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文档简介
云南省曲靖市宣威市民中2025届高三最后一模数学试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.函数在的图象大致为A. B.C. D.2.已知向量,,设函数,则下列关于函数的性质的描述正确的是A.关于直线对称 B.关于点对称C.周期为 D.在上是增函数3.是虚数单位,则()A.1 B.2 C. D.4.设,,分别是中,,所对边的边长,则直线与的位置关系是()A.平行 B.重合C.垂直 D.相交但不垂直5.已知复数z满足(i为虚数单位),则z的虚部为()A. B. C.1 D.6.函数的图象如图所示,则它的解析式可能是()A. B.C. D.7.根据党中央关于“精准”脱贫的要求,我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研,每个县区至少派一位专家,则甲,乙两位专家派遣至同一县区的概率为()A. B. C. D.8.设函数,的定义域都为,且是奇函数,是偶函数,则下列结论正确的是()A.是偶函数 B.是奇函数C.是奇函数 D.是奇函数9.将函数的图像向右平移个单位长度,再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍(纵坐标不变),得到函数的图像,若为奇函数,则的最小值为()A. B. C. D.10.当时,函数的图象大致是()A. B.C. D.11.圆柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A. B. C. D.12.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题正确的是()A.若,,则 B.若,,则C.若,,,则 D.若,,,则二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.等腰直角三角形内有一点P,,,,,则面积为______.14.展开式中的系数为_________.15.已知双曲线C:()的左、右焦点为,,为双曲线C上一点,且,若线段与双曲线C交于另一点A,则的面积为______.16.已知实数,满足约束条件,则的最小值为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数,.(1)讨论的单调性;(2)当时,证明:.18.(12分)已知函数(,为自然对数的底数),.(1)若有两个零点,求实数的取值范围;(2)当时,对任意的恒成立,求实数的取值范围.19.(12分)在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数,).在以为极点,轴正半轴为极轴的极坐标中,曲线:.(1)当时,求与的交点的极坐标;(2)直线与曲线交于,两点,线段中点为,求的值.20.(12分)已知函数.(1)当时,求函数的值域.(2)设函数,若,且的最小值为,求实数的取值范围.21.(12分)在直角坐标系中,已知点,若以线段为直径的圆与轴相切.(1)求点的轨迹的方程;(2)若上存在两动点(A,B在轴异侧)满足,且的周长为,求的值.22.(10分)已知函数,.(1)若曲线在点处的切线方程为,求,;(2)当时,,求实数的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
因为,所以排除C、D.当从负方向趋近于0时,,可得.故选A.2、D【解析】
当时,,∴f(x)不关于直线对称;当时,,∴f(x)关于点对称;f(x)得周期,当时,,∴f(x)在上是增函数.本题选择D选项.3、C【解析】
由复数除法的运算法则求出,再由模长公式,即可求解.【详解】由.故选:C.【点睛】本题考查复数的除法和模,属于基础题.4、C【解析】试题分析:由已知直线的斜率为,直线的斜率为,又由正弦定理得,故,两直线垂直考点:直线与直线的位置关系5、D【解析】
根据复数z满足,利用复数的除法求得,再根据复数的概念求解.【详解】因为复数z满足,所以,所以z的虚部为.故选:D.【点睛】本题主要考查复数的概念及运算,还考查了运算求解的能力,属于基础题.6、B【解析】
根据定义域排除,求出的值,可以排除,考虑排除.【详解】根据函数图象得定义域为,所以不合题意;选项,计算,不符合函数图象;对于选项,与函数图象不一致;选项符合函数图象特征.故选:B【点睛】此题考查根据函数图象选择合适的解析式,主要利用函数性质分析,常见方法为排除法.7、A【解析】
每个县区至少派一位专家,基本事件总数,甲,乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数,由此能求出甲,乙两位专家派遣至同一县区的概率.【详解】派四位专家对三个县区进行调研,每个县区至少派一位专家基本事件总数:甲,乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数:甲,乙两位专家派遣至同一县区的概率为:本题正确选项:【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.8、C【解析】
根据函数奇偶性的性质即可得到结论.【详解】解:是奇函数,是偶函数,,,,故函数是奇函数,故错误,为偶函数,故错误,是奇函数,故正确.为偶函数,故错误,故选:.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断,根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键.9、C【解析】
根据三角函数的变换规则表示出,根据是奇函数,可得的取值,再求其最小值.【详解】解:由题意知,将函数的图像向右平移个单位长度,得,再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍(纵坐标不变),得到函数的图像,,因为是奇函数,所以,解得,因为,所以的最小值为.故选:【点睛】本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质,属于基础题.10、B【解析】由,解得,即或,函数有两个零点,,不正确,设,则,由,解得或,由,解得:,即是函数的一个极大值点,不成立,排除,故选B.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考察函数的解析式、定义域、值域、单调性,导数的应用以及数学化归思想,属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向,该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多,但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手,根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势,利用排除法,将不合题意选项一一排除.11、B【解析】
三视图对应的几何体为如图所示的几何体,利用割补法可求其体积.【详解】根据三视图可得原几何体如图所示,它是一个圆柱截去上面一块几何体,把该几何体补成如下图所示的圆柱,其体积为,故原几何体的体积为.故选:B.【点睛】本题考查三视图以及不规则几何体的体积,复原几何体时注意三视图中的点线关系与几何体中的点、线、面的对应关系,另外,不规则几何体的体积可用割补法来求其体积,本题属于基础题.12、C【解析】
根据空间中直线与平面、平面与平面位置关系相关定理依次判断各个选项可得结果.【详解】对于,当为内与垂直的直线时,不满足,错误;对于,设,则当为内与平行的直线时,,但,错误;对于,由,知:,又,,正确;对于,设,则当为内与平行的直线时,,错误.故选:.【点睛】本题考查立体几何中线面关系、面面关系有关命题的辨析,考查学生对于平行与垂直相关定理的掌握情况,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
利用余弦定理计算,然后根据平方关系以及三角形面积公式,可得结果.【详解】设由题可知:由,,,所以化简可得:则或,即或由,所以所以故答案为:【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形,仔细观察,细心计算,属基础题.14、【解析】
变换,根据二项式定理计算得到答案.【详解】的展开式的通项为:,,取和,计算得到系数为:.故答案为:.【点睛】本题考查了二项式定理,意在考查学生的计算能力和应用能力.15、【解析】
由已知得即,,可解得,由在双曲线C上,代入即可求得双曲线方程,然后求得直线的方程与双曲线方程联立求得点A坐标,借助,即可解得所求.【详解】由已知得,又,,所以,解得或,由在双曲线C上,所以或,所以或(舍去),因此双曲线C的方程为.又,所以线段的方程为,与双曲线C的方程联立消去x整理得,所以,,所以点A坐标为,所以.【点睛】本题主要考查直线与双曲线的位置关系,考查双曲线方程的求解,考查求三角形面积,考查学生的计算能力,难度较难.16、【解析】
作出满足约束条件的可行域,将目标函数视为可行解与点的斜率,观察图形斜率最小在点B处,联立,解得点B坐标,即可求得答案.【详解】作出满足约束条件的可行域,该目标函数视为可行解与点的斜率,故由题可知,联立得,联立得所以,故所以的最小值为故答案为:【点睛】本题考查分式型目标函数的线性规划问题,属于简单题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析;(2)见解析【解析】
(1)求导得,分类讨论和,利用导数研究含参数的函数单调性;(2)根据(1)中求得的的单调性,得出在处取得最大值为,构造函数,利用导数,推出,即可证明不等式.【详解】解:(1)由于,得,当时,,此时在上递增;当时,由,解得,若,则,若,,此时在递增,在上递减.(2)由(1)知在处取得最大值为:,设,则,令,则,则在单调递减,∴,即,则在单调递减∴,∴,∴.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值,涉及分类讨论和构造新函数,通过导数证明不等式,考查转化思想和计算能力.18、(1);(2)【解析】
(1)将有两个零点转化为方程有两个相异实根,令求导,利用其单调性和极值求解;(2)将问题转化为对一切恒成立,令,求导,研究单调性,求出其最值即可得结果.【详解】(1)有两个零点关于的方程有两个相异实根由,知有两个零点有两个相异实根.令,则,由得:,由得:,在单调递增,在单调递减,又当时,,当时,当时,有两个零点时,实数的取值范围为;(2)当时,,原命题等价于对一切恒成立对一切恒成立.令令,,则在上单增又,,使即①当时,,当时,,即在递减,在递增,由①知函数在单调递增即,实数的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性,极值,最值问题,考查学生转化能力和分析能力,是一道难度较大的题目.19、(1),;(2)【解析】
(1)依题意可知,直线的极坐标方程为(),再对分三种情况考虑;(2)利用直线参数方程参数的几何意义,求弦长即可得到答案.【详解】(1)依题意可知,直线的极坐标方程为(),当时,联立解得交点,当时,经检验满足两方程,(易漏解之处忽略的情况)当时,无交点;综上,曲线与直线的点极坐标为,,(2)把直线的参数方程代入曲线,得,可知,,所以.【点睛】本题考查直线与曲线交点的极坐标、利用参数方程参数的几何意义求弦长,考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.20、(1);(2).【解析】
(1)令,求出的范围,再由指数函数的单调性,即可求出结论;(2)对分类讨论,分别求出以及的最小值或范围,与的最小值建立方程关系,求出的值,进而求出的取值关系.【详解】(1)当时,,令,∵∴,而是增函数,∴,∴函数的值域是.(2)当时,则在上单调递减,在上单调递增,所以的最小值为,在上单调递增,最小值为,而的最小值为,所以这种情况不可能.当时,则在上单调递减且没有最小值,在上单调递增最小值为,所以的最小值为,解得(满足题意),所以,解得.所以实数的取值范围是.【点睛】本题考查复合函数的值域与分段函数的最值,熟练掌握二次函数图像和性质是解题的关键,属于中档题.21、(1);(2)【解析】
(1)设,则由题设条件可得,化简后可得轨迹的方程.(2)设直线,联立直线方程和抛物线方程后利用韦达定理化简并求得,结合焦半径公式及弦长公式可求的值及的长.【详解】(1)设,则圆心的坐标为,因为以线段为直径的圆与轴相切,所以,化简得的方程为.(2)由题意,设直线,联立得,设(其中)所以,,且,因为,所以,,所以,故或(舍),直线,因为的周长为所以.即,因为.又,所以,解得,所以.【点睛】本题考查曲线方程以及抛物线中的弦长计算,还涉及到向量的数量积.一般地,抛物线中的弦长问题,一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程,再把已知等式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式,该关系中含有或,最后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程.本题属于中档题.22、(1);(2)【解析】
(1)对函数求导,运用可求得的值,再由在直线上,可求得的值;(2)由已知可得恒成立,构造函数,对函数求导,讨论和0的大小关系,结合单调性求出最大值即可求得的范围.【详解】(1)由题得,因为在点与相切所以,∴(
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