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文档简介

河南省安阳市林虑中学2025届高考数学必刷试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知向量,是单位向量,若,则()A. B. C. D.2.中,,为的中点,,,则()A. B. C. D.23.设复数满足,则()A. B. C. D.4.在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是–26.7,天狼星的星等是–1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.10–10.15.设正项等差数列的前项和为,且满足,则的最小值为A.8 B.16 C.24 D.366.函数在区间上的大致图象如图所示,则可能是()A.B.C.D.7.已知集合,,则A. B.C. D.8.已知集合A={x|–1<x<2},B={x|x>1},则A∪B=A.(–1,1) B.(1,2) C.(–1,+∞) D.(1,+∞)9.函数(其中是自然对数的底数)的大致图像为()A. B. C. D.10.设全集,集合,,则()A. B. C. D.11.已知正四面体的棱长为,是该正四面体外接球球心,且,,则()A. B.C. D.12.已知变量,满足不等式组,则的最小值为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知函数,对于任意都有,则的值为______________.14.如图,某地一天从时的温度变化曲线近似满足函数,则这段曲线的函数解析式为______________.15.的展开式中,常数项为______;系数最大的项是______.16.已知集合,其中,.且,则集合中所有元素的和为_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数是自然对数的底数.(1)若,讨论的单调性;(2)若有两个极值点,求的取值范围,并证明:.18.(12分)设数阵,其中、、、.设,其中,且.定义变换为“对于数阵的每一行,若其中有或,则将这一行中每个数都乘以;若其中没有且没有,则这一行中所有数均保持不变”(、、、).表示“将经过变换得到,再将经过变换得到、,以此类推,最后将经过变换得到”,记数阵中四个数的和为.(1)若,写出经过变换后得到的数阵;(2)若,,求的值;(3)对任意确定的一个数阵,证明:的所有可能取值的和不超过.19.(12分)改革开放40年,我国经济取得飞速发展,城市汽车保有量在不断增加,人们的交通安全意识也需要不断加强.为了解某城市不同性别驾驶员的交通安全意识,某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安全意识调查.随机抽取男女驾驶员各50人,进行问卷测评,所得分数的频率分布直方图如图所示.规定得分在80分以上为交通安全意识强.安全意识强安全意识不强合计男性女性合计(Ⅰ)求的值,并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率;(Ⅱ)已知交通安全意识强的样本中男女比例为4:1,完成2×2列联表,并判断有多大把握认为交通安全意识与性别有关;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,从交通安全意识强的驾驶员中随机抽取2人,求抽到的女性人数的分布列及期望.附:,其中0.0100.0050.0016.6357.87910.82820.(12分)已知椭圆C:(a>b>0)过点(0,),且满足a+b=3.(1)求椭圆C的方程;(2)若斜率为的直线与椭圆C交于两个不同点A,B,点M坐标为(2,1),设直线MA与MB的斜率分别为k1,k2,试问k1+k2是否为定值?并说明理由.21.(12分)已知椭圆过点且椭圆的左、右焦点与短轴的端点构成的四边形的面积为.(1)求椭圆C的标准方程:(2)设A是椭圆的左顶点,过右焦点F的直线,与椭圆交于P,Q,直线AP,AQ与直线交于M,N,线段MN的中点为E.①求证:;②记,,的面积分别为、、,求证:为定值.22.(10分)设函数f(x)=ax2–a–lnx,g(x)=,其中a∈R,e=2.718…为自然对数的底数.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)证明:当x>1时,g(x)>0;(Ⅲ)确定a的所有可能取值,使得f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

设,根据题意求出的值,代入向量夹角公式,即可得答案;【详解】设,,是单位向量,,,,联立方程解得:或当时,;当时,;综上所述:.故选:C.【点睛】本题考查向量的模、夹角计算,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意的两种情况.2、D【解析】

在中,由正弦定理得;进而得,在中,由余弦定理可得.【详解】在中,由正弦定理得,得,又,所以为锐角,所以,,在中,由余弦定理可得,.故选:D【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用,考查了学生的运算求解能力.3、D【解析】

根据复数运算,即可容易求得结果.【详解】.故选:D.【点睛】本题考查复数的四则运算,属基础题.4、A【解析】

由题意得到关于的等式,结合对数的运算法则可得亮度的比值.【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,.故选A.【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识、信息处理能力、阅读理解能力以及指数对数运算.5、B【解析】

方法一:由题意得,根据等差数列的性质,得成等差数列,设,则,,则,当且仅当时等号成立,从而的最小值为16,故选B.方法二:设正项等差数列的公差为d,由等差数列的前项和公式及,化简可得,即,则,当且仅当,即时等号成立,从而的最小值为16,故选B.6、B【解析】

根据特殊值及函数的单调性判断即可;【详解】解:当时,,无意义,故排除A;又,则,故排除D;对于C,当时,,所以不单调,故排除C;故选:B【点睛】本题考查根据函数图象选择函数解析式,这类问题利用特殊值与排除法是最佳选择,属于基础题.7、D【解析】

因为,,所以,,故选D.8、C【解析】

根据并集的求法直接求出结果.【详解】∵,∴,故选C.【点睛】考查并集的求法,属于基础题.9、D【解析】由题意得,函数点定义域为且,所以定义域关于原点对称,且,所以函数为奇函数,图象关于原点对称,故选D.10、B【解析】

可解出集合,然后进行补集、交集的运算即可.【详解】,,则,因此,.故选:B.【点睛】本题考查补集和交集的运算,涉及一元二次不等式的求解,考查运算求解能力,属于基础题.11、A【解析】

如图设平面,球心在上,根据正四面体的性质可得,根据平面向量的加法的几何意义,重心的性质,结合已知求出的值.【详解】如图设平面,球心在上,由正四面体的性质可得:三角形是正三角形,,,在直角三角形中,,,,,,因为为重心,因此,则,因此,因此,则,故选A.【点睛】本题考查了正四面体的性质,考查了平面向量加法的几何意义,考查了重心的性质,属于中档题.12、B【解析】

先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值.【详解】解:由变量,满足不等式组,画出相应图形如下:可知点,,在处有最小值,最小值为.故选:B.【点睛】本题主要考查简单的线性规划,运用了数形结合的方法,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

由条件得到函数的对称性,从而得到结果【详解】∵f=f,∴x=是函数f(x)=2sin(ωx+φ)的一条对称轴.∴f=±2.【点睛】本题考查了正弦型三角函数的对称性,注意对称轴必过最高点或最低点,属于基础题.14、,【解析】

根据图象得出该函数的最大值和最小值,可得,,结合图象求得该函数的最小正周期,可得出,再将点代入函数解析式,求出的值,即可求得该函数的解析式.【详解】由图象可知,,,,,从题图中可以看出,从时是函数的半个周期,则,.又,,得,取,所以,.故答案为:,.【点睛】本题考查由图象求函数解析式,考查计算能力,属于中等题.15、【解析】

求出二项展开式的通项,令指数为零,求出参数的值,代入可得出展开式中的常数项;求出项的系数,利用作商法可求出系数最大的项.【详解】的展开式的通项为,令,得,所以,展开式中的常数项为;令,令,即,解得,,,因此,展开式中系数最大的项为.故答案为:;.【点睛】本题考查二项展开式中常数项的求解,同时也考查了系数最大项的求解,涉及展开式通项的应用,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.16、2889【解析】

先计算集合中最小的数为,最大的数,可得,求和即得解.【详解】当时,集合中最小数;当时,得到集合中最大的数;故答案为:2889【点睛】本题考查了数列与集合综合,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)减区间是,增区间是;(2),证明见解析.【解析】

(1)当时,求得函数的导函数以及二阶导函数,由此求得的单调区间.(2)令求得,构造函数,利用导数求得的单调区间、极值和最值,结合有两个极值点,求得的取值范围.将代入列方程组,由证得.【详解】(1),,又,所以在单增,从而当时,递减,当时,递增.(2).令,令,则故在递增,在递减,所以.注意到当时,所以当时,有一个极值点,当时,有两个极值点,当时,没有极值点,综上因为是的两个极值点,所以不妨设,得,因为在递减,且,所以又所以【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间,考查利用导数研究函数的极值点,考查利用导数证明不等式,考查化归与转化的数学思想方法,属于难题.18、(1);(2);(3)见解析.【解析】

(1)由,能求出经过变换后得到的数阵;(2)由,,求出数阵经过变化后的矩阵,进而可求得的值;(3)分和两种情况讨论,推导出变换后数阵的第一行和第二行的数字之和,由此能证明的所有可能取值的和不超过.【详解】(1),经过变换后得到的数阵;(2)经变换后得,故;(3)若,在的所有非空子集中,含有且不含的子集共个,经过变换后第一行均变为、;含有且不含的子集共个,经过变换后第一行均变为、;同时含有和的子集共个,经过变换后第一行仍为、;不含也不含的子集共个,经过变换后第一行仍为、.所以经过变换后所有的第一行的所有数的和为.若,则的所有非空子集中,含有的子集共个,经过变换后第一行均变为、;不含有的子集共个,经过变换后第一行仍为、.所以经过变换后所有的第一行的所有数的和为.同理,经过变换后所有的第二行的所有数的和为.所以的所有可能取值的和为,又因为、、、,所以的所有可能取值的和不超过.【点睛】本题考查数阵变换的求法,考查数阵中四个数的和不超过的证明,考查类比推理、数阵变换等基础知识,考查运算求解能力,综合性强,难度大.19、(Ⅰ).0.2(Ⅱ)见解析,有的把握认为交通安全意识与性别有关(Ⅲ)见解析,【解析】

(Ⅰ)直接根据频率和为1计算得到答案.(Ⅱ)完善列联表,计算,对比临界值表得到答案.(Ⅲ)的取值为,计算概率得到分布列,计算数学期望得到答案.【详解】(Ⅰ),解得.所以该城市驾驶员交通安全意识强的概率.(Ⅱ)安全意识强安全意识不强合计男性163450女性44650合计2080100,所以有的把握认为交通安全意识与性别有关(Ⅲ)的取值为所以的分布列为期望.【点睛】本题考查了独立性检验,分布列,数学期望,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.20、(1)(2)k1+k2为定值0,见解析【解析】

(1)利用已知条件直接求解,得到椭圆的方程;(2)设直线在轴上的截距为,推出直线方程,然后将直线与椭圆联立,设,利用韦达定理求出,然后化简求解即可.【详解】(1)由椭圆过点(0,),则,又a+b=3,所以,故椭圆的方程为;(2),证明如下:设直线在轴上的截距为,所以直线的方程为:,由得:,由得,设,则,所以,又,所以,故.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的求解,直线与椭圆的位置关系的综合应用,考查了方程的思想,转化与化归的思想,考查了学生的运算求解能力.21、(1);(2)①证明见解析;②证明见解析【解析】

(1)解方程即可;(2)①设直线,,,将点的坐标用表示,证明即可;②分别用表示,,的面积即可.【详解】(1)解之得:的标准方程为:(2)①,,设直线代入椭圆方程:设,,,直线,直线,,,,,.②,所以.【点睛】本题考查了直接法求椭圆的标准方程、直线与椭圆位置关系中的定值问题,在处理此类问题一般要涉及根与系数的关系,本题思路简单,但计算量比较大,是一道有一定难度的题.22、(Ⅰ)当时,<0,单调递减;当时,>0,单调递增;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ).【解析】试题分析:本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性,解决恒成立问题,考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力.第(Ⅰ)问,对求导,再对a进行讨论,判断函数的单调性;第(Ⅱ)问,利用导数判断函数的单调性,从而证明结论,第(Ⅲ)问,构造函数=(),利用导数判断函数的单调性,从而求解a的值.试题解析:(Ⅰ)<0,在内单调递减.由=0有.当时,<0,单调递减;当时,>0,单调递增.(Ⅱ)令=,则=.当时,>0,所以,从而=>0.(Ⅲ)由(Ⅱ),当时,>0.当,时,=.故当>在

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