2024-2025学年高中数学 第一章 三角函数 1.4.3 正切函数的性质与图象（4）教学教学实录 新人教A版必修4

2024-2025学年高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象（4）教学教学实录新人教A版必修4一、课程概览

1.本节课的主要教学内容：新人教A版必修4高中数学第一章三角函数1.4.3节中的正切函数的性质与图象，重点讨论正切函数的周期性、奇偶性和图象特征。

2.教学内容与学生已有知识的联系：本节课的内容与学生在初中阶段学习的正弦函数和余弦函数的性质与图象有密切联系。学生在已掌握的正弦函数和余弦函数的性质基础上，进一步学习正切函数的性质和图象，有助于加深对三角函数的理解，提高解决实际问题的能力。二、教学目标

1.让学生理解正切函数的定义，掌握正切函数的性质，包括周期性、奇偶性和单调性。

2.培养学生通过图象观察和分析正切函数特征的能力，以及运用数学语言描述函数性质的能力。

3.引导学生将正切函数的性质应用于实际问题中，提高学生解决与正切函数相关的数学问题的能力。三、教学难点与重点

1.教学重点

-正切函数的定义与表达式：理解正切函数是基于正弦和余弦函数的比值定义的，表达式为\(y=\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\)。

-正切函数的周期性：强调正切函数的周期是\(\pi\)，即\(\tan(x+\pi)=\tan(x)\)。

-正切函数的奇偶性：说明正切函数是一个奇函数，满足\(\tan(-x)=-\tan(x)\)。

-正切函数的图象特征：通过图象展示正切函数的不连续性和渐近线，特别是垂直渐近线\(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\)，其中\(k\)是整数。

2.教学难点

-正切函数单调性的理解：学生可能难以理解正切函数在每个周期内的单调性变化，例如在\((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)内是单调递增的。

-渐近线的概念和识别：学生可能不熟悉渐近线的概念，难以识别正切函数的垂直渐近线，并理解其形成的原因。

-正切函数图象的绘制：学生可能在绘制正切函数图象时，对渐近线的处理和函数值的范围把握不准确，导致图象不正确。

-实际例子：在讲解正切函数的周期性时，可以举例\(\tan(\frac{\pi}{4}+\pi)=\tan(\frac{\pi}{4})=1\)，来说明周期性。在讨论奇偶性时，可以让学生计算\(\tan(-\frac{\pi}{4})\)和\(-\tan(\frac{\pi}{4})\)来验证奇函数的性质。在绘制图象时，可以让学生尝试绘制\(y=\tan(x)\)在\(x\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)的图象，并指出渐近线的位置。四、教学方法与手段

1.教学方法

-讲授法：通过详细讲解正切函数的性质和图象特征，使学生系统掌握知识。

-互动讨论法：组织学生针对正切函数的性质进行小组讨论，促进学生思考和交流。

-练习巩固法：通过课堂练习和课后作业，让学生在实际操作中巩固所学知识。

2.教学手段

-多媒体教学：使用PPT展示正切函数的图象和性质，增强视觉效果。

-动画演示：利用动画软件演示正切函数图象的形成过程，帮助学生直观理解。

-教学软件：运用教学软件进行课堂互动，如在线问答、测试等，提高学生参与度。五、教学过程设计

1.情境导入（5分钟）

内容：以日常生活中的实例引入，比如询问学生如何测量一个很高的建筑物的高度，引导学生思考可以使用三角函数的方法。接着提出问题：“如果我们知道一个角度的正弦值和余弦值，我们能否找到这个角度的正切值？”从而引出本节课的主题——正切函数的性质与图象。

2.新知探索（20分钟）

内容：首先，通过PPT展示正切函数的定义和表达式，让学生理解正切函数是基于正弦和余弦函数的比值。接着，讲解正切函数的周期性、奇偶性和单调性，并通过数学公式和图象来展示这些性质。在讲解过程中，穿插例题，让学生尝试解答，以检验他们对新知识的理解。

-展示正切函数的定义和表达式\(y=\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\)。

-讲解正切函数的周期性\(\tan(x+\pi)=\tan(x)\)。

-讲解正切函数的奇偶性\(\tan(-x)=-\tan(x)\)。

-讲解正切函数的单调性，特别是在每个周期内的单调递增区间。

-通过PPT展示正切函数的图象，并指出渐近线的位置和形成原因。

3.互动体验（15分钟）

内容：将学生分成小组，每组使用计算机软件绘制正切函数的图象。让学生观察并描述图象的特征，包括渐近线的位置和函数值的范围。随后，组织小组讨论，让学生分享他们绘制图象的过程和遇到的问题，以及如何解决这些问题。

-分组让学生使用计算机软件绘制\(y=\tan(x)\)的图象。

-学生观察正切函数的图象特征，并记录观察结果。

-小组讨论，分享绘制图象的经验和解决方法。

-教师选取几个小组的代表进行汇报，总结正切函数的图象特征。

4.实践应用（5分钟）

内容：给出几个与正切函数相关的实际问题，让学生尝试应用所学知识解决。例如，计算某个角度的正切值，或者根据给定的正切值找到对应的角度。教师对学生的解答进行点评，指出正确和错误之处，并给出解题技巧。

-给出实际问题，如计算\(\tan(45^\circ)\)和\(\tan(135^\circ)\)。

-让学生尝试解答问题，并提交答案。

-教师点评学生的解答，指出正确的解题方法和常见的错误。

-总结本节课的学习内容，鼓励学生在课后继续练习和探索正切函数的性质与图象。六、教学反思

今天的课堂上，我发现学生在理解正切函数的周期性和奇偶性方面有一定困难。在绘制正切函数图象时，有些学生对渐近线的处理还不够熟练。我意识到需要在今后的教学中加强对这些难点的讲解和练习。另外，通过小组讨论和实践活动，学生们的参与度很高，这让我感到非常欣慰。我会继续优化教学方法和活动设计，帮助学生们更好地理解和掌握正切函数的知识。七、作业布置与反馈

1.作业内容：

-绘制正切函数\(y=\tan(x)\)在一个周期内的完整图象，并标出所有关键点，包括渐近线和单调区间。

-解答以下问题：给定一个角度\(\theta\)，如何通过正切函数的性质确定\(\theta\)的范围？请用具体的例子说明。

-编写一个小故事或情景，其中涉及到正切函数的应用，比如在工程测量或物理学中的运用。

2.反馈方式：

-教师将仔细批改学生的作业，重点关注正切函数图象的准确性、问题解答的逻辑性和小故事的创造性。

-在下一次课堂上，教师将选取几份优秀的作业进行展示，并邀请这些学生分享他们的解题思路和创作灵感。

-对于图象绘制中的常见错误，教师将在课堂上进行集中讲解，帮助学生理解和纠正。

-教师还将提供个性化的反馈给每位学生，指出他们的进步和需要改进的地方，鼓励他们继续努力。

-为了促进学生的互相学习和交流，教师将组织一个小型的作业展览，让学生们有机会查看和学习他人的作品。

-教师将鼓励学生在课堂上提出他们在完成作业过程中遇到的问题，并进行讨论，以此作为学习和巩固知识的机会。

-对于作业中的创新想法和深入思考，教师将给予特别的表扬，以激发学生的创造力和对数学的兴趣。八、九结语九、教学资源与技术支持

教学资源库：

-课件资源：准备一系列关于三角函数的PPT课件，其中包括正切函数的定义、性质、图象绘制方法以及相关例题讲解。这些课件将涵盖教材中的所有关键知识点，方便教师进行系统讲解。

-案例库：收集和整理一系列与正切函数相关的实际问题案例，如测量高度、角度计算等，以帮助学生理解正切函数在实际生活中的应用。

-视频资源：搜集或制作教学视频，展示正切函数图象的动态变化，特别是渐近线的形成和函数的单调性变化，以增强学生的直观感受。

-文章资源：整理一些拓展阅读材料，包括数学家的研究论文、相关历史背景等，以拓宽学生的知识视野。

在线学习平台：

-互动教学：利用在线平台进行实时教学，通过视频会议、聊天工具等功能与学生互动，解答学生的疑问，进行在线讨论。

-作业提交与反馈：学生在平台上提交作业，教师在线批改并给予反馈，学生可以及时了解自己的学习情况并作出调整。

-自主学习资源：提供在线测试、模拟题等资源，让学生能够自主进行学习和评估。

-学习进度追踪：通过平台跟踪学生的学习进度，帮助学生合理安排学习计划，提高学习效率。

技术支持：

-硬件设备：确保教室内