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文档简介

2025届四川省成都市温江中学高考数学三模试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.函数fxA. B.C. D.2.定义域为R的偶函数满足任意,有,且当时,.若函数至少有三个零点,则的取值范围是()A. B. C. D.3.双曲线的左右焦点为,一条渐近线方程为,过点且与垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,满足,则该双曲线的离心率为()A. B.3 C. D.24.已知命题:,,则为()A., B.,C., D.,5.如图,在等腰梯形中,,,,为的中点,将与分别沿、向上折起,使、重合为点,则三棱锥的外接球的体积是()A. B.C. D.6.已知随机变量服从正态分布,且,则()A. B. C. D.7.已知是双曲线的左、右焦点,若点关于双曲线渐近线的对称点满足(为坐标原点),则双曲线的渐近线方程为()A. B. C. D.8.是恒成立的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.在中,D为的中点,E为上靠近点B的三等分点,且,相交于点P,则()A. B.C. D.10.设点,,不共线,则“”是“”()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件11.已知等差数列的公差不为零,且,,构成新的等差数列,为的前项和,若存在使得,则()A.10 B.11 C.12 D.1312.已知函数是上的减函数,当最小时,若函数恰有两个零点,则实数的取值范围是()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知集合A=,B=,若AB中有且只有一个元素,则实数a的值为_______.14.某地区连续5天的最低气温(单位:℃)依次为8,,,0,2,则该组数据的标准差为_______.15.己知双曲线的左、右焦点分别为,直线是双曲线过第一、三象限的渐近线,记直线的倾斜角为,直线,,垂足为,若在双曲线上,则双曲线的离心率为_______16.函数的图像如图所示,则该函数的最小正周期为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)以直角坐标系的原点为极坐标系的极点,轴的正半轴为极轴.已知曲线的极坐标方程为,是上一动点,,点的轨迹为.(1)求曲线的极坐标方程,并化为直角坐标方程;(2)若点,直线的参数方程(为参数),直线与曲线的交点为,当取最小值时,求直线的普通方程.18.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b(a2+c2﹣b2)=a2ccosC+ac2cosA.(1)求角B的大小;(2)若△ABC外接圆的半径为,求△ABC面积的最大值.19.(12分)已知椭圆的左右焦点分别是,点在椭圆上,满足(1)求椭圆的标准方程;(2)直线过点,且与椭圆只有一个公共点,直线与的倾斜角互补,且与椭圆交于异于点的两点,与直线交于点(介于两点之间),是否存在直线,使得直线,,的斜率按某种排序能构成等比数列?若能,求出的方程,若不能,请说理由.20.(12分)设函数f(x)=x2−4xsinx−4cosx.(1)讨论函数f(x)在[−π,π]上的单调性;(2)证明:函数f(x)在R上有且仅有两个零点.21.(12分)在中,设、、分别为角、、的对边,记的面积为,且.(1)求角的大小;(2)若,,求的值.22.(10分)如图,在三棱柱中,平面ABC.(1)证明:平面平面(2)求二面角的余弦值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

由f12=e-14>0排除选项D;【详解】由f12=e-14>0,可排除选项D,f-1=-e【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质,属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向,该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多,但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手,根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及x→02、B【解析】

由题意可得的周期为,当时,,令,则的图像和的图像至少有个交点,画出图像,数形结合,根据,求得的取值范围.【详解】是定义域为R的偶函数,满足任意,,令,又,为周期为的偶函数,当时,,当,当,作出图像,如下图所示:函数至少有三个零点,则的图像和的图像至少有个交点,,若,的图像和的图像只有1个交点,不合题意,所以,的图像和的图像至少有个交点,则有,即,.故选:B.【点睛】本题考查函数周期性及其应用,解题过程中用到了数形结合方法,这也是高考常考的热点问题,属于中档题.3、A【解析】

设,直线的方程为,联立方程得到,,根据向量关系化简到,得到离心率.【详解】设,直线的方程为.联立整理得,则.因为,所以为线段的中点,所以,,整理得,故该双曲线的离心率.故选:.【点睛】本题考查了双曲线的离心率,意在考查学生的计算能力和转化能力.4、C【解析】

根据全称量词命题的否定是存在量词命题,即得答案.【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题,且命题:,,.故选:.【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定,属于基础题.5、A【解析】

由题意等腰梯形中的三个三角形都是等边三角形,折叠成的三棱锥是正四面体,易求得其外接球半径,得球体积.【详解】由题意等腰梯形中,又,∴,是靠边三角形,从而可得,∴折叠后三棱锥是棱长为1的正四面体,设是的中心,则平面,,,外接球球心必在高上,设外接球半径为,即,∴,解得,球体积为.故选:A.【点睛】本题考查求球的体积,解题关键是由已知条件确定折叠成的三棱锥是正四面体.6、C【解析】

根据在关于对称的区间上概率相等的性质求解.【详解】,,,.故选:C.【点睛】本题考查正态分布的应用.掌握正态曲线的性质是解题基础.随机变量服从正态分布,则.7、B【解析】

先利用对称得,根据可得,由几何性质可得,即,从而解得渐近线方程.【详解】如图所示:由对称性可得:为的中点,且,所以,因为,所以,故而由几何性质可得,即,故渐近线方程为,故选B.【点睛】本题考查了点关于直线对称点的知识,考查了双曲线渐近线方程,由题意得出是解题的关键,属于中档题.8、A【解析】

设成立;反之,满足,但,故选A.9、B【解析】

设,则,,由B,P,D三点共线,C,P,E三点共线,可知,,解得即可得出结果.【详解】设,则,,因为B,P,D三点共线,C,P,E三点共线,所以,,所以,.故选:B.【点睛】本题考查了平面向量基本定理和向量共线定理的简单应用,属于基础题.10、C【解析】

利用向量垂直的表示、向量数量积的运算,结合充分必要条件的定义判断即可.【详解】由于点,,不共线,则“”;故“”是“”的充分必要条件.故选:C.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断,考查向量垂直的表示,考查向量数量积的运算,属于基础题.11、D【解析】

利用等差数列的通项公式可得,再利用等差数列的前项和公式即可求解.【详解】由,,构成等差数列可得即又解得:又所以时,.故选:D【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式,需熟记公式,属于基础题.12、A【解析】

首先根据为上的减函数,列出不等式组,求得,所以当最小时,,之后将函数零点个数转化为函数图象与直线交点的个数问题,画出图形,数形结合得到结果.【详解】由于为上的减函数,则有,可得,所以当最小时,,函数恰有两个零点等价于方程有两个实根,等价于函数与的图像有两个交点.画出函数的简图如下,而函数恒过定点,数形结合可得的取值范围为.故选:A.【点睛】该题考查的是有关函数的问题,涉及到的知识点有分段函数在定义域上单调减求参数的取值范围,根据函数零点个数求参数的取值范围,数形结合思想的应用,属于中档题目.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、2【解析】

利用AB中有且只有一个元素,可得,可求实数a的值.【详解】由题意AB中有且只有一个元素,所以,即.故答案为:.【点睛】本题主要考查集合的交集运算,集合交集的运算本质是存同去异,侧重考查数学运算的核心素养.14、【解析】

先求出这组数据的平均数,再求出这组数据的方差,由此能求出该组数据的标准差.【详解】解:某地区连续5天的最低气温(单位:依次为8,,,0,2,平均数为:,该组数据的方差为:,该组数据的标准差为1.故答案为:1.【点睛】本题考查一组数据据的标准差的求法,考查平均数、方差、标准差的定义等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题.15、【解析】

由,则,所以点,因为,可得,点坐标化简为,代入双曲线的方程求解.【详解】设,则,即,解得,则,所以,即,代入双曲线的方程可得,所以所以解得.故答案为:【点睛】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系,及三角恒等变换,还考查了运算求解的能力和数形结合的思想,属于中档题.16、【解析】

根据图象利用,先求出的值,结合求出,然后利用周期公式进行求解即可.【详解】解:由,得,,,则,,,即,则函数的最小正周期,故答案为:8【点睛】本题主要考查三角函数周期的求解,结合图象求出函数的解析式是解决本题的关键.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1),;(2).【解析】

(1)设点极坐标分别为,,由可得,整理即可得到极坐标方程,进而求得直角坐标方程;(2)设点对应的参数分别为,则,,将直线的参数方程代入的直角坐标方程中,再利用韦达定理可得,,则,求得取最小值时符合的条件,进而求得直线的普通方程.【详解】(1)设点极坐标分别为,,因为,则,所以曲线的极坐标方程为,两边同乘,得,所以的直角坐标方程为,即.(2)设点对应的参数分别为,则,,将直线的参数方程(参数),代入的直角坐标方程中,整理得.由韦达定理得,,所以,当且仅当时,等号成立,则,所以当取得最小值时,直线的普通方程为.【点睛】本题考查极坐标与直角坐标方程的转化,考查利用直线的参数方程研究直线与圆的位置关系.18、(1)B(2)【解析】

(1)由已知结合余弦定理,正弦定理及和两角和的正弦公式进行化简可求cosB,进而可求B;(2)由已知结合正弦定理,余弦定理及基本不等式即可求解ac的范围,然后结合三角形的面积公式即可求解.【详解】(1)因为b(a2+c2﹣b2)=ca2cosC+ac2cosA,∴,即2bcosB=acosC+ccosA由正弦定理可得,2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB,因为,所以,所以B;(2)由正弦定理可得,b=2RsinB2,由余弦定理可得,b2=a2+c2﹣2accosB,即a2+c2﹣ac=4,因为a2+c2≥2ac,所以4=a2+c2﹣ac≥ac,当且仅当a=c时取等号,即ac的最大值4,所以△ABC面积S即面积的最大值.【点睛】本题综合考查了正弦定理,余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用,属于中档题.19、(1);(2)不能,理由见解析【解析】

(1)设,则,由此即可求出椭圆方程;(2)设直线的方程为,联立直线与椭圆的方程可求得,则直线斜率为,设其方程为,联立直线与椭圆方程,结合韦达定理可得关于对称,可求得,假设存在直线满足题意,设,可得,由此可得答案.【详解】解:(1)设,则,,所以椭圆方程为;(2)设直线的方程为,与联立得,∴,因为两直线的倾斜角互补,所以直线斜率为,设直线的方程为,联立整理得,,所以关于对称,由正弦定理得,因为,所以,由上得,假设存在直线满足题意,设,按某种排列成等比数列,设公比为,则,所以,则此时直线与平行或重合,与题意不符,所以不存在满足题意的直线.【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系,考查计算能力与推理能力,属于难题.20、见解析【解析】

(1)f(x)=2x−4xcosx−4sinx+4sinx=,由f(x)=1,x∈[−π,π]得x=1或或.当x变化时,f(x)和f(x)的变化情况如下表:x1f(x)−1+1−1+f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以f(x)在区间,上单调递减,在区间,上单调递增.(2)由(1)得极大值为f(1)=−4;极小值为f()=f()<f(1)<1.又f(π)=f(−π)=π2+4>1,所以f(x)在,上各有一个零点.显然x∈(π,2π)时,−4xsinx>1,x2−4cosx>1,所以f(x)>1;x∈[2π,+∞)时,f(x)≥x2−4x−4>62−4×6−4=8>1,所以f(x)在(π,+∞)上没有零点.因为f(−x)=(−x)2−4(−x)sin(−x)−4cos(−x)=x2−4xsinx−4cosx=f(x),所以f(

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