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文档简介

2025届湖南省郴州市一中高三3月份第一次模拟考试数学试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数在区间有三个零点,,,且,若,则的最小正周期为()A. B. C. D.2.下列函数中,值域为的偶函数是()A. B. C. D.3.设函数,的定义域都为,且是奇函数,是偶函数,则下列结论正确的是()A.是偶函数 B.是奇函数C.是奇函数 D.是奇函数4.数列满足,且,,则()A. B.9 C. D.75.已知展开式的二项式系数和与展开式中常数项相等,则项系数为()A.10 B.32 C.40 D.806.已知斜率为k的直线l与抛物线交于A,B两点,线段AB的中点为,则斜率k的取值范围是()A. B. C. D.7.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A. B. C. D.8.根据党中央关于“精准”脱贫的要求,我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研,每个县区至少派一位专家,则甲,乙两位专家派遣至同一县区的概率为()A. B. C. D.9.若,则的值为()A. B. C. D.10.已知函数.设,若对任意不相等的正数,,恒有,则实数a的取值范围是()A. B.C. D.11.如图所示,为了测量、两座岛屿间的距离,小船从初始位置出发,已知在的北偏西的方向上,在的北偏东的方向上,现在船往东开2百海里到达处,此时测得在的北偏西的方向上,再开回处,由向西开百海里到达处,测得在的北偏东的方向上,则、两座岛屿间的距离为()A.3 B. C.4 D.12.已知集合,,若,则()A.或 B.或 C.或 D.或二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知双曲线()的左右焦点分别为,为坐标原点,点为双曲线右支上一点,若,,则双曲线的离心率的取值范围为_____.14.圆心在曲线上的圆中,存在与直线相切且面积为的圆,则当取最大值时,该圆的标准方程为______.15.(5分)某膳食营养科研机构为研究牛蛙体内的维生素E和锌、硒等微量元素(这些元素可以延缓衰老,还能起到抗癌的效果)对人体的作用,现从只雌蛙和只雄蛙中任选只牛蛙进行抽样试验,则选出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是____________.16.已知圆C:经过抛物线E:的焦点,则抛物线E的准线与圆C相交所得弦长是__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知向量,函数.(1)求函数的最小正周期及单调递增区间;(2)在中,三内角的对边分别为,已知函数的图像经过点,成等差数列,且,求a的值.18.(12分)设等差数列的首项为0,公差为a,;等差数列的首项为0,公差为b,.由数列和构造数表M,与数表;记数表M中位于第i行第j列的元素为,其中,(i,j=1,2,3,…).记数表中位于第i行第j列的元素为,其中(,,).如:,.(1)设,,请计算,,;(2)设,,试求,的表达式(用i,j表示),并证明:对于整数t,若t不属于数表M,则t属于数表;(3)设,,对于整数t,t不属于数表M,求t的最大值.19.(12分)在三角形中,角,,的对边分别为,,,若.(Ⅰ)求角;(Ⅱ)若,,求.20.(12分)甲、乙两班各派三名同学参加知识竞赛,每人回答一个问题,答对得10分,答错得0分,假设甲班三名同学答对的概率都是,乙班三名同学答对的概率分别是,,,且这六名同学答题正确与否相互之间没有影响.(1)记“甲、乙两班总得分之和是60分”为事件,求事件发生的概率;(2)用表示甲班总得分,求随机变量的概率分布和数学期望.21.(12分)已知椭圆的焦点在轴上,且顺次连接四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形.(1)求椭圆的方程;(2)设,过椭圆右焦点的直线交于、两点,若对满足条件的任意直线,不等式恒成立,求的最小值.22.(10分)如图,已知正方形所在平面与梯形所在平面垂直,BM∥AN,,,.(1)证明:平面;(2)求点N到平面CDM的距离.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

根据题意,知当时,,由对称轴的性质可知和,即可求出,即可求出的最小正周期.【详解】解:由于在区间有三个零点,,,当时,,∴由对称轴可知,满足,即.同理,满足,即,∴,,所以最小正周期为:.故选:C.【点睛】本题考查正弦型函数的最小正周期,涉及函数的对称性的应用,考查计算能力.2、C【解析】试题分析:A中,函数为偶函数,但,不满足条件;B中,函数为奇函数,不满足条件;C中,函数为偶函数且,满足条件;D中,函数为偶函数,但,不满足条件,故选C.考点:1、函数的奇偶性;2、函数的值域.3、C【解析】

根据函数奇偶性的性质即可得到结论.【详解】解:是奇函数,是偶函数,,,,故函数是奇函数,故错误,为偶函数,故错误,是奇函数,故正确.为偶函数,故错误,故选:.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断,根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键.4、A【解析】

先由题意可得数列为等差数列,再根据,,可求出公差,即可求出.【详解】数列满足,则数列为等差数列,,,,,,,故选:.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和通项公式的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.5、D【解析】

根据二项式定理通项公式可得常数项,然后二项式系数和,可得,最后依据,可得结果.【详解】由题可知:当时,常数项为又展开式的二项式系数和为由所以当时,所以项系数为故选:D【点睛】本题考查二项式定理通项公式,熟悉公式,细心计算,属基础题.6、C【解析】

设,,,,设直线的方程为:,与抛物线方程联立,由△得,利用韦达定理结合已知条件得,,代入上式即可求出的取值范围.【详解】设直线的方程为:,,,,,联立方程,消去得:,△,,且,,,线段的中点为,,,,,,,,把代入,得,,,故选:【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系,考查了韦达定理的应用,属于中档题.7、D【解析】

试题分析:如图所示,截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的,剩余部分体积是正方体体积的,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为,故选D.考点:本题主要考查三视图及几何体体积的计算.8、A【解析】

每个县区至少派一位专家,基本事件总数,甲,乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数,由此能求出甲,乙两位专家派遣至同一县区的概率.【详解】派四位专家对三个县区进行调研,每个县区至少派一位专家基本事件总数:甲,乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数:甲,乙两位专家派遣至同一县区的概率为:本题正确选项:【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.9、C【解析】

根据,再根据二项式的通项公式进行求解即可.【详解】因为,所以二项式的展开式的通项公式为:,令,所以,因此有.故选:C【点睛】本题考查了二项式定理的应用,考查了二项式展开式通项公式的应用,考查了数学运算能力10、D【解析】

求解的导函数,研究其单调性,对任意不相等的正数,构造新函数,讨论其单调性即可求解.【详解】的定义域为,,当时,,故在单调递减;不妨设,而,知在单调递减,从而对任意、,恒有,即,,,令,则,原不等式等价于在单调递减,即,从而,因为,所以实数a的取值范围是故选:D.【点睛】此题考查含参函数研究单调性问题,根据参数范围化简后构造新函数转换为含参恒成立问题,属于一般性题目.11、B【解析】

先根据角度分析出的大小,然后根据角度关系得到的长度,再根据正弦定理计算出的长度,最后利用余弦定理求解出的长度即可.【详解】由题意可知:,所以,,所以,所以,又因为,所以,所以.故选:B.【点睛】本题考查解三角形中的角度问题,难度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答问题的关键.12、B【解析】

因为,所以,所以或.若,则,满足.若,解得或.若,则,满足.若,显然不成立,综上或,选B.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

法一:根据直角三角形的性质和勾股定理得,,,又由双曲线的定义得,将离心率表示成关于的式子,再令,则,令对函数求导研究函数在上单调性,可求得离心率的范围.法二:令,,,,,根据直角三角形的性质和勾股定理得,将离心率表示成关于角的三角函数,根据三角函数的恒等变化转化为关于的函数,可求得离心率的范围.【详解】法一:,,,,,,设,则,令,所以时,,在上单调递增,,,.法二:,,令,,,,,,,,,.故答案为:.【点睛】本题考查求双曲线的离心率的范围的问题,关键在于将已知条件转化为与双曲线的有关,从而将离心率表示关于某个量的函数,属于中档题.14、【解析】

由题意可得圆的面积求出圆的半径,由圆心在曲线上,设圆的圆心坐标,到直线的距离等于半径,再由均值不等式可得的最大值时圆心的坐标,进而求出圆的标准方程.【详解】设圆的半径为,由题意可得,所以,由题意设圆心,由题意可得,由直线与圆相切可得,所以,而,,所以,即,解得,所以的最大值为2,当且仅当时取等号,可得,所以圆心坐标为:,半径为,所以圆的标准方程为:.故答案为:.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系及均值不等式的应用,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意验正等号成立的条件.15、【解析】

记只雌蛙分别为,只雄蛙分别为,从中任选只牛蛙进行抽样试验,其基本事件为,共15个,选出的只牛蛙中至少有只雄蛙包含的基本事件为,共9个,故选出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是.16、【解析】

求出抛物线的焦点坐标,代入圆的方程,求出的值,再求出准线方程,利用点到直线的距离公式,求出弦心距,利用勾股定理可以求出弦长的一半,进而求出弦长.【详解】抛物线E:的准线为,焦点为(0,1),把焦点的坐标代入圆的方程中,得,所以圆心的坐标为,半径为5,则圆心到准线的距离为1,所以弦长.【点睛】本题考查了抛物线的准线、圆的弦长公式.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1),(2)【解析】

(1)利用向量的数量积和二倍角公式化简得,故可求其周期与单调性;(2)根据图像过得到,故可求得的大小,再根据数量积得到的乘积,最后结合余弦定理和构建关于的方程即可.【详解】(1),最小正周期:,由得,所以的单调递增区间为;(2)由可得:,所以.又因为成等差数列,所以而,.18、(1)(2)详见解析(3)29【解析】

(1)将,代入,可求出,,可代入求,,可求结果.(2)可求,,通过反证法证明,(3)可推出,,的最大值,就是集合中元素的最大值,求出.【详解】(1)由题意知等差数列的通项公式为:;等差数列的通项公式为:,得,则,,得,故.(2)证明:已知.,由题意知等差数列的通项公式为:;等差数列的通项公式为:,得,,.得,,,.所以若,则存在,,使,若,则存在,,,使,因此,对于正整数,考虑集合,,,即,,,,,,.下面证明:集合中至少有一元素是7的倍数.反证法:假设集合中任何一个元素,都不是7的倍数,则集合中每一元素关于7的余数可以为1,2,3,4,5,6,又因为集合中共有7个元素,所以集合中至少存在两个元素关于7的余数相同,不妨设为,,其中,,.则这两个元素的差为7的倍数,即,所以,与矛盾,所以假设不成立,即原命题成立.即集合中至少有一元素是7的倍数,不妨设该元素为,,,则存在,使,,,即,,,由已证可知,若,则存在,,使,而,所以为负整数,设,则,且,,,,所以,当,时,对于整数,若,则成立.(3)下面用反证法证明:若对于整数,,则,假设命题不成立,即,且.则对于整数,存在,,,,,使成立,整理,得,又因为,,所以且是7的倍数,因为,,所以,所以矛盾,即假设不成立.所以对于整数,若,则,又由第二问,对于整数,则,所以的最大值,就是集合中元素的最大值,又因为,,,,所以.【点睛】本题考查数列的综合应用,以及反证法,求最值,属于难题.19、(Ⅰ)(Ⅱ)8【解析】

(Ⅰ)由余弦定理可得,即可求出A,(Ⅱ)根据同角的三角函数的关系和两角和的正弦公式和正弦定理即可求出.【详解】(Ⅰ)由余弦定理,所以,所以,即,因为,所以;(Ⅱ)因为,所以,因为,,由正弦定理得,所以.【点睛】本题考查利用正弦定理与余弦定理解三角形,属于简单题.20、(1)(2)分布列见解析,期望为20【解析】

利用相互独立事件概率公式求解即可;由题意知,随机变量可能的取值为0,10,20,30,分别求出对应的概率,列出分布列并代入数学期望公式求解即可.【详解】(1)由相互独立事件概率公式可得,(2)由题意知,随机变量可能的取值为0,10,20,30.,,,,所以,的概率分布列为0102030所以数学期望.【点睛】本题考查相互独立事件概率公式和离散型随机变量的分布列及其数学期望;考查运算求解能力;确定随机变量可能的取值,求出对应

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