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文档简介

江西省宜春市樟树中学2025届高三第四次模拟考试数学试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知数列满足:,则()A.16 B.25 C.28 D.332.运行如图程序,则输出的S的值为()A.0 B.1 C.2018 D.20173.设集合则()A. B. C. D.4.已知随机变量服从正态分布,且,则()A. B. C. D.5.函数在上单调递减的充要条件是()A. B. C. D.6.以下三个命题:①在匀速传递的产品生产流水线上,质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样是分层抽样;②若两个变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1;③对分类变量与的随机变量的观测值来说,越小,判断“与有关系”的把握越大;其中真命题的个数为()A.3 B.2 C.1 D.07.已知集合,集合,则().A. B.C. D.8.数列{an},满足对任意的n∈N+,均有an+an+1+an+2为定值.若a7=2,a9=3,a98=4,则数列{an}的前100项的和S100=()A.132 B.299 C.68 D.999.甲、乙、丙三人相约晚上在某地会面,已知这三人都不会违约且无两人同时到达,则甲第一个到、丙第三个到的概率是()A. B. C. D.10.已知集合,,则()A. B.C. D.11.一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合,如果圆锥的表面积与半球的表面积相等,那么这个圆锥轴截面底角的大小是()A. B. C. D.12.已知向量,,设函数,则下列关于函数的性质的描述正确的是A.关于直线对称 B.关于点对称C.周期为 D.在上是增函数二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在中,若,则的范围为________.14.如图,已知,,为的中点,为以为直径的圆上一动点,则的最小值是_____.15.某几何体的三视图如图所示(单位:),则该几何体的体积是_____;最长棱的长度是_____.16.设为正实数,若则的取值范围是__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,是矩形,的顶点在边上,点,分别是,上的动点(的长度满足需求).设,,,且满足.(1)求;(2)若,,求的最大值.18.(12分)如图,在四棱锥中,底面是直角梯形且∥,侧面为等边三角形,且平面平面.(1)求平面与平面所成的锐二面角的大小;(2)若,且直线与平面所成角为,求的值.19.(12分)如图,在四棱锥中,平面平面ABCD,,,底面ABCD是边长为2的菱形,点E,F分别为棱DC,BC的中点,点G是棱SC靠近点C的四等分点.求证:(1)直线平面EFG;(2)直线平面SDB.20.(12分)曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程;(2)若直线与曲线,的交点分别为、(、异于原点),当斜率时,求的最小值.21.(12分)如图,直三棱柱中,分别是的中点,.(1)证明:平面;(2)求二面角的余弦值.22.(10分)如图,为等腰直角三角形,,D为AC上一点,将沿BD折起,得到三棱锥,且使得在底面BCD的投影E在线段BC上,连接AE.(1)证明:;(2)若,求二面角的余弦值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

依次递推求出得解.【详解】n=1时,,n=2时,,n=3时,,n=4时,,n=5时,.故选:C【点睛】本题主要考查递推公式的应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2、D【解析】

依次运行程序框图给出的程序可得第一次:,不满足条件;第二次:,不满足条件;第三次:,不满足条件;第四次:,不满足条件;第五次:,不满足条件;第六次:,满足条件,退出循环.输出1.选D.3、C【解析】

直接求交集得到答案.【详解】集合,则.故选:.【点睛】本题考查了交集运算,属于简单题.4、C【解析】

根据在关于对称的区间上概率相等的性质求解.【详解】,,,.故选:C.【点睛】本题考查正态分布的应用.掌握正态曲线的性质是解题基础.随机变量服从正态分布,则.5、C【解析】

先求导函数,函数在上单调递减则恒成立,对导函数不等式换元成二次函数,结合二次函数的性质和图象,列不等式组求解可得.【详解】依题意,,令,则,故在上恒成立;结合图象可知,,解得故.故选:C.【点睛】本题考查求三角函数单调区间.求三角函数单调区间的两种方法:(1)代换法:就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角(或),利用基本三角函数的单调性列不等式求解;(2)图象法:画出三角函数的正、余弦曲线,结合图象求它的单调区间.6、C【解析】

根据抽样方式的特征,可判断①;根据相关系数的性质,可判断②;根据独立性检验的方法和步骤,可判断③.【详解】①根据抽样是间隔相同,且样本间无明显差异,故①应是系统抽样,即①为假命题;②两个随机变量相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1;两个随机变量相关性越弱,则相关系数的绝对值越接近于0;故②为真命题;③对分类变量与的随机变量的观测值来说,越小,“与有关系”的把握程度越小,故③为假命题.故选:.【点睛】本题以命题的真假判断为载体考查了抽样方法、相关系数、独立性检验等知识点,属于基础题.7、A【解析】

算出集合A、B及,再求补集即可.【详解】由,得,所以,又,所以,故或.故选:A.【点睛】本题考查集合的交集、补集运算,考查学生的基本运算能力,是一道基础题.8、B【解析】

由为定值,可得,则是以3为周期的数列,求出,即求.【详解】对任意的,均有为定值,,故,是以3为周期的数列,故,.故选:.【点睛】本题考查周期数列求和,属于中档题.9、D【解析】

先判断是一个古典概型,列举出甲、乙、丙三人相约到达的基本事件种数,再得到甲第一个到、丙第三个到的基本事件的种数,利用古典概型的概率公式求解.【详解】甲、乙、丙三人相约到达的基本事件有甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙甲乙,丙乙甲,共6种,其中甲第一个到、丙第三个到有甲乙丙,共1种,所以甲第一个到、丙第三个到的概率是.故选:D【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法,还考查了理解辨析的能力,属于基础题.10、A【解析】

根据对数性质可知,再根据集合的交集运算即可求解.【详解】∵,集合,∴由交集运算可得.故选:A.【点睛】本题考查由对数的性质比较大小,集合交集的简单运算,属于基础题.11、D【解析】

设圆锥的母线长为l,底面半径为R,再表达圆锥表面积与球的表面积公式,进而求得即可得圆锥轴截面底角的大小.【详解】设圆锥的母线长为l,底面半径为R,则有,解得,所以圆锥轴截面底角的余弦值是,底角大小为.故选:D【点睛】本题考查圆锥的表面积和球的表面积公式,属于基础题.12、D【解析】

当时,,∴f(x)不关于直线对称;当时,,∴f(x)关于点对称;f(x)得周期,当时,,∴f(x)在上是增函数.本题选择D选项.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

借助正切的和角公式可求得,即则通过降幂扩角公式和辅助角公式可化简,由,借助正弦型函数的图象和性质即可解得所求.【详解】,所以,.因为,所以,所以.故答案为:.【点睛】本题考查了三角函数的化简,重点考查学生的计算能力,难度一般.14、【解析】

建立合适的直角坐标系,求出相关点的坐标,进而可得的坐标表示,利用平面向量数量积的坐标表示求出的表达式,求出其最小值即可.【详解】建立直角坐标系如图所示:则点,,,设点,所以,由平面向量数量积的坐标表示可得,,其中,因为,所以的最小值为.故答案为:【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示和利用辅助角公式求最值;考查数形结合思想和转化与化归能力、运算求解能力;建立直角坐标系,把表示为关于角的三角函数,利用辅助角公式求最值是求解本题的关键;属于中档题.15、【解析】

由三视图还原原几何体,该几何体为四棱锥,底面为直角梯形,,,侧棱底面,由棱锥体积公式求棱锥体积,由勾股定理求最长棱的长度.【详解】由三视图还原原几何体如下图所示:该几何体为四棱锥,底面为直角梯形,,,侧棱底面,则该几何体的体积为,,,因此,该棱锥的最长棱的长度为.故答案为:;.【点睛】本题考查由三视图求体积、棱长,关键是由三视图还原原几何体,是中档题.16、【解析】

根据,可得,进而,有,而,令,得到,再用导数法求解,【详解】因为,所以,所以,所以,所以,令,,所以,当时,,当时,所以当时,取得最大值,又,所以取值范围是,故答案为:【点睛】本题主要考查基本不等式的应用和导数法求最值,还考查了运算求解的能力,属于难题,三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】

(1)利用正弦定理和余弦定理化简,根据勾股定理逆定理求得.(2)设,由此求得的表达式,利用三角函数最值的求法,求得的最大值.【详解】(1)设,,,由,根据正弦定理和余弦定理得.化简整理得.由勾股定理逆定理得.(2)设,,由(1)的结论知.在中,,由,所以.在中,,由,所以.所以,由,所以当,即时,取得最大值,且最大值为.【点睛】本小题考查正弦定理,余弦定理,勾股定理,解三角形,三角函数性质及其三角恒等变换等基础知识;考查运算求解能力,推理论证能力,化归与转换思想,应用意识.18、(1);(2).【解析】

(1)分别取的中点为,易得两两垂直,以所在直线为轴建立空间直角坐标系,易得为平面的法向量,只需求出平面的法向量为,再利用计算即可;(2)求出,利用计算即可.【详解】(1)分别取的中点为,连结.因为∥,所以∥.因为,所以.因为侧面为等边三角形,所以又因为平面平面,平面平面,平面,所以平面,所以两两垂直.以为空间坐标系的原点,分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系,因为,则,,.设平面的法向量为,则,即.取,则,所以.又为平面的法向量,设平面与平面所成的锐二面角的大小为,则,所以平面与平面所成的锐二面角的大小为.(2)由(1)得,平面的法向量为,所以成.又直线与平面所成角为,所以,即,即,化简得,所以,符合题意.【点睛】本题考查利用向量坐标法求面面角、线面角,涉及到面面垂直的性质定理的应用,做好此类题的关键是准确写出点的坐标,是一道中档题.19、(1)见解析(2)见解析【解析】

(1)连接AC、BD交于点O,交EF于点H,连接GH,再证明即可.(2)证明与即可.【详解】(1)连接AC、BD交于点O,交EF于点H,连接GH,所以O为AC的中点,H为OC的中点,由E、F为DC、BC的中点,再由题意可得,所以在三角形CAS中,平面EFG,平面EFG,所以直线平面EFG.(2)在中,,,,由余弦定理得,,即,解得,由勾股定理逆定理可知,因为侧面底面ABCD,由面面垂直的性质定理可知平面ABCD,所以,因为底面ABCD是菱形,所以,因为,所以平面SDB.【点睛】本题考查线面平行与垂直的证明.需要根据题意利用等比例以及余弦定理勾股定理等证明.属于中档题.20、(1)的极坐标方程为;曲线的直角坐标方程.(2)【解析】

(1)消去参数,可得曲线的直角坐标方程,再利用极坐标与直角坐标的互化,即可求解.(2)解法1:设直线的倾斜角为,把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程,求得,再把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程,得,得出,利用基本不等式,即可求解;解法2:设直线的极坐标方程为,分别代入曲线,的极坐标方程,得,,得出,即可基本不等式,即可求解.【详解】(1)由题曲线的参数方程为(为参数),消去参数,可得曲线的直角坐标方程为,即,则曲线的极坐标方程为,即,又因为曲线的极坐标方程为,即,根据,代入即可求解曲线的直角坐标方程.(2)解法1:设直线的倾斜角为,则直线的参数方程为(为参数,),把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程得:,解得,,,把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程得:,解得,,,,,即,,,,当且仅当,即时取等号,故的最小值为.解法2:设直线的极坐标方程为),代入曲线的极坐标方程,得,,把直线的参数方程代入曲线的极坐标方程得:,,即,,曲线的参,即,,,,当且仅当,即时取等号,故的最小值为.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程,以及极坐标方程与直角坐标方程点互化,以及直线参数方程的应用和极坐标方程的应用,其中解答中熟记互化公式,合理应用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.21、(1)证明见解析(2)【解析】

(1)连接交于点,由三角形中位线定理得,由此能证明平面.(2)以为坐标原点,的方向为轴正方向,的方向为轴正方向,的方向为轴正方向,建立空间直角坐标系.分别求出平面的法向量和平面的法向量,利用向量法能求

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