如y=ax2+bx+ca≠0其中a，【详解】解：A、y=−2xB、y=2x，是一次函数，故本选项不符合题意；C、y=1D、y=−x+1，是一次函数，故本选项不符合题意；故选：A．【变式1-2】若y=(m−4)x2−5x+3表示y是x的二次函数，则m【答案】m≠4【分析】本题主要考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义得出关于m的不等式是解题的关键．根据形如y=ax【详解】解：由题意得，m−4≠0，解得m≠4，故答案为：m≠4．【变式1-3】若y=m−2xm2−2+3x是关于【答案】−2【分析】本题主要考查了二次函数定义，掌握形如y=ax2+bx+c（a、b、c利用二次函数定义可得m2−2=2，且m−2≠0，计算出【详解】解：∵y=m−2xm∴m2−2=2，且m−2≠0，解得：故答案为：−2．

【考点题型二】特殊二次函数的图像和性质

【典例2】对于抛物线y=−2x−12+3A．函数最小值是3 B．当x>1时，y随x的增大而增大C．抛物线的顶点坐标是−1,3 D．对称轴为直线x=1【答案】D【分析】本题主要考查了二次函数y=ax−ℎ2+k的图像和性质，由抛物线y=−2x−12+3可得出抛物线开口向下，对称轴直线为x=1，顶点坐标为：1,3，进而可得出函数的最大值为3，且当【详解】解：∵抛物线y=−2x−12+3∴抛物线开口向下，对称轴直线为x=1，顶点坐标为：1,3，∴函数的最大值为3，且当x>1时，y随x的增大而减小，故选：D．【变式2-1】若二次函数y=x2+3的图象经过点−1,y1，3,y2A．y1=y2 B．y1【答案】C【分析】本题主要考查了比较函数值的大小，根据二次函数y=x2+3【详解】解：∵二次函数解析式为：y=x∴对称轴为y轴，∴点−1,y1到对称轴的距离小于点∵a=1>0，∴y1故选：C．【变式2-2】抛物线y=x−12−2A．−1,−2 B．1,−2 C．−1,2 D．1,2【答案】B【分析】本题考查了抛物线的顶点式及顶点坐标；根据二次函数的顶点式y=ax−ℎ2+k【详解】解：抛物线y=x−12−2故选：B．【变式2-3】设A(−5,y1)，B(1,y2)，C(2,y3)是抛物线y=−A．y2>y3>y1 B．【答案】A【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质得到抛物线y=−(x+1)2+3【详解】解：∵抛物线y=−(x+1)2+3∵−5−−1=6,∴A(−5,y1)离直线x=−1的距离最远，B(1,∴y故选：A．【变式2-4】已知关于x的二次函数y=−x−52+1，当2<x<6时，【答案】−8<y≤1【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质．求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当x=5，函数有最大值1；当x=2时函数有最小值−8，进而求得它们的范围．【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=5，抛物线顶点坐标为5,1，∴在2<x<6范围内，当x=5，函数有最大值为1；当x=2时函数有最小值：y=−9+1=−8，故答案为：−8<y≤1．

【考点题型三】与特殊二次函数有关的几何知识

【典例3】如图，抛物线C1:y=x2−4x的对称轴为直线x=a，将抛物线C1向上平移5个单位长度得到抛物线C2【答案】10【分析】本题考查了二次函数的平移，平移的性质，理解图中阴影部分为平行四边形OEFG是解题的关键．先求出l1的顶点坐标，再根据平移的性质求出C1的顶点坐标，G的坐标，求出平行四边形OEFG【详解】解：∵抛物线C1∴对称轴为x=2，顶点为(2,−4)∵抛物线C1向上平移5个单位长度得到抛物线C∴E点坐标为(5,0)，F点坐标为(2,1)．故两条抛物线、直线x=a与y轴所围成的图形（阴影部分）的面积为5×2=10．故答案为：10.【变式3-1】如图，已知抛物线y1=−12x2+4，−2≤x≤2，将【答案】8【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换．根据已知得出阴影部分即为平行四边形的面积．【详解】解：根据题意知，图中阴影部分的面积可以转化成平行四边形的面积，故阴影部分面积为：2×4=8．故答案为：8．【变式3-2】如图，抛物线y=13x2−3与x轴交于A，B两点，F是以点C0,4为圆心，1为半径的圆上的动点，D是线段AF的中点，连接OD，【答案】3【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，三角形中位线定理，勾股定理，圆的基本性质等知识；运用三角形中位线定理是本题的关键和难点．连接PB，根据函数解析式，求B坐标，然后求出BC=5，D是线段AF的中点，O是线段AB的中点，故BF是△ABF的中位线，当B、C、F三点共线，且点C在BF之间时，BF最大，即可求解．【详解】解：连接BC，CF，∵抛物线y=13x2−3与x令y=0即0=1解得x1=−3或∴A−3,0∴OA=OB=3，∵C0,4∴OC=4，∴BC=4D是线段AF的中点，O是线段AB的中点，故OD是△ABP的中位线，OD=1OD最大，即BF最大，即B、C、F三点共线，且点C在BF之间时，BF最大，∴BFOD故答案为：3．【变式3-3】将抛物线y=−x2向右平移后，所得新抛物线的顶点是B，新抛物线与原抛物线交于点A（如图所示），联接OA、AB如果△AOB是等边三角形，那么点B的坐标是【答案】B(2【分析】本题主要考查二次函数图像与几何变换，等边三角形的性质，二次函数图像上点的坐标特征，根据题意得到关于m的方程是解题的关键．由题意设A点坐标为(m,−m2)，根据等边三角形的性质得到B(2m,0)【详解】解：∵点A在抛物线y=−x∴设A点坐标为(m,−m∵△AOB是等边三角形，∴B(2m,0)，m=3∴m=3或m=0∴B(23故答案为：B(23【变式3-4】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为1,1、1,4、4,4．若抛物线y=ax2的图象与正方形ABCD有公共点，则a的取值范围是

【答案】1【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题．【详解】解：∵正方形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为1,1、1,4、4,4．∴D4当抛物线经过点B1,4时，则a=4当抛物线经过D4,1时，a=观察图象可知，抛物线y=ax2的图象与正方形ABCD有公共点，则a的取值范围是故答案为：116

【考点题型四】二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质

【典例4】已知二次函数y=2x2−x+1A．顶点坐标为12,7C．当x≤1时，y随x的增大而减小 D．若1<x1【答案】D【分析】本题考查的是二次函数的图象和性质，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质．先利用配方法得到y=2x−【详解】解：∵y=2x∴抛物线顶点坐标为14∴抛物线的开口向上，顶点坐标为14,78，函数的最小值为∴当x≤14时，y随x的增大而减小，当x≥14时，∴若1<x1<∴选项A，B，C错误，不符合题意，选项D正确，符合题意，故选：D【变式4-1】下列关于二次函数y=−3x+1x−2的图象和性质的叙述中，正确的是（A．点0,2在函数图象上 B．开口方向向上C．对称轴是直线x=1 D．与直线y=3x有两个交点【答案】D【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．求出x=0时，y的值即可判断选项A；根据−3<0即可判断选项B；将二次函数的解析式化成顶点式即可判断选项C；联立二次函数与直线y=3x可得一个关于x的一元二次方程，由此即可判断选项D．【详解】解：当x=0时，y=−3×1×−2则点0,2不在函数图象上，选项A错误；∵−3<0，∴抛物线的开口方向向下，选项B错误；y=−3x+1则对称轴是直线x=1联立y=−3x+1x−2y=3x解得x=±2则与直线y=3x有两个交点，选项D正确；故选：D．【变式4-2】已知二次函数y=−mx2+2mx+4m>0经过点A−2,y1A．y1<y2<y3 B．【答案】B【分析】本题考查利用二次函数性质比较函数值大小，涉及二次函数图像与性质、比较二次函数值大小等知识，根据二次函数图像与性质，利用图像上点到对称轴距离比较函数值大小即可得到答案，熟练掌握利用距离比较二次函数值大小的方法是解决问题的关键．【详解】解：由二次函数y=−mx2+2mx+4∴抛物线上点到对称轴距离越近，函数值y越大，∵二次函数y=−mx2+2mx+4m>0经过点A−2,∴三个点A、B、C到对称轴的距离为3、0、2，∴y1故选：B．【变式4-3】二次函数y=ax2+x−6的图象与x轴交于A−3,0、A．它的对称轴为直线x=1 B．顶点坐标为−C．点B的坐标为2,0 D．当x<−1时，y随x的增大而增大【答案】C【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点．待定系数法求得二次函数解析式，进而逐项分析判断即可求解．【详解】解：∵二次函数y=ax2+x−6的图象与x∴9a−3−6=0，解得：a=1，∴二次函数解析式为y=x∵y=x∴二次函数图象的对称轴为直线x=−12，顶点坐标为故A，B选项不正确，不符合题意；∵a=1>0，∴抛物线开口向上，∴当x<−1时，y随x的增大而减小，故D选项不正确，不符合题意；当y=0时，x2解得：x1∴点B的坐标为2,0，故C选项正确，符合题意；故选：C．【变式4-4】抛物线y=ax2+bx+ca≠0，y与x−2012my−5343−5A．开口向下 B．顶点坐标为1,4 C．当x<0时，y随x的增大而减小 D．m=4【答案】C【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性、增减性以及二次函数的顶点坐标．根据图表信息判断出抛物线的开口向下对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1,4)，再根据抛物线的对称性解答．【详解】解：由图可知，抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1,4)，∵x=1时，y=4最大，∴抛物线开口向下，当x<1时，y随x的增大而增大，当x=3与x=−1时，y值相等，∵x=−2时，y=−5，∴x=m=4时，y=−5．故选项A、B、D正确，选项C错误，故选：C．

【考点题型五】二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题

【典例5】已知二次函数y=x2−2ax+a2−1，当A．1或0 B．1或2−3 C．2−3或3−1【答案】C【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数y=x2−2ax+【详解】解：二次函数y=x∴该函数的对称轴为直线x=a，函数的最小值为−1，∵函数的最大值与最小值的差为3，∴函数的最大值为2，∵当−1≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为3，∴当a−−1>2−a，即a>12时，∴−1解得a1=3当a−−1<2−a，即a<12时，∴2解得a1=2+3故选：C．【变式5-1】已知二次函数y=x2−bx+1，当−32≤x≤12时，函数A．−2或32 B．−116或32 C．±【答案】A【分析】本题考查二次函数的性质．熟练掌握根据二次函数的最值求系数值是解题的关键．分三种情况：当−32<b2<12时，即−3<b<1时，当x=−b2时，函数有最小值12；当b2≥12【详解】解：∵y=x又∵当−32≤x≤12∴当−32<b2<1∴1−b解得：b=±2∴b=−2当b2≥12时，即b>1时，当∴12解得：b=3当b2≤−32时，即b≤−3时，当∴−3解得：b=−11综上，当−32≤x≤12时，函数y有最小值12，故选：A．【变式5-1】已知二次函数y=mx2−4mx+1，其中m>0．若当0≤x≤4时，对应的y的整数值有6个，则mA．12<m<34 B．1<m≤54【答案】D【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；由y=mx2−4x+4−4m+1=mx−22−4m+1，可知函数的最小值为1−4m【详解】∵y=m∴y=mxy=mx−2∴抛物线的顶点坐标为2,1−4m，∴当x=0或x=4时，y=1，∴当x=2时，y有最小值为1−4m，∵m>0，∴当0≤x≤4时，y的最大值为1，∵m>0，当0≤x≤4时，对应的y的整数值有6个，∴这6个整数值为：1、0、−1、−2、−3、−4，∴−5<1−4m≤−4解得：5故选：D【变式5-2】已知抛物线y=x²+2a−1x−3，若当−1≤x≤3时，函数的最大值为1，则a的值为【答案】−1或−13/−【分析】本题考查了二次函数的最值问题，解题关键是根据二次函数的性质，分类讨论．先求出二次函数的对称轴为直线x=−2a−12，然后根据二次函数的增减性并结合【详解】解：∵二次函数y=x²+2a−1∴二次函数的对称轴为直线x=−2a−1①当−2a−12>3，即a<−52时，此时二次函数在−1≤x≤3上y随x的增大而减小，在x=−1取最大值，即1−②当−1+32≤−2a−12≤3∴二次函数在x=−1取最大值，即1−2a−1−3=1，解得③当−1≤−2a−12<−1+32∴二次函数在x=3取最大值，即9+32a−1−3=1，解得④当−2a−12<−1即a≥32时，此时二次函数在−1≤x≤3上y随x的增大而增大，在x=3取最大值，9+3综上，a的值为−1或−1故答案：−1或−1【考点题型六】根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息

【典例6】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc<0；②2a+b=0；③m为任意实数，则a+b≤m(am+b)；④a−b+c>0；⑤若ax12+bA．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系．根据图象正确的获取信息，利用二次函数的性质进行判断，是解题的关键．①根据开口方向，对称轴，与y轴的交点位置，进行判断；②利用对称轴进行判断；③利用最值进行判断；④根据对称性和图象上的点，进行判断；⑤利用对称性进行判断．【详解】解：∵抛物线开口向上，则a>0，∵对称轴为直线x=−b2a=1∴2a+b=0，故②正确抛物线与y轴交于负半轴，则c<0，∴abc>0，故①错误；∵当x=1时，取得小值，∴a+b+c≤am当m为任意实数，则a+b≤mam+b④∵抛物线关于x=1对称，∴x=−1即：a−b+c=9a由图象知，当x=3时，函数值大于0，∴a−b+c>0，故④正确；⑤当x1,x2关于x1即：ax∴a∴若ax12+bx综上所述，正确的是②③④⑤，共4个，故选：C．【变式6-1】在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象如图所示，现给以下结论：①abc<0；②c+2a<0；③9a−3b+c=0；④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，分别进行判断得到答案即可．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：①由抛物线可知：a>0，c<0对称轴x=−b∴b>0，∴abc<0，故①正确；②由对称轴可知：−b∴b=2a，∴y=ax2∵抛物线过点1,0，∴a+2a+c=0，∴c+2a=−a<0，故②正确；③1,0关于x=−1的对称点为−3,0，∴x=−3时，y=9a−3b+c=0，故③正确；④抛物线与x轴有两个交点，∴Δ即b2∴4ac−b⑤当x=−1时，y的最小值为a−b+c，∴x=m时，y=am∴am即a−b≤mam+b故错误的有：④⑤．故选：B．【变式6-2】如图，已知顶点为−3,−6的抛物线y=ax2+bx+c过−1,−4，则下列结论：①abc<0；②对于任意的x，均有am2+bm+c+6>0；③−5a+c=−4；④若A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据开口方向，对称轴，与y轴的交点，即可判断a,b,c的符号，即可判断①，根据顶点坐标求得最值，即可判断②，把−1,−4代入y=ax2+bx+c，得a−b+c=a−6a+c=−5a+c=−4，故③正确，由−1,−4关于直线x=−3对称的点为(−5,−4)，进而得若ax2+bx+c≥−4，则x≥−1或x≤−5，故④错误；由抛物线y=ax2+bx+c的顶点为−3,−6【详解】解：∵抛物线开口向上，∴a>0，∵对称轴为直线x=−3=−b∴b>0，b=6a，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c<0，∴abc<∵抛物线的顶点坐标为(−3,−6)，即x=−3时，函数有最小值，∴ax∴对于任意的x，均有am∵抛物线y=ax2+bx+c∴a−b+c=a−6a+c=−5a+c=−4，故③正确；∵抛物线y=ax2+bx+c过−1,−4，−1,−4关于直线x=−3∴若ax2+bx+c≥−4，则x≥−1∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点为−3,−6∴4ac−b∴c=9a−6，∵−5a+c=−4，∴−5a+9a−6=−4，解得a=1∴正确的个数为3.故选：B．【变式6-3】如图，已知二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象与x轴交于点A−1,0，与y轴的交点在0,−2和0,−1之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1，下列结论：①4a+2b+c>0；②4ac−A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+ca≠0系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与【详解】解：①∵图象与x轴交于点A−1,0，对称轴为直线x=1∴图象与x轴的另一个交点为3,0，∴当x=2时，y<0，∴4a+2b+c<0，故①错误；②∵函数开口方向向上，∴a>0，∵抛物线与y轴交点在0,−2和0,−1之间，对称轴为直线x=1，∴顶点纵坐标要小于−1，∴4ac−b24a∴4ac−b③∵图象与y轴的交点在0,−2和0,−1之间，∴−2<c<−1，∵图象与x轴交于点A−1,0和3,0∴ax2+bx+c=0由韦达定理可知：ca∴c=−3a，∴−2<−3a<−1，∴13④∵对称轴为直线为x=−b∴b=−2a，∵a>0，c=−3a，∴b>c，故④正确．综上所述，正确的有②③④，故选：C．【变式6-4】如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为12,1，下列结论：①abc<0；②b2−4ac>0A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．根据二次函数图象反映出的数量关系，逐一判断正确性．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a<0，∵抛物线的对称轴为直线x=−b∴b=−a>0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c>0，∴abc<0，所以①正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴Δ=∵抛物线的对称轴为x=1∴x=0和x=1对应的函数值相等，∴x=1时，y>0，即a+b+c>0，所以③错误；∵b=−a，∴a+b=0，所以④正确；∵顶点坐标纵坐标为1，∴4ac−b∴4ac−b故选：D．

【考点题型七】二次函数的平移变换

【典例7】将抛物线y=x2向上平移2个单位长度，再向左平移5个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（A．y=x+52+2C．y=x+52−2【答案】A【分析】本题主要考查二次函数图象平移规律，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数平移规律．根据二次函数平移规律：上加下减，左加右减，进行求解即可；【详解】解：将抛物线y=x2向上平移2个单位长度，再向左平移5个单位长度后可得：故选：A．【变式7-1】将抛物线y=3xA．y=3(x+1)2+2C．y=3(x−2)2+1【答案】C【分析】本题考查了二次函数得图像与几何变换，熟知二次函数图像平移得法则是解题的关键．根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．【详解】将抛物线y=3x2先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是故选C．【变式7-2】要得到二次函数y=−x−22+1A．向左平移2个单位，再向下平移1个单位B．向右平移2个单位，再向上平移1个单位C．向左平移1个单位，再向上平移2个单位D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位【答案】B【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键．根据函数图象平移的法则解答即可．【详解】解：根据“左加右减，上加下减”规律：二次函数y=−x2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位即可得到二次函数故选：B．【变式7-3】在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+1A．y=x−32−1C．y=x+32−1【答案】A【分析】本题考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．根据图象的平移规律，可得答案．【详解】解：将抛物线y=x2+1先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新的抛物线的函数解析式为y=故选：A．

【考点题型八】二次函数的交点问题

【典例8】抛物线y1=−x2+4x和直线yA．x<0 B．0<x<4 C．0<x<2 D．2<x<4【答案】C【分析】根据函数图像，写出抛物线在直线上方部分的x的范围，即可求解，本题考查了二次函数交点确定不等式解集，解题的关键是：应用数形结合方法，将函数图像与不等式解集联系起来．【详解】解：由图像可知，抛物线y1=−x2+4x另一交点横坐标为2，代入y2=2x，解得∴另一交点坐标为2,4，∴不等式y1>y故选：C．【变式8-1】二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，当函数值y<0时，自变量x【答案】−1<x<3【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系．根据题意，当函数值y<0时，自变量x的取值范围，就是求当函数图象在x轴下方时，对应的x的取值范围，由此得到答案．【详解】解：观察图象知，当函数值y<0时，自变量x的取值范围是−1<x<3，故答案为：−1<x<3．

【变式8-2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bxa>0和直线y=kxk>0交于点O和点A，则关于x【答案】x<0或x>3【分析】本题考查二次函数和不等式的关系，解题关键是通过数形结合求解；通过抛物线与直线的交点即可求解．【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx(a>0)和直线y=kx(k>0)交于点O∴x<0或x>3时，抛物线在直线的上方，∴不等式ax2+bx>kx的解集为：x<0故答案为：x<0或x>3．【变式8-3】如图，已知二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m的图象相交于点A(−5,−3)，B(3,4)【答案】x<−5或x>3【分析】本题考查了二次函数与不等式．熟练掌握数形结合法求不等式的解集是解题的关键．根据不等式ax2+bx+c>kx+m【详解】解：由题意知，不等式ax2+bx+c>kx+m由图象可知，x<−5或x>3，故答案为：x<−5或x>3．

【考点题型九】二次函数应用-类抛物线问题

【典例9】【综合与实践】为响应国家“双减”政策号召，落实“五育并举”举措，我县各校开展了丰富多彩的社团活动．球类运动课上，甲乙两人打乒乓球，让乒乓球沿着球台的中轴线运动，从侧面看乒乓球台如图所示，MN为球台，EF为球网，点E为MN中点，MN=28dm，EF=1.5dm，甲从M正上方的A处击中球完成发球，球沿直线撞击球台上的B处再弹起到另一侧的C处，从C处再次弹起到P，乙再接球．以MN所在直线为x轴，M为原点作平面直角坐标系，xdm表示球与M的水平距离，ydm表示球到球台的高度，将乒乓球看成点，两次弹起的路径均为抛物线，BC段抛物线的表达式为y1(1)①点F的坐标为______；②用含t的式子表示：点B的坐标为______；点C的坐标为______；(2)当球在球网EF正上方时到达最高点，求此时球与F的距离；(3)若球第二次的落点C在球网右侧5dm处，球再次弹起最高为1.25dm，乙的球拍在N处正上方如线段GH，GH=1.5dm，【答案】(1)①14，1.5；(2)此时球与F的距离为0.3dm(3)1≤n≤7【分析】本题考查了二次函数的性质及应用，需认真审题，完成由实际问题到理论知识的转化，采用顺利解题．（1）①依题意求得F坐标即可；②求抛物线与x轴的交点即可；（2）先求出解析式，再求得球与F的距离；（3）将实际问题转化为求抛物线与直线的交点问题即可．【详解】（1）解：①∵点E为MN中点，EF=1.5，MN=28，∴ME=1∴F14故答案为：14，②∵B，C是x轴与抛物线的交点，∴令yt=0，则解得：x1=t，∴Bt故答案为：t，（2）解：∵BC段抛物线与x轴交于t，∴BC段抛物线的对称轴为直线：x=t+t+12当球在EF上方到达最高点时，即t+6=14，∴t=8，即：BC段抛物线为y1当x=14时，y1∵1.8−1.5=0.3．∴此时球与F的距离为0.3dm；（3）解：∵球第二次的落点在球网右侧5dm处，球再次弹起最高为1.25dm∴球过19，∴−1解得ℎ=24或14（舍去），当−1解得：x=27或21，又∵1.25<0.8+1.5，28−27=1，28−21=7，∴1≤n≤7．

【变式9-1】如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=−0.2x2+3.5A．3m B．3.5m C．4m 【答案】C【分析】本题考查了投球问题，实际问题与二次函数，如图，实际是求AB的长，而OA已知，所以只需求出OB即可，OB就是C点的横坐标．【详解】解：如图，把C点纵坐标y=3.05代入y=−0.2xx=±1.5(舍去负值)，即OB=1.5m所以l=AB=2.5+1.5=4m故选：C．【变式9-2】“一河诗画，满城烟花”，每逢过年过节，人们会在美丽的浏阳河边上手持网红烟花加特林进行燃放，当发射角度与水平面成45度角时，烟花在空中的高度y（米）与水平距离x（米）接近于抛物线y=−0.5x2+10x−38【答案】12【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键．将原抛物线解析式化为顶点式，结合二次函数的图像与性质即可获得答案．【详解】解：∵y=−0.5x又∵a=−0.5<0，∴当x=10（米）时，烟花可以达到的最大高度，最大高度为12米．故答案为：12．【变式9-3】图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡OA的底部点O处，石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，已知石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是50,25，OC=5．(1)求抛物线的表达式；(2)在斜坡上的点A建有垂直于水平线OD的城墙AB，且OD=75，AD=12，AB=9，点D，A，B在一条直线上．通过计算说明石块能否飞越城墙AB．【答案】(1)抛物线的表达式为y＝−(2)石块不能飞越城墙AB【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数的应用．（1）由抛物线的顶点坐标是50,25可设石块运行的函数关系式为y=ax−502+25（2）由OD=75得到点D的横坐标为75，将x=75代入函数y=−1125x−502+25，可求得石块飞到点D的竖直方向上时距OD【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标是50,25，∴设石块运行的函数关系式为y=ax−50∵OC=5∴点C的坐标为0,5，∵抛物线过点C0,5∴a0−502+25=5解得：a=−∴抛物线的表达式为y=−1即y=−1（2）∵OD=75，∴点D的横坐标为75，将x=75代入函数y=−1125x−50即石块飞到点D的竖直方向上时距OD的高度为20，∵AD=12，AB=9，∴BD=AD+AB=12+9=21>20，∴石块不能飞越城墙AB．【变式9-4】某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48m方案一，抛物线型拱门的跨度ON=12m，拱高PE=4m其中，点N在x轴上，PE⊥ON，方案二，抛物线型拱门的跨度ON′=8m，拱高P′E′=6m要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架ABCD的面积记为S1，点A、D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架A′B′C′D′的面积记为S2，点A′

(1)求方案一中抛物线的函数表达式；(2)在方案一中，当AB=3m时，求矩形框架ABCD的面积S1并比较S1【答案】(1)y=−(2)S1=18【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式．（1）由题意知抛物线的顶点P6,4（2）令y=3可得x=3或x=9，故BC=6m，S1=AB·BC=18m2【详解】（1）解：由题意知，方案一中抛物线的顶点P6,4设抛物线的函数表达式为y=ax−6把O0,0代入得0=a解得：a=−1∴y=−1∴方案一中抛物线的函数表达式为y=−1（2）在y=−19x2+解得x=3或x=9，∴BC=9−3=6m∴S1∵18>122∴S1

【考点题型十】二次函数应用-面积问题

【典例10】以农业和农村为载体的生态农业观光园，不仅具有生产性功能，还具有改善生态环境质量，为人们提供观光、休闲、度假的生活性功能．数学探究小组以“设计矩形生态农业观光园”为主题开展数学实践活动．如图，△ABC是一块用篱笆围出的直角三角形田地，其中∠C=90°，AB=500m，BC=300m，数学探究小组准备继续用篱笆在该田地中围出“矩形生态农业观光园”．该观光园为矩形DEFG，E、F落在BA边上，D在BC边上，G在AC边上，（其中(1)若DE=204m，请求出矩形生态农业观光园DG(2)因材料限制，新添加的篱笆总长最多只能为485m【答案】(1)75(2)该矩形生态农业观光园的面积最大值为22500【分析】（1）过点C作CH⊥AB于点H，交DG于点K，根据勾股定理求出AC=AB2−BC2=400m，根据等积法求出CH=BC×AC（2）设DE=x，DG=y，则CK=240−x，证明△CDG∽△CBA，得出DGBA=CKCH，求出y=25240−x12，得出S矩形DEFG=DE⋅DG=−2512x−1202+30000【详解】（1）解：过点C作CH⊥AB于点H，交DG于点K，如图所示：∵∠C=90°，AB=500m，BC=300∴AC=A∵S△ABC∴CH=BC×AC∵四边形DEFG为矩形，∴∠DEF=∠EFG=∠DGF=∠EDG=90°，DG∥∵∠KDE=∠DEH=∠EHK=90°，∴四边形DEHK为矩形，∴DE=KH=204m∴CK=CH−KH=240−204=36m∵DG∥∴△CDG∽△CBA，∴DGAB即DG500解得：DG=75，即矩形生态农业观光园DG边的长为75m（2）解：设DE=x，DG=y，则CK=240−x，根据解析（1）可知：△CDG∽△CBA，∴DGBA即y500解得：y=25∴S=xy=x⋅=−=−25∵新添加的篱笆总长最多只能为485m∴DE+GF+DG≤485，即x+x+y≤485，把y=25240−x12解得：x≥180，∵y=25∴x<240，∴180≤x<240，∵−2512<0∴当x=180时，S矩形−25即该矩形生态农业观光园的面积最大值为22500m【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，相似三角形的判定和性质，不等式组的应用，求二次函数的最值，矩形的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握相似三角形的判定和性质，二次函数的性质．【变式10-1】如图1，用一段长为33米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩形ABCD菜园，墙长为12米．设AB的长为x米，矩形ABCD菜园的面积为S平方米，(1)分别用含x的代数式表示BC与S；(2)若S=54，求x的值；(3)如图2，若在分成的两个小矩形的正前方各开一个1.5米宽的门（无需篱笆），当x为何值时，S取最大值，最大值为多少？【答案】(1)BC=33−3x，S=−3(2)9(3)当x=8时，S有最大值，最大值为−3×8−6【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意列出对应的代数式，方程和函数关系式是解题的关键．（1）根据矩形的性质列式求出BC，再根据矩形面积公式求出S即可；（2）根据（2）所求得到方程，进而解方程并检验即可得到答案；（3）先求出S=−3x2+36x【详解】（1）解：由题意，BC=33−3x，则矩形ABCD菜园的面积为S=x33−3x（2）解：当S=54时，由54=−3x2+33x解得x1=2，∵墙长为12米，∴0<33−3x≤12，则7≤x<11，∴x=9，答：x值为9；（3）解：由题意，BC=33+2×1.5−3x=36−3x，∴S=x36−3x∵墙长为12米，篱笆长为33米，∴0<36−3x≤12，∴8≤x<12，∵−3<0，∴当x=8时，S有最大值，最大值为−3×8−6【变式10-2】综合与实践在综合实践课上，小明想做一些矩形木板零件，他找到了一些木板余料：(1)如图1，已知三角形小木块△ABC，边BC=120cm，高AD=80cm，小明要利用它做一个正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．求加工成的正方形零件(2)如图2，已知三角形小木块△ABC，边BC=a，高AD=ℎ，小明要利用它做一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．求加工成的矩形零件PQMN面积的最大值是多少？（用含a，ℎ的代数式表示）(3)如图3，已知四边形的小木块ABCD，测得AB=60cm，BC=100cm，CD=70cm，∠B=∠C=60°，小明要利用它做一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，CD【答案】(1)加工成的正方形零件PQMN的边长是48cm(2)加工成的矩形零件PQMN面积的最大值是aℎ4(3)加工成的矩形零件PQMN面积的最大值为12503【分析】（1）设正方形零件PQMN的边长xcm，由四边形PQMN是正方形得PN∥BC，则△APN∽△ABC，故x（2）设PQ=x，由△APN∽△ABC可得PNa=ℎ−x（3）延长BA与CD交于点G，过点G作GH⊥BC于点H，交AD于点K，交PN于点E，由∠B=∠C=60°得△GBC是等边三角形，有BH=CH=50cm，GH=503cm，设PQ=EH=xcm，则本题考查了相似三角形的应用，二次函数的最值问题，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列式表示出正方形的边长、三角形的边与该边上的高的关系是解题的关键．【详解】（1）设正方形零件PQMN的边长xcm∵四边形PQMN是正方形，∴PN∥∵AD是△ABC的高，∴AE是△APN的高，∵PN∥∴△APN∽∴PNBC∴x120解得x=48，∴加工成的正方形零件PQMN的边长是48cm（2）设PQ=x，∵∠EPQ=∠EQD=∠QDE=90°，∴四边形PQDE是矩形，∴DE=PQ=x，PN∥∴AE=ℎ−x，∵PN∥∴△APN∽∴PNBC∴PNa∴PN=a∴S矩形∵−1<0，∴当x=ℎ2时，S矩形∴加工成的矩形零件PQMN面积的最大值是aℎ4（3）延长BA与CD交于点G，过点G作GH⊥BC于点H，交AD于点K，交PN于点E，如图，∵∠B=∠C=60°，∴△GBC是等边三角形；∵BC=100cm∴BH=CH=50cm，GH=50∵四边形PQMN是矩形，∴PN∥∴△GPN是等边三角形，设PQ=EH=xcm，则GE=∴PE=EN=GE∴PN=100∴S四边形∵−2∴当x=253时，S四边形PQMN∴加工成的矩形零件PQMN面积的最大值为12503【变式10-3】如图，四边形ABCD中，AD=CD,AB=BC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．(1)如果筝形的两条对角线长分别为6cm、8(2)已知筝形ABCD的对角线AC,BD的长度为整数值，且满足AC+BD=6．试求当AC,BD的长度为多少时，筝形ABCD的面积有最大值，最大值是多少？【答案】(1)24平方厘米(2)AC=3,BD=3时，面积有最大值，最大为9【分析】本题考查线段垂直平分线的判定，二次函数的性质，能用AC长表示出筝形的面积是解题的关键．（1）由AD=CD,AB=BC可得出点B和点D都在AC的垂直平分线上，所以AC⊥BD，由S筝形=S△ADC+S△ABC（2）设AC的长为xcm，则BD=6−xcm【详解】（1）解：∵AD=CD，∴点D在AC的垂直平分线上．同理点B在AC的垂直平分线上．∴BD垂直平分AC．所以AC⊥BD．∴S△ADC=则S===1又筝形的两条对角线长分别为6cm，8所以S筝形（2）解：令AC=xcm，则BD=由（1）知，S筝形又AC,BD的长度为整数值，则当AC=3时，S筝形ABCD有最大值，最大值为此时BD=6−3=3cm

【考点题型十一】二次函数应用-利润问题

【典例11】某款网红产品很受消费者喜爱，每个产品的进价为40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天的销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．(1)直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围．(2)将产品的销售单价定为多少元时，商家每天销售产品获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？(3)该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润等于2200元，求销售单价x的值．【答案】(1)y=−10x+740(2)将产品的销售单价定为52元时，商家每天销售产品获得的利润w（元）最大，最大利润是2640元．(3)为了保证捐款后每天剩余利润等于2200元，销售单价为50元【分析】本题主要了考查二次函数应用，一元二次方程的应用的等知识点，（1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围；（2）根据销售利润=销售量×（售价−进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润；（3）根据题意得剩余利润为w−200，利用函数性质求出w−200≥2200时的x的取值范围即可；解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．【详解】（1）根据题意，得y=300−10x−44∴y与x之间的函数关系式为y=−10x+74044≤x≤52（2）根据题意，得w=−10x+740∵−10<0，又对称轴直线x=57，且44≤x≤52，∴当x=52时，w有最大值，最大值为2640，∴将产品的销售单价定为52元时，商家每天销售产品获得的利润w（元）最大，最大利润是2640元；（3）依题意可得剩余利润为w−200元．∵捐款后每天剩余利润等于2200元，∴w−200=2200，即−10x−57解得x=50或x=64（舍去），∴为了保证捐款后每天剩余利润等于2200元，销售单价为50元．【变式11-1】某商店销售一种进价60元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如下表：售价x/（元/件）80100销售量y/件10060(1)求销售量y关于售价x的函数关系式．(2)①设商店销售该商品每天获得的利润为W（元），求W与x之间的函数关系式．②若规定售价高于进价且不超过进价的1.5倍，问当售价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)y=−2x+260(2)①W=−2x2+380x−15600【分析】本题考查一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，正确的列出函数解析式，是解题的关键．（1）设y=kx+b，待定系数法求函数解析