圆的方程（9题型分类）-2025年高考数学专项复习（原卷版）

专题40圆的方程9题型分类

彩题如工总

题型1:求圆的方程

彩先正宝库

1.圆的定义和圆的方程

定义平面上到定点的距离等于定运的点的集合叫做圆

圆心C(a,b)

标准(x—a)2+(y—Z?)2=r2(厂>。)

半径为r

方程圆心c（一号-f）

x2+y2+Dx+Ey+F^0

一般

(£>2+£2-4f>0)半径r=^\/D2+E2—4F

2.点与圆的位置关系

平面上的一点M（xo，yo）与圆C：（x—。y+⑪-6）2=，之间存在着下列关系：

2

m\MC\>r^M在圆处，即（犹-a）+（y0-bf>r^M在圆外；

（2）|MC|=rOM在圆上，即（xo—a）?+（jo—bp=r20M在圆上；

（3）|MC|<rOM在圆内,即（我一aA+So—b）2c户0M在圆内.

【常用结论】

1.以A（xi，yi）,8（尤2，y2）为直径端点的圆的方程为（x—尤1）（无一X2）+（y—yi）（y—〉2）=0.

2.圆心在过切点且与切线垂直的直线上.

3.圆心在任一弦的垂直平分线上.

彩偏题祕籍

(―)

1.求圆的方程的常用方法

⑴直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程.

⑵待定系数法

①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a,b,r的值；

②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于。，E,尸的方程组，进而求出。，E,尸的值.

2.方程//石y+歹=o表示圆的充要条件是D2+E2-4F>0,故在解决圆的一般式方程的有关问题

时，必须注意这一隐含条件.在圆的一般方程中，圆心为半径/=；’0+八一4尸

3.点与圆的位置关系判断

⑴点尸(%,%)与圆(x-4+⑶-4=户的位置关系:

①(x-a)2+(y-fe)2>/o点P在圆外；

②(x-a)?+(y—b)2=/o点尸在圆上；

③(x-0)2+(y-4</。点尸在圆内.

(2)点尸(x(),%)与圆X?+9+Dx+£y+F=0的位置关系：

①北+此+Dx。+E%+尸>0o点尸在圆夕卜；

②焉+y；+r»Xo+E%+F=Oo点P在圆上；

③君+北+。.％+£%+尸<。0点P在圆内.

4.(1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称

(2)圆关于点对称：

①求已知圆关于某点对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程

②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点

(3)圆关于直线对称：

①求已知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程

②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线

题型1:求圆的方程

1-1.(2024高一上•江苏连云港•期末)求过两点4(0,4),3(4,6),且圆心在直线x-2y-2=0上的圆的标准

方程是()

A.(尤+4了+(y+l)z=25B.(%+4)2+(y-l)2=25

C.(%-4)2+(y+l)2=25D.(x-4)2+(y-l)2=25

1-2.(2024高三下•陕西西安•阶段练习)过点尸(4,2)作圆V+y2=4的两条切线，切点分别为A,B,贝U△上钻

的外接圆方程是()

A.(X-2)2+(J；-1)2=5B.(x-4)2+(y-2)2=20

C.(A:+2)2+(J+1)2=5D.(尤+盯+(y+2)2=20

1-3.(2024•福建福州•模拟预测)已知A(-&,0),B(60),C(0,3),则VABC外接圆的方程为()

A.(x-l)2+y2=2B.(x-l)2+y2=4C.%2+(y-l)2=2D.x2+(y-l)2=4

题型2:用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件

2-1.(2024高二上•甘肃金昌•期中)若方程V+y2+依+2>2=0表示圆，则实数a的取值范围是()

A.a<-2B.a>2

C.av-2或。>2D.a<-2^a>2

2-2.(2024高三・全国•课后作业)关于x、y的方程AX2+B孙+Cy2+Dx+Ey+p=o表示一个圆的充要条件

是().

A.B=0,且A=CwO

B.B=l,且。2+--4AF>0

C.8=0,且4=CV0,D2+E2-4AF>0

D.B=0,>A=C^0,D2+£2-4AF>0

2-3.(2024高三下•河南•阶段练习)是"方程2/+2/+2以+6丫+5°=0表示圆”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

题型3:点与圆的位置关系判断

3-1.（2024•辽宁•二模）己知圆O:尤?+；/=/,直线/：3x+4y=/,若/与圆。相交，则（）.

A.点尸（3,4）在/上B.点尸（3,4）在圆。上

C.点P（3,4）在圆。内D.点尸（3,4）在圆。外

3-2.（2024高二上•全国•课后作业）若点（a+l,a-l）在圆x2+y2-2ay-4=。的内部,则a的取值范围是（）.

A.a>lB.0<a<lC.-l<a<—D.a<l

5

3-3.（2024高二上,全国•课后作业）点P（5,祖）与圆Y+y=24的位置关系是（）

A.点在圆上B.点在圆内C.点在圆外D.不确定

3-4.（2024•甘肃定西,模拟预测）若点（2,1）在圆x2+y2_x+y+a=o的外部，则。的取值范围是（）

题型4：与圆有关的对称问题

4-1.（2024•西藏日喀则•一模）已知圆+丁2-4x+2ay+3=0关于直线x+2y-6=0对称，圆C交》于A、

B两点，贝卜

4-2.（2024高三上•江西南昌•阶段练习）已知圆（x+lF+（y-2）2=9上存在两点关于直线

ax-by+2^0（a>0,b>0）对称，贝i]a2+4h2的最小值是.

4-3.（2024高二上•上海浦东新•阶段练习）已知圆C与圆。：/+/一4尤-2,+3=0关于直线4x+2y-5=0

对称，则圆C的方程为.

彩健题祕籍

（二）

求与圆有关的轨迹问题的常用方法

（1）直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.

（2）定义法：根据圆、直线等定义列方程.

（3）相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.

题型5:与圆有关的轨迹问题

5-1.（2024高三・全国•专题练习）已知圆G:Y+J-4x=0,平面上一动点P满足：PM2+PN2=6且"（T。），

N（LO）.求动点P的轨迹方程；

5-2.（2024・福建）动点尸（x,y）到两定点4（-3,0）和矶3,0）的距离的比等于2,求动点P的轨迹方程，并说

明这轨迹是什么图形.

5-3.（2024高三•全国•专题练习）已知P（4,0）是圆尤2+3；2=36内的一点,4,8是圆上两动点，且满足

ZAPB=90°，求矩形APBQ顶点Q的轨迹方程.

54（2024高二下•广东深圳•期中）点尸（1,0）,点。是圆/+>2=4上的一个动点，则线段PQ的中点/的轨

迹方程是（）

A.+/=1B.入［一］=4

彩僻题秘籍（二）

与圆有关的最值问题的求解方法

（1）借助几何性质求最值：形如t—ajc+by,（x—a）2+（y—6）2形式的最值问题.

（2）建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判

别式法、基本不等式法等求最值.

⑶求解形如1PM+|PN|（其中M,N均为动点）且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定"，

把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之

和，一般要通过对称性解决.

题型6：利用几何性质求最值

6-1.（2024•河北•一模）直线/：融+分-4=。与圆O：尤?+>2=4相切，贝!|（。-3）?+（>-4）?的最大值为（）

A.16B.25C.49D.81

6-2.（2024・吉林白山•一模）己知圆C:/+y2-4x-6y+12=0与直线，：x+y-l=0,P,。分别是圆C和直

线/上的点且直线尸。与圆c恰有1个公共点，则|尸0的最小值是（）

A.币B.20C.V7-1D.2立-1

6-3.（2024•重庆）设尸是圆（x—3）2+（y+l）2=4上的动点，。是直线x=一3上的动点，则|PQ|的最小值为

（）

A.6B.4C.3D.2

题型7：利用函数求最值

7-1.（2024高三•全国•对口高考）在平面直角坐标系xOy中，以点A（2,0）,曲线丁=，1一才上的动点2,第

一象限内的点C,构成等腰直角三角形A3C,且NA=90。，则线段OC长的最大值是.

7-2.（2024•浙江•模拟预测）己知圆。：/+：/=4和点4（4,4）,由圆外一点尸向圆。引切线，切点分别为

M、N,^\AP[=\PM\=\PN\,则|。耳的最小值是（）

A70R7A/2「90n972

4242

彩他题祕籍

（四）

求过两直线交点（两圆交点或直线与圆交点）的直线方程（圆系方程）一般不需求其交点，而是利用它们

的直线系方程（圆系方程）.

（1）直线系方程：若直线4：Ax+与y+G=o与直线/2：4》+32>+^=。相交于点尸，则过点尸的直线系方

^§达/：4（4%++G）+4（4尤+与、+G）=o（4?+后。0）

2

简t己为：44+^z2=o（^+gwo）

当//。时，简记为：4+弘=。（不含，2）

（2）圆系方程：若圆G：+y2+Qx+gy+与=。与圆。2：+）2+02%+马,+工=。相交于A,8两点，则

2222

过A,B两点的圆系方程为：X+y+Dxx+Exy+2（x+y+D2x+E2y+F2）=0（Z-1）

简记为：C1+AC2=0a^-l）,不含C2

当4=-1时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴）/：（2-3）x+（E=E2）y+G-乙=0

注意：与圆C共根轴/的圆系G:C+2/=。

题型8：圆系方程

8-1.（2024高二上•安徽铜陵•期中）经过直线彳-2>=0与圆Y+y2-4x+2y-4=0的交点，且过点（1,0）的

圆的方程为.

8-2.（2024高三下•江苏盐城•阶段练习）曲线3/->2=3与y=/一2》一8的四个交点所在圆的方程是.

8-3.（2024高二・辽宁•学业考试）过圆尤2+y-2y-4=0与f+y2-4x+2y=0的交点，且圆心在直线

/:2x+4y-]=0上的圆的方程是.

彩偏题秘籍（五）

圆过定点问题，想办法求出含有参数6的圆的方程，然后按参数b整理后得/S）=。，只要让此关于6的多

项式中各项系数（包括常数项）均为0,就可解得定点.

题型9:圆过定点问题

9-1.（2024高二下•上海徐汇•期中）对任意实数加，圆/+/-3如-6冲+9加-2=0恒过定点，则定点坐标

为一

9-2.（2024高三・浙江温州•阶段练习）已知动圆圆心在抛物线/=4x上，且动圆恒与直线x=-L相切，则此

动圆必过定点—

9-3.（2024高三下•上海闵行•期中）若抛物线y=Y+ax+b与坐标轴分别交于三个不同的点A、B、C,则

7ABe的外接圆恒过的定点坐标为

炼习与梭升

一、单选题

1.（2024高三下广西•阶段练习）若直线x+2y+l=0是圆（x-4+y2=i的一条对称轴，贝|]。=（）

11

A.—B.—C.1D.—1

22

2.(2024高二•全国•课后作业)若方程W+r+z入x+24y+2/V—4+1=0表小圆，则入的取值范围是()

A.(1,+°°)B.—,1

C.(1,+g)团(-8,1)D.R

3.(2024高二上•海南海口•期中)已知方程/+产+J晟+2y+2=0表示圆，则实数相的取值范围为()

A.(1,+8)B.(2,+00)C.(3,+00)D.(4,+00)

4.(2024•浙江•模拟预测)圆C：(*-1)2+(、-2)2=2关于直线万一〉=。对称的圆的方程是()

A.(1)2+(>+2)2=2B.(x+l)2+(y+2)2=2

C.(x-2)2+(y-l)2=2D.(x+2)2+(y+l)2=2

5.(2024高二上•青海西宁・期末)已知圆心为(-2,3)的圆与直线x-y+l=0相切，则该圆的标准方程是()

A.(x+2)2+(y-3)2=8B.(x-2)2+(y+3)2=8

C.(x+2)2+(y-3)2=18D.(x-2)2+(y+3)2=18

6.(2024•广东佛山•模拟预测)己知圆C：(尤-iy+y2=4,过点A(0,l)的两条直线乙，4互相垂直，圆心C

到直线4，4的距离分别为4，d2>则44的最大值为()

A.—B.1C.J2D.4

2

7.(2024•北京)若直线2x+y-l=。是圆(无一。)2+/=1的一条对称轴，贝lja=()

11„

A.—B.—C.1D.—1

22

8.(2024高二•全国•课后作业)若圆C：f+y?一2(加一1卜+2(7%-1),+2加_6m+4=0过坐标原点，则实

数加的值为()

A.2或1B.-2或-1C.2D.-1

9.(2024・湖南郴州•模拟预测)已知A,8是。C：(x-Z)?+(^-4)?=25上的两个动点，尸是线段的中

点，若|AB|=6,则点P的轨迹方程为()

A.(x-4)2+(y-2)2=16B.(%-2)2+(j7-4)2=11

C.(x-2)2+—4)2=16D.(x-4)2+(y-2)2=11

10.(2024高三下•重庆•阶段练习)德国数学家米勒曾提出过如下的"最大视角定理"(也称"米勒定理")：若

点A,8是NMON的31边上的两个定点，C是ON边上的一个动点，当且仅当VABC的外接圆与边ON相切

于点C时，NACB最大.在平面直角坐标系中，已知点。(2,0),E(4,0),点尸是y轴负半轴的一个动点，

当NDFE最大时，ADE户的外接圆的方程是().

A.(x-3y+(y+2&『=9B.(x-3)2+(^-2A/2)2=9

C.(尤+2@2+(y_3『=8D.(X-2V2)2+(J-3)2=8

11.(2024高二•全国•课后作业)已知直线(3+2㈤x+(34-2)y+5-4=0恒过定点尸，则与圆C：

(x-2)2+(y+3)2=16有公共的圆心且过点尸的圆的标准方程为()

A.(x-2)2+(y+3)2=36B.(x-2)2+(y+3)2=25

C.(x-2)2+(y+3)2=18D.(无一2)?+(y+3)2=9

12.(2024高二上•甘肃庆阳•期末)已知圆C:/+y2=25与直线/:3x-4y+m=0(机>0)相切，则圆C关于

直线/对称的圆的方程为()

A.(%+3)2+(y-4)2=16B.(%+3)2+(y-4)2=25

C.(x+6)2+(y-8)2=16D.(x+6)2+(y-8)2=25

13.(2024高一上•广东广州•期末)已知圆的圆心为(-2,1),其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这

个圆的方程是()

A.x2+y2+4x-2y=0B.x2+y2-4x+2y-5=0

C.x~+y~+4尤-2y-5=0D.x~+-4.x+2,y—0

14.(2024•全国)在平面内，A,B是两个定点，C是动点，若配.册=1,则点C的轨迹为()

A.圆B.椭圆C.抛物线D.直线

15.(2024•北京)已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为().

A.4B.5C.6D.7

16.(2024高二上,江苏盐城•期中)若直线/：x+m(y-4)=0与曲线x=“T手有两个交点，则实数机的取

值范围是()

A.0<m<B,0<m<C.0<m<A/3D.0<m<>/3

33

17.(2024高二上•广东清远•期末)若过点P(2,4)且斜率为左的直线/与曲线y=有且只有一个交点，

则实数左的值不可能是()

18.（2024高一下•四川自贡•期中）点尸在单位圆回。上（O为坐标原点），点4（-1,-1）1（0,-1）,

AP=piAO+^AB,则〃+彳的最大值为（）

,3广

A.—B.-J3C.2D.3

2

19.（2024高三•全国•专题练习）己知点网1,一2）在圆C：丘+4y+F+i=。的外部，则上的取值范

围是（）

A.—2<左<1B.lvk<2C.k<-2D.—2V左

PB

20.（2024高三下•河南开封•阶段练习）已知点A（0,Y）,点B（2,0）,P为圆。：尤2+丫2=4上一动点，则》

的最大值是（）

A.垣B.巫C.述D.空

3432

21.（2024高三上•福建龙岩・期中）"方程》2+/一4工+6、+。=0表示的图形是圆"是"/一144<0"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

22.（2024•福建泉州,模拟预测）已知圆UY+V+mx-2y=0关于直线/:（<7+l）x-ay-l=0（aH-l）对称,

/与C交于A,B两点，设坐标原点为0,贝/。旬+|0同的最大值等于（）

A.2B.4C.8D.16

23.（2024高三上•河南焦作•开学考试）已知圆经过点A（4,4）,3（-2,4）,C（4,-4）,则该圆的半径为（）

A.4B.5C.8D.10

24.（2024•北京平谷•一模）点〃、N在圆C:尤2+9+2履+2%-4=0上，且M、N两点关于直线x-y+l=0

对称，则圆C的半径（）

A.最大值为也B.最小值为也C.最小值为还D.最大值为里

2222

25.（2024高二•全国•课后作业）若a£（0,2»），使曲线/cosa+y2sina+xcosi+ysina+l=0是圆，贝心）

57171兀f71

A.cc=­B.CL——C.oc——ct——D.cc=—

44442

26.（2024高三上•上海奉贤•阶段练习）已知：圆C的方程为，（羽y）=。，点尸（七,%）不在圆C上，也不在圆

C的圆心上，方程C，：/(x,y)-/(x°,%)=0,则下面判断正确的是()

A.方程。表示的曲线不存在

B.方程。表示与C同心且半径不同的圆

C.方程。表示与C相交的圆

D.当点P在圆C外时，方程。表示与C相离的圆

27.(2024高二•全国,专题练习)圆心在直线x-y-4=0上，且经过两圆无2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交

点的圆的方程为()

A.N+y2_x+7y_32=0B.N+y2-x+7y-16=0

C.x2+y2-4x+4y+9=0D.x2+j2-4.r+4y-8=0

28.(2024高三上•山东东营•阶段练习)过抛物线/=4尤的焦点厂的直线交抛物线于A、2两点，分别过A、

8两点作准线的垂线，垂足分别为A，用两点，以线段4瓦为直径的圆C过点(-2,3),则圆C的方程为()

A.(x+l)2+(y-2)2=2B.(x+1)2+(y-l)2=5

C.(x+l)2+(y+l)2=17D.(x+l)2+(y+2)2=26

29.(2024•贵州贵阳•模拟预测)过4(0,1)、3(0,3)两点，且与直线y=》-1相切的圆的方程可以是()

A.(x+l)2+(y-2)2=2B.(x-2)2+(y-2)2=5

C.(x-l)2+(y-2)2=2D.(x+2)+(y-2)=5

30.(2024•全国)已知实数羽丁满足V+y2—4x—2,一4=0,则无—y的最大值是()

A.1+孚B.4C.1+3忘D.7

31.(2024高三•全国•专题练习)广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼

太极图"如图是放在平面直角坐标系中的"太极图"整个图形是一个圆形区域f+y2V4.其中黑色阴影区域

l,x>0

在y轴左侧部分的边界为一个半圆.已知符号函数sgn(x)=0,x=0,贝i］当尤?+丁(4时，下列不等式能表

—1,x<0

示图中阴影部分的是()

A.x(x2+(y-sgn(x))2-1)<0B.y((x-sgn(y))2+y2-1)<0

C.+(y-sgn(%))2-1)>0D.y((%-sgn(y))2+y2-1)>0

32.（2024•安徽•三模）已知是定义在R上的奇函数，其图象关于点（2,0）对称，当无目0,2］时,

小）=/-（1）2,若方程/⑺-可尸2）=0的所有根的和为6,则实数上的取值范围是（）

33.（2024高二下•四川南充•阶段练习）曲线万=。，要使直线y=m（meR）与曲线

「有四个不同的交点，则实数机的取值范围是（）

A.（-3-V3）U（-A/3,V3）U（A3）B.卜3,-⑹U,3）

C.（3,3）D.（-后为）

34.（2024•安徽亳州•模拟预测）若两条直线乙：y=x+m,/2.y=x+w与圆/+/—2x-2y+f=。的四个

交点能构成矩形，则根+〃=（）

A.0B.1C.2D.3

35.（2024高二上•浙江嘉兴•期末）直线2x+y-2=0与曲线（x+y-l）正衣N=。的交点个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

36.（2024高二下•山西晋城•开学考试）直线、=尤+6与曲线y=l-曰二N有两个不同的交点，则实数6的

取值范围是（）

A.(1-272,1+272)B.(1-272,-1]

c.[-1,1+25/^)D.[3,1+272)

37.（2024高二上•辽宁营口•阶段练习）已知曲线y=+4x_3与直线人-y+/-1=0有两个不同的交点,

则实数上的取值范围是（）

「12]（八3）[13）「12）

[23J（4；[24）L43；

38.（河南省郑州市第四高级中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题）若直线/：履->-2=0与曲线

C:Jl-（y-=x-l有两个交点,则实数上的取值范围是（）

A.白]B.[川C.卜2,：卜02]D,

二、填空题

39.（2024高三•全国•对口高考）经过三点A（2,3）,3（-2,-1）,C（4,1）的圆的方程为.

40.（2024•全国）过四点（0,。）,（4,0）,（-1,1）,（4,2）中的三点的一个圆的方程为.

41.（2024高三下•江西南昌•阶段练习）圆心在直线y=2x上，与x轴相切，且被直线x-y=0截得的弦长为

714的圆的方程为.

42.（2024•全国）设点M在直线2x+y-l=0上，点（3,0）和（0,1）均在上，则。"的方程为.

43.（2024高一下■江西九江•期中）经过两圆f+y2+6x-4=0和尤2+y2+6y-28=0的交点，且圆心在直线

彳-了-4=0上的圆的方程为

44.（2024高一•全国•单元测试）过两圆/+丁2-苫-丫-2=0与_¥2+9+4犬-4丫-8=0的交点和点（3,1）的圆

的方程是.

45.（2024高二下,上海•开学考试）对任意实数”?，圆Y+/-2»»:-4〃少+6%-2=0恒过定点，则其坐标

为.

46.（2024高三上・北京•阶段练习）若圆尤②+V+以+Ey+尸=0关于直线乙：x-y+4=。和直线/?：x+3y=。

都对称，则。+E的值为.

47.（2024高二下•四川成者B•开学考试）圆/+/+2工一4>+1=0关于直线分+、+1=。对称，贝

48.（2024高二上・安徽芜湖・期中）已知关于工,>的二元二次方程/+）；2-23+3卜+2（1-4/b+16〃+9=0,

当f为时，方程表示的圆的半径最大.

49.（2024•河南•模拟预测）已知圆C经过抛物线丁=/-4工-8与x轴的交点，且过点（0,2）,则圆C的方程

为.

50.（2024高二•全国•课后作业）/是抛物线y=》上一点，N是圆C：（尤+lF+（y—4）2=1关于直线x—y+1

=0的对称圆C'上的一点，则的最小值是.

51.（2024高三上•湖北武汉•阶段练习）圆心在直线x+y-l=0上且与直线2无-y-1=0相切于点（1,1）的圆

的方程是.

52.（2024•广东揭阳•模拟预测）写出一个经过原点，截、轴所得弦长是截x轴所得弦长2倍的圆的标准方

程.

53.（2024高二上•浙江绍兴•期中）已知圆C过直线2x+y+4=0和圆尤2+,2+2》-4＞+1=0的交点，且原点

在圆C上.则圆C的方程为.

54.（2024•天津•一模）已知一个圆经过直线/：2x+y+4=0与圆C:/+;/+2x-4y=0的两个交点，并且有

最小面积，则此圆的方程为.

55.（2024•重庆）动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必过点.

56.（2024高三上■上海徐汇•期末）已知二次函数/（x）=x2+2x+b（xeR）的图像与坐标轴有三个不同的交点，

经过这三个交点的圆记为C,则圆C经过定点的坐标为（其坐标与6无关）

57.（2024高三•全国•阶段练习）已知直线'=6+1与曲线/+/+法一丁=1交于两点，且这两点关于直线

x+y=0对称，ab=.

58.（2024高二,全国,课后作业）已知圆C1的标准方程是（x-4）~+（y-4）2=25,圆C2:x~+-4x+冲+3=0

关于直线无+gy+l=0对称，则圆C1与圆C2的位置关系为.

59.（2024高二上广东广州•期中）已知圆（x+iy+（y-3）2=9上存在两点关于直线依-处+1=0（。＞。力＞0）

对称，则上1+；3的最小值是____________