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文档简介

茂名市重点中学2025届高三考前热身数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图,四面体中,面和面都是等腰直角三角形,,,且二面角的大小为,若四面体的顶点都在球上,则球的表面积为()A. B. C. D.2.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E、F且EF=,则下列结论中错误的是()A.AC⊥BE B.EF平面ABCDC.三棱锥A-BEF的体积为定值 D.异面直线AE,BF所成的角为定值3.如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边,直角边.已知以直角边为直径的半圆的面积之比为,记,则()A. B. C. D.4.已知函数,若函数的图象恒在轴的上方,则实数的取值范围为()A. B. C. D.5.如图,平面ABCD,ABCD为正方形,且,E,F分别是线段PA,CD的中点,则异面直线EF与BD所成角的余弦值为()A. B. C. D.6.一个几何体的三视图及尺寸如下图所示,其中正视图是直角三角形,侧视图是半圆,俯视图是等腰三角形,该几何体的表面积是()A.B.C.D.7.已知双曲线C:1(a>0,b>0)的焦距为8,一条渐近线方程为,则C为()A. B.C. D.8.已知复数,则的虚部为()A.-1 B. C.1 D.9.定义两种运算“★”与“◆”,对任意,满足下列运算性质:①★,◆;②()★★,◆◆,则(◆2020)(2020★2018)的值为()A. B. C. D.10.三棱柱中,底面边长和侧棱长都相等,,则异面直线与所成角的余弦值为()A. B. C. D.11.已知定义在R上的偶函数满足,当时,,函数(),则函数与函数的图象的所有交点的横坐标之和为()A.2 B.4 C.5 D.612.若复数()是纯虚数,则复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.圆心在曲线上的圆中,存在与直线相切且面积为的圆,则当取最大值时,该圆的标准方程为______.14.某种产品的质量指标值服从正态分布,且.某用户购买了件这种产品,则这件产品中质量指标值位于区间之外的产品件数为_________.15.在平面直角坐标系中,曲线上任意一点到直线的距离的最小值为________.16.设复数满足,则_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)记为数列的前项和,N.(1)求;(2)令,证明数列是等比数列,并求其前项和.18.(12分)某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏,每次由一个小孩与其一位家长参与,测试家长对小孩饮食习惯的了解程度.在每一轮游戏中,主持人给出A,B,C,D四种食物,要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序,然后由家长猜测小孩的排序结果.设小孩对四种食物排除的序号依次为xAxBxCxD,家长猜测的序号依次为yAyByCyD,其中xAxBxCxD和yAyByCyD都是1,2,3,4四个数字的一种排列.定义随机变量X=(xA﹣yA)2+(xB﹣yB)2+(xC﹣yC)2+(xD﹣yD)2,用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度.(1)若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解.(ⅰ)求他们在一轮游戏中,对四种食物排出的序号完全不同的概率;(ⅱ)求X的分布列(简要说明方法,不用写出详细计算过程);(2)若有一组小孩和家长进行来三轮游戏,三轮的结果都满足X<4,请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解,说明理由.19.(12分)已知中,角,,的对边分别为,,,已知向量,且.(1)求角的大小;(2)若的面积为,,求.20.(12分)在四棱椎中,四边形为菱形,,,,,,分别为,中点..(1)求证:;(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.21.(12分)在中,角,,的对边分别为,,,已知.(1)若,,成等差数列,求的值;(2)是否存在满足为直角?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.22.(10分)在四棱锥中,底面是边长为2的菱形,是的中点.(1)证明:平面;(2)设是线段上的动点,当点到平面距离最大时,求三棱锥的体积.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

分别取、的中点、,连接、、,利用二面角的定义转化二面角的平面角为,然后分别过点作平面的垂线与过点作平面的垂线交于点,在中计算出,再利用勾股定理计算出,即可得出球的半径,最后利用球体的表面积公式可得出答案.【详解】如下图所示,分别取、的中点、,连接、、,由于是以为直角等腰直角三角形,为的中点,,,且、分别为、的中点,所以,,所以,,所以二面角的平面角为,,则,且,所以,,,是以为直角的等腰直角三角形,所以,的外心为点,同理可知,的外心为点,分别过点作平面的垂线与过点作平面的垂线交于点,则点在平面内,如下图所示,由图形可知,,在中,,,所以,,所以,球的半径为,因此,球的表面积为.故选:B.【点睛】本题考查球体的表面积,考查二面角的定义,解决本题的关键在于找出球心的位置,同时考查了计算能力,属于中等题.2、D【解析】

A.通过线面的垂直关系可证真假;B.根据线面平行可证真假;C.根据三棱锥的体积计算的公式可证真假;D.根据列举特殊情况可证真假.【详解】A.因为,所以平面,又因为平面,所以,故正确;B.因为,所以,且平面,平面,所以平面,故正确;C.因为为定值,到平面的距离为,所以为定值,故正确;D.当,,取为,如下图所示:因为,所以异面直线所成角为,且,当,,取为,如下图所示:因为,所以四边形是平行四边形,所以,所以异面直线所成角为,且,由此可知:异面直线所成角不是定值,故错误.故选:D.【点睛】本题考查立体几何中的综合应用,涉及到线面垂直与线面平行的证明、异面直线所成角以及三棱锥体积的计算,难度较难.注意求解异面直线所成角时,将直线平移至同一平面内.3、D【解析】

由半圆面积之比,可求出两个直角边的长度之比,从而可知,结合同角三角函数的基本关系,即可求出,由二倍角公式即可求出.【详解】解:由题意知,以为直径的半圆面积,以为直径的半圆面积,则,即.由,得,所以.故选:D.【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系,考查了二倍角公式.本题的关键是由面积比求出角的正切值.4、B【解析】

函数的图象恒在轴的上方,在上恒成立.即,即函数的图象在直线上方,先求出两者相切时的值,然后根据变化时,函数的变化趋势,从而得的范围.【详解】由题在上恒成立.即,的图象永远在的上方,设与的切点,则,解得,易知越小,图象越靠上,所以.故选:B.【点睛】本题考查函数图象与不等式恒成立的关系,考查转化与化归思想,首先函数图象转化为不等式恒成立,然后不等式恒成立再转化为函数图象,最后由极限位置直线与函数图象相切得出参数的值,然后得出参数范围.5、C【解析】

分别以AB,AD,AP所在直线为x轴,y轴,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,再利用向量法求异面直线EF与BD所成角的余弦值.【详解】由题可知,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴,y轴,轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设.则.故异面直线EF与BD所成角的余弦值为.故选:C【点睛】本题主要考查空间向量和异面直线所成的角的向量求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6、D【解析】

由三视图可知该几何体的直观图是轴截面在水平面上的半个圆锥,表面积为,故选D.7、A【解析】

由题意求得c与的值,结合隐含条件列式求得a2,b2,则答案可求.【详解】由题意,2c=8,则c=4,又,且a2+b2=c2,解得a2=4,b2=12.∴双曲线C的方程为.故选:A.【点睛】本题考查双曲线的简单性质,属于基础题.8、A【解析】

分子分母同乘分母的共轭复数即可.【详解】,故的虚部为.故选:A.【点睛】本题考查复数的除法运算,考查学生运算能力,是一道容易题.9、B【解析】

根据新运算的定义分别得出◆2020和2020★2018的值,可得选项.【详解】由()★★,得(+2)★★,又★,所以★,★,★,,以此类推,2020★2018★2018,又◆◆,◆,所以◆,◆,◆,,以此类推,◆2020,所以(◆2020)(2020★2018),故选:B.【点睛】本题考查定义新运算,关键在于理解,运用新定义进行求值,属于中档题.10、B【解析】

设,,,根据向量线性运算法则可表示出和;分别求解出和,,根据向量夹角的求解方法求得,即可得所求角的余弦值.【详解】设棱长为1,,,由题意得:,,,又即异面直线与所成角的余弦值为:本题正确选项:【点睛】本题考查异面直线所成角的求解,关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题.11、B【解析】

由函数的性质可得:的图像关于直线对称且关于轴对称,函数()的图像也关于对称,由函数图像的作法可知两个图像有四个交点,且两两关于直线对称,则与的图像所有交点的横坐标之和为4得解.【详解】由偶函数满足,可得的图像关于直线对称且关于轴对称,函数()的图像也关于对称,函数的图像与函数()的图像的位置关系如图所示,可知两个图像有四个交点,且两两关于直线对称,则与的图像所有交点的横坐标之和为4.故选:B【点睛】本题主要考查了函数的性质,考查了数形结合的思想,掌握函数的性质是解题的关键,属于中档题.12、B【解析】

化简复数,由它是纯虚数,求得,从而确定对应的点的坐标.【详解】是纯虚数,则,,,对应点为,在第二象限.故选:B.【点睛】本题考查复数的除法运算,考查复数的概念与几何意义.本题属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

由题意可得圆的面积求出圆的半径,由圆心在曲线上,设圆的圆心坐标,到直线的距离等于半径,再由均值不等式可得的最大值时圆心的坐标,进而求出圆的标准方程.【详解】设圆的半径为,由题意可得,所以,由题意设圆心,由题意可得,由直线与圆相切可得,所以,而,,所以,即,解得,所以的最大值为2,当且仅当时取等号,可得,所以圆心坐标为:,半径为,所以圆的标准方程为:.故答案为:.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系及均值不等式的应用,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意验正等号成立的条件.14、【解析】

直接计算,可得结果.【详解】由题可知:则质量指标值位于区间之外的产品件数:故答案为:【点睛】本题考查正太分布中原则,审清题意,简单计算,属基础题.15、【解析】

解法一:曲线上任取一点,利用基本不等式可求出该点到直线的距离的最小值;解法二:曲线函数解析式为,由求出切点坐标,再计算出切点到直线的距离即可所求答案.【详解】解法一(基本不等式):在曲线上任取一点,该点到直线的距离为,当且仅当时,即当时,等号成立,因此,曲线上任意一点到直线距离的最小值为;解法二(导数法):曲线的函数解析式为,则,设过曲线上任意一点的切线与直线平行,则,解得,当时,到直线的距离;当时,到直线的距离.所以曲线上任意一点到直线的距离的最小值为.故答案为:.【点睛】本题考查曲线上一点到直线距离最小值的计算,可转化为利用切线与直线平行来找出切点,转化为切点到直线的距离,也可以设曲线上的动点坐标,利用基本不等式法或函数的最值进行求解,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.16、.【解析】

利用复数的运算法则首先可得出,再根据共轭复数的概念可得结果.【详解】∵复数满足,∴,∴,故而可得,故答案为.【点睛】本题考查了复数的运算法则,共轭复数的概念,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)证明见详解,【解析】

(1)根据,可得,然后作差,可得结果.(2)根据(1)的结论,用取代,得到新的式子,然后作差,可得结果,最后根据等比数列的前项和公式,可得结果.【详解】(1)由①,则②②-①可得:所以(2)由(1)可知:③则④④-③可得:则,且令,则,所以数列是首项为,公比为的等比数列所以【点睛】本题主要考查递推公式以及之间的关系的应用,考验观察能力以及分析能力,属中档题.18、(1)(ⅰ)(ⅱ)分布表见解析;(2)理由见解析【解析】

(1)(i)若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解,则家长对小孩的排序是随意猜测的,家长的排序有种等可能结果,利用列举法求出其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种,由此能求出他们在一轮游戏中,对四种食物排出的序号完全不同的概率.

(ii)根据(i)的分析,同样只考虑小孩排序为1234的情况,家长的排序一共有24种情况,由此能求出X的分布列.

(2)假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解,在一轮游戏中,P(X<4)=P(X=0)+P(X=2)=,三轮游戏结果都满足“X<4”的概率为,这个结果发生的可能性很小,从而这位家长对小孩饮食习惯比较了解.【详解】(1)(i)若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解,则家长对小孩的排序是随意猜测的,先考虑小孩的排序为xA,xB,xC,xD为1234的情况,家长的排序有=24种等可能结果,其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种,分别为:2143,2341,2413,3142,3412,3421,4123,4312,4321,∴家长的排序与对应位置的数字完全不同的概率P=.基小孩对四种食物的排序是其他情况,只需将角标A,B,C,D按照小孩的顺序调整即可,假设小孩的排序xA,xB,xC,xD为1423的情况,四种食物按1234的排列为ACDB,再研究yAyByCyD的情况即可,其实这样处理后与第一种情况的计算结果是一致的,∴他们在一轮游戏中,对四种食物排出的序号完全不同的概率为.(ii)根据(i)的分析,同样只考虑小孩排序为1234的情况,家长的排序一共有24种情况,列出所有情况,分别计算每种情况下的x的值,X的分布列如下表:X02468101214161820P(2)这位家长对小孩的饮食习惯比较了解.理由如下:假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解,由(1)可知,在一轮游戏中,P(X<4)=P(X=0)+P(X=2)=,三轮游戏结果都满足“X<4”的概率为()3=,这个结果发生的可能性很小,∴这位家长对小孩饮食习惯比较了解.【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合、列举法等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.19、(1);(2).【解析】试题分析:(1)利用已知及平面向量数量积运算可得,利用正弦定理可得,结合,可求,从而可求的值;(2)由三角形的面积可解得,利用余弦定理可得,故可得.试题解析:(1)∵,,,∴,∴,即,又∵,∴,又∵,∴.(2)∵,∴,又,即,∴,故.20、(1)证明见解析;(2).【解析】

(1)证明,得到平面,得到证明.(2)以点为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,平面的一个法向量为,平面的一个法向量为,计算夹角

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