一元二次函数（方程不等式）原卷版-2025年高考数学一轮复习

第04讲一元二次函数（方程，不等式）

目录

第一部分：基础知识..............................................................1

第二部分：高考真题回顾.........................................................3

第三部分：高频考点一遍过.......................................................3

高频考点一：一元二次（分式）不等式解法（不含参）...........................3

高频考点二：一元二次不等式解法（含参）.....................................4

高频考点三：一元二次不等式与相应的二次函数（方程）的关系...................6

高频考点四：一元二次不等式恒成立问题.......................................7

角度1：VxeR上恒成立（优选A法）......................................7

角度2：二€尺上成立（优选A法）.........................................7

角度3：VxeD上恒成立（优选分离变量法）................................8

角度4：*上成立（优选分离变量法）..................................8

角度5：已知参数aeD,求x取值范围（优选变更主元法）....................8

高频考点五：分式不等式....................................................10

高频考点六：一元二次不等式的应用..........................................11

第四部分：典型易错题型.........................................................13

备注：一元二次不等式最高项系数容易忽略化正。..............................13

备注：分式不等式容易直接乘到另一侧忽略正负而漏解。........................13

第五部分：新定义题（解答题）..................................................13

第一部分：基础知识

1、二次函数

（1）形式：形如/（%）=以2+云+0（。彳0）的函数叫做二次函数.

（2）特点：

①函数/（x）=奴2+法+式。w0）的图象与X轴交点的横坐标是方程+区+c=0（。w0）的实根.

②当。＞0且/＜0（/W0）时，恒有/（X）＞0（/（x）20）；当。＜0且/＜0（/W0）时，恒有/（x）＜。

（/W＜0）.

2、一元二次不等式

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.

3.（x—芭）（x一％）〉0或（x—西）（x—々）<0型不等式的解集

解集

不等式

再<x2玉=x2光1>x2

{九1%<玉或%>%}

(X-Q)(X-Z?)>0{犬1%W玉}{x\x<x2^x>Xy}

(1-〃)(%-/?)<0{x\x1<x<x2}0{x\x2<x<xr]

4、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系

判别式A=/—4acA>0A=0A<0

4^I£

二次函数

/（无）=ax2+bx+c（a>0）的图象X1V/2

O\X1=X2XE

有两相等实数根

一元二次方程有两相异实数根

b没有实数根

ax2+Zzx+c=0(a>0)的根

々（X]<々）…一五

一元二次不等式

f,b、

{x\x<x^x>x2}{九|九w——}R

ax2+Z?x+c>0（<2>0）的解集2a

一元二次不等式

[x\Xy<X<X2}00

ax2+Z?x+c<0（tz>0）的角牟集

、分式不等式解法

(1)^^〉0o/(x)g(x)〉0

g{x)

(2)<0of(x)2(x)<0

gw

/(x)g(x)之0

(3)

g(x)〔g(x)丰0

do.七)gM。

(4)

g(x)[g(x)丰0

6、单绝对值不等式

(1)|ax+b\>cax+b>c^ax+b<-c

(2)\ax+b\<c^-c<ax+b<c

第二部分：高考真题回顾

1.（2023•全国•统考高考真题）已知集合〃={-2,—1,0,1,2},A^={xp-x-6>0},则McN=（）

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.2

2.（2023•全国•（新课标I卷））设函数f（x）=2'（i）在区间（0,1）上单调递减，则。的取值范围是（）

A.（-co,-2]B.[-2,0）

C.（0,2]D.[2,+4

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：一元二次（分式）不等式解法（不含参）

典型例题

例题L（2024上•江西南昌•高一校联考期末）不等式52，-2-5,-3<0的解集是（）

A.（-w,log53）B.（log53,+oo）C.（-l,log53）D.（0,log53）

例题2.（2024上•安徽芜湖•高一统考期末）设函数/（x）=o?+法+3,关于尤的一元二次不等式/（力>0的

解集为（-3,1）.

（1）求不等式/+6+6>0的解集；

⑵若Vxe[T3],/（x"mx2,求实数机的取值范围.

例题3.(2024上•湖南长沙•高一校考期末)解下列关于尤的不等式:

(1)-%2+2x+3>0;

2x-3

⑵>1.

x+1

练透核心考点

1.(2024上•广东江门•高一统考期末)一元二次不等式-尤?+2尤+3<0的解集为.

2.(2024上•湖南岳阳•高一校考期末)已知不等式/+6+6<0的解集为{无卜l<x<2},设不等式

ax2+bx+3>Q的解集为集合A.

⑴求集合A；

(2)设全集为R,集合3=„-mx+2<0},若xeA是xeB成立的必要条件，求实数机的取值范围.

3.(2024上•四川绵阳•高一四川省绵阳南山中学校考期末)已知集合

A={x[(x+2)(5-彳)<0},3={尤[24+1<尤<3。+5}.

(1)若a=-2,求Aug；

(2)若"xeA"是"xe3"的必要不充分条件，求实数。的取值范围.

高频考点二：一元二次不等式解法(含参)

典型例题

例题L(2024上•四川南充,高一统考期末)已知函数/(力=/一点+1.

(1)若关于x的不等式/(x)+〃TW。的解集为[-1,2],求实数机，〃的值；

(2)求关于x的不等式/(x)-x+m-l>。(meR)的解集.

例题2.(2024上•重庆•高一校联考期末)已知函数/'(x)=G?—(a+6)x+6.

(1)当a=l时，求函数的零点；

(2)当aWO时,求不等式/(力＜0的解集.

例题3.(2024上•甘肃庆阳,高一校考期末)已知函数〃x)=-依2_2彳，其中aeR,a/0.

(1)若/(T)=。，求实数。的值；

⑵求不等式〃》)＞。的解集.

练透核心考点

1.(2024上•江苏南京•高一南京师大附中校考期末)设。为实数，则关于x的不等式(ar-2)(2x-4)＜。的

解集不可能是()

A.，之]B.(一°°,2)□]—,+＜»]

C.(2,+oo)D.J,-J

2.(2024上•四川宜宾•高一统考期末)已知集合A集合8=机-2)40,meR}.

⑴当机=一2时，求AuB；

(2)若4仆5=5,求实数机的取值范围.

3.(2024上•福建宁德•高一统考期末)已知/(%)=/+(3-a)x-3a(aGR).

(1)若/(%)=/(2—%),求，的值;

（2）求关于x的不等式/（尤）<0的解集.

高频考点三：一元二次不等式与相应的二次函数（方程）的关系

典型例题

例题1.（多选）（2024上•湖南娄底•高一统考期末）已知关于x的不等式（2〃+3m）%2一（。一3M冗-1>0（。〉0,

b>0）的解集为（-双则下列结论正确的是（）

A.2a+b=lB.必的最大值为:

o

1711

C.一+7的最小值为4D.—+丁的最小值为3+2行

abab

例题2.（2024上•江西萍乡•高一统考期末）已知关于x的一元二次不等式“2一2》+1<0的解集为（。力）,

则3a+b的最小值为.

例题3.（2023上•江苏南京•高一期末）已知不等式无分+6<0的解集为｛止l<x<2｝,设不等式

ax2+fox+3>0的解集为集合A.

（1）求集合A；

⑵设全集为R,集合8=｛小2-m+2<。｝,若xeA是成立的必要条件，求实数，〃的取值范围.

练透核心考点

1.（多选）（2024上•山东临沂・高一统考期末）已知关于x的一元二次不等式依2+法+020的解集为｛x|x<-2

或龙21｝,贝!!（）

A.b>0且。<0B.4a+2Z?+c=0

C.不等式bx+c>0的解集为｛x|x>2｝D.不等式cx2-6x+a<0的解集为卜T<尤

2.（2024上•湖南•高一校联考期末）已知/（力=加-2依-3（aeR）.

⑴若不等式苏-2办-3<0的解集是无<3},求实数。的值；

⑵若不等式/（x）<x-1对一切实数为恒成立，求实数。的取值范围.

3.（2023上•福建三明•高一校联考期中）已知二次函数>=侬2+区一”+2.

⑴若关于x的不等式加+法-4+2>0的解集是{X[T<X<2},求实数。，6的值；

（2）若。>0,6=2,解关于天的不等式依2+版一4+2>0.

高频考点四：一元二次不等式恒成立问题

角度1:上恒成立（优选八法）

典型例题

例题1.（2023上•云南昆明•高一官渡五中校考期中）若不等式2h?+履-?<。的解集为R,则实数人的取

O

值范围是（）

A.（-oo,-3）U[0,+<»）B.（-3,0）

C.（-3,0]D.H，0]

例题2.（2023上•重庆沙坪坝•高三重庆市第七中学校校考阶段练习）不等式如2-2了+1>0（oeR）恒成

立的一个充分不必要条件是（）

A.a>2B.a>\C.a>\D.0<a<—

2

角度2：*eR上成立（优选△法）

典型例题

例题1.（2023上•广东珠海•高一校联考期中）命题P：却wR,（/〃-3）片+2<0为真命题，则实数

m的取值范围为.

角度3：以e。上恒成立（优选分离变量法）

典型例题

例题1.（2023上•辽宁铁岭•高三校联考期中）已知X/xe[l,2],Vye[2,3],y2-xy-rwc2＜0,则实数机的

取值范围是（）

A.[4,+co）B.[0,+co）C.[6,+oo）D.[8,+co）

角度4:上成立（优选分离变量法）

典型例题

例题1.（2023上•浙江•高二校联考期中）若关于尤的不等式炉-（机+l）x+94。在[1,4]上有解，则实数机

的最小值为（）

A.9B.5C.6D.—

4

角度5：已知参数收。，求x取值范围（优选变更主元法）

典型例题

例题L（2024上•福建福州,高一福建省长乐第一中学校考阶段练习）已知函数/（力=。2/+2依一储+i.

⑴当0=2时,求/（力40的解集;

⑵是否存在实数X,使得不等式//+2分一/+120对满足。目_2,2]的所有。恒成立？若存在，求出X的

值；若不存在，请说明理由.

练透核心考点

1.（2023上•湖南张家界•高一慈利县第一中学校考期中）（1）若关于x的不等式，+皿+相+3＜。在（3,-1）

上有解，求实数〃?的取值范围；

（2）若Vxe[-2,1],不等式加＞2-工+1）＜2恒成立，求实数机的取值范围.

2.（2024上•福建南平•高一统考期末）设函数/（x）=a/+S-l）x+2.

（1）若。=11=-2,求不等式/（彳）＞0的解集；

⑵若关于x的不等式/（尤）＞bx的解集为R,求实数a的取值范围.

3.（2024上•安徽芜湖•高一统考期末）设函数/（彳）=双2+云+3,关于x的一元二次不等式/（x）＞0的解

集为（T1）.

（1）求不等式V+ax+b＞0的解集；

⑵若Vxq-LRja"32,求实数m的取值范围.

4.（2024上•四川内江•高一统考期末）已知二次函数〃尤）的最小值为-9,且-1是其一个零点，VxeR都

有/（2-x）=/（2+x）.

⑴求f（x）的解析式;

（2）求“X）在区间［-1,向上的最小值；

⑶若关于x的不等式〃》）-7侬4-9在区间（1,3）上有解，求实数机的取值范围.

5.（2024上•安徽安庆・高一安庆一中校考期末）设定义域为R的奇函数，（x）=（2-鼻/7-（其中。为实数）.

⑴求。的值；

（2）是否存在实数左和xe[T,3],使不等式/任一版）+〃2-另＞0成立？若存在，求出实数上的取值范围;

若不存在，请说明理由.

高频考点五：分式不等式

典型例题

例题1.（2024上•山东滨州•高一统考期末）已知集合4={H一。＜了＜。+1},

（1）当。=1时，求AuB;

⑵若&n3=A,求。的取值范围.

例题2.（2024上•江苏南京•高一南京师大附中校考期末）已知集合&={乂"-。-1乂*-24+3）＜0},集合

（1）当。=2时，求Ac5；

（2）若人口3=4,求实数。的取值范围.

练透核心考点

1.（2024上•陕西宝鸡•高一统考期末）已知集合人=<0集合B=|x|2m+3<x<m21,mGR.

⑴当机=一2时，求AuB；

⑵若兄eB是xeA的充分条件，求实数加的取值范围.

2.（2024上•湖南长沙•高一湖南师大附中校考期末）设全集U=R,集合A={%||x-l|<2）,B=>0

⑴求AcB；

（2）已知集合。=卜|1。-4v%<2〃+1},若（dB）cC=0,求〃的取值范围.

高频考点六：一元二次不等式的应用

典型例题

例题L（2023上・贵州贵阳,高一校考阶段练习）一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条

流水线生产的摩托车数量x（单位：辆）与创造的价值J7（单位：元）之间有如下的关系：y=-2x2+220x.

若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，则在一个星期内大约应该生产

（填写区间范围）辆摩托车？

例题2.（2024上•全国•高一专题练习）某新能源公司投资280万元用于新能源汽车充电桩项目，且

neN*）年内的总维修保养费用为C（w）=kn2+40"（左eR）万元，该项目每年可给公司带来200万元的收入.

设到第且〃eN*）年年底，该项目的纯利润（纯利润=累计收入-累计维修保养费-投资成本）为L（n）

万元.已知到第3年年底，该项目的纯利润为128万元.

⑴求实数%的值.并求该项目到第几年年底纯利润第一次能达到232万元；

（2）到第几年年底，该项目年平均利润（平均利润=纯利润十年数）最大？并求出最大值.

练透核心考点

1.（2024下•西藏•高一开学考试）为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星

网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入。（a>0）万元，现把研发部人员分成两

类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（xeN+且45VXV75）,调整后研发人员的年人均投入增

加4x%,技术人员的年人均投入为。（根万元.

⑴要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的1