有关等腰三角形、等边三角形和直角三角形的常见压轴题（解析版）-2022届中考数学压轴大题专项训练

专题1有关等腰三角形、等边三角形和直角三角形的常见压轴题

1.(2021•武汉一初慧泉中学九年级月考)问题背景

(1)如图1,已知A48C,△/£>£均为等边三角形，且点。在线段3c上，求证：AABD^AACE；

尝试应用

(2)如图2,已知A42C中，AB=AC,ABAC=120。,P为线段2C上一点，以AP为边作等边三角形5P0,

连接C。，M为线段C。的中点，连接［跖AP.求证：AP=2AM；

拓展创新

(3)已知A48C中，AB=AC,N8/C=120。，G为平面内一点，若乙4G8=90。，ABGC=150°,请直接写

出的值.

【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)也或空.

63

【解题思路分析】(1)根据等边三角形的性质可得==根据N6/C=D4£可得

ABAD=NCAE,进而根据SAS即可证明LABD这4ACE；

(2)将△NAP绕A点旋转120。，得到ANDC，连接。”,。。，则旋转角/尸120。，进而证明四边形

C。。尸是平行四边形，由点M是。。的中点，可得M是平行四边形对角线的交点，则=进而根

据等腰三角形三线合一性质可得R/A4WP，进而根据含30度角的直角三角形的性质，即可得证；

(3)将A/GC绕点A顺时针旋转120。，得到△NSB,旋转角/G/S=120。,分情况讨论，①当G点在三角

形A/BC内部时，②当G点在三角形A/5C外部时，根据等腰三角形的性质求得N/SG=N/GS,设

AG=a,则/S=4G=a,进而根据勾股定理求得BG,进而求得”的值.

【解析】(1),:AABC,AADE均为等边三角形,

/ABD=ZADE=ABAC=NDAE=60°,AB=AC,AD=AE

/BAD+ADAC=ZDAC+/CAE

/BAD=ZCAE

，△ABD注LACE(SAS)；

(2)如图，将△45。绕A点旋转120。，得到A/QC,连接。则旋转角43=120。

/./\ABP^/\ADC,

:.BP=DC,AP=AD,

•••ZBAC=120°,AB=AC,

.・"ABC=NACB=30。,

vZPAD=nO°,AP=AD,

ZAPD=ZADP=；(180。—120。)=30°,

ZDCP=ZACD+NACB=60°,

•・•△8尸。是等边三角形，

PQ=BP,AQPB=60°,

/.PQ=DC,ZDCB=ZQPB,

/.PQ//DC,

••・四边形C。。。是平行四边形，

•・・点M是。。的中点，

•・•点M是平行四边形尸对角线的交点,

:.PM=DM,

•「AP=AD,

AMVPD,

M’A4WP中

•・•ZAPD=30°f

AP=2AM

(3)①当G点在三角形A4BC内部时，如图，将A4GC绕点A顺时针旋转120。，得至

则△ZSB&ZXZGC,

/.AS=AG,ZGAS=120%

ZASG=ZAGS=1(180°-120°)=30°,

•・•ZASB=ZAGC=360°-ZAGB-ZBGC=120°,

ZGSB=ZASB-ZASG=90°,

ZSGB=/ABG-ZAGS=90°-30°=60°,

ZS5G=30°,

如图，过点A作/TLSG,

设ZG=a,贝lj4S=4G=〃，

在放△AST中，

•・・/4SG=30。，

:.AT=-SA,

2

ST=TG=y]SA2-AT2=—a,

2

SG=吗,

在中

•・,/S8G=30。，

BG=2SG=26a,

.AG_a

BG2y/3a6

(3)①当G点在三角形A/5C外部时，如图，将A4GC绕点A顺时针旋转120。，得到△4S3,

则AASB经AAGC,

/.AS=AG,ZGAS=120°,

ZASG=ZAGS=30°f

••・ZASB=ZAGC=/AGB-NBGC=150°-90°=60°,

ZGSB=ZASB-ZASG=30°,

NSGB=/ABG-/AGS=90°-30°=60°,

ZSBG=90°,

S

G

设/G=a,则/S=4G=〃,

由①可知SG=Ga

R/A在R/ZXSBG中

•••ZBSG=30°,

贝ij2G」SG="a,

22

AGa273

而一互一亍，

综上所述，热勺值为4或9

2.(2021•湖北新洲•九年级月考)己知关于x的一元二次方程(6+C)X2-2G-S-C)=0有两个相等的

实数根，且〃、b、c分别是A48c中乙4、D8、NC的对边.

(1)求证：ZU8C直角三角形;

(2)若。=人设点尸为N2边上任一点，PELBC于E,〃为HP的中点，过A作8C的平行线，

交此平行线于D.当点P在线段上运动的时候，求舞的值.

2ME

【答案】(1)见解析；(2)野=：.

2ME2

【解题思路分析［(1)根据已知条件得出A=0,将等式变形，利用勾股定理的逆定理进行判断即可;

(2)过M作GF12C,交4。于尸，交8C于G,由题意得出A42C是等腰直角三角形，4BEP、44松为直角

DMMF

三角形，证出〃>=42,得出△DMF'sZXME'G,得出对应边成比例——=—

MEEG

,设BE=x,则EC=a-x,尸/=逝0-0》=逝(a-x),得出NM、MF、EG,即可得出答案

【解析】(1)•.・关于x的一元二次方程(6+c)x2_2ax+c-6=0有两个相等实数根,

-.A=(-2a)2-4(Z7+c)(c-Z))=0,整理，得力+尸二。？，

:.A48C是直角三角形.

(2)HM^GFIBC,交4D于R交5c于G,如图所示：

,:a=b,

二A48C是等腰直角三角形,

-ADUBC,

；/B=^MAF=45。,

[.△BEP、ZL4FA/为直角三角形，

在此△DMF和放△MEG中，3FM=MGE=90。,

.•.zr）+zl=90o,z2+zl=90°,

.,.zJ）=z2,

••.△QA/Fs△陞G,

DMMF

,•ME—茄’

设则EC=a-x,PA=6a-也x=母（tz-x）,

•••MG是梯形P£C4的中位线，

.•/A/=gp%=3（。_,MF=AM*sin450=---,EG=』EC=g（a-x）,

22222

DMMF5（”工）1

.____=____=_±i_____=]

I/、

"MEEG5（"x）'

3MD3

"2ME~2

3.（2021•武汉市卓刀泉中学九年级月考）如图1,点尸为等腰心△NBC斜边48下侧一个动点，连4P、BP

,且ZJP8=45。，过C作CEL4P于点E,48=12.

(1)若乙4CE=15。,求A4AP的面积；

(2)求笠CF的值；

AP

(3)如图2,当41PC为等腰三角形时，则其面积为.

【答案】(1)18+18^/3；(2)――=—；(3)18或36+18A/J

AJr2.

【解题思路分析［(1)过点B作BHJ/P于H,证明乙8/由30。，然后求出28,AH,尸/f即可解决问题;

(2)过点、B作BKLCE于F,先证明四边形瓦石”是矩形，得至"EF=BH=PH,BF=EH,再证明△/CEwZkCBb

,得至"CE=BF=EH,AE=CF,即可推出/尸=4七+尸7升瓦＞2C£；

(3)分当尸4=尸。时，当4P=4。时，两种情况根据(1)(2)的结论进行求解即可.

【解析】解：(1)如图所示，过点5作于〃，

・•.CBHA=(BHP=9G°

・••A4BC是等腰直角三角形，且45是斜边，

：.AC=BC,々CB=90。,

.­.^CAB=/.CBA=45°,

,：CEL4P,

・••乙4EC=90。，

•.•ZL4CE=15°,

・・ZC4E=9O。-乙4CE=75。,

・•・乙BAH=^CAE-乙CAB=30。,

r.BH=—AB=6,

2

•••AH=VAB2—BH2=6A/3，

・“尸5=45。，

；7BP=HPB=45。

；.BH=PH=6,

・••4尸=4〃+//P=6+65

.••%43P=；ZP5H=；x6x(6+6g=18+185

(2)如图，过点B作BFLCE于F,

•；BF1CE,CELAP,BHL4P,

；ZBFE=CFEH=^BHE=9O。,

・•・四边形是矩形,

：.EF=BH=PH,BF=EH,

•:44CE+乙BCE=^4cB=90。,乙BCE+乙CBF=90°,

：.Z-ACE=/LCBF,

又,:AC=BC,

：・AACESCBF(AAS)

・・・CE=BF=EH,AE=CF,

-AE+PH=AE+EF=CF+EF=CE,

：.AP=AE+PH+EH=2CE,

(3)如图所示，当尸4=尸。时,

•:PA=PC,AP=2CE,

：.PC=2CE,Z.PAC=/,PCA

•••CELAP,

.-.ZCEP=9O°,

；ZCPE=3O。,

.-.ZPCE=6O°,ZPAC=ZPCA=^(lSO°-ZCPA)=15°,

：2CE=15。,

•••由(1)可知4P=6+66，

：.CE=、AP=3+3人,

2

...S△瞪c=g么尸.CE=g(6+6百)(3+36)=36+184.

如图所示，当/P=/C时，

■：CA=CB,乙4c8=90°,

•••AC2+BC2=AB2BP2AC2=2BC2=144,

：■AC=BC=6^1，

：.PA=AC=6^2,

CE=-AP3y/2,

2

SBC=gAP.CE=6近x372=18,

•••综上所述，当为等腰三角形时，则其面积为18或36+18。.

故答案为：18或36+18#.

4.(2021•重庆十八中两江实验中学九年级月考)已知：在A48C中，UBC=90°,点。为直线8C上一点

,连接/。并延长，过点C作ZC的垂线交4D的延长线于点E.

(1)如图1,若UAC=60。,CE=^AC,48=1,求线段/E的长度；

(2)如图2,若/C=EC,点尸是线段A4延长线上一点，连接即与8C交于点氏S.^BAD=^ACF,求证：AF

=2BH；

(3)如图3,AB=2,BC=6,点反为4E中点，连接8跖CM,当最大时，直接写出△BMC的面积.

【答案】(1)至；(2)见解析；(3)24

【解题思路分析】(1)根据含30度角的直角三角形的性质，求得4C,根据已知条件求得CE,根据勾股定理

即可求得/E；

(2)作EQL2C,证明入45cg△CQE，进而可得/2=CQ，2C=Q£，由已知可得A/CE是等腰直角三

角形，进而证明NFC8=/BPC=45。，&BH出双EQH,即可证明/b=28”

(3)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得|。/-用田=|血1/-8屈归/8,当4M,8三点

共线时，取得最大值为42的长，进而勾股定理求得/C,根据三角形的面积公式可得

AE=MEC,在放中，勾股定理求得EC,进而求得根据三角形面积公式求解即可求得42

3

MC的面积.

【解析】(1)•••ZABC=9O。，z.BAC=6Q°,AB=1,

:.ZACB=30°,

:.AC=2,

­••CE=；4C,

CE=1,

MA45c中，AE=^EC2+AC2=A/12+22=75；

(2)如图，作

•/EQ1BC.AC1ECf

ZEQC=ZACE=90°,

•/ZQEC+ZQCE=90°,ZQCE+ZQCA=90°,

/.ZQEC=ZQCA,

-ZABC=90°,

ZABC=ZCQE,

在\ABC和△C。"中，

/ABC=/CQE

<ZBCA=ZQEC

AC=CE

••\ABC-△CQE，

AB=CQ,BC=QE,

-AC=CE,ACICE,

A4CE是等腰直角三角形，

ZCAE=ACEA=45°,

・・•/BAD+ZCAE+ZACB+/ABD=180°,

/./BAD+/4CB=45。,

•・,/BAD=ZACF,

ZACF+ZACB=45°,

即/尸CB=45。，

NFCB=NBFC=45°,

BC=BF,

•・•CQ=AB,BC=EQ=BF,

/.BQ=AF,

在\FBH与AEQH中

ZBHF=ZQHE

<ZFBH=ZEQH=90°

BF=EQ

AFBH义AEQH,

:.BH=QH=^BQ=^AFf

AF=2BH；

(3)・・・/ZCE=90。，〃为ZC的中点，

AM=CM,

\CM-BM\=\AM-BM\<AB,

当4M,8三点共线时，|CM-取得最大值为45的长，如图,

在用A45C中，

AC=^AB2+BC2=A/22+62=2710，

■■-S^CE^-AC-CE^-AEBC,

2厢义EC=6AE,

:.AE=—EC,

3

在小中

AC2+EC2=AE2,

」.(2而了+EC?=］半EC,

解得EC=6而，

AE=叵义6M=20,

3

:.BM=-AE-AB=10-2=S,

2

/\niviv2BC=-2x8x6=24.

5.(2021•吉林省第二实验学校九年级月考)如图，在A/BC中，44c3=90。，48=10,BC=6,动

点尸从点”出发，沿NC以每秒5个单位长度的速度向终点C匀速运动，设点尸的运动时间为t秒a>0),过

点尸作AB的垂线交AB于点

(1)AC=.

(2)求4/的长，(用含有f的代数式表示)

(3)若将点尸绕点"逆时针旋转90。于点N.

①求瓦V的长(用含珀勺代数式表示)

②在点尸运动的同时，作点2关于点N的对称点。，连结P0.当A/Q尸为等腰三角形时，直接写出f的值.

【答案】(1)8；(2)PM=3t；(3)①当0</当时,BN=10-11；当詈/：时，BN=7M0；②片

8f10

一或"一

879

【解题思路分析】(1)利用勾股定理求出答案；

(2)证明ZUMPsA4c8,即可求出答案；

(3)①利用勾股定理求出结合旋转的性质求出8N的长；

②根据等腰三角形两边相等分三种情况，构建线段的方程解答.

【解析】解：(1)在AABC中，4cB=90。,AB=10,BC=6,

■■AC=y/AB2-BC2=sJlO2-62=8,

故答案为：8；

(2)由题意得/P=53

,・,尸M.AB,

：,ZAMP=ZACB=90°,

：&MP〜AACB,

PM_AP

•,正—IP

PMSt

=，

610

：・PM=3t；

(3)①・・•点尸绕点〃逆时针旋转90。于点N,AAMP=90°,

・・•点N在射线45上，

-ZAMP=90°,AP=5t,PM=3t,

AM=ylAP2-PM2=J(5%)2-⑶?二4八

•.AN=AM+MN=AM+MP=4t+3t=lt,

・••当0</W竺时，BN=AB-AN=10-7%

7

[08

当一<t4一时，BN=AN-AB=1t-\Q-,

75

②能，分三种情况：

当/。=尸0时，

■：PQ=AQ=AB-2BN==,QM=2^-SAf=2(10-7z)-(10-4z)=10-10Z,

X-.-ZPMQ=90°,PQ2=PM2+QM2,

(14/-10)2=(302+(10-10/)2,

o

解得片0(舍去)或片方；

当ZP=/0时，

...AQ=AP=5t,=252V=2(10-70=20-14/,AQ+BQ=AB=W,

.•5+(20-14。=10,

解得人与;

当4尸=尸0时，

vBQ=2BN=2(71-10)=14r-20,AQ=2AM=St,AB+BQ=AQ,

*,•10+14/-20=8/,

解得f=g,

58

35

•••舍去；

Q1A

综上，当ZUQ尸为等腰三角形时，片点或'=1•

6.（2021•西安市铁一中学九年级开学考试）如图1.在ZU5c中，乙4=120。，AB=4C,点。、E分别在

边AB、/C上，AD=AE,连接BE,点、M、N、P分别为。£、BE、2c的中点，连接2W、NP.

图1图2

（1）图1中，线段NM、AP的数量关系是,3vp的度数为:

（2）将AIDE绕点/顺时针旋转到如图2所示的位置.连接皿尸.你认为是什么特殊三角形，请写出

你的猜想并证明你的结论；

(3)把AIDE绕点/在平面内旋转，若4D=3,AB=5,请写出面积的最大值.

【答案】(1)MN=NP,60°；(2)等边三角形，证明见解析；(3)473

【解题思路分析】(1)根据/8=/C,AD=AE,得BD=CE,再根据三角形中位线定理可知AD,PN=

三CE,MNZAB,PNWAC,利用平行线的性质可证得N〃NP=60。；

(2)先通过S/S证明zMBD三A4CE,得BD=CE,^ABD=AACE,再由(1)同理可证；

(3)由三角形三边关系可知：BD<8,由(2)知：△必西是等边三角形，MN=；BD,则MV最大值为4,

即可求得&WA?的最大面积.

【解析】(1)"B=AC,AD=AE,

'-BD=CE,

•:点、M、N、尸分别为DE、BE、8c的中点，

：.MN=^BD,PN=^CE,MmAB,PN\\AC,

：.MN=PN,乙ENM=£EBA,乙ENP=UEB,

:.A4NE+乙ENP=&BE+UEB,

■：Z-ABE+ZAEB=\8O°-ZS/E=6O°,

.■.AMNP=60°,

故答案为：MN=NP,/-MNP=6Q°.

(2)△MVP是等边三角形，理由如下：

由旋转得：/-BAD=Z.CAE,

又一:AB=AC,AD=AE,

•••△ABDmAACE(SAS),

：.BD=CE,UBD=UCE,

•:点、M、N、尸分别为DE、BE、8c的中点，

:.MN=；BD,PN=；CE,MmBD,PNZCE,

■■■MN=PN,乙ENM=AEBD,1cBpN=LBCE,

:.乙ENP=LNBP+可PB=£NBP+AECB,

•・2EBD=LABD+乙ABE=^ACE+Z.ABE,

:.5NP=AMNE+乙ENP=UCE+UBE+乙EBC+乙EBC-乙ECB=180°-乙BAC=60°,

・•.△MVP是等边三角形；

(3)由三角形三边关系可知：BD<AB+AD,

即肛8,

・•.AD的最大值为8,

由(2)知：AAWP是等边三角形，MN=^BD

..MN=4^,S^MNP最大,

S.MNP=*XU=4出■

7.(2021•沙坪坝•重庆八中九年级月考)已知，在等腰直角三角形48C中，4c8=90。，AC=BC,

点。在边/C上运动，连接8。，过C作GW7/4B交AD的延长线于点

(1)如图1,点。为/C边上的中点，BD=45,求CM的长;

(2)如图2,过点4作/于点E,交CM于点、F,连接。尸，求证：BD=AF+DF；

(3)如图3,过点N作/EL5Z)交AD的延长线于点E,P为BE的中点，AB=2出,请直接写出CP的最小

值.

【答案】(1)CM=2亚；(2)见解析；(3)与L

【解题思路分析】(1)证明NMnC二八RD4(4%)，得到CA/=/8,RtABCD中，利用勾股定理解得8c

的长，再在放A4BC中，利用勾股定理解题即可;

(2)延长4尸交BC的延长线于T,证明△BCD2△/CT(/S4),ADCF”ATCF〈SAS),再根据全等三角形

对应边相等的性质、线段的和差性质解题；

(3)取48中点0,取8。中点G,连接尸0,PG,CG,过点G作Gb，3C于点“，解得N0,8G的长，当C、

P、G在同一条直线上时，C尸有最小值，再利用勾股定理解得8G的长，继而解得3〃的长，再运用勾股定理

求解.

【解析】解：(1)如图,

图1

在等腰直角三角形A8C中，ZACB=90°,AC=BC,

■■■CMI/AB

AMCD=ABAD=45°,AMDC=ABDA

•••点。为/C边上的中点，

AMDC=ABDA(ASA)

MC=AB

设。C=x,C8=/C=2x

RtABCD中，

DC2+BC2=BD2

：.上+(2x)2=(/)2

5x2=5

，x=l或x=-l(舍去)

CB=AC=2

在中，

AB=V22+22=2V2

CM=AB=2V2；

(2)证明：如图，延长/f交BC的延长线于7,

M

D

CB

图2

VAELBM,AC1BCf

・•./BCD=ZAED=90°,

•；/BDC=/ADE,

.・.ZAED=/BCD=90°,

；"CBD=/CAT,

vZBCD=ZACT=90°,CB=CA,

ABCD义△ACTQSA),

：,CD=CT,BD=AT,

・「A45c是等腰直角三角形

.-.ZACM=ABAC=45°,

/.ZDCF=ZTCF=45°,

•；CF=CF,

；./\DCF^/\TCF{SAS),

FD=FT,

AT=AF+FT=AF+FD,AT=BD,

'.BD=AF+FD.

(3)耽45中点。，取5。中点G,连接尸0,PG,CG,过点G作于点H,

图3

AQ=BQ=-AB=-X245=^5,BG=QG=-BG=-X45=—

22222

•・•尸为5E的中点，0为48的中点，

•••尸。为的中位线，

PQ//AE

vAE1BD

PQ1BD

ABPQ=90°

・・・G是5。的中点，

PG=^BQ=^~

・•・当C、P、G三点在同一条直线上时，CP有最小值，

-GH1BC,ZCBA=45°

/BGH=/CBA=45。

BH=GH

设BH=GH=x

BG=^BH2+GH2=yjx2+x2=岳

/.y[2x=

2

VTo

x=-----

4

在等腰直角三角形N8C中，ZACB=90°,AC=BC,AB=2指,

AC2+BC2=AB2

23c2=(2⑹2

BC=y/lO

“H=BC一BH5要一呼

在RtACGH中，CG=yJCH2+GH2=+（乎＞=|

5-V5

:.CP=CG-PG=--—=

222

8.（2021•诸暨市开放双语实验学校九年级期中）（1）问题发现

如图1,力酸和△■DCE均为等边三角形，点，，D,£在同一直线上，连接8E.

填空：①乙4£8的度数为；

②线段8E之间的数量关系为.

（2）拓展探究

如图2,A4cB和△DCE均为等腰直角三角形，UCB=5CE=90°,点AD,E在同一直线上，CM为4DC

£中DE边上的高，连接8E,请判断乙4E8的度数及线段CM,AE,之间的数量关系，并说明理由.

（3）解决问题

如图3,在正方形4BCD中,CD=也,若点尸满足9=1,且乙89=90。，请直接写出点”到AP的距离.

V3+1

2

【解题思路分析】（1）由条件易证△/4CO三△5CE,从而得到：AD=BE,/-ADC=/.BEC.由点4,D,E在

同一直线上可求出ZADC,从而可以求出乙4班的度数.

（2）仿照（1）中的解法可求出々防的度数，证出ND=3E；由△£＞（7£为等腰直角三角形及CW为△OCE中

DE边上的高可得CM=DM=ME,从而证到/£=2C〃+8E.

（3）由尸。=1可得：点尸在以点。为圆心，1为半径的圆上；由此产。=90。可得：点尸在以2D为直径的圆上.

显然，点尸是这两个圆的交点，由于两圆有两个交点，接下来需对两个位置分别进行讨论.然后，添加适

当的辅助线，借助于（2）中的结论即可解决问题.

【解析】解：（1）①如图1.4cB和△OCE均为等边三角形，

：.CA=CB,CD=CE,乙4cB=3CE=60°,

：.Z.ACD=LBCE.

在CD和△BCE中，

AC=BC

•.・<ZACD=ZBCE,

CD=CE

­.AACD=ABCE(SAS),

；.，4DC=LBEC.

・・・△OCE为等边三角形，

.'.ACDE=ACED=60°.

•・•点4,D,E在同一直线上，

山。C=120。，

・・/BEC=120。,

山EB=^BEC-乙CED=600.

故答案为：60°.

②・・&CD三ABCE,

:,AD=BE.

故答案为：AD=BE.

理由：如图2.••・A4CB和△OCE均为等腰直角三角形,

：,CA=CB,CD=CE,/.ACB=^DCE=9Q0,

,•♦乙ACD=LBCE.

在△4CZ)和△8CE中，

CA=CB

<NACD=/BCE,

CD=CE

.'.AACD=ABCE⑶S），

:.AD=BE,Z-ADC=Z-BEC.

・・・△OCE为等腰直角三角形，

:.乙CDE=^CED=450.

•・•点4,D,E在同一直线上，

・・・乙4。。=135。，

；ZBEC=135。,

：.Z.AEB=Z.BEC-乙CED=900.

•：CD=CE,CM1.DE,

・・.DM=ME.

vzDCE=90°,

:,DM=ME=CM,

；・AE=AD+DE=BE+2cM.

(3)点4到5尸的距离为且二1或正1.理由如下：

22

・・・尸。=1,

・•・点尸在以点。为圆心，1为半径的圆上.

“BPD=9。。,

・•・点尸在以5。为直径的圆上，

•••点尸是这两圆的交点.

①当点尸在如图3①所示位置时，连接尸。、PB、PA,作4H1BP,垂足为“，过点N作NEl/尸，交AP于点E

,如图3①.

••・四边形/8CO是正方形，

；.UDB=45°.AB=AD=DC=BC=O,ABAD=90°,

'-BD=2.

•・,DP=1,

'*BP=-\[^.

,:乙BPD=乙BAD=90。,

・・・4、P、D、B在以5。为直径的圆上，

；・UPB=UDB=45。,

・•・△尸/E是等腰直角三角形.

又是等腰直角三角形，点5、E、尸共线，AHLBP,

・•.由(2)中的结论可得：BP=2AH+PD,

.■.yf3=2AH+1,

2

②当点尸在如图3②所示位置时，连接尸D、PB、PA,作A/LLBP,垂足为H过点/作NEL4P,交融的延长

线于点E,如图3②.

同理可得：BP=2AH-PD,

.­.y/3=2AH-1,

.../〃=在±1.

2

综上所述：点/到2P的距离为叵[或1土1.

22

9.（2021•重庆字水中学九年级三模）如图，在等边“5C中，4D是8c边上的高，点E为线段4D上一点

,连EB、EC.

（1）如图1,将线段班绕点£顺时针旋转至斯，使点为客在创的延长线上.

①求NCE尸的度数；

②求证：AB=AF+43AE；

（2）如图2,若48=4,将线段以绕点E旋转过程中与边/C交于点〃，当/E=S时，请直接写出

2H+CE的最小值.

【解题思路分析［（1）①延长BE到gC于X,根据等边三角形的性质可以得到/。是8C的垂直平分线，

^BAD=^CAD=30°,^ABC=60°,即可得至lkE3C=NEC8,由旋转的性质可以得到8E=£F,AF=^ABH,再根

据乙FEH=4F+4FBH=24FBH,乙CEH=KEBC+乙ECB=2^EBC即可求解；

②在A4上截取8G=NE,过点E作EM/2于连接EG,由等腰三角形的性质可以得到/M=GM,再利用含

30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出AM=y/AE2-ME2=^-AE,即可求解；

2

（2）将48绕点/逆时针旋转90。到/T,连接所，证明△5//C三得到BH=ET,即可得到跳r+CE=AE+

ET,要想8/7+CE的值最小，即3£+£7的值最小，当8、E、T三点共线时，3E+ET的值最小，由此求解即可.

【解析】解：（1）①延长8E到/皮4c于

••・三角形A8C是等边三角形，AD是8C边上的高，

以。是8C的垂直平分线，4BAD=KCAD=30。,ZJBC=60°,

；.BE=CE,

:.乙EBC=LECB,

由旋转的性质可得：BE=EF,

；，F=UBH,

•:乙FEH=4F+乙FBH=2乙FBH,乙CEH=^EBC+乙ECB=2乙EBC,

:.乙CEF=4CEH+$EF=24FBH+2乙EBC=2UBC=12Q°；

图1

②如图，在8/上截取3G=/£,过点E作EMU8于连接EG,

•；BE=FE,

又•:AF=BG,

；・AM=GM,

-Z-EAM=30°,

：.AE=2ME,

■■AM=>JAE2-ME2=—AE,

2

■■AG=AM+MG=2AM=岛£,

-：AB=BG+AG,

■■AB=AF+^AE-.

(2)如图，将绕点/逆时针旋转90。到/T,连接斯,

:.乙TAE=NBCH=60°,AT=AB=BC,Z.BAT=9G°

■：AE=CH,

：ABHCmATEA(SAS),

：.BH=ET,

■：BE=CE,

：.BH+CE=BE+ET,

•.•要想以升CE的值最小，即BE+ET的值最小，

.•.当氏E、7三点共线时，8E+E7的值最小，

此时△N87为等腰直角三角形，

BT=y]AB2+AT2=472，

.•.5//+CE的最小值为4VL

图2

10.(2021•吉林省第二实验学校九年级月考)已知RtA48c中，NC48=90。，4B=4,AC=3,点尸从点

B处出发，以每秒2个单位长度的速度沿8-/-C,运动时间为f秒，以N尸为斜边作等腰直角三角形

尸。/，点。始终在点N的右上方，

(1)用f表示线段工尸的长.

(2)点。落在线段BC上时，求f的值.

(3)点尸在线段N8上运动时，点4是点N关于直线0P的对称点，当点4与A4CB的顶点所连线段平行△/CB

的一条直角边时，求△NBC与△///重叠部分的面积S的值.

(4)点E是线段NC中点，当直线把AIBC的面积分为2：3两部分时，直接写出f的值.

【解题思路分析】(1)分当尸在线段N8上时和当尸在线段42上时两种情况讨论求解即可；

(2)先禾I」用NC=3,AB=4AC>AB,即NC>45。，则当尸在/C上时，0不可能在8C上，过点过点。作0LL45

交AB于H,然后证明得到空=空，即可求解；

ACAB

(3)分①当HC11/5时②当H8IMC时两种情况利用相似三角形进行求解即可得到答案；

(4)以为x轴，以/C为y轴，建立平面直角坐标系，分别讨论当尸在上和尸在/C上时两种情形讨论求

解即可.

【解析】：(1)当尸在线段45上时，

由题意可得：AP=AB-BP,BP=2t,

■.AP=4-2t(0</<2)；

当尸在线段上时,

7

AP=2t-4(2<t<-)；

2

4-2?(0<r<2)

：.AP=\

(2)・・4。=3,AB=4

.-.zC>z5,

vzC>45°,

・•・当尸在/C上时，。不可能在BC上，

・•/只能在45上时，。才能在5c上，

过点。作。“L45交46于“，

-CA1AB,QH1AB,

・・・C4||0〃，

SBQH〜ABCA,

QHBH

・・•△40尸是等腰直角三角形，乙40尸=90。,

.-.QH=AH=HP=；40=2T,

:.BH=2+t

2—£2+£

••=,

34

2

解得f=于

(3)①当HC||48时，设//与8c交于过点W作腔1/8于E

ZACA'=90°

・••/'是4关于。尸的对称点，

；.AP=A'P,^PQA=ZPQA'=90°,^QPA=ZQPA'

・"N0=45。，

；ZQPA=NQPH=45°,

山=90。,

・•・四边形4CHP是正方形，尸WIZC,

；,AC=AP=3,

-MELAB,CALAB,

：.MEUC,AE=ME,

••.△BEM~BAC,△BPFFBAC,

MEBEPF_BP

••京-IP~AC~7B"

MEA-MEPF_1

•♦一，一，

3434

123

解得=PF=j

74

•・•△/8C与A44P重叠部分的面积S即为四边形4WW的面积,

S=St.XADRlVML—S/A\DRrPr,=-cAB»McE--PB»PrF=—

225o

②当H5||4。时，设/Z与BC交于过点M作于E,

12

同理可以求得=万，

124

'.S=SMBM=-AB.ME=­

综上所述，s的值为空或乌；

56/

3

(4)如图所示，建立平面直角坐标系，则4(0,0),5(4,0),C(0,3),E(0,-),直线于

BC交于G,

①当尸在45上时，AP=4-2t,过0作。于

；.AH=QH=HT=2-t,

•••0（2/2"）,

设直线E0的解析式为y=kxx+bif直线5c的解析式为y=kx+bf

L3

b1=一6=3

：12

0=4左+6'

2-1—ky（2-，）+b]

b=3

解得:

l-2tk=--

4

・•・直线E0的解析式为歹=%+T，直线8。的解析式为广一%+3,

'\-2t3

V=----x+—/、

4—2，2解得x二作二)，

联立

38-7才

y=——x+3

4

,直线石。把A4BC的面积分为2:3的两部分

SAARC—~2AC•AB-6

]

」CEx6（2T）=6,或s=-CEx^—^-=6x-,

28—715328—7/5

■-13j=6x2或L，A=6X3,

—X—X

228—775228—775

②当P在4c上时，AP=2t-4,过0作。于〃,

：.AH=QH=HT=t-1,

：.Q(Z-2,r-2),

设直线E。的解析式为V=&%+&，

A4

t_2=k2r_2)+优

b2=-

22

解得

72t—7

k?=

22/-4

・•・直线£。的解析式为y="2/-7x+=3,

2/—42

2Z-73

y=------xH—/、

2；42解得¥=胆为

联立

3,27/-20

y=——x+3

4

同理可得136(2-0/2或136(2-0,3,

—X—x---------=6X——X—x-=6x―

227Z-205227—205

切,0130„70

解得，=而或"为;

综上所述,,的值为"或方或端或詈

11.(2021•长春市第二实验中学九年级月考)如图，在放△yiBC中，NC=90。，8c=4cm,/C=8cm,

点尸从点”出发，沿/C方向以2cm/s的速度向终点C运动，PDLAC,尸。=尸/,点尸在射线/C上，FP=2PA,

以尸。、尸尸为邻边构造矩形尸。斯，设点尸的运动时间为f(s).

(1)AF=—(用含f的代数式表示).

(2)当点3落在。£上时，求f的值.

(3)连接BE尸是等腰三角形时，求t的值.

(4)当点E在A48C的边的垂直平分线上时，直接写出t的值.

【解题思路分析】(1)由点尸的运动可知，AP=PD=2t,PF=2PA=4t,进而可得/尸=6»；

(2)当点3落在上，易得四边形DPC5是矩形，则。尸=8C,可求出t的值；

(3)先分析放AIBC,可知，/8=4指cm；根据题意需要分类讨论，AB=AF,BA=BF,三种情

况，再结合等腰三角形三线合一的性质，可求解;

(4)需要分类讨论，当点E分别在边BC,AC,N3的垂直平分线时，画出对应图形，可求出f的值.

【解析】解：(1)由点尸的运动可知，AP=2t,

：.PD=AP=2t,PF=2PA=4t,

.■■AF=AP+PF=6t.

故答案为：6t.

(2)当点2落在。E上时，如图1,

由题意可知，/-DPC=AD=ABCA=90°,

••・四边形OPC8是矩形，

:.DP=BC=4,即2f=4,

由勾股定理可得，AB=4遥.

若想8尸是等腰三角形，则需要分BA=BF,E4=F2三种情况:

①当尸时，如图2,

此时4F=6/=4遥,

②当诩=8尸时，如图3,

•：BCLAF,

.•.点C是//的中点，即NC=CF=8,

•••4/=6/=16,

图3

③当冗4=7^时，如图4,

此时点尸在42的垂直平分线上.

■.AM=MB=26，

山=乙4,UMN=UCB=90°,

■■AAMF-AACB,

：.AM：AC=AF：AB,即2遥：8=6/：4#）,

解得

6

综上，当A43尸是等腰三角形时，/的值为拽，■!或工

336

图4

（4）当点E在的边的垂直平分线上时，需要分三种情况：点E在边8C,AC,48的垂直平分线时,

①当点E在线段3c的垂直平分线上时，如图5,

由题意可得，4EFC=LC=4CQE=90°,

••・四边形EFC0是矩形，

:.PD=EF=CQ=gBC=2,即2f=2,

•,工=1;

B

②当点E在线段4C的垂直平分线上时，如图6,

此时点方是的中点，即//=8,

•6=8,

4

③当点E在线段的垂直平分线上时，如图7,

由（3）可知，AN-.AB=AM-.AC,

■■.AN：475=275：8,

：.AN=5,

・・・FN=AN-AF=5-6t,

又（ENF=UNM,/-EFN=Z-AMN=9QQ,

••△EFN~/\AMN,

；,EF：FN=AM：MN=AC：BC=2：1,

「2：（5-6z）=2：1,解得，=3；

7

4s

综上,当点E在M2C的边的垂直平分线上时,'的值为：1,1或，.

B

12.（2021•南师附中树人学校九年级月考）如图1,若△。所的三个顶点D,E,尸分别在△^9。各边上，

则称△。所是A48C的内接三角形.

（1）如图2,点D,E,尸分别是等边三角形4BC各边上的点，且4D=BE=CF,贝必。跖是A43C的内接—

A.等腰三角形B.等边三角形

C.等腰三角形或等边三角形D.直角三角形

（2）如图3,已知等边三角形/8C,请作出A48C的边长最小的内接等边三角形0M.（保留作图痕迹，

不写作法）

（3）问题：如图4,A43C是不等边三角形，点。在48边上，是否存在AIBC的内接等边三角形。斯？如果

存在，如何作出这个等边三角形？

①探究1：如图5,要使△。斯是等边三角形，只需血甲=60。，DE=DF.于是，我们以点。为角的顶点任

作乙£。尸=60°,且DE交BC于点£,DF交AC于点F

我们选定两个特殊位置考虑：位置1（如图6）中的点尸与点C重合，位置2（如图7）中的点E与点C重合.

在点E由位置1中的位置运动到位置2中点C的过程中，DE逐渐变大而。尸逐渐变小后再变大，如果存在某个

时刻正好。£=。尸，那么这个等边三角形。£尸就存在（如图8）.理由：是等边三角形.

②探究2：在2c上任取点E,作等边三角形。斯（如图9）,并分别作出点E与点2、点C重合时的等边三角

形DAP和DCF".连接尸尸，FF",证明：FF+FF"=BC.

③探究3：请根据以上的探究解决问题：如图10,