圆周运动的临界极值问题（解析版）-2025年物理一轮复习讲义

第四章抛体运动同周运动

第4课时专题强化：圆周运动的临界极值问题

学习目标

1.会分析水平面内、竖直面内和斜面上圆周运动的临界极值问题。

考点01水平面内圆周运动的临界极值问题

1.与摩擦力有关的临界极值问题

物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。

(1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力用m=竺;静摩擦力的方向一定指向圆心。

r

(2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个

恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩

擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。

2.与弹力有关的临界极值问题

(1)两个接触物体分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零。

(2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力。

［典例1•对水平面内与摩擦力有关的临界极值问题的考查］(多选)(2023•陕西西安市庆安中学

期中)如图所示,两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上,a与转轴

的距离为1,b与转轴的距离为2/。木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的左倍，重

力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用。表示圆盘转动的角速度,

且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是()

O\

O'\

A.b一定比a先开始滑动

B.a、b所受的摩擦力始终相等

c.。=温是b开始滑动的临界角速度

(2kg

D.当①==时，a所受摩擦力的大小为物陪

答案AC

解析小木块a、b做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，Ff=m（D2R.当角速度增大时，

静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块a有居@=加g2/,当尸fa=

而g时，kmg—mcD^-l,a>a——;对木块b有尸如=加0b入2/,当尸如=而陪时，kmg—ma>\^-2l,

cob=—,则0=色是b开始滑动的临界角速度，即b比a先开始滑动，选项A、C正确；

（2/J2/

两木块滑动前转动的角速度相同，则F^mc^-ll,F^F^,选项B错误；3=

2

,a没有滑动，则&/=mo）2l=-kmg,选项D错误。

［拓展训练］（多选）如图所示，两个可视为质点的、相同的木块/和8放在转盘上，两者用长

为乙的水平细绳连接，木块与转盘间的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，N放在距离转轴

£处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该

装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是（重力加速度为g）（）

勺a

2Kg

A.当,时，4、5会相对于转盘滑动

J3L

B.当。>怪,绳子一定有弹力

C.。在范围内增大时，8所受摩擦力变大

2Kg

D.①在0〈①〈二范围内增大时，/所受摩擦力一直变大

J3L

答案ABD

解析当/、3所受摩擦力均达到最大值时，/、8相对转盘即将滑动，则有K%g+K〃7g=77702c

+ma)2-2L,解得0=——，A项正确；当8所受静摩擦力达到最大值后，绳子开始有弹力,

\Kg

即有Kmg—m-2L-a>2,解得可知当a）>—时，绳子有弹力，B项正确；当

2L

时，2已达到最大静摩擦力，则o在范围内增大时，8受到的摩擦力不变，C

12Kg

项错误；。在0<a><I----范围内，/相对转盘是静止的，N所受摩擦力为静摩擦力，所以由

、3L

居一尸1=加£。2可知，当。增大时，静摩擦力也增大，D项正确.

［典例2•对水平面内与弹力有关的临界极值问题的考查］（多选）（2024•黑龙江哈尔滨市第二中

学期中）质量为m的小球（视为质点）由轻绳。和6分别系于一轻质细杆的/点和8点，如图所

示，当轻杆绕轴以角速度。匀速转动时，。绳与水平方向成。角，b绳在水平方向上且长为

Zo重力加速度为g,下列说法正确的是（）

A.a绳的弹力随角速度的增大而增大

当角速度0>、岛时’6绳中产生弹力

B.

C.当6绳中产生弹力后，角速度再增大时。绳的弹力不变

D.当6绳突然被剪断时，a绳的弹力一定发生变化

答案BC

me

解析当6绳的弹力为零时，小球受重力和a绳的弹力，合力提供向心力，有----=mla>2,

tan6

解得。=二一，可知当角速度时，6绳出现弹力，故B正确；根据竖直方向上受

J/tan0个/tan9

mo,

力平衡得&sin9="g,解得兄=^,可知〃绳的弹力不变，故A错误，C正确；

sin0

由于b绳可能没有弹力，故b绳突然被剪断时，q绳的弹力可能不变，故D错误。

［拓展训练］（多选X2023•湖北省公安县等六县质检）如图所示，N2为竖直放置的光滑圆筒，一

根长细绳穿过圆筒后一端连着质量为%=5kg的小球（可视为质点），另一端和细绳2c（悬点

为3）在结点C处共同连着一质量为加2的小球（可视为质点），长细绳能承受的最大拉力为60

N,细绳8c能承受的最大拉力为27.6N.圆筒顶端/到C点的距离A=l.5m,细绳8c刚

好被水平拉直时长/2=0.9m,转动圆筒并逐渐缓慢增大角速度，在8C绳被拉直之前，用手

拿着加1，保证其位置不变，在8C绳被拉直之后，放开加1，重力加速度g取10m/s2,下列

说法正确的是（）

A.在8c绳被拉直之前，NC绳中拉力逐渐增大

B.当角速度。=£々rad/s时，8c绳刚好被拉直

C.当角速度①=3rad/s时，4。绳刚好被拉断

D.当角速度①=4rad/s时，绳刚好被拉断

答案ABD

解析转动圆筒并逐渐缓慢增大角速度的过程中，/C绳与竖直方向的夹角。逐渐增大，掰2

竖直方向处于平衡，由户T4C0se=冽2g,可知在绳被拉直之前，/C绳中拉力逐渐增大，A

3

正确；绳刚好被拉直时，由几何关系可知4C绳与竖直方向的夹角的正弦值sin。=不，对

小球加2受力分析，由牛顿第二定律可知冽2gtan9=冽2①/小解得①rad/s,B正确；

当。=3rad/s*§rad/s,8c绳被拉直且放开了加1,如就一直处于平衡状态，/C绳中拉力

3

不变且为50N,小于/C绳承受的最大拉力，NC未被拉断，C错误；对小球心2,竖直方向

2

有migcos0=m2g,可得加2=4kg,当BC被拉断时有migsin9+F^BC=m2CO2h,解得①2=

4rad/s,D正确.

考点02竖直面内圆周运动的临界极值问题

1.竖直面内圆周运动的两类模型

轻绳模型轻杆模型

懑）通

常见类型

小球最高点没有支撑小球最高点有支撑

除重力外，物体受到的弹力除重力外，物体受到的弹力方向：向

最高点受力特征

方向：向下或等于零下、等于零或向上

A、

匕日弹、1

mgmg

△弹00

最高点受力示意图mgmg

，F弹

o1。

mg

0

V2V2

动力学方程加8+/弹=机%mg±F弹=m不

产弹=0①恰好过最高点，v=0,F=mg

Vmin2②恰好无弹力，/弹=0,v=>/gR

临界特征mw=m--------

R

即Vmin=V^

过最高点的条件在最高点的速度v20

2.解题技巧

（1）物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律方程；

（2）物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两位置间的速度关系；

（3）注意：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛顿第三定律求

出压力O

［典例3•对轻绳模型的考查］（多选）（2023・陕西延安市黄陵中学模拟）如图所示，一质量为加=

0.5kg的小球（可视为质点），用长为0.4m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动，g=10m/s2,

下列说法正确的是（）

A.小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为2m/s

B.当小球在最高点的速度为4m/s时，轻绳拉力大小为15N

C.若轻绳能承受的最大张力为45N,小球的最大速度不能超过4gm/s

D.若轻绳能承受的最大张力为45N,小球的最大速度不能超过4m/s

答案ABC

vo2

解析设小球通过最高点时的最小速度为W，则根据牛顿第二定律有加g=加一，解得Vo=

R

2m/s,故A正确；当小球在最高点的速度为修=4m/s时，设轻绳拉力大小为户r,根据牛顿

第二定律有尸T+%g="?一,解得尸r=15N,故B正确；小球在轨迹最低点处速度最大，此

R

Vn2

时轻绳的拉力最大，根据牛顿第二定律有尸rm一加g="/>,解得小=心反m/s,故C正确，D

R

错误。

［拓展训练］如图所示，质量为〃，的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周运动.圆环半径

为凡小球半径不计，小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时下列

表述不正确的是（重力加速度为g）（）

A.小球对圆环的压力大小等于7Mg

B.重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力

C.小球的线速度大小等于旅

D.小球的向心加速度大小等于g

答案A

解析因为小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，故在最高点时小球对圆环的压力为

零，选项A错误；此时小球只受重力作用，即重力机g充当小球做圆周运动所需的向心力，

则有加g=zw—=加〃，v=y［gR,a=g,选项B、C、D正确.

R

［典例4•对轻杆模型的考查］（2023•四川绵阳市诊断）如图所示，轻杆长3人在杆两端分别固

定质量均为加的球A和B（均可视为质点），光滑水平转轴穿过杆上距球A为工处的。点，

外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无

作用力。忽略空气阻力，重力加速度为g,则球B在最高点时（）

A.球B的速度为零

B.球A的速度大小为低Z

C.水平转轴对杆的作用力为1.5根g

D.水平转轴对杆的作用力为2.5加g

答案C

解析球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力，即仅重力提供向心力，则有ag=

VB?-----

m—,解得VB=CgL,故A错误；由于A、B两球的角速度相等，则球A的速度大小VA=

1,—

-\j2gL,故B错误；B球在最鬲点时，对杆无弹力，此时A球受到的重力和杆的弹力的合力

VA2

提供向心力，有尸一加g=〃?z，解得尸=1.5%g,由牛顿第三定律可知杆受到A球的弹力大

小为1.5〃陪，则水平转轴对杆的作用力为1.5加g,故C正确，D错误。

［拓展训练］如图所示，质量为1.6kg、半径为0.5m的光滑细圆管用轻杆固定在竖直平面内,

小球A和B（均可视为质点）的直径略小于细圆管的内径（内径远小于细圆管半径）。小球A、B

的质量分别为MA=1kg、"?B=2kg。某时刻，小球A、B分别位于圆管最低点和最高点，且

A的速度大小为VA=3m/s,此时杆对圆管的弹力为零，则B球的速度大小VB为（取g=

10m/s2)()

A.2m/sB.4m/s

C.6m/sD.8m/s

答案B

解析对A球，合外力提供向心力，设管对A的支持力为尸A,由牛顿第二定律有FA-"lAg=

VA2

加A——，代入数据解得FA=28N,由牛顿第三定律可得，A球对管的力竖直向下，为28N,

R

设B球对管的力为,由管的受力平衡可得产B，+28N+加管g=0,解得=-44N,

负号表示和重力方向相反，由牛顿第三定律可得，管对B球的力尸B为44N,方向竖直向下,

VB2

对B球由牛顿第二定律有心+加Bg=WB——，解得VB=4m/s,故选B。

R

［典例5•对竖直面内圆周运动与图像综合的考查］（2024•安徽六安一中模拟）如图所示，竖直面

内的圆形管道半径R远大于横截面的半径，有一小球直径比管横截面直径略小，在管道内做

圆周运动。小球过最高点时，小球对管壁的弹力大小用下表示、速度大小用V表示，当小球

以不同速度经过管道最高点时，其尸一v2图像如图所示。则（

ObV

A.小球的质量为一

C

R

B.当地的重力加速度大小为一

a

C.俨=6时，小球对管壁的弹力方向竖直向下

D.俨=36时，小球受到的弹力大小是重力大小的5倍

答案D

v2a

解析在最高点，若v=0,则/=冽8=0,若尸=0,重力提供向心力，则冽g=m—=初一，解

RR

acR

得且=一，m=—,故A、B错误；若b=0,有v2=q,则v?=b时，小球所受的弹力方向向

Ra

工b

下，所以小球对管壁的弹力方向竖直向上，故C错误；当俨=6时，«mg+F=m—F=c

Rf

v2

=mg,解得b=2gR0当庐=3b时，根据加g+尸'=m~,解得P=5mg,故D正确。

R

［拓展训练］如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为冽的小球，在竖直平面内做圆周运动（不

计一切阻力），小球运动到最高点时绳对小球的拉力为Fr，小球在最高点的速度大小为v,

其尸r—v2图像如图乙所示，则（）

A.数据。与小球的质量无关

m

B.当地的重力加速度为一

a

C.当v2=C时，轻质绳的拉力大小为一十。

b

D.当X=2b时，小球受到的拉力与重力大小相等

答案D

、v2m

解析设绳长为由牛顿第二定律知小球在最鬲点满足方丁+加g=w—,即7^=—v2—mg,

RR

由题图乙知q=mg,b=gR,所以g=—,R=——,A、B错；当y2=。时，有户口+加8=加一,

maR

ac,2b

将g和R的值代入得户n=-----a,C错；当v2=26时，由尸冽g=%一可得户r2=〃=冽g,

bR

故拉力与重力大小相等，D对.

考点03斜面上圆周运动的临界极值问题

物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为仇重力垂直斜面的分力与物体受到的支

持力大小相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化.

-i豆彳本图侧视图正视（斜面）图

物体在转动过程中，转动越快，最容易滑动的位置是最低点，恰好滑动时：WMgcosd—TMgsin

0=mco2R.

［典例6•对斜面上圆周运动的临界极值问题的考查］（多选）如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂

直于盘面的固定对称轴以恒定角速度o转动,盘面上离转轴2.5m处有一小物体（可视为质点）

与圆盘始终保持相对静止，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面的夹角为30。，g

取10m/s2,则以下说法中正确的是（）

A.小物体随圆盘以不同的角速度。做匀速圆周运动时，。越大时，小物体在最高点处受到

的摩擦力一定越大

B.小物体受到的摩擦力可能背离圆心

行

C.若小物体与盘面间的动摩擦因数为则。的最大值是1.0rad/s

2

,/3「

D.若小物体与盘面间的动摩擦因数为则o的最大值是退rad/s

答案BC

解析当物体在最高点时，也可能受到重力、支持力与摩擦力三个力的作用，摩擦力的方向

可能沿斜面向上（即背离圆心），也可能沿斜面向下（即指向圆心），摩擦力的方向沿斜面向上时，

。越大时，小物体在最高点处受到的摩擦力越小，故A错误，B正确；当物体转到圆盘的最

低点恰好不滑动时，圆盘的角速度最大，此时小物体受竖直向下的重力、垂直于斜面向上的

支持力、沿斜面指向圆心的摩擦力，由沿斜面的合力提供向心力，支持力FN—mgcos30°,

2

摩擦力Ff—p.FN—/.imgcos30°,又/zmgcos30°—mgsin3Q°—ma）R,解得co=1.0rad/s,故C正

确，D错误.

［拓展训练］（2023•河南郑州市外国语学校模拟）越野滑雪集训队在某雪上项目室内训练基地,

利用工作起来似巨型“陀螺”的圆盘滑雪机模拟一些特定的训练环境和场景，滑雪机转速和

倾角根据需要可调。一运动员的某次训练过程简化为如图模型：圆盘滑雪机绕垂直于盘面的

固定转轴以恒定的角速度。转动,盘面上离转轴距离为10m处的运动员（保持如图滑行姿势,

可看成质点）与圆盘始终保持相对静止，运动员质量为60kg,与盘面间的动摩擦因数为0.5,

设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面的夹角为15。，g取10m/s2,已知sin

15°心0.260,cos15°七0.966。则下列说法正确的是（）

A.运动员随圆盘做匀速圆周运动时，一定始终受到两个力的作用

B.o的最大值约为0.47rad/s

C.0取不同值时，运动员在最高点受到的摩擦力一定随。的增大而增大

D.某次运动员转到最低点时恰好不滑动，若运动员离转轴距离变为11m处，则运动员仍可

随圆盘做匀速圆周运动

答案B

解析运动员随圆盘做匀速圆周运动时，在最高点位置可能只受到重力和支持力，二者的合

力恰好提供向心力，其他位置一定受重力、支持力、摩擦力三个力，三者的合力提供向心力，

故A错误；在圆盘最低点，根据卬wgcos15°一加gsin15°=机0„蕨心解得rad/s,

故B正确；。取不同数值时，设摩擦力指向圆心，则有机gsin15°+居=加m2「，设摩擦力背

离圆心，则有加gsin15°—尸/=ma>22r,由两式可知0取不同数值时，运动员在最高点受到

的摩擦力可能大小相等，方向相反，故C错误；运动员转到最低点时恰好不滑动，有〃小geos

15°-mgsin若此时半径变大，合力不足以提供向心力，运动员将会做离心运

动，故D错误。

课时作业练

基础对点练

1.杂技演员表演“水流星”，在长为1.6m的细绳的一端，系一个与水的总质量为加=0.5kg

的大小不计的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若“水

流星”通过最高点时的速率为4m/s,则下列说法正确的是（g取10m/s2）（）

A.“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出

B.“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零

C.“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用

D.“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5N

答案B

解析"水流星”在最高点的临界速度v=«Z=4m/s,由此知绳的拉力恰好为零，“水流

星”的重力提供向心力，则水恰好不流出，容器底部受到的压力为零，故选B.

2.如图所示，某轻杆一端固定一质量为加的小球，以另一端。为圆心，使小球在竖直平面内

做半径为7?的圆周运动，重力加速度为g,以下说法中正确的是（）

//\\

I\

I01!

\、、/；I

—

A.小球过最高点时，杆所受的弹力不可以为零

B.小球过最高点时，最小速度为反

C.小球过最低点时，杆对球的作用力不一定与小球所受重力方向相反

D.小球过最高点时，杆对球的作用力可以与球所受重力方向相反，此时重力一定大于或等

于杆对球的作用力

答案D

解析小球在最高点时，如果速度恰好为康，则此时恰好只有重力提供向心力，杆和球之

间没有作用力，杆所受弹力为0,如果速度小于此值，重力大于所需要的向心力，杆就要对

球有支持力，方向与重力的方向相反，杆的作用力尸=加8-------,此时重力一定大于或等于

R

杆对球的作用力，故A、B错误，D正确；小球过最低点时，杆对球的作用力方向竖直向上,

与重力方向一定相反，故C错误.

3.（2024•江苏扬州市江都中学检测）如图所示，在水平圆盘上，沿半径方向放置物体A和B,

/WA=4kg,机B=lkg,它们分居在圆心两侧，与圆心距图为人=0.1m,:~B=0.2m,中间用水

平细线相连，A、B与圆盘间的动摩擦因数均为"=0.2,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，

若圆盘从静止开始绕中心转轴非常缓慢地加速转动，g=10m/s2,以下说法正确的是（）

A.A的摩擦力先达到最大

B.当rad/s,细线开始出现张力

C.当。i=Arad/s,A、B两物体出现相对圆盘滑动

D.当=rad/s,A、B两物体出现相对圆盘滑动

答案D

解析A达到最大静摩擦力时的临界角速度满足〃加4=如0（/7%，解得。OA=2J?rad/s,同

理可得，B达到最大静摩擦力时的临界角速度为3）B=J^rad/s,则当圆盘转动的速度逐渐

变大时，B先达到角速度临界值，则B的摩擦力先达到最大，选项A错误；当B的摩擦力达

到最大，转速再增加时，细线出现张力，即当rad/s时，细线开始出现张力，选项B

错误；当A、B两物体出现相对圆盘滑动时，B受到的摩擦力方向背离圆心，A受到的摩擦

力方向指向圆心，则对A有号+〃加跖=加人。2%，对B有尸T—〃加Bg=冽BG/VB,解得①1=

572rad/s,选项C错误，D正确。

4.（2024•江苏南京市中华中学月考）如图甲所示为“铁笼飞车”的特技表演，其抽象出来的理

想模型为如图乙所示的内壁光滑的圆球，其中。、6、c分别表示做圆周运动时的不同轨道，。

轨道与6轨道均水平，。轨道竖直，一个质点在球内绕其光滑内壁做圆周运动时，下列有关

说法正确的是（）

A.沿a轨道可能做变速圆周运动

B.沿c轨道运动的最小速度为0

C.沿a轨道运动的速度比沿6轨道运动的速度大

D.沿a轨道运动的周期比沿6轨道运动的周期大

答案D

V2

解析沿〃轨道运动，设弹力与竖直方向的夹角为仇根据牛顿第二定律得mgtan9=加一=

4兀2-----------------------Reos0

m--r,r=Rsin0,解得y=Yg&sin仇andT=2兀-----，沿〃轨道一定做匀速圆周运动，0

Pdg

越小，v越小，周期越大，沿a轨道运动的速度比沿b轨道运动的速度小，周期大，A、C错

Vmin2

误，D正确；沿。轨道在最高点，根据牛顿第二定律得加g=W-----,解得Vmin=J^,故在

R

最高点的最小速度为康，B错误。

5.（多选X2023•湖北省华大新高考联盟名校联考）如图所示，在竖直平面内有一半径为R的光

滑固定细管（忽略管的内径），半径。2水平、竖直，一个直径略小于管内径的小球（可视为

质点）由8点以某一初速度均进入细管，之后从管内的/点以大小为内的水平速度飞出.忽

略空气阻力，重力加速度为g,下列说法正确的是（）

A.为使小球能从/点飞出，小球在8点的初速度必须满足为＞J^

B.为使小球能从N点飞出，小球在8点的初速度必须满足血尿

嬴

C.为使小球从/点水平飞出后再返回3点，小球在8点的初速度应为％=

D.小球从/点飞出的水平初速度必须满足白＞7^,因而不可能使小球从/点水平飞出后再

返回B点

答案BC

解析小球能从/点飞出，则在/点的最小速度大于零，则由机械能守恒定律有

1

—772Vn2＞mgR,则小球在8点的初速度必须满足v（）＞J或，选项A错误，B正确；为使小球从力

2

1gR11

点水平飞出后再返回5点，则R=v〃，R=-gt1,联立解得v/=—,-mv(?=meR-\-

2、222

\5gR

小球在B点的初速度应为%=—,选项C正确；要使小球从4点飞出，则小球在4点的

gR

速度大于零即可，由选项C的分析可知，只要小球在/点的速度为鼻，小球就能从力点水

平飞出后再返回5点，选项D错误.

6.（2023・四川绵阳市诊断）如图所示,轻杆长3L,在杆两端分别固定质量均为m的球4和3（均

可视为质点），光滑水平转轴穿过杆上距球/为工处的。点，外界给系统一定能量后，杆和

球在竖直平面内转动，球3运动到最高点时，杆对球2恰好无作用力.忽略空气阻力，重力

加速度为g,则球8在最高点时（）

A.球3的速度为零

B.球/的速度大小为低Z

C.水平转轴对杆的作用力为1.5mg

D.水平转轴对杆的作用力为2.5加g

答案C

解析球3运动到最高点时，杆对球2恰好无作用力，即仅重力提供向心力，则有wg=

VB2I-------、,

m—,解得一=J2g£,故A错误；由于4、5两球的角速度相等，则球4的速度大小匕=

1.—

-^IgL,故B错误；8球在最高点时，对杆无弹力，此时N球受到的重力和拉力的合力提供

向心力，有F-mg=m~Y，解得尸=1.5机g,即杆受到的弹力大小为1.5%g,可知水平转轴对

杆的作用力为1.5ag,C正确，D错误.

7.（2023•重庆市西南大学附属中学月考）如图所示，在倾角为a=30。的光滑斜面上有一长£=

0.8m的轻杆，杆一端固定在。点，可绕。点自由转动，另一端系一质量为机=0.05kg的小

球（可视为质点），小球在斜面上做圆周运动，g取10m/s2.要使小球能到达最高点/,则小球

在最低点B的最小速度是（）

A.4m/sB.2-/10m/s

C.2y/~5m/sD.2-72m/s

答案A

解析小球恰好到达4点时的速度大小为%=0,此时对应5点的速度最小，设为山，对小

11

球从4到B的运动过程，由动能定理有3加班2—yv/=2次g£sin明代入数据解得vB=^m/s,

故选A.

8.（2022・长春市第二中学高一期末）如图甲所示，轻杆的一端固定一小球（可视为质点），另一端

套在光滑的水平轴。上，。轴的正上方有一速度传感器，可以测量小球通过最高点时的速度

大小v,O轴处有一力传感器，可以测量小球通过最高点时。轴受到的杆的作用力品若取

竖直向下为尸的正方向，在最低点时给小球不同的初速度，得到的尸一V2(v为小球在最高点

处的速度)图像如图乙所示，取g=10m/s2,贝i]()

A.小球恰好通过最高点时的速度大小为5m/s

B.小球在最高点的速度大小为西m/s时，杆对球的作用力为支持力

C.小球的质量为3kg

D.。轴到小球的距离为0.5m

答案D

解析由于是球杆模型，小球恰好通过最高点时的速度为零，A错误；当小球通过最高点的

速度为零时，杆对小球的支持力恰好等于小球的重力，由题图乙可知，小球的重力为3N,

即质量为0.3kg,C错误；由题图乙可知，当小球以B=5m2/s2通过最高点时，恰好对杆没

V2

有作用力，此时重力提供向心力，设。轴到小球的距离为根据7咕=加工，得4=0.5m,

-----V2

故D正确；当小球以JUm/s的速度通过最高点时，根据mg+/=〃7，可得尸=6N,此时

杆对球的作用力是向下的拉力，大小为6N,故B错误.

9.如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定的角速度。转动，盘面与

水平面的夹角为37。，盘面上离转轴距离1.0m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，小物

体的质量为1.0kg,小物体与盘面间的动摩擦因数为0.8(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)。

则当。达到最大值时，小物体运动到最高点时所受摩擦力的大小为(g取10m/s2,sin37。=

0.6,cos37°=0.8)()

A.5.6NB.6.0NC.6.4ND.8.0N

答案A

解析经分析，当物体运动到最低点时，摩擦力达到最大值，角速度达到最大值，根据牛顿

第二定律得fimgcos37°—mgsin37。=〃7r0m\在最高点，根据牛顿第二定律得Ff+mgsin37°=

mrm^,联立以上两式并代入数据得Ff=-5.6N。负号表示摩擦力的方向沿盘面向上，大小

为5.6N,故选A。

10.(2024•浙江・开学考试)如图甲所示为一种叫“魔力陀螺”的玩具，其结构可简化为图乙所

示.质量为M、半径为R的铁质圆轨道用支架固定在竖直平面内，陀螺在轨道内、外两侧均

可以旋转.陀螺的质量为加，其余部分质量不计.陀螺磁芯对轨道的吸引力始终沿轨道的半

径方向，大小恒为6mg.不计摩擦和空气阻力，重力加速度为g.

(1)若陀螺在轨道内侧运动到最高点时的速度为/荻，求此时轨道对陀螺的弹力大小；

(2)要使陀螺在轨道外侧运动到最低点时不脱离轨道，求陀螺通过最低点时的最大速度；

(3)若陀螺在轨道外侧运动到与轨道圆心等高处时速度为J或，求固定支架对轨道的作用力

大小；

答案(1)10〃7g(2)75gR(3)V4w2+A/2g

解析(1)当陀螺在轨道内侧最高点时，设轨道对陀螺的吸引力为尸1,轨道对陀螺的支持力为

陀螺所受的重力为%最高点的速度为受力分析可知：

FN1,g,vi,

Vl2

mg+F^i—Fi=m—

解得FN1=10mg

⑵设陀螺在轨道外侧运动到最低点时，轨道对陀螺的吸引力为尸2,轨道对陀螺的支持力为

,V22

F,陀螺所受的重力为加g,最低点的速度为电，受力分析可知：F—F—mg=m—

N22N2R

由题意可知，当心2=。时，陀螺通过最低点时的速度为最大值，解得为=/痴

(3)设陀螺在轨道外侧运动到与轨道圆心等高处时，轨道对陀螺的吸引力为尸3,轨道对陀螺的

支持力为FN3,陀螺所受的重力为冽g.则：

mg

V2

Fn=F—F^=m—

33R

解得鼻［3=4加g

由牛顿第三定律可知与N3'=网3,/3,=/3

固定支架对轨道的作用力为尸=J（FN3,一尸3,）2+（Mg）2

解得F=gyJAn^^M2.

能力提升练

11.（多选）（2023・湖北省重点中学检测）如图甲所示的陀螺可在圆轨道的外侧旋转而不脱落，好

像轨道对它施加了魔法一样，被称为“魔力陀螺”，该玩具深受孩子们的喜爱.其物理原理可

等效为如图乙所示的模型：半径为R的磁性圆轨道竖直固定，质量为别的小铁球（视为质点）

在轨道外侧转动，/、8两点分别为轨道上的最高点、最低点.铁球受轨道的磁性引力始终指

向圆心且大小不变，重力加速度为g,不计摩擦和空气阻力.下列说法正确的是（）

A.铁球可能做匀速圆周运动

B.铁球绕轨道转动时机械能守恒

C.铁球在N点的速度一定大于或等于必

D.要使铁球不脱轨，轨道对铁球的磁性引力至少为5%g

答案BD

解析铁球绕轨道转动受到重力、轨道的磁性引力和轨道的弹力作用，而轨道的磁性引力和

弹力总是与速度方向垂直，故只有重力对铁球做功，铁球做变速圆周运动，铁球绕轨道转动

时机械能守恒，选项B正确，A错误；铁球在/点时，有加g+尸吸一,当尸N4="Zg

R

11

十尸吸时，匕=0,选项C错误；铁球从4到5的过程，由动能定理有2冽8氏=罚如2一罚匕2,

当VA=0时，铁球在B点的速度最小，解得如min=2«^,球在B点处，轨道对铁球的磁性

V§2___

引力最大，F吸一mg—FNB=m—^,当如=V3min=2而左且/N8=0时，解得尸吸min=5mg,故

R

要使铁球不脱轨